第八单元 数学广角-找次品（4大考点，5大易错点，3大题型）-25-26学年人教版五年级下册高频易错期末专项复习讲义

第八单元《数学广角-找次品》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 找次品基本原理与天平规律 考查天平称重平衡、不平衡的判断逻辑，理解次品轻/重的特征，掌握排除正品、锁定次品范围的基本思路，以填空、判断题基础考查。 最优分组策略（核心考点） 考查把物品总数平均分成3份的最优方法，无法均分则使每份相差1，是最少称重次数的关键，为本单元期末必考重难点。 已知次品轻重，求最少称量次数 熟记数量区间对应的最少称重次数，能够根据物品总数量快速判断至少称几次保证找到次品，高频出现在填空、选择题。 找次品综合推理应用题 结合生活场景，写出详细称量推理过程、分组方案，属于期末解决问题、思维拔高压轴题型，侧重逻辑推理能力考查。 核心考点总结 1、找次品基础原理（天平称重） （1）天平状态只有两种：平衡、不平衡。 （2）平衡原理：天平平衡，说明两边物品全部是正品，次品在剩余未称物品中。 （3）不平衡原理：天平不平衡，次品在翘起/下沉的一端（题目默认已知次品较轻或较重）。 （4）前提条件：小学考题默认只有1个次品，且已知次品比正品轻或重。 2、最优分组策略（必考核心） （1）万能最优方法：把总数尽量平均分成3份。 （2）均分规则： 能被3整除：平均分成三份（每份数量相等）。 不能被3整除：分成三份，每份数量最多相差1。 （3）为什么分3份：一次称重可以排除三分之二的正品，缩小范围最快，称量次数最少。 3、最少称量次数对照表（必背） 称1次：2～3个物品 称2次：4～9个物品 称3次：10～27个物品 称4次：28～81个物品 规律总结：每次最大检测数量是前一次的3倍（）。 4、标准推理解题步骤 第一步：分组，按平均分3份原则分组。 第二步：称重，称量其中两份，判断平衡或不平衡。 第三步：缩围，锁定次品所在组别，排除正品。 第四步：重复，对含次品小组继续三分称量，直到找到次品。 本单元高频易错点汇总 易错点1：分组错误，分成2份 错因：习惯把物品分成2份称量，导致称量次数变多，不是最优方案。 纠正：找次品最优策略永远分3份，不是分两份。 易错点2：忽略“保证找到”关键词 错因：按最幸运的情况算次数，忽略题目“至少、保证找到”是按最倒霉、最不利情况计算。 纠正：所有考题求最少次数，一律按最不利情况推理。 易错点3：区间次数记混 错因：把10个物品误认为称2次，混淆9个和10个的分界点。 纠正：4–9个称2次，10个及以上必须称3次。 易错点4：分组数量差距过大 错因：无法均分三份时，随意分组，三份数量差距太大，不是最优分组。 纠正：三份数量最多相差1，是唯一最优分组。 易错点5：推理过程书写不规范 错因：应用题只写结果，不写分组、称量、判断过程，大量扣分。 纠正：找次品大题必须写清：怎么分、怎么称、如何判断、最终结论。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题1 基础次数判断 有15瓶同样的矿泉水，其中1瓶较轻，至少称几次能保证找到次品？ 解析：15在10–27区间内，对应至少称3次。优先平均分三份：5、5、5，逐步缩小范围。 例题2 不能均分的分组 有8个零件，其中1个次品较轻，如何最优分组？至少称几次？ 解析：8分成3、3、2（三份相差1），属于4–9区间，至少称2次。 例题3 天平状态推理 有3袋糖果，其中1袋较轻，称量左右各一袋，天平不平衡，次品在哪里？ 解析：次品在翘起的一端；若平衡，次品是剩余未称的一袋。 例题4 综合推理大题 有22个乒乓球，有1个次品较轻，写出找次品的最优方案并求出至少次数。 解析：22分成7、7、8，逐步三分称量，全程最不利推理，至少称3次。 三大题型 题型一、基础判断与次数填空题型 分步解题妙招 第一步：看总数，锁定物品数量区间。 第二步：背区间，对应1–3、4–9、10–27快速匹配次数。 第三步：抓关键词，看到“至少、保证”按最不利情况答题。 第四步：辨对错，牢记三分最优、两分错误。 1．有3盒饼干，其中2盒质量相同，另外有1盒少了几块。假如用天平称，至少称( )次能保证找出这盒饼干。 2．天津包子是一种特色小吃。现在有16袋包子，其中有15袋质量相同，另有1袋少了1个。如果用天平称，那么至少称( )次才能保证找到少了1个包子的这袋。 3．华海药业某车间生产了25瓶药，其中有1瓶质量轻一些，如果用天平称，至少称( )次可以找到这瓶质量轻的药。 4．在27个质量相同的零件里，混杂了一个次品，次品比正品轻，至少要用天平称( )次才能找出这个次品。 5．有30袋糖果，其中只有一袋质量偏重，至少称( )才能保证找出这袋质量偏重的糖果。 6．在乒乓球比赛中，对乒乓球的要求非常严格。现有11个乒乓球，其中10个质量相同，另一个是次品（次品重一些）。用天平称，至少称( )次才能保证找出次品。 7．找次品的最优策略：把待测物品分成( )份。尽量( )分，如果不能平均分，也要使多的一份与少的一份只相差1，如11（4，4，3）。 8．有10袋白糖，其中9袋每袋500g，另有1袋比500g轻。用天平称至少称( )次就能保证把轻的那袋找出来。 9．有10瓶钙片，其中1瓶是次品（较轻），用天平至少称( )次能保证找出次品。 10．8颗珍珠中有一颗质量较轻，把较轻的珍珠找出来，可以把8颗珍珠分成( )份，这样至少称( )次就能保证找出次品来。 题型二、最优分组与天平推理题型 标准解题法（精准分组、逻辑推理） 第一步：算均分，总数÷3，判断能否整除。 第二步：调数量，不能整除则三份两两相差1。 第三步：做判断，平衡找剩余，不平衡找高低端。 第四步：缩范围，锁定含次品小组，重复操作。 1．26个零件中有1个次品（较重），借助天平称量，要想尽快找出次品，第一次的分组方法正确的是（    ）。 A．（13，13） B．（8，8，10） C．