奥数专题-数学广角——找次品（讲义） 2025-2026学年五年级下册数学人教版

数学广角——找次品 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 📊 典型例题解构与解题策略精讲 2 📌 考点一：3 个物品找次品（基础逻辑） 2 📌 考点二：多个物品找次品的最优方案 4 📌 考点三：找次品步骤设计与表述 5 📌 考点四：逆向推理次品问题 6 ⚠️ 易错避坑指南 7 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 9 一、基础夯实篇 (8 题) 9 二、能力进阶篇 (7 题) 9 三、思维跃迁篇 (5 题) 11 🔍 精准解析 — 思路拆解・知识点睛 12 一、基础夯实篇・解题范式与验证逻辑 12 二、能力进阶篇・解题范式与验证逻辑 14 三、思维跃迁篇・解题范式与验证逻辑 16 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题围绕优化策略核心展开，核心是 “优化策略思维 + 四类解题方法落地”，依托找次品核心思想、三分法分组、最优次数规律、逆向推理四大模块，完整梳理本册考点内容。 知识模块 核心内容 适用场景 关键注意事项 找次品核心思想 利用天平平衡原理，通过分组称量，逐步缩小次品范围，用最少次数保证找到次品 所有找次品基础问题 天平只能判断两边是否平衡，不能直接称出重量 三分法分组原则 将物品尽量平均分成 3 份，不能平均分的，使多的一份与少的一份相差 1 所有找次品最优方案设计 三分法是保证最少次数的核心，不能分成 2 份或 4 份 最优次数规律 称 1 次最多从 3 个物品中找次品；称 2 次最多从 9 个物品中找次品；称 3 次最多从 27 个物品中找次品；称 k 次最多从 3k 个物品中找次品 已知物品数求最少次数，已知次数求最多物品数 次数是保证找到次品的最少次数，不是可能次数 逆向推理应用 根据称量结果和次数，反推次品的位置或物品的最大数量 复杂找次品推理题、竞赛拓展题 逆向推理要结合每一步的称量结果，排除不可能的情况 二、解题方法图表记忆法 方法类型 核心思路 关键步骤 记忆技巧 三分法分组法 将物品平均分成 3 份，通过一次称量排除 的物品 ①计算每份数量，尽量平均分； ②将两份放在天平两端； ③根据平衡情况确定次品所在份 三分法，平均分，不平在轻（重）端，平在第三份 最优次数计算法 根据 3 的幂次确定最少称量次数 ①找到大于等于物品数的最小 3 的幂次； ②幂次的指数就是最少次数 3 的几次方，就称几次 步骤设计法 按三分法逐步分组，清晰表述每一步称量过程和结果 ①第一次分组称量； ②根据结果第二次分组称量； ③重复直到找到次品 一步一分组，结果定范围 逆向推理法 从最后一次称量结果反推，逐步扩大物品范围 ①确定最后一次最多能判断的物品数； ②依次往前推每次的最大物品数； ③结合条件得出结论 从后往前推，每次乘 3 三、奥数思维提升 1. 优化思维：在多种分组方案中，找到称量次数最少的最优方案。 2. 逻辑推理思维：根据天平的平衡情况，严谨推理次品的位置。 3. 分类讨论思维：考虑天平平衡、左边轻、左边重三种情况，不遗漏任何可能。 4. 逆向思维：从已知的称量次数，反推最多能判断的物品数量。 5. 建模思维：将实际找次品问题转化为三分法分组模型，快速解决问题。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：3 个物品找次品（基础逻辑） ✨ 典型例题 1（基础型 —— 概念直接应用） 有 3 个乒乓球，其中 1 个是次品（次品轻一些），用天平称，至少称几次能保证找到次品？ 解题步骤： ① 把 3 个乒乓球分成 3 份，每份 1 个，编号 1、2、3； ② 把 1 号和 2 号放在天平两端称量； ③ 如果天平平衡，次品是 3 号；如果天平不平衡，轻的一端是次品。所以至少称 1 次。 【答案】1 次 【知识点睛】3 个物品称 1 次就能保证找到次品，这是找次品的基础模型。