（8，9，9） D．（10，10，6） 2．有10瓶外观一样的钙片，其中一瓶少了几片，用无砝码的天平称，至少称( )次才能找出来。 3．有4个外观相同的零件，其中一个略轻。用一架没有珐码的天平称了两次找出了这个次品，表示称的过程与结果的选项是（    ）。 A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 4．有27袋糖果，其中26袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。使用天平至少称( )次能保证找出这袋质量不足的糖果。 5．有8瓶口香糖，其中有一瓶被丽丽偷吃了一些，给你一架天平，至少称( )次才能保证找出被偷吃的那一瓶。 6．有8颗外观一样的铁珠，其中有7颗一样重，另外有1颗比其他7颗稍轻些，如果用一架天平称2次就能保证找出这颗稍轻的铁珠，最合适的方法是先把这些铁珠分成（    ），然后再称。 A． B． C． D． 7．一批零件有14个，其中有一个是次品（次品轻一些），现在想用天平找到这个次品，保证找出次品的称重次数最少时，最合理的分组是( )，至少称( )次保证能找出次品。 8．12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称（    ）次才能找出那个质量异常的羽毛球。 A．4 B．3 C．2 D．1 9．15瓶饮料，其中一瓶变质了（略重一些），用无砝码的天平称，至少称（    ）次一定能找出变质的那瓶饮料。 A．3 B．4 C．5 D．6 10．有19枚硬币，其中一枚是假的（稍微重一些），借助没有砝码的天平，至少称（    ）次能保证找出假硬币。 A．2 B．3 C．4 D．5 题型三、综合方案书写与拔高应用题 四步标准解题步骤 第一步：定分组，写出第一次最优三分结果。 第二步：写称量，说明天平左右放置数量。 第三步：分情况，分别写出平衡、不平衡两种推理过程。 第四步：得结论，写出最少称量次数与完整方案。 1．王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 2．有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 3．有7个外形一模一样的零件，其中有一个零件略轻一些，看作次品。如果用天平称，至少称（    ）次能保证找出这个次品。请你用画图和文字简洁清楚地表示出称的过程。 4．有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 5．有25盒果脯，其中一盒多了2个，因此稍重了一些。现在只有一架没有砝码的天平。 （1）称1次 把这盒稍重的果脯找出来。（填“有可能”或“不可能”） （2）如果称2次， 保证把这盒稍重的果脯找出来。（填“能”或“不能”） （3）至少称几次可以保证把这盒稍重的果脯找出来？请简单写出称的过程。 6．平遥牛肉是平遥县的特色名菜，中华老字号“冠云”牌平遥牛肉驰名中外。分管质检的张叔叔，发现在8袋外观相同的牛肉中有1袋质量较轻的次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？用你喜欢的方式记录找次品的过程。 7．六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 8．一盒乒乓球10个，其中1个稍重一些，请你用你喜欢的方法，最快几次找出那个球？（注意过程） 9．小丽买来3盒巧克力，其中的一盒为次品（可能比其他两盒轻一些，也可能比其他两盒重一些），小丽说：“我用天平称，至少称一次就能保证找出这盒次品”。小丽说得对不对？ 10．请先仔细阅读下面的文字，再利用获得的数学信息解决问题。 造纸术是中国四大发明之一，纸是中国古代劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶。造纸术的出现，有利于文化的传播。宣纸制作工艺复杂、操作难度也很大，需要经过取材、蒸煮、入帘、烘干等100多道手工工序。在安徽省宣城市泾县的宣纸生产车间，目前有414名工人在一线生产。制作超大巨型宣纸时，需要54名工匠共同完成。由于宣纸生产难度大，习艺周期长，特别辛劳的工种年轻人多不愿学，已经是后继乏人。此外，由于经济效益的诱惑，多种现代化机械和化工产品正在不断取代传统的加工器具和用料，使最具特色的宣纸传统工艺难以为继。 (1)制作超大巨型宣纸的工匠人数占车间工人总数的几分之几？ (2)在“入帘”环节是将竹浆倒入纸槽。该纸槽是一个长方体（无盖），长12分米，宽10分米，高5分米。这个纸槽的表面积是多少平方分米？（纸槽厚度忽略不计） (3)宣纸质地柔韧，经久耐用，被称为“千年寿纸”。黄师傅将一张宣纸裁成图一的形状。加工后准备加上木条制作成长方体灯罩（图二）制作一个这样的灯罩，至少需要木条多少厘米？ (4)有23包宣纸样品，其中有一包较轻，用天平称，至少称( )次能保证找到这包次品，第一次称的时候可以这样分：( )。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元《数学广角-找次品》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 找次品基本原理与天平规律 考查天平称重平衡、不平衡的判断逻辑，理解次品轻/重的特征，掌握排除正品、锁定次品范围的基本思路，以填空、判断题基础考查。 最优分组策略（核心考点） 考查把物品总数平均分成3份的最优方法，无法均分则使每份相差1，是最少称重次数的关键，为本单元期末必考重难点。 已知次品轻重，求最少称量次数 熟记数量区间对应的最少称重次数，能够根据物品总数量快速判断至少称几次保证找到次品，高频出现在填空、选择题。 找次品综合推理应用题 结合生活场景，写出详细称量推理过程、分组方案，属于期末解决问题、思维拔高压轴题型，侧重逻辑推理能力考查。 