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 次品重一些） 有 3 个螺丝，其中 1 个是次品（次品重一些），用天平称，至少称几次能保证找到次品？ 解题步骤： ① 把 3 个螺丝分成 3 份，每份 1 个； ② 任意拿两个放在天平两端称量； ③ 如果平衡，剩下的是次品；如果不平衡，重的一端是次品。至少称 1 次。 【答案】1 次 【知识点睛】次品轻重不影响称量次数，只影响判断次品的方向。 ✨ 典型例题 3（奥数型 —— 不知道次品轻重） 有 3 个零件，其中 1 个是次品（不知道次品是轻还是重），用天平称，至少称几次能保证找到次品？ 解题步骤： ① 把 3 个零件编号 1、2、3，先称 1 号和 2 号； ② 如果平衡，次品是 3 号； ③ 如果不平衡，拿下 1 号，换上 3 号，如果平衡，次品是 1 号；如果不平衡，次品是 2 号。所以至少称 2 次。 【答案】2 次 【知识点睛】不知道次品轻重时，需要多称 1 次来判断次品的轻重。 📌 考点二：多个物品找次品的最优方案 ✨ 典型例题 1（基础型 —— 9 个物品） 有 9 瓶钙片，其中 1 瓶少了 3 片（次品轻一些），用天平称，至少称几次能保证找到次品？ 解题步骤： ① 把 9 瓶钙片平均分成 3 份，每份 3 瓶，编号 A、B、C； ② 把 A 份和 B 份放在天平两端称量，如果平衡，次品在 C 份；如果不平衡，次品在轻的一份； ③ 把有次品的 3 瓶再分成 3 份，每份 1 瓶，称 1 次就能找到次品。一共称 2 次。 【答案】2 次 【知识点睛】9 是 3 的平方，所以称 2 次，符合 3k 的规律。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 10 个物品） 有 10 个零件，其中 1 个是次品（次品重一些），用天平称，至少称几次能保证找到次品？ 解题步骤： ① 把 10 个零件分成 3 份：3 个、3 个、4 个； ② 把两份 3 个的放在天平两端称量，如果平衡，次品在 4 个的那份；如果不平衡，次品在重的 3 个那份； ③ 如果在 3 个那份，再称 1 次就能找到；如果在 4 个那份，把 4 个分成 1 个、1 个、2 个，称 1 次后最多再称 1 次。一共称 3 次。 【答案】3 次 【知识点睛】不能平均分成 3 份时，多的一份与少的一份相差 1，保证次数最少。 ✨ 典型例题 3（奥数型 —— 27 个物品） 有 27 盒饼干，其中 1 盒是次品（次品轻一些），用天平称，至少称几次能保证找到次品？ 解题步骤： ① 把 27 盒平均分成 3 份，每份 9 盒，称 1 次确定次品在 9 盒中； ② 把 9 盒平均分成 3 份，每份 3 盒，称 1 次确定次品在 3 盒中； ③ 把 3 盒称 1 次找到次品。一共称 3 次。 【答案】3 次 【知识点睛】27 是 3 的立方，所以称 3 次，每次都能排除 2/3 的物品。 📌 考点三：找次品步骤设计与表述 ✨ 典型例题 1（基础型 —— 5 个物品） 有 5 袋盐，其中 1 袋质量不足（次品轻一些），用天平称，写出找次品的步骤。 解题步骤： ① 把 5 袋盐分成 3 份：2 袋、2 袋、1 袋； ② 把两份 2 袋的放在天平两端称量； ③ 如果天平平衡，剩下的 1 袋是次品；如果不平衡，次品在轻的 2 袋中； ④ 把轻的 2 袋放在天平两端，轻的一端是次品。 【答案】见解题步骤 【知识点睛】步骤表述要清晰，说明每一步的分组和结果判断。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 12 个物品） 有 12 个乒乓球，其中 1 个是次品（次品重一些），用天平称，至少称几次能保证找到次品？写出步骤。 解题步骤： ① 把 12 个乒乓球分成 3 份，每份 4 个，编号 A、B、C； ② 称 A 和 B，如果平衡，次品在 C 份；如果不平衡，次品在重的一份； ③ 把有次品的 4 个分成 1 个、1 个、2 个，称两个 1 个的，如果不平衡，重的是次品；如果平衡，次品在 2 个中； ④ 把 2 个再称 1 次，重的是次品。一共称 3 次。 