核心考点总结 1、找次品基础原理（天平称重） （1）天平状态只有两种：平衡、不平衡。 （2）平衡原理：天平平衡，说明两边物品全部是正品，次品在剩余未称物品中。 （3）不平衡原理：天平不平衡，次品在翘起/下沉的一端（题目默认已知次品较轻或较重）。 （4）前提条件：小学考题默认只有1个次品，且已知次品比正品轻或重。 2、最优分组策略（必考核心） （1）万能最优方法：把总数尽量平均分成3份。 （2）均分规则： 能被3整除：平均分成三份（每份数量相等）。 不能被3整除：分成三份，每份数量最多相差1。 （3）为什么分3份：一次称重可以排除三分之二的正品，缩小范围最快，称量次数最少。 3、最少称量次数对照表（必背） 称1次：2～3个物品 称2次：4～9个物品 称3次：10～27个物品 称4次：28～81个物品 规律总结：每次最大检测数量是前一次的3倍（）。 4、标准推理解题步骤 第一步：分组，按平均分3份原则分组。 第二步：称重，称量其中两份，判断平衡或不平衡。 第三步：缩围，锁定次品所在组别，排除正品。 第四步：重复，对含次品小组继续三分称量，直到找到次品。 本单元高频易错点汇总 易错点1：分组错误，分成2份 错因：习惯把物品分成2份称量，导致称量次数变多，不是最优方案。 纠正：找次品最优策略永远分3份，不是分两份。 易错点2：忽略“保证找到”关键词 错因：按最幸运的情况算次数，忽略题目“至少、保证找到”是按最倒霉、最不利情况计算。 纠正：所有考题求最少次数，一律按最不利情况推理。 易错点3：区间次数记混 错因：把10个物品误认为称2次，混淆9个和10个的分界点。 纠正：4–9个称2次，10个及以上必须称3次。 易错点4：分组数量差距过大 错因：无法均分三份时，随意分组，三份数量差距太大，不是最优分组。 纠正：三份数量最多相差1，是唯一最优分组。 易错点5：推理过程书写不规范 错因：应用题只写结果，不写分组、称量、判断过程，大量扣分。 纠正：找次品大题必须写清：怎么分、怎么称、如何判断、最终结论。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题1 基础次数判断 有15瓶同样的矿泉水，其中1瓶较轻，至少称几次能保证找到次品？ 解析：15在10–27区间内，对应至少称3次。优先平均分三份：5、5、5，逐步缩小范围。 例题2 不能均分的分组 有8个零件，其中1个次品较轻，如何最优分组？至少称几次？ 解析：8分成3、3、2（三份相差1），属于4–9区间，至少称2次。 例题3 天平状态推理 有3袋糖果，其中1袋较轻，称量左右各一袋，天平不平衡，次品在哪里？ 解析：次品在翘起的一端；若平衡，次品是剩余未称的一袋。 例题4 综合推理大题 有22个乒乓球，有1个次品较轻，写出找次品的最优方案并求出至少次数。 解析：22分成7、7、8，逐步三分称量，全程最不利推理，至少称3次。 三大题型 题型一、基础判断与次数填空题型 分步解题妙招 第一步：看总数，锁定物品数量区间。 第二步：背区间，对应1–3、4–9、10–27快速匹配次数。 第三步：抓关键词，看到“至少、保证”按最不利情况答题。 第四步：辨对错，牢记三分最优、两分错误。 1．有3盒饼干，其中2盒质量相同，另外有1盒少了几块。假如用天平称，至少称( )次能保证找出这盒饼干。 【答案】1 【分析】将3盒饼干平均分成三份，利用天平平衡原理，称量1次即可判断出哪一盒质量较轻，从而保证找出次品。 【详解】将3盒饼干分成3份，每份1盒，任取2盒分别放在天平的左右两个托盘中进行称量。情形一：若天平平衡，说明托盘中的2盒质量相同，则未称量的那1盒是少了几块的饼干；情形二：若天平不平衡，说明较轻的一端托盘中的饼干是少了几块的饼干。 综上所述，无论出现哪种情形，至少称1次能保证找出这盒饼干。 2．天津包子是一种特色小吃。现在有16袋包子，其中有15袋质量相同，另有1袋少了1个。如果用天平称，那么至少称( )次才能保证找到少了1个包子的这袋。 【答案】3 【分析】把16袋包子分成三份称量，通过天平的平衡情况逐步缩小次品的范围，用最少的称量次数保证找到少了1个包子的那袋。 【详解】第一次称量： 把16袋分成5袋、5袋、6袋三份，将两份5袋的分别放在天平两端： 若天平平衡，次品在剩下的6袋中； 若天平不平衡，次品在较轻的那5袋中。 第二次称量： 若次品在5袋中：把5袋分成2袋、2袋、1袋，将两份2袋的放在天平两端，若平衡则剩下的1袋是次品；若不平衡，次品在较轻的2袋中。 若次品在6袋中：把6袋分成2袋、2袋、2袋，任取两份放在天平两端，若平衡则次品在剩下的2袋中；若不平衡，次品在较轻的2袋中。 第三次称量： 把第二次称量后确定的2袋分别放在天平两端，较轻的那袋就是次品。 综上，至少称3次才能保证找到次品。 3．华海药业某车间生产了25瓶药，其中有1瓶质量轻一些，如果用天平称，至少称( )次可以找到这瓶质量轻的药。 【答案】3 【分析】利用天平平衡原理，把物品平均分成3份，最快缩小次品范围。然后3次分组称量，就能确定质量较轻的那瓶药。 【详解】25瓶分成8、8、9共三份， 第一次：天平两端各放8瓶，如果平衡，质量轻的就在剩下的9瓶中；如果不平衡，上升那端的8瓶中有质量轻的； 第二次：如果在9瓶中，天平两端各放3瓶，平衡，质量轻的就在另外3瓶中，不平衡，质量轻的就在上升端的3瓶中；如果在8瓶中，天平两端各放3瓶，平衡，质量轻的在剩下的2瓶中，不平衡质量轻的在上升端的那3瓶中； 第三次：如果剩下3瓶，取其中2瓶称量，平衡则剩下的是质量轻的，不平衡则上升端的那瓶是质量轻的；如果剩下2瓶，直接称量，上升端那瓶是质量轻的。 4．在27个质量相同的零件里，混杂了一个次品，次品比正品轻，至少要用天平称( )次才能找出这个次品。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略是把零件尽量平均分成3份，每次用天平排除的正品。 【详解】第一次称：27÷3＝9，把27个分成9个、9个、9个三份，天平两端各放9个，轻的那一份含次品；如果平衡，次品在剩下的9个中，第一次就能把范围缩小到9个。 第二次称：9÷3＝3，把含次品的9个分成3个、3个、3个，同样方法称量，把范围缩小到3个。 第三次称，3÷3＝1，把含次品的3个分成1个、1个、1个，称量后轻的就是次品；如果平衡，剩下未称的就是次品。 因此至少需要称3次。 5．有30袋糖果，其中只有一袋质量偏重，至少称( )才能保证找出这袋质量偏重的糖果。 【答案】4 【分析】根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】先把30袋糖果平均分成3组，每组10袋。 第一次，取其中2组分别放在天平两边，若天平平衡，则偏重的一袋在未取的一组中；若天平不平衡，取较重的一组继续； 第二次，把含有偏重的1组（10袋）分成3份：3袋、3袋、4袋，取数量相等的两份分别放在天平两侧，若天平不平衡，取较重的一份继续；若天平平衡，则偏重的一袋在未取的4袋中； 情况一：若偏重的在3袋的一组中 第三次，把3袋分成1袋、1袋、1袋，取其中2袋放在天平两侧，若不平衡，较重的就是次品；若平衡，未取的那袋就是次品，此时3次可找出。 情况二：若偏重的在4袋的一组中 第三次，把4袋分成1袋、1袋、2袋，取1袋的两份放在天平两侧，若不平衡，较重的就是次品；若平衡，偏重的在剩下的2袋中； 第四次，把含有偏重的2袋分别放在天平两侧，较重的就是次品。 综上，用天平至少称4次才能保证找出这袋质量偏重的糖果。 6．在乒乓球比赛中，对乒乓球的要求非常严格。现有11个乒乓球，其中10个质量相同，另一个是次品（次品重一些）。用天平称，至少称( )次才能保证找出次品。 【答案】3 【分析】要求“保证找出次品”，需要考虑最不利的情况，找次品的最优策略是尽量平均分成三组，以此分析即可。 【详解】第一次称：把11个乒乓球分成4个、4个、3个，把两份4个放在天平两端，最坏情况次品在较重的那4个中； 第二次称：把含次品的4个分成1个、1个、2个，把两份1个放在天平两端，最坏情况次品在较重的那2个中； 第三次称：把含次品的2个分开放天平两端，较重的就是次品。 因此至少称3次才能保证找出次品。 7．找次品的最优策略：把待测物品分成( )份。尽量( )分，如果不能平均分，也要使多的一份与少的一份只相差1，如11（4，4，3）。 【答案】 3 平均 【详解】 平均分成3份天平称量只有3种结果左边轻 、​右边轻 ​、两边一样重  ，一次称量就能直接排除掉2份物品，最快锁定次品在哪一份。不能平均分的时候，也要使多的一份与少的一份只相差1，如11（4，4，3）。最多的一份4个，最少的一份3个，只相差1，各组数量接近可确保无论次品在哪组，剩余待排查物品数量都最少。 8．有10袋白糖，其中9袋每袋500g，另有1袋比500g轻。用天平称至少称( )次就能保证把轻的那袋找出来。 【答案】3 【分析】有10袋白糖，其中一袋比500g轻，根据寻找次品的最优策略，可以将10袋白糖分成3袋，3袋，4袋三份进行称重，找出次品。 【详解】将10袋白糖分成3袋，3袋，4袋。 第一次称量：在天平两端各放3袋白糖，平衡则次品在剩余4袋里面，如果不平衡则次品在轻的这边。 第二次称量：把3袋白糖平均分成3份，取两份分别放在天平两端，如果平衡，则剩余那袋为次品；如果不平衡，则轻的是次品；把4袋白糖平均分成2份，分别放在天平的两端，次品在轻的这边。 第三次称量：把2袋白糖分别放在天平的两端，则次品是轻的那一边。 所以用天平称至少称3次就能保证把轻的那袋找出来。 9．有10瓶钙片，其中1瓶是次品（较轻），用天平至少称( )次能保证找出次品。 【答案】3 【分析】三分法：每次将物品分成三组，利用天平称量的结果（左轻，右轻，平衡）缩小次品范围。 最坏情况分析：需保证在最不利的情况下（次品所在组需要最多次数）仍能完成任务。 【详解】第一次称量，将10瓶分成三组：3瓶，3瓶，4瓶。称量两组3瓶： 若平衡，次品在剩余4瓶中。若不平衡，次品在较轻的3瓶中。第二次称量，情况1：次品在3瓶中，将3瓶分成1瓶，1瓶，1瓶，称量两瓶：平衡则剩下一瓶是次品； 不平衡则较轻的一瓶是次品。总次数为2次；情况2：次品在4瓶中，将4瓶分成1瓶，1瓶，2瓶，称量两瓶：平衡则次品在剩余2瓶中，不平衡则较轻的一瓶是次品；总次数：2次后需再称一次，第三次称量（仅针对情况2的剩余2瓶）称量剩余2瓶中的一瓶与正品比较：若轻则是次品，否则为另一瓶。总次数：3次；结论：最坏情况下需称3次，因此至少需要3次。 10．8颗珍珠中有一颗质量较轻，把较轻的珍珠找出来，可以把8颗珍珠分成( )份，这样至少称( )次就能保证找出次品来。 【答案】 3 2 【分析】用天平找次品时，每次都把物品分成3份，逐渐缩小次品的范围。 【详解】第1次，把8颗珍珠分成3份（3颗，3颗，2颗），先称3颗与3颗，如果天平平衡，次品在剩下的2颗里面；如果天平不平衡，次品在较轻的一边。 第2次，如果第1次天平平衡，称剩下的2颗，次品在轻的一边；如果第1次天平不平衡，把轻的一边的3颗分成3份（1颗，1颗，1颗），称任意2颗，如果天平平衡，次品是剩下的1颗；如果天平不平衡，次品在轻的一边。 综上，可以把8颗珍珠分成3份，这样至少称2次就能保证找出次品来。 题型二、最优分组与天平推理题型 标准解题法（精准分组、逻辑推理） 第一步：算均分，总数÷3，判断能否整除。 第二步：调数量，不能整除则三份两两相差1。 第三步：做判断，平衡找剩余，不平衡找高低端。 第四步：缩范围，锁定含次品小组，重复操作。 1．26个零件中有1个次品（较重），借助天平称量，要想尽快找出次品，第一次的分组方法正确的是（    ）。 A．（13，13） B．（8，8，10） C．（8，9，9） D．（10，10，6） 【答案】C 【分析】找次品时把零件平均分成3份，不能平均分成3份的也要把第三份比另外两个多或少1个，这样一次就能把次品范围缩小到最小。 