【答案】3 次，步骤见解题过程 【知识点睛】4 个物品需要称 2 次，所以 12 个物品总共需要 3 次。 📌 考点四：逆向推理次品问题 ✨ 典型例题 1（基础型 —— 已知次数求最多物品数） 用天平称，称 3 次最多能从多少个物品中找到 1 个次品（次品轻一些）？ 解题步骤： ① 称 1 次最多能从 3 个物品中找次品； ② 称 2 次最多能从 3×3=9 个物品中找次品； ③ 称 3 次最多能从 3×3×3=27 个物品中找次品。 【答案】27 个 【知识点睛】称 k 次最多能从 3k 个物品中找到次品。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 已知次数求物品范围） 用天平称，至少称 4 次能保证找到次品的物品数量范围是多少？ 解题步骤： ① 称 3 次最多能从 27 个物品中找次品； ② 称 4 次最多能从 3×3×3×3=81 个物品中找次品； ③ 所以物品数量范围是大于 27 个，小于等于 81 个。 【答案】28 个到 81 个 【知识点睛】最少次数对应的物品范围是 3(k-1)+1 到 3k。 ✨ 典型例题 3（奥数型 —— 结合称量结果推理） 有 8 个零件，其中 1 个是次品（次品轻一些），用天平称了 2 次，结果如下：第一次称①和②比③和④重；第二次称③和⑤比④和⑥重。次品在哪个零件中？ 解题步骤： ① 第一次称①和②比③和④重，因次品偏轻，说明次品在③、④中； ② 第二次称③和⑤比④和⑥重，说明次品在④、⑥中； ③ 取两次次品范围的交集，可确定次品是④号零件。 【答案】次品是④号零件 【知识点睛】结合多次称量结果取范围交集，可精准锁定次品位置。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 分组原则错误，分成 2 份而不是 3 份 错误示例：有 9 个物品，分成 4 个、4 个、1 个，称 2 次找到次品，认为这是最优方案。 正确分析：分成 3 个、3 个、3 个，也是称 2 次，但如果是 10 个物品，分成 5 个、5 个需要称 3 次，分成 3 个、3 个、4 个也需要称 3 次，但三分法在物品数更多时优势更明显，且是保证最少次数的唯一方法。 修正方法：任何找次品问题，都优先采用三分法分组，尽量平均分。 ❌ 混淆 “可能次数” 和 “保证找到的最少次数” 错误示例：有 5 个物品，运气好 1 次就能找到次品，所以最少称 1 次。 正确分析：最少次数是指保证一定能找到次品的最少次数，不是运气好的可能次数。5 个物品保证找到次品最少需要 2 次。 修正方法：计算次数时，考虑最坏的情况，即每次称量都不能直接找到次品，需要继续分组。 ❌ 步骤逻辑混乱，表述不清晰 错误示例：把物品放在天平上称，轻的是次品。 正确分析：步骤要说明如何分组、每次称量哪两份、根据平衡情况如何判断次品范围。 修正方法：按照 “分组 - 称量 - 判断范围 - 重复” 的顺序，清晰表述每一步。 ❌ 不知道次品轻重时，次数计算错误 错误示例：有 3 个物品，不知道次品轻重，认为称 1 次就能找到次品。 正确分析：不知道次品轻重时，需要多称 1 次来判断次品的轻重，3 个物品需要称 2 次。 修正方法：遇到不知道次品轻重的问题，先判断次品轻重，再找次品，次数相应增加。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 一、基础夯实篇 (8 题) 1. 填空：找次品的最优分组方法是（ ），尽量把物品平均分成（ ）份。 2. 判断对错：有 4 个物品，其中 1 个是次品（轻一些），用天平称，至少称 1 次能保证找到次品（ ）。 3. 有 3 瓶饮料，其中 1 瓶是次品（少一些），用天平称，至少称（ ）次能保证找到次品。 4. 有 6 个零件，其中 1 个是次品（重一些），用天平称，至少称（ ）次能保证找到次品。 5. 称 1 次最多能从（ ）个物品中找到次品，称 2 次最多能从（ ）个物品中找到次品。 6. 有 8 个乒乓球，其中 1 个是次品（轻一些），用天平称，至少称（ ）次能保证找到次品。 7. 有 15 盒饼干，其中 1 盒是次品（轻一些），用天平称，至少称（ ）次能保证找到次品。 