【详解】26个零件中有1个次品（较重），借助天平称量，要想尽快找出次品，第一次的分组方法正确的是（8，9，9）。 2．有10瓶外观一样的钙片，其中一瓶少了几片，用无砝码的天平称，至少称( )次才能找出来。 【答案】3 【分析】已知次品比正品轻，把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数。 【详解】分析可知： 综上所述，至少称3次才能找出来。 3．有4个外观相同的零件，其中一个略轻。用一架没有珐码的天平称了两次找出了这个次品，表示称的过程与结果的选项是（    ）。 A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查利用天平找次品的方法。我们的思路是将4个零件合理分组，通过天平称重的结果，逐步缩小范围，找出略轻的那个零件。 【详解】1、第一次称重。 把4个外观相同的零件平均分成两份，每份2个。将这两份分别放在天平两端，此时天平会不平衡，向上翘起的那一端放的2个零件中就有略轻的那个。观察所给图片，图②符合第一次称重时天平不平衡的情况，即有一端向上翘起。 2、第二次称重。 把第一次称重时天平向上翘起那一端的2个零件，分别放在天平两端，此时天平同样会不平衡，向上翘起的那一端放的就是略轻的零件。图④符合第二次称重时天平不平衡，且一端向上翘起，从而找出略轻零件的情况。 即有4个外观相同的零件，其中一个略轻。用一架没有珐码的天平称了两次找出了这个次品，表示称的过程与结果的是②④。 故答案为：C 4．有27袋糖果，其中26袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。使用天平至少称( )次能保证找出这袋质量不足的糖果。 【答案】3 【分析】利用天平找次品的问题，把27袋糖果平均分成3组，每次称两组，若平衡，次品在第三组；若不平衡，次品在轻的组，最终通过天平平衡与否逐步缩小次品所在范围，直至确定次品。 【详解】第一次：把27袋分3组（9，9，9），称两组，若平衡，质量不足的在第三组；若不平衡，质量不足的在轻的组（将范围缩至9袋）；第二次：把含质量不足的9袋分3组（3，3，3），称两组，若平衡，质量不足的在第三组；若不平衡，质量不足的在轻的组（将范围缩至3袋）； 第三次：把含质量不足的3袋分3组（1，1，1），称两组，若平衡，质量不足的在第三组；若不平衡，质量不足的在轻的组（将范围缩至1袋），即能确定质量不足的糖果。 所以使用天平至少称3次能保证找出这袋质量不足的糖果。 5．有8瓶口香糖，其中有一瓶被丽丽偷吃了一些，给你一架天平，至少称( )次才能保证找出被偷吃的那一瓶。 【答案】2 【分析】找被偷吃的那瓶口香糖，可利用天平平衡原理，通过分组称量逐步缩小范围。把8瓶口香糖分组，通过比较不同组的重量，确定被偷吃的那瓶所在的组，再进一步称量，据此解答。 【详解】把8瓶口香糖分成3瓶、3瓶、2瓶三组。 第一次：把两份3瓶的分别放在天平两端。若天平平衡，则被偷吃的那瓶在未取的2瓶中，再称一次就能找出；若天平不平衡，被偷吃的那瓶在天平较轻的3瓶中。 第二次：若在3瓶中，任取2瓶，分别放在天平两端，若天平平衡，则未取的那瓶是被偷吃的；若不平衡，较轻的那瓶就是被偷吃的。所以至少称2次才能保证找出。 至少称2次才能保证找出被偷吃的那一瓶。 6．有8颗外观一样的铁珠，其中有7颗一样重，另外有1颗比其他7颗稍轻些，如果用一架天平称2次就能保证找出这颗稍轻的铁珠，最合适的方法是先把这些铁珠分成（    ），然后再称。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【详解】A．把8颗铁珠分成3份，即（3，3，2），第一次称，天平两边各放3颗，如果天平不平衡，次品就在较轻的3颗中；如果天平平衡，次品在剩下的2颗中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3颗铁珠分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1颗，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一颗；如果天平平衡，次品是剩下的那1颗。至少称2次能保证找出这颗较轻的铁珠。符合题意。 B．把8颗铁珠分成2份，即（4，4），第一次称，天平两边各放4颗，如果天平平衡，次品在较轻的4颗中；再把有次品的4颗铁珠分成3份，即（1，1，2），第二次称，天平两边各放1颗，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一颗；如果天平平衡，次品在剩下的2颗中；再把有次品的2颗铁珠分成2份，即（1，1），第三次称，天平两边各放1颗，此时天平不平衡，次品就是较轻的那一颗。至少称3次才能保证找出这颗较轻的铁珠。不符合题意。 C．把8颗铁珠分成3份，即分成（2，2，4），第一次称，天平两边各放2颗，如果天平不平衡，次品就在较轻的2颗中；如果天平平衡，次品在剩下的4颗中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的4颗铁珠分成3份，即（1，1，2），第二次称，天平两边各放1颗，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一颗；如果天平平衡，次品就在剩下的2颗中。再把有次品的2颗铁珠分成（1，1），第三次称，天平两边各放1颗，此时天平不平衡，次品就是较轻的那一颗。至少称3次才能保证找出这颗较轻的铁珠。不符合题意。 D．每次仅能比较1颗，需多次称量。不符合题意。 故答案为：A 7．一批零件有14个，其中有一个是次品（次品轻一些），现在想用天平找到这个次品，保证找出次品的称重次数最少时，最合理的分组是( )，至少称( )次保证能找出次品。 