8. 用天平称，至少称 3 次能保证找到次品的物品最少有（ ）个。 二、能力进阶篇 (7 题) 9. 有 10 瓶水，其中 9 瓶质量相同，另有 1 瓶是盐水（重一些），用天平称，至少称几次能保证找到盐水？写出步骤。 10. 有 27 个玻璃球，其中 1 个是次品（轻一些），用天平称，至少称几次能保证找到次品？写出步骤。 11. 有 13 个零件，其中 1 个是次品（重一些），用天平称，至少称几次能保证找到次品？ 12. 用天平称，至少称 4 次最多能从多少个物品中找到 1 个次品（轻一些）？ 13. 有 5 袋糖果，其中 4 袋质量相同，另有 1 袋质量不足，用天平称，写出找次品的步骤。 14. 有 20 个螺丝，其中 1 个是次品（轻一些），用天平称，至少称几次能保证找到次品？ 15. 有一批零件，其中 1 个是次品（轻一些），用天平称了 3 次才找到次品，这批零件最多有多少个？最少有多少个？ 三、思维跃迁篇 (5 题) 16. 有 12 个金币，其中 1 个是假币（假币轻一些），用天平称，至少称几次能保证找到假币？写出详细步骤。 17. 有 9 个外观相同的球，其中 1 个是次品，不知道次品是轻还是重，用天平称，至少称几次能保证找到次品并判断次品的轻重？ 18. 有 28 个零件，其中 1 个是次品（轻一些），用天平称，至少称几次能保证找到次品？ 19. 用天平称，至少称 5 次能保证找到次品的物品数量范围是多少？ 20. 有 4 个零件，其中 1 个是次品（不知道轻重），用天平称，至少称几次能保证找到次品？ 🔍 精准解析 — 思路拆解・知识点睛 一、基础夯实篇・解题范式与验证逻辑 1. 【答案】三分法；3 解题步骤： ① 回忆找次品的最优方法； ② 三分法是保证最少次数的核心； ③ 填写答案。 【知识点睛】三分法是找次品的最优分组方法。 2. 【答案】× 解题步骤： ① 4 个物品分成 2 个、2 个，称 1 次确定次品在 2 个中； ② 再称 1 次才能找到次品； ③ 所以至少称 2 次，原说法错误。 【知识点睛】4 个物品保证找到次品最少需要 2 次。 3. 【答案】1 解题步骤： ① 3 个物品分成 1 个、1 个、1 个； ② 称其中两个，平衡则剩下的是次品，不平衡则轻的是次品； ③ 至少称 1 次。 【知识点睛】3 个物品称 1 次就能保证找到次品。 4. 【答案】2 解题步骤： ① 6 个物品分成 2 个、2 个、2 个； ② 称其中两份，确定次品在 2 个中； ③ 再称 1 次找到次品，一共 2 次。 【知识点睛】6 个物品在 31=3 和 32=9 之间，所以称 2 次。 5. 【答案】3；9 解题步骤： ① 31=3，所以称 1 次最多 3 个； ② 32=9，所以称 2 次最多 9 个； ③ 填写答案。 【知识点睛】称 k 次最多能从 3k 个物品中找到次品。 6. 【答案】2 解题步骤： ① 8 个物品分成 3 个、3 个、2 个； ② 称两个 3 个的，确定次品范围； ③ 最多再称 1 次找到次品，一共 2 次。 【知识点睛】8 个物品小于 9 个，所以称 2 次。 7. 【答案】3 解题步骤： ① 15 个物品分成 5 个、5 个、5 个； ② 称一次确定次品在 5 个中； ③ 5 个物品需要称 2 次，一共 3 次。 【知识点睛】15 个物品在 9 和 27 之间，所以称 3 次。 8. 【答案】10 解题步骤： ① 称 2 次最多能从 9 个物品中找次品； ② 所以至少称 3 次的物品最少是 9+1=10 个； ③ 填写答案。 【知识点睛】最少次数对应的最少物品数是 3(k-1)+1。 二、能力进阶篇・解题范式与验证逻辑 9. 【答案】3 次，步骤见解析 解题步骤： ① 把 10 瓶水分成 3 瓶、3 瓶、4 瓶； ② 称两个 3 瓶的，如果平衡，盐水在 4 瓶中；如果不平衡，盐水在重的 3 瓶中； ③ 如果在 3 瓶中，再称 1 次找到；如果在 4 瓶中，分成 1 瓶、1 瓶、2 瓶，称 1 次后最多再称 1 次； ④ 一共称 3 次。 【知识点睛】10 个物品需要称 3 次。 10. 