【答案】 5、5、4 3 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将14个零件分成（5、5、4），称（5、5），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在5个中；将5个分成（2、2、1），称（2、2），不平衡，次品在2个中；将2个分成（1、1），再称1次即可确定次品，共3次。 最合理的分组是（5、5、4），至少称3次保证能找出次品。 8．12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常。现在要用一架没有砝码的天平去称，至少要称（    ）次才能找出那个质量异常的羽毛球。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据题意，12个羽毛球特征相同，其中只有一个质量异常，但不知轻重，分组称重时，考虑天平平衡或不平衡时的各种情况，逐一讨论，得出至少称的次数。 【详解】第1次称量，将12个羽毛球平均分为三份①②③（每份4个），先把①和②放在天平的两边，如果天平平衡，则③里面有异常球；如果天平不平衡，则①和②中有异常羽毛球，③都是正常羽毛球；第2次称量，把①和②中的任意一份取下来，把③放上去，即可判断异常羽毛球在哪一份里，并且知道异常羽毛球的轻重；第3次称量，把有异常羽毛球的4个球平均分成两份（每份2个），把它们放在天平的两边，天平不平衡，根据轻重，判断出异常羽毛球在哪一份里；第4次称量，再把有异常羽毛球的2个球分成两份（每份1个），把它们放在天平的两边，天平不平衡，根据轻重，判断出异常羽毛球是哪一个。 所以至少要称4次才能找出那个质量异常的羽毛球。 故答案为：A 9．15瓶饮料，其中一瓶变质了（略重一些），用无砝码的天平称，至少称（    ）次一定能找出变质的那瓶饮料。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】把称重物品平均分成三组（5，5，5），先称其中的两组，如果天平平衡，那么变质的饮料在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么变质的饮料在天平下沉的一组里面，依次找出变质的饮料所在的组，直到最后找出变质的饮料，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【详解】分析可知： 综上所述，至少称3次一定能找出变质的那瓶饮料。 故答案为：A 10．有19枚硬币，其中一枚是假的（稍微重一些），借助没有砝码的天平，至少称（    ）次能保证找出假硬币。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用天平找假硬币的问题，把19枚硬币分成3组（6，6，7），首先称两组6枚硬币，若平衡，假硬币在第三组；若不平衡，假硬币在重的组，最终通过天平平衡与否逐步缩小假硬币所在范围，直至确定假硬币。 【详解】第一次：把19枚硬币分3组（6，6，7），称两组6枚硬币，若平衡，假硬币在第三组（将硬币缩小至7枚）；若不平衡，假硬币在重的组（将范围缩至6枚）；第二次：把含假硬币的7枚分3组（2，2，3），称两组2枚硬币，若平衡，假硬币在第三组（将硬币缩小至3枚）；若不平衡，假硬币在重的组（将范围缩至2枚）；或者是把含假硬币的6枚分3组（2，2，2），称两组，若平衡，假硬币在第三组；若不平衡，假硬币在重的组（将范围缩至2枚）； 第三次：把含假硬币的3枚分3组（1，1，1），称一次就可找出假硬币，称两组，若平衡，假硬币在第三组；若不平衡，假硬币在重的组（将范围缩至1枚）；或者是把含假硬币的2枚分2组（1，1），假硬币在重的组称一次就可找出（将范围缩至1枚）。 故答案为：B 题型三、综合方案书写与拔高应用题 四步标准解题步骤 第一步：定分组，写出第一次最优三分结果。 第二步：写称量，说明天平左右放置数量。 第三步：分情况，分别写出平衡、不平衡两种推理过程。 第四步：得结论，写出最少称量次数与完整方案。 1．王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 【答案】3次；流程图见详解 【分析】根据题意，把12瓶钙片分成3份（4瓶、4瓶、4瓶），取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则质量较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（4瓶）分成3份（1瓶、1瓶、2瓶），将1瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的一份就是次品；第三次，取含有较轻的一份（2瓶）分别放在天平两侧，即可找到较轻的；据此解答。 【详解】 答：如果用天平称，至少称3次能保证找出次品。 2．有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 【答案】3次；方法和过程见详解 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】把12袋奶粉分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4袋； 将4袋分成（1、1、2），称（1、1），不平衡，轻的是次品，平衡，次品在2袋中； 将2袋分成（1、1），再称1次，轻的是次品，共3次。 答：至少秤3次才能保证找出这袋次品。 3．有7个外形一模一样的零件，其中有一个零件略轻一些，看作次品。如果用天平称，至少称（    ）次能保证找出这个次品。请你用画图和文字简洁清楚地表示出称的过程。 【答案】2；见详解 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1，据此解答。 【详解】把7个零件分成2个、2个、3个，共3份； 第一次称量： 把每份2个零件的两份分别放在天平两端，如果平衡，次品就在3个中；如果不平衡，较轻的两个零件中有一个是次品； 第二次称量： 如果次品在3个中，把天平两端各放一个，如果平衡，次品就是剩下的一个；如果不平衡，较轻的那个零件就是次品； 如果次品在2个中，天平两端各放一个，再称一次，较轻的那个零件就是次品。 因此如果用天平称，至少称2次能保证找出这个次品。 4．有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 【答案】3次 【分析】本题考查了利用天平判断物体质量的技能，解决这类问题的关键是每次称重后都要有效地缩小搜索范围。在首次称重时，尽量将物体分为数量相近的三组，这样可以最大化每次称重的信息量。每次称重后，根据结果排除一部分正常或不可能的选项，缩小搜索范围。最终找到质量不同的那一盒。 【详解】一、首次称重： 将16盒糖果分为三组，分别为5盒、5盒和6盒。选择两组各5盒的糖果进行称重。 情况A：如果两边平衡，说明这10盒糖果都是正常的，少一块的糖果一定在未被称重的那组6盒里。 情况B：如果两边不平衡，则说明少一块的糖果一定在较轻的那组5盒里。 二、对于情况A的后续称重： 第二次称重：将这6盒糖果分为三组，每组2盒，任选两组进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果在未被称重的2盒中。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 第三次称重：从疑似的2盒糖果中任选一盒与正常的一盒糖果进行称重。 如果平衡，则未称重的那盒是少一块的。 如果不平衡，则较轻的那盒是少一块的。 三、对于情况B的后续称重： 第二次称重：将这5盒糖果分为三组，分别为2盒、2盒和1盒。选择两组各2盒的进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果是单独的那1盒。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 如果在第二次称重后确定少一块的糖果在2盒中，则第三次称重与情况A中的第三次称重相同，即任选一盒与正常的一盒糖果进行称重，以确定哪一盒是少一块的。 综上所述，至少需要三次才能找出来。 答：至少称3次就能够保证找出这盒糖果。 5．有25盒果脯，其中一盒多了2个，因此稍重了一些。现在只有一架没有砝码的天平。 （1）称1次 把这盒稍重的果脯找出来。（填“有可能”或“不可能”） （2）如果称2次， 保证把这盒稍重的果脯找出来。（填“能”或“不能”） （3）至少称几次可以保证把这盒稍重的果脯找出来？请简单写出称的过程。 【答案】（1）有可能 （2）不能 （3）3次；见解析 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。 【详解】（1）称1次有可能把这盒稍重的果脯找出来。将25盒果脯分成3份：12，12，1，第一次称重，在天平两边各放12盒，手里留1盒，正好天平平衡。 （2）如果称2次，不能保证把这盒稍重的果脯找出来。 （3）将25盒果脯分成3份：8，8，9；第一次称重，在天平两边各放8盒，手里留9盒； ①如果天平平衡，则次品在手里，将手里的9盒分为3，3，3，在天平两边各放3盒，手里留3盒。 a.如果天平平衡，则次品在手里3盒中，将手里的3盒分为1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，就可以鉴别出次品； b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中。 接下来，将这3盒分成三份：1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品； ②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的8盒中，将这8盒分为3，3，2，在天平两边各放3盒，手里留2盒。 a.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中， 接下来，将这3盒分成三份：1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品； b.如果天平平衡，则次品在手中的2盒中。 接下来，将这2盒在天平两边各放1盒，称重第三次就可以鉴别出次品。 答：至少称3次可以保证把这盒稍重的果脯找出来。 6．平遥牛肉是平遥县的特色名菜，中华老字号“冠云”牌平遥牛肉驰名中外。分管质检的张叔叔，发现在8袋外观相同的牛肉中有1袋质量较轻的次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？用你喜欢的方式记录找次品的过程。 【答案】两次 【分析】第一次：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），天平两端各放3份，如果平衡，次品就在剩下的2袋中，再把剩下的2袋放在天平上，一边1袋，如果不平衡，则再轻的一边，把轻的一边的3份再平均分成3份（1，1，1），天平两边各放1份，如果平衡，次品在比较轻的一端，如果不平衡，剩下的1个是次品，所以至少秤2次能保证找出次品。 【详解】结合分析可知：把8袋牛肉分成三份（3，3，2），称一次，无论次品是在3袋中还是在2袋中，只要再称一次即可找到次品。 答：至少称两次能找出次品。 7．六一儿童节到了，李老师给幼儿园的小朋友买了28盒饼干，其余27盒质量相同，有1盒少了几块，假如用天平称，至少称几次能保证找到这盒饼干？请写出称的过程。 【答案】 4次，见详解 【分析】根据找次品的办法，一般把饼干平均分，不平均可以让第三份少一些，然后进行称量，由此进行解答即可。 