【答案】3 次，步骤见解析 解题步骤： ① 把 27 个玻璃球平均分成 3 份，每份 9 个； ② 称一次确定次品在 9 个中； ③ 把 9 个平均分成 3 份，每份 3 个，称一次确定次品在 3 个中； ④ 把 3 个称一次找到次品，一共 3 次。 【知识点睛】27 是 3 的立方，称 3 次。 11. 【答案】3 次 解题步骤： ① 13 个分成 4 个、4 个、5 个； ② 称两个 4 个的，确定次品范围； ③ 4 个需要称 2 次，5 个也需要称 2 次； ④ 一共 3 次。 【知识点睛】13 个在 9 和 27 之间，称 3 次。 12. 【答案】81 个 解题步骤： ① 称 4 次最多能从 34 个物品中找次品； ② 3×3×3×3=81； ③ 所以最多 81 个。 【知识点睛】3k 是称 k 次最多能判断的物品数。 13. 【答案】步骤见解析 解题步骤： ① 把 5 袋糖果分成 2 袋、2 袋、1 袋； ② 称两个 2 袋的，如果平衡，剩下的 1 袋是次品； ③ 如果不平衡，次品在轻的 2 袋中； ④ 把 2 袋再称一次，轻的是次品。 【知识点睛】5 个物品的找次品步骤。 14. 【答案】3 次 解题步骤： ① 20 个分成 7 个、7 个、6 个； ② 称两个 7 个的，确定次品范围； ③ 7 个和 6 个都需要称 2 次； ④ 一共 3 次。 【知识点睛】20 个在 9 和 27 之间，称 3 次。 15. 【答案】最多 27 个，最少 10 个 解题步骤： ① 称 3 次最多能从 27 个物品中找次品； ② 称 2 次最多能从 9 个物品中找次品； ③ 所以最少是 9+1=10 个，最多 27 个。 【知识点睛】称 k 次的物品范围是 3(k-1)+1 到 3k。 三、思维跃迁篇・解题范式与验证逻辑 16. 【答案】3 次，步骤见解析 解题步骤： ① 把 12 个金币分成 4 个、4 个、4 个，编号 A、B、C； ② 称 A 和 B，如果平衡，次品在 C 份；如果不平衡，次品在轻的一份； ③ 把有次品的 4 个分成 1 个、1 个、2 个，称两个 1 个的，如果不平衡，轻的是次品；如果平衡，次品在 2 个中； ④ 把 2 个再称一次，轻的是次品。一共 3 次。 【知识点睛】12 个物品需要称 3 次。 17. 【答案】3 次 解题步骤： ① 把 9 个球分成 3 个、3 个、3 个，编号 A、B、C； ② 称 A 和 B，如果平衡，次品在 C 份； ③ 从 C 份中拿 2 个，和 A 份中的 2 个称，如果平衡，次品是 C 份剩下的 1 个；如果不平衡，次品在这 2 个中，且知道次品轻重，再称 1 次找到； ④ 如果 A 和 B 不平衡，假设 A 轻，拿 A 中的 2 个和 B 中的 1 个，与 A 中的 1 个和 C 中的 2 个称，如果平衡，次品在 B 剩下的 2 个中（重），再称 1 次；如果左边轻，次品在 A 的 2 个中（轻），再称 1 次；如果左边重，次品是 A 的 1 个（轻）或 B 的 1 个（重），再称 1 次。一共 3 次。 【知识点睛】不知道次品轻重时，9 个物品需要称 3 次。 18. 【答案】4 次 解题步骤： ① 28 个分成 9 个、9 个、10 个； ② 称两个 9 个的，确定次品范围； ③ 9 个需要称 2 次，10 个需要称 3 次； ④ 一共 4 次。 【知识点睛】28 个在 27 和 81 之间，称 4 次。 19. 【答案】82 个到 243 个 解题步骤： ① 称 4 次最多能从 81 个物品中找次品； ② 称 5 次最多能从 35=243 个物品中找次品； ③ 所以范围是 82 个到 243 个。 【知识点睛】称 k 次的物品范围是 3(k-1)+1 到 3k。 20. 【答案】3 次 解题步骤： ① 把 4 个零件编号 1、2、3、4； ② 称 1 和 2，如果平衡，次品在 3 和 4 中； ③ 拿 1 和 3 称，如果平衡，次品是 4；如果不平衡，次品是 3； ④ 如果 1 和 2 不平衡，拿 1 和 3 称，如果平衡，次品是 2；如果不平衡，次品是 1； ⑤ 一共称 3 次。 【知识点睛】4 个物品不知道轻重时，需要称 3 次。 1 学科网（北京）股份有限公司 $