【详解】称第一次：把28盒分成两组，每组14盒，天平每边各放一组，少几块的那盒会在轻的一边； 称第二次：把有少几块盒的那组14盒分成两组，分别是7盒，7盒，少几块的盒在轻的那一边； 称第三次：把有少几块盒的那组7盒分成三组，分别是2盒，2盒，3盒，天平每边放2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边； 称第四次：若少几块的那一盒在2盒中，把这2盒分成两组，天平每边各放1盒，少几块的那盒在轻的一边；若少几块的那一盒在3盒中，把这3盒平均分成3组，先称2盒，平衡则少几块的盒就是未称的一盒；不平衡则是少几块的盒在轻的那一边。 答：至少称4次可以保证找出这盒饼干。 8．一盒乒乓球10个，其中1个稍重一些，请你用你喜欢的方法，最快几次找出那个球？（注意过程） 【答案】三次 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差l。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【详解】把10个乒乓球分成3份，即（3，3，4），第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较重的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的4个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的4个乒乓球分成2份， 第二次称，天平两边各放2个，如果天平不平衡，次品就是较重的那2个；再把有次品的2个乒乓球分成2份， 第三次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较重的那1个。 答：最快三次找出那个球。 9．小丽买来3盒巧克力，其中的一盒为次品（可能比其他两盒轻一些，也可能比其他两盒重一些），小丽说：“我用天平称，至少称一次就能保证找出这盒次品”。小丽说得对不对？ 【答案】不对 【分析】如图示，第一种情况，看图1，天平称红色和绿色的巧克力，天平是平衡的，可以确定没有次品。第二种情况，看图2，红色和绿色一起称，天平向红色这边倾斜，仍然不知道哪个才是次品，第三种情况，看图3，蓝色和绿色一起称，天平向蓝色这边倾斜，结合前面2种情况，绿色比红色和蓝色都要轻，据此判断，绿色巧克力是次品。 图1                     图2                      图3 【详解】根据题意，小丽说的至少称一次就能保证找出这盒次品，因为不确定哪个是次品至少要称2次，才能找到次品，所以小丽说的不对。 答：小丽说的不对。 10．请先仔细阅读下面的文字，再利用获得的数学信息解决问题。 造纸术是中国四大发明之一，纸是中国古代劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶。造纸术的出现，有利于文化的传播。宣纸制作工艺复杂、操作难度也很大，需要经过取材、蒸煮、入帘、烘干等100多道手工工序。在安徽省宣城市泾县的宣纸生产车间，目前有414名工人在一线生产。制作超大巨型宣纸时，需要54名工匠共同完成。由于宣纸生产难度大，习艺周期长，特别辛劳的工种年轻人多不愿学，已经是后继乏人。此外，由于经济效益的诱惑，多种现代化机械和化工产品正在不断取代传统的加工器具和用料，使最具特色的宣纸传统工艺难以为继。 (1)制作超大巨型宣纸的工匠人数占车间工人总数的几分之几？ (2)在“入帘”环节是将竹浆倒入纸槽。该纸槽是一个长方体（无盖），长12分米，宽10分米，高5分米。这个纸槽的表面积是多少平方分米？（纸槽厚度忽略不计） (3)宣纸质地柔韧，经久耐用，被称为“千年寿纸”。黄师傅将一张宣纸裁成图一的形状。加工后准备加上木条制作成长方体灯罩（图二）制作一个这样的灯罩，至少需要木条多少厘米？ (4)有23包宣纸样品，其中有一包较轻，用天平称，至少称( )次能保证找到这包次品，第一次称的时候可以这样分：( )。 【答案】(1) (2)340平方分米 (3)280厘米 (4) 3 8，8，7（答案不唯一） 【分析】（1）由题可知，制作超大巨型宣纸的工匠人数是54人，车间工人总数是414人。求制作超大巨型宣纸的工匠人数占车间工人总数的几分之几，用制作超大巨型宣纸的工匠人数除以车间工人总数，得数要约成最简分数。 （2）这个无盖的纸槽的表面积等于下面、前面、后面、左面和右面5个面的面积之和。根据长方体的特征，相对的两个面的面积相等。 （3）木条的长度等于这个长方体灯罩的棱长总和，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。由图可知，这个长方体的长是36厘米，宽是22厘米，高是12厘米。 （4）用天平找次品时，将所测物品分成3份，且每份的数量尽可能相等，这样需要称的次数最少。 所测物品数目与保证能找出次品至少需要称的次数的关系如下（只含1个次品，已知次品比正品重或轻）： 要辨别的物品数目在~之间，保证能找出次品至少需要称n次。 【详解】（1）54÷414＝＝ 答：制作超大巨型宣纸的工匠人数占车间工人总数的。 （2）12×10＋12×5×2＋10×5×2 ＝120＋120＋100 ＝340（平方分米） 答：这个纸槽的表面积是340平方分米。 （3）（36＋22＋12）×4 ＝70×4 ＝280（厘米） 答：制作一个这样的灯罩，至少需要木条280厘米。 （4） ＝9＋1 ＝10 ＝27 23在10~27之间，所以至少称3次能保证找到这包次品。 23÷3＝7（包）……2（包） 7＋1＝8（包） 第一次称的时候可以这样分：8包、8包、7包。（答案不唯一） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $