专题07：数学广角——找次品（解决问题讲义）数学人教版五年级下册

人教版五年级数学下册解决问题 专题07：数学广角——找次品 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 解题思路与技巧方法 1.找次品核心思想：把物品平均分成3份，利用天平称一次，就能把次品范围缩小到原来的，这是最快、最少次数的方法。 2.万能解题步骤（所有找次品通用） （1）分 3 份：尽量平均分，不能平均分的，最多与最少相差 1。 （2）称其中数量相等的两份： ①平衡→次品在剩下那一份里； ②不平衡→次品在轻/重的那一份里。 （3）重复操作：把有次品的那一份继续分3份、称、缩小范围，直到找到次品。 3.判断“至少称几次保证找到次品” 2～3个物品→至少称1次 4～9个物品→至少称2次 10～27个物品→至少称3次 28～81个物品→至少称4次 82～243个物品→至少称5次 【规律】每多称1次，最多能辨别的数量×3，称n次最多可从3n个物品中找到次品。 【易错点】 （1）不能分成2份或4份，那样次数一定更多。 （2）不能平均分：必须最多与最少只相差1。 （3）“保证找到”：要按最不利情况算次数，不能靠运气。 （4）看清题目：次品是偏轻还是偏重。 考点1：求至少称几次 【典型例题】王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 【练习1】有5袋食盐，其中4袋每袋500克，另有1袋不是500克，但不知道比500克轻还是重。假如用天平称，至少称几次能保证找出质量不是500克的那一袋？用文字或图表示找的过程。 【练习2】有一台与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能测量出三个托盘中所放物品最轻的一个托盘，现有63个外观相同的乒乓球，其中一个为次品（较轻），则用该天平最少称几次就保证能找出这个乒乓球？写出称法。 考点2：找出次品 【典型例题】王有6袋咖啡，编号是①~⑥，其中4袋一样重，是合格产品，另外2袋都比标准质量轻10g，是不合格产品。用天平称了三次，结果如下：①＋②比③＋④重，⑤＋⑥和③＋④一样重，⑤＋③比⑥＋④重。这两袋不合格的产品分别是几号？ 【练习1】有一盒乒乓球，其中有一个较重的是次品，用天平秤，保证称2次就能找出这个较重的乒乓球。这盒乒乓球可能有多少个？ 【练习2】一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称5次就一定能找出这个较重的玻璃球；这堆玻璃球最多有几个？ 夯实基础 1．有10块巧克力，其中有一块稍重一些。把这10块巧克力分成3份用天平称，要保证用较少的次数找到稍重的那块。不可以选的分法是（     ）。 A．4、4、2 B．3、3、4 C．5、3、2 2．有10个乒乓球，其中有一个是次品，比正品略轻。用一架天平去称，至少称（     ）次，一定能找到次品球。 A．2 B．3 C．4 3．有5个零件，分别是A、B、D、E、F，其中有一个是次品，质量稍重，根据下图可以推断出（     ）。 A．A一定是次品 B．B一定是次品 C．D、E和F一定都是正品 4．下面几堆玻璃球中各有一个是次品（重一些），若用天平称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球可能有（     ）个。 A．8 B．15 C．28 5．8个乒乓球里面有一个是次品（次品轻一些），根据下图找次品的过程，可以推断出（     ）。 A．次品在⑦⑧里面 B．①②里面有次品 C．⑥是次品 6．有8瓶钙片，其中1瓶少了3片，是次品，明明说“我用天平称2次，就一定能找出次品。”他用的方法是（     ）。 A．分成2份（4，4） B．分成4份（2，2，2，2） C．分成3份（3，3，2） 7．亮亮和红红用天平称物品的方法，分别从10个和27个同一型号的零件中找出一个质量稍轻的次品，保证找到这个次品的次数，下面说法正确的是（     ）。 A．亮亮用的次数一定比红红用的次数多 B．亮亮用的次数一定比红红用的次数少 C．亮亮用的次数不一定比红红用的次数少 8．有28个完全一样的瓶子中装了相同量的水，再往其中1瓶水中放入了一些盐，丫丫要找到这瓶盐水，如果用天平称，她至少称（ ）次就一定能找出这瓶盐水。 9．有9个零件，其中有1个略重一些。红红把这9个零件编上序号，3个一份，分成3份，再用天平称一称，如图所示，由此可以推断出略重的在（ ）堆里。（“甲”、“乙”或“丙”） 10．有15瓶水，有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。如果用天平称，至少称（ ）次就一定能找出这瓶盐水。 11．有9个外观完全一样的乒乓球，其中有一个是次品（稍重一些），如果用天平秤，至少称（ ）次能保证找出这个不合格的乒乓球。 12．围棋是我国发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动。某棋社有6盒围棋，其中1盒少了几枚棋子。下面是笑笑找这盒围棋的过程，请帮她补充完整：在括号里填数字。 一共称（     ）次，可以保证找到这盒围棋。 13．有5袋白糖，其中4袋每袋500g，另有1袋不是500g，但不知道比500g轻还是重。假如使用天平称，至少称（ ）次能保证找出不是500g的那一袋。 14．一批零件有14个，其中有一个是次品（次品轻一些），现在想用天平找到这个次品，保证找出次品的称重次数最少时，最合理的分组是（ ），至少称（ ）次保证能找出次品。 15．有5个零件，其中1个是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。 （圈出正确答案） 至少要称（     ）次。 16．有8袋积木，其中有一袋少装了一块，是次品。假如用天平称（不用砝码），下面是第一次称的情况，请分析并填空。 （1）如果不平衡，次品在（ ）中；如果平衡，次品在（ ）中。 （2）要找到次品，最少要称（ ）次。 17．五年级同学举行“六一”活动，王晶同学带来了13袋糖果，其中有一袋中少装了2粒，用天平秤至少称（ ）次才能把这袋糖果找出来。 18．有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有（ ）个。 培优拔高 19．6包瓜子中有5包质量相同，另有1包是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。（圈出括号里的正确答案）。 20．猫妈妈的肉食店进了13罐质量相同的牛肉干，馋嘴的小猫偷吃了某一罐中的5块。 将13罐牛肉干分成（     ）份，用（   ，   ，   ）表示。 （1）至少称几次可以保证找出来？ （2）如果天平两端各放1罐，称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐吗？ 21．猴妈妈的水果店进了11筐相同质量的桃子，馋嘴的小猴偷吃了某一筐中的3个桃子。怎样找出这筐桃子呢？ （1）给11筐桃子依次编号①，②，…，，填一填。 （2）至少称几次可以保证找出来？ （3）如果天平两边各放5筐，称一次有可能找出来吗？ 22．有9盒月饼，其中8盒的质量相同，另外1盒轻一些，为次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？ （1）把下表补充完整，并回答下列问题。 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 4 2，2，2，3 3 4，4，1 3 3，3，3 （2）我发现：找次品的最佳策略是把待测物品分成（     ）份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差（     ），这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）若干盒月饼，其中有1盒较轻的是次品。用天平称，如果至少称3次能保证找出这盒较轻的月饼，那么这些月饼可能有几盒？ 23．汪阿姨买了9袋薯片，其中8袋质量相同，另外1袋质量不足为次品。怎样用天平找出这袋质量不足的薯片？ （1）把下表补充完整。 袋数 分成的份数 保证能找出次品至少需要称的次数 9 3（4，4，1） 9 3（3，3，3） 9 4（2，2，2，3） （2）表中哪种方法需要称的次数最少？ （3）如果10袋薯片中有1袋是次品（次品轻一些），至少称几次才能保证找出次品？是怎么称的？ （4）我发现：用天平找次品（只含1个次品，已知次品比正品重或轻），如果待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成（     ）份，能平均分的要（     ），不能平均分的要使最多的那一份与最少的那一份相差（     ），这样可以保证找出次品时称的次数最少。 （5）用你发现的方法找出11袋、12袋薯片中的1袋次品（次品轻一些），看看至少称几次才能保证找出次品。 思维拓展 24．一架天平只有5g和30g两个砝码，要把300g白砂糖平均分成3份，至少要称几次？请写出称量方案。 25．外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版五年级数学下册解决问题 专题07：数学广角——找次品 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 解题思路与技巧方法 1.找次品核心思想：把物品平均分成3份，利用天平称一次，就能把次品范围缩小到原来的，这是最快、最少次数的方法。 2.万能解题步骤（所有找次品通用） （1）分 3 份：尽量平均分，不能平均分的，最多与最少相差 1。 （2）称其中数量相等的两份： ①平衡→次品在剩下那一份里； ②不平衡→次品在轻/重的那一份里。 （3）重复操作：把有次品的那一份继续分3份、称、缩小范围，直到找到次品。 3.判断“至少称几次保证找到次品” 2～3个物品→至少称1次 4～9个物品→至少称2次 10～27个物品→至少称3次 28～81个物品→至少称4次 82～243个物品→至少称5次 【规律】每多称1次，最多能辨别的数量×3，称n次最多可从3n个物品中找到次品。 【易错点】 （1）不能分成2份或4份，那样次数一定更多。 （2）不能平均分：必须最多与最少只相差1。 （3）“保证找到”：要按最不利情况算次数，不能靠运气。 （4）看清题目：次品是偏轻还是偏重。 考点1：求至少称几次 【典型例题】王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 【答案】3次；流程图见详解 【分析】根据题意，把12瓶钙片分成3份（4瓶、4瓶、4瓶），取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则质量较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（4瓶）分成3份（1瓶、1瓶、2瓶），将1瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的一份就是次品；第三次，取含有较轻的一份（2瓶）分别放在天平两侧，即可找到较轻的；据此解答。 【详解】 答：如果用天平称，至少称3次能保证找出次品。 【练习1】有5袋食盐，其中4袋每袋500克，另有1袋不是500克，但不知道比500克轻还是重。假如用天平称，至少称几次能保证找出质量不是500克的那一袋？用文字或图表示找的过程。 【答案】3次；过程见解答 【分析】根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。因为不知道次品偏轻还是偏重，所以要先用天平称一次，确定哪个物品不是次品，用这个物品和可能是次品的物品进行比较，进而找出次品。 【详解】把5袋食盐依次标号为①、②、③、④、⑤。用天平称，第一次称，左边放①、②，右边放③、④，天平外是⑤。如果平衡，那么⑤就是次品；如果不平衡，那么次品在①—④中，⑤不是次品。 第二次称，在①—④中任取2袋，例如取①和③，分别放在天平两边称。如果不平衡，那么次品在这2袋中，然后天平一边仍然放①，另一边换成⑤，由于⑤不是次品，所以这时如果天平平衡，那么①不是次品，③是次品；如果天平不平衡，那么①就是次品。 如果天平上①与③平衡，那么次品是②或④，第三次称，此时称一下②和⑤，如果天平平衡，那么④是次品；如果天平不平衡，那么②是次品。 至少称3次能保证找出质量不是500克的那一袋。 【练习2】有一台与众不同的天平，它有三个托盘，每个托盘内都可以放物品，并且能测量出三个托盘中所放物品最轻的一个托盘，现有63个外观相同的乒乓球，其中一个为次品（较轻），则用该天平最少称几次就保证能找出这个乒乓球？写出称法。 【答案】3次；称法见详解 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 因为这台与众不同的天平有三个托盘，因此按照找次品的最优策略，将待分物品分成4份即可。 【详解】将63个乒乓球分成（16、16、16、15），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，称（16、16、16），不平衡，次品在轻的16个中；将16个分成（4、4、4、4），称（4、4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4个；将4个分成（1、1、1、1），称（1、1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，共3次。 答：用该天平最少称3次就保证能找出这个乒乓球。 考点2：找出次品 【典型例题】王有6袋咖啡，编号是①~⑥，其中4袋一样重，是合格产品，另外2袋都比标准质量轻10g，是不合格产品。用天平称了三次，结果如下：①＋②比③＋④重，⑤＋⑥和③＋④一样重，⑤＋③比⑥＋④重。这两袋不合格的产品分别是几号？ 【答案】这两袋不合格的产品分别是④⑥。 【分析】因为不合格产品轻10克，已知①＋②比③＋④重，说明③和④中有不合格产品，⑤＋⑥与③＋④一样重，说明⑤和⑥中有不合格产品，又因为⑤＋③比⑥＋④重，所以④和⑥是不合格产品。 【详解】由分析可得： 这两袋不合格的产品分别是④号和⑥号。 【练习1】有一盒乒乓球，其中有一个较重的是次品，用天平秤，保证称2次就能找出这个较重的乒乓球。这盒乒乓球可能有多少个？ 【答案】9个（答案不唯一） 【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。据此解答即可。 【详解】根据天平平衡原理， （1）如果有3个球，最少需要1次能够找出次品：把3分成1、1、1，在天平两边各放1个，平衡，剩下的是次品，不平衡，下降的一方是次品；如果此时再多出1个球则最少需要2次才能找出次品； （2）若有3×3＝9个球，则最少需要2次找出次品：把9分成3、3、3，在天平两边各放一份，平衡，剩下的一份中有次品；不平衡，次品在下降的一边，再按照上面（1）的方法进行二次测量即可；如果此时再多出1个球则最少需要3次才能找出次品。 综上，保证称2次就能找出这个较重的乒乓球，乒乓球的个数可能是4~9之间的任意一个数，所以这盒乒乓球可能有9个。 答：这盒乒乓球可能有9个。（答案不唯一） 【练习2】一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称5次就一定能找出这个较重的玻璃球；这堆玻璃球最多有几个？ 【答案】243个 【分析】根据天平有三种可能得结果：左边重、右边重或平衡，每次称重的时候都可以尽可能地将玻璃球分成三份。第一次称重，最多可以区分3个不同的结果。第二次称重，在前一次的每个结果的基础上，又可以区分3个结果，所以总共可以区分（3×3）个玻璃球，依此类推，5次称重最多可以区分（3×3×3×3×3）个玻璃球，4次称重最多可以区分（3×3×3×3）个玻璃球。因为5次称重可以保证找出次品，所以玻璃球的总数一定要大于4次称重可以区分的数量，但小于等于5次称重可以区分的数量。 【详解】3×3×3×3＋1 ＝81＋1 ＝82（个） 3×3×3×3×3＝243（个） 答：这堆玻璃球最多有243个。 夯实基础 1．有10块巧克力，其中有一块稍重一些。把这10块巧克力分成3份用天平称，要保证用较少的次数找到稍重的那块。不可以选的分法是（     ）。 A．4、4、2 B．3、3、4 C．5、3、2 【答案】C 【分析】用天平找次品时，为保证称最少次数找到次品，应将物品尽量分成三等份，若不能平均分，多的一份与少的一份最多相差，这样能最快缩小范围，保证找出次品，且称的次数最少。 【详解】A．把10块巧克力分成4、4、2三份，其中两份的数量相同；第一次称，天平两边各放4块，如果天平不平衡，次品就在较重的4块中；如果天平平衡，次品在剩下的2块中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4块巧克力分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1块，如果天平不平衡，次品就是较重的那一块；如果天平平衡，次品在剩下的2块中；最后把有次品的2块巧克力分成（1，1），第三次称，天平两边各放1块，次品就是较重的那一块。所以至少称3次保证就一定能找出次品。这种分法可以选。 B．把10块巧克力分成3、3、4三份，其中两份的数量相同；第一次称，天平两边各放3块，如果天平不平衡，次品就在较重的3块中，把3块巧克力平均分成3份进行，再进行称量即可；如果天平平衡，次品在剩下的4块中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4块巧克力分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1块，如果天平不平衡，次品就是较重的那一块；如果天平平衡，次品在剩下的2块中；最后把有次品的2块巧克力分成（1，1），第三次称，天平两边各放1块，次品就是较重的那一块。所以至少称3次保证就一定能找出次品。这种分法可以选。 C．把10块巧克力分成5、3、2三份，三份的数量均不相同，不符合“尽量三等份”的原则，这种分法不可选。 故答案为：C 2．有10个乒乓球，其中有一个是次品，比正品略轻。用一架天平去称，至少称（     ）次，一定能找到次品球。 A．2 B．3 C．4 【答案】B 【分析】找次品时把物品数量尽可能平均分成三组，先称其中的两组，分天平平衡和不平衡两种情况，依次称重找出次品所在的组，称到只剩下2个物品时即可找出次品，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【详解】把10个乒乓球分成（3，3，4）三组，第一次先称（3，3）这两组。 ①如果天平平衡，则次品在剩余的一组中；再把剩余的4个乒乓球分成（1，1，2）三组，第二次称（1，1）两组，如果天平不平衡，次品在天平翘起的一端；如果天平平衡，则次品在剩余的2个乒乓球中，最后把2个乒乓球分成（1，1）两组，第三次称（1，1）两组，天平翘起一端为次品。 ②如果天平不平衡，则次品在天平翘起的一端中；再把翘起的这一端的3个乒乓球分成（1，1，1）三组，第二次随意选择（1，1）两组称，如果天平平衡，则次品在没有称的一组；如果天平不平衡，则次品在天平翘起的一端。 因此有10个乒乓球，其中有一个是次品，比正品略轻。用一架天平去称，至少称3次，一定能找到次品球。 故答案为：B 3．有5个零件，分别是A、B、D、E、F，其中有一个是次品，质量稍重，根据下图可以推断出（     ）。 A．A一定是次品 B．B一定是次品 C．D、E和F一定都是正品 【答案】C 【分析】用天平称重时，如果天平平衡，则天平两端的质量相等；如果天平不平衡，则天平两端的质量不相等；轻的一端上翘，重的一端下沉，据此解答。 【详解】图中，天平左端放有AB两个零件，右端放有DE两个零件，天平不平衡，左端下沉，说明AB的质量比DE重，则次品在左端，由此可以判断D、E和F一定都是正品。 故答案为：C 4．下面几堆玻璃球中各有一个是次品（重一些），若用天平称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球可能有（     ）个。 A．8 B．15 C．28 【答案】B 【分析】找次品的方法：把待称的物品分成三份，能够平均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一分只相差1，据此逐项解答。 【详解】A．把8个球分成3、3、2三组，把两个3个一组的放在天平上称，如平衡，则次品在2个的一组中，把这2个球分成1、1，放在天平上称，下沉的是次品，需称2次。如不平衡，刚把下沉的一组3个球分成1、1、1，任意两个放在天平上称，如平衡，没称的是次品，如不平衡，下沉的是资料品，需称2次。不符合题意。 B．把15平均分成5、5、5三组，任意称两个5，如果平衡，就从剩下的5个中找，如果不平衡，次品就在下沉的那组5中，就再把5分成2、2、1，称两个2，如果平衡，次品就在1中，如果不平衡，再就在下沉的2中，分1、1，可找出次品。即至少称3次。符合题意。 C．将28个球分成（9、9、10），称（9、9），只考虑最不利的情况，平衡，次品在10个中；将10个分成（3、3、4），称（3、3），平衡，次品在4个中；将4个分成（1、1、2），称（1、1），平衡，次品在2个中；再称一次即可确定次品，共4次。不符合题意。 故答案为：B 5．8个乒乓球里面有一个是次品（次品轻一些），根据下图找次品的过程，可以推断出（     ）。 A．次品在⑦⑧里面 B．①②里面有次品 C．⑥是次品 【答案】A 【分析】观察可知，①②③和④⑤⑥一样重，由题意可知，次品轻一些，可知次品在⑦⑧里面。据此解答。 【详解】据分析可知，8个乒乓球里面有一个是次品（次品轻一些），根据下图找次品的过程，可以推断出次品在⑦⑧里面。 故答案为：A 6．有8瓶钙片，其中1瓶少了3片，是次品，明明说“我用天平称2次，就一定能找出次品。”他用的方法是（     ）。 A．分成2份（4，4） B．分成4份（2，2，2，2） C．分成3份（3，3，2） 【答案】C 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【详解】A．分成2份（4，4），用天平称3次，才能找出次品，不符合题意； B．分成4份（2，2，2，2），用天平称3次，才能找出次品，不符合题意； C．把8瓶钙片分成3份，即（3，3，2），第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，次品就在较重的3瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的2瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3瓶钙片分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较重的那一瓶；如果天平平衡，次品是剩下的那一瓶。 所以分成3份（3，3，2），用天平称2次，就一定能找出次品，符合题意。 故答案为：C 7．亮亮和红红用天平称物品的方法，分别从10个和27个同一型号的零件中找出一个质量稍轻的次品，保证找到这个次品的次数，下面说法正确的是（     ）。 A．亮亮用的次数一定比红红用的次数多 B．亮亮用的次数一定比红红用的次数少 C．亮亮用的次数不一定比红红用的次数少 【答案】C 【分析】找次品时，把物品尽量平均分成3份来称，这样能最快能找到次品，把10个零件分成3份，分别是3个、3个、4个，第一次称：把两份3个的放在天平两端，如果天平平衡，说明次品在4个那份里，如果天平不平衡，次品就在轻的那3个里；假设次品在轻的那3个里，第二次称：从3个中拿2个放在天平两端，若天平平衡，没称的那个是次品，若天平不平衡，轻的那个就是次品；假设次品在4个里，第二次称：把4个分成2份，每份2个，放在天平两端，次品在轻的那2个里，第三次称：把轻的那2个分别放在天平两端，轻的就是次品，所以，从10个零件里找次品，保证找到的至少要称3次。 把27个零件平均分成3份，每份是9个，第一次称：任取两份放在天平两端，若天平平衡，次品在没称的9个里，若天平不平衡，次品在轻的那9个里，第二次称：把有次品的9个平分成3份，每份3个，任取两份称，若天平平衡，次品在没称的那3个里，若天平不平衡，次品在轻的那3个里，第三次称：从有次品的3个中拿2个称，若天平平衡，没称的那个是次品，若天平不平衡，轻的那个是次品。所以，从27个零件里找次品，保证找到至少要称3次。 【详解】A．虽然27个零件数量比10个多，但都至少称3次能保证找到次品，而且称的方法不同，用的次数也不同，所以亮亮用的次数不一定比红红多，选项说法错误。 B．同理，亮亮用的次数不一定比红红少，选项说法错误。 C．由于称的方法有多种，亮亮用的次数不一定比红红少，选项说法正确。 故答案为：C 8．有28个完全一样的瓶子中装了相同量的水，再往其中1瓶水中放入了一些盐，丫丫要找到这瓶盐水，如果用天平称，她至少称（ ）次就一定能找出这瓶盐水。 【答案】4 【分析】将瓶子尽量平均分成三组，通过天平平衡与否缩小盐水所在范围，最终确定盐水。 【详解】第一次分组称量：将28个瓶子分成9个、9个、10个三组，先把两个9个分别放在天平两端。情况A：天平不平衡，盐水在较重的那9个当中；情况 B：天平平衡，盐水在剩下的10个当中。 第二次分组称量：若锁定在9个中，将9个平均分成三组，每组3个，任取两组称量，可锁定盐水所在的3个；若锁定在10个中，将10个分成3个、3个、4个三组，先称量两个3个，可锁定盐水在3个或4个中。 第三次分组称量：若锁定在3个中，将3个平均分成三组，每组1个，任取两组称量，可确定盐水；若锁定在4个中，将4个分成1个、1个、2个三组，先称量两个1个，可确定盐水或锁定在2个中。 第四次称量：若锁定盐水在2个中，则需再称一次即可找出。 综上，至少称4次就一定能找出这瓶盐水。 9．有9个零件，其中有1个略重一些。红红把这9个零件编上序号，3个一份，分成3份，再用天平称一称，如图所示，由此可以推断出略重的在（ ）堆里。（“甲”、“乙”或“丙”） 【答案】甲 【分析】天平左边放甲堆（1、2、3），右边放乙堆（4、5、6），哪边下沉，哪边就有略重的零件；如果天平平衡，略重的就在没称的丙堆里。 【详解】从图中可以看出，甲堆更重，说明略重的一定在甲堆里。 10．有15瓶水，有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。如果用天平称，至少称（ ）次就一定能找出这瓶盐水。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【详解】有15瓶水，其中有1瓶略重。 第一次称重：先分成（5，5，5），天平两边各放5瓶，①若天平平衡，则次品就在剩下的5瓶中；②若天平不平衡，次品就在较重的那5瓶中； 第二次称重：把5瓶分成（2，2，1），天平两边各放2瓶，①若天平平衡，则次品就是剩下的那1瓶；②若天平不平衡，次品就在较重的那2瓶中； 第三次称重：把2瓶分成（1，1），天平两边各放1瓶，次品就是较重的那1瓶。 有15瓶水，有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。如果用天平称，至少称3次就一定能找出这瓶盐水。 11．有9个外观完全一样的乒乓球，其中有一个是次品（稍重一些），如果用天平秤，至少称（ ）次能保证找出这个不合格的乒乓球。 【答案】2 【分析】把9个乒乓球分成3组，每组3个，先称其中两组，通过天平平衡情况确定次品在某一组的3个里，再从这3个中选2个称重，就能通过天平平衡情况找出稍重的次品，这样至少称2次就能保证找到次品。 【详解】把9个乒乓球分成3组，每组3个。 第一次称两组，确定次品在某一组的3个里； 第二次从这3个里称2个，就能找出次品。 至少称2次能保证找出这个不合格的乒乓球。 12．围棋是我国发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动。某棋社有6盒围棋，其中1盒少了几枚棋子。下面是笑笑找这盒围棋的过程，请帮她补充完整：在括号里填数字。 一共称（     ）次，可以保证找到这盒围棋。 【答案】3；2；2 【分析】第一次，先把6个围棋分成两组进行称重：（1，2，3）个（4，5，6）；根据图片可知，右边下沉，说明次品在左边的（1，2，3）中； 第二次，从（1，2，3）中取出（1，2）进行称重，如果平衡，则说明3是次品；如果不平衡，左边下沉，则说明2号上次品，由此可知，需要称2次，就能找出次品，据此解答。 【详解】根据分析可知，围棋是我国发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动。某棋社有6盒围棋，其中1盒少了几枚棋子。下面是笑笑找这盒围棋的过程，请帮她补充完整：在括号里填数字。 一共称2次，可以保证找到这盒围棋。 13．有5袋白糖，其中4袋每袋500g，另有1袋不是500g，但不知道比500g轻还是重。假如使用天平称，至少称（ ）次能保证找出不是500g的那一袋。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【详解】（1）等一次称量：先把其中4袋拿出分作2份，放在天平左右两边进行称量，如果左右相等，那么说明剩下的那一袋是次品；如果左右不等，那么说明次品就在其中一边； （2）第二次称量：把左边的两袋分别放在天平的左右两边称量：如果相等，那么次品在右边一组的两袋中，如果不等，那么说明这两袋中有一袋是次品； （3）把确定有次品的2袋，分别与其它三袋中的任意一袋继续称量，相等的是500克，不等的就是次品。 假如使用天平，至少称3次能保证找出不是500g的那一袋。 14．一批零件有14个，其中有一个是次品（次品轻一些），现在想用天平找到这个次品，保证找出次品的称重次数最少时，最合理的分组是（ ），至少称（ ）次保证能找出次品。 【答案】 5、5、4 3 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将14个零件分成（5、5、4），称（5、5），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在5个中；将5个分成（2、2、1），称（2、2），不平衡，次品在2个中；将2个分成（1、1），再称1次即可确定次品，共3次。 最合理的分组是（5、5、4），至少称3次保证能找出次品。 15．有5个零件，其中1个是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。 （圈出正确答案） 至少要称（     ）次。 【答案】图见详解；2 【分析】将5个零件拿出4个零件，分别编号1、2、3、4、5，将拿出来的1、2两个零件放在天平的左端，3、4两个零件放在天平的右端，若平衡则次品是5号的零件，若不平衡则天平向上的一端是次品。据此可得出答案。 【详解】 当天平平衡时，5号是次品； 当天平不平衡时，将轻的一边再称，加上剩下的5号，至少要称2次。 16．有8袋积木，其中有一袋少装了一块，是次品。假如用天平称（不用砝码），下面是第一次称的情况，请分析并填空。 （1）如果不平衡，次品在（ ）中；如果平衡，次品在（ ）中。 （2）要找到次品，最少要称（ ）次。 【答案】（1） 较轻的那3袋 ⑦⑧ （2）2 【分析】（1）分析题目，因为次品比正品轻，所以根据天平可知，如果天平不平衡，则次品在较轻的那边；如果天平平衡，则次品在剩下的2袋中，据此解答； （2）找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【详解】（1）如果不平衡，次品在较轻的那3袋中；如果平衡，次品在⑦⑧中。 （2）有8袋积木，其中有一袋是次品，比其它略轻。 第一次称重：先分成（3，3，2），天平两边各放3袋，①若天平平衡，则次品就在剩下的2袋中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那3袋中； 第一次天平不平衡时，第二次称重：把3袋分成（1，1，1），天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的那1袋；②若天平不平衡，次品是较轻的1袋； 第一次天平平衡时，第二次称重：把2袋分成（1，1），次品是较轻的那袋。 所以要找到次品，最少要称2次。 17．五年级同学举行“六一”活动，王晶同学带来了13袋糖果，其中有一袋中少装了2粒，用天平秤至少称（ ）次才能把这袋糖果找出来。 【答案】3 【分析】把13袋糖果分成4袋、4袋、5袋三组。将两份4袋的放在天平两端：若天平平衡，少2粒的在5袋那组；若天平不平衡，少2粒的在轻的4袋那组。 如少2粒的在4袋中：把这4袋分成2袋、2袋，放天平两端，轻的一端有少2粒的那袋；再把这2袋放天平两端，轻的就是目标袋。 如少2粒的在5袋中：把5袋分成2袋、2袋、1袋。将两份2袋的放天平两端：若天平平衡，剩下1袋就是目标袋，称2次；若天平不平衡，轻的2袋中再称一次找出目标袋。 【详解】把13袋分成4、4、5袋。把两份4袋放天平，若平衡，少的在5袋；若不平衡，少的在轻的4袋。若在4袋：再分2、2称，轻的2袋再称一次，共3次。若在5袋：分2、2、1，称两份2袋，平衡则剩下1袋是少的；不平衡就把轻的2袋再称，最多3次。 18．有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有（ ）个。 【答案】27 【分析】根据找次品问题的规律，用天平称n次最多可以确定3n个物品中的次品。题目要求至少称3次能保证找到次品，因此最多有33＝27个玻璃球。 【详解】第一次称：将27个玻璃球分成三组，每组9个。称量其中两组： 若天平平衡，次品在第三组； 若不平衡，次品在较重的一组。 第二次称：将含次品的9个玻璃球分成三组，每组3个。称量其中两组： 若天平平衡，次品在第三组； 若不平衡，次品在较重的一组。 第三次称：将含次品的3个玻璃球分成三组，每组1个。称量其中两个： 若天平平衡，次品是未称的玻璃球； 若不平衡，次品是较重的玻璃球。 因此，最多有27个玻璃球时，至少称3次一定能找到次品。 有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有27个。 培优拔高 19．6包瓜子中有5包质量相同，另有1包是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。（圈出括号里的正确答案）。 【答案】 【分析】根据题意可知：第一次的天平称重，可能有两种情况：第一次称重平衡时，即次品出现在未称重的物品之间，再次天平称重能找出次品，第二次一定不平衡，轻的一端的物品是次品；第一次称重不平衡时，会发现轻的一端有次品，再次天平称重轻的一端的物品也能找出次品，第二次一定不平衡，轻的一端的物品是次品；据此解答即可。 【详解】根据分析圈出如下： 20．猫妈妈的肉食店进了13罐质量相同的牛肉干，馋嘴的小猫偷吃了某一罐中的5块。 将13罐牛肉干分成（     ）份，用（   ，   ，   ）表示。 （1）至少称几次可以保证找出来？ （2）如果天平两端各放1罐，称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐吗？ 【答案】3；4；4；5； （1）至少称3次可以保证找出来。 （2）天平两端各放1罐，如果天平不平衡，那么天平较轻的那端是小猫偷吃的那一罐，所以称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐 【分析】（1）通过合理分组称重，把13罐牛肉干分成4、4、5，步骤如下： 第一次称：称4和4。 若不平衡，次品在轻的4罐中，若平衡，次品在5罐中； 若在5罐中，再分成2、2、1；第二次称，称2和2，若平衡，次品是未称的1罐，若不平衡，次品在轻的2罐中，第三次称，称1和1，就可找出次品。 若次品在4罐中，分成2和2，第二次称，称2和2，若平衡，次品是未称的1罐，若不平衡，次品在轻的2罐中，第三次称，称1和1，就可找出次品。 因此，至少称3次可以保证找出来。 （2）天平两端各放1罐，如果天平不平衡，那么天平较轻的那端是小猫偷吃的那一罐，所以称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐。 【详解】将13罐牛肉干分成3份，用（4，4，5）表示。 （1）至少称3次可以保证找出来。 （2）天平两端各放1罐，如果天平不平衡，那么天平较轻的那端是小猫偷吃的那一罐，所以称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐。 21．猴妈妈的水果店进了11筐相同质量的桃子，馋嘴的小猴偷吃了某一筐中的3个桃子。怎样找出这筐桃子呢？ （1）给11筐桃子依次编号①，②，…，，填一填。 （2）至少称几次可以保证找出来？ （3）如果天平两边各放5筐，称一次有可能找出来吗？ 【答案】（1）见详解 （2）3次 （3）有可能 【分析】（1）第一次，把11筐桃子分成3份（4、4、3），取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一筐在未取的一份中，若天平不平衡，则取较轻的一份继续； 第二次，若天平不平衡，取较轻的一份（4筐）平均分成2份，每份2筐，分别放在天平两侧，若天平不平衡，则可找到较轻的上升一端的2筐中；取另外第三次，把上升一端的2筐分别放在天平的两端，则上升的一端就是被吃了的那筐；若天平平衡，则较轻的一筐在剩下的3筐中；取剩下的3筐，取其中2筐，若天平平衡，则剩下的1筐被吃掉的那框；若天平不平衡，则轻的为被吃的那筐； 第三次，拿出2筐分别放在天平的两端，若平衡，剩下的一筐是被吃了的，若不平衡，则上升的一端是被吃了的那筐，据此即可解答； （2）根据以上叙述，可得，最少可以用3次即可找出被吃了的那筐桃子； （3）根据事件发生的可能性原理可知，如果天平两边各放5筐，如果天平平衡，则较轻的为剩余的1筐，所以有可能称一次就找到这筐桃子. 【详解】（1） （2）至少称3次可以保证找出来。 （3）如果此时天平平衡，那么剩下的一筐就是被吃了3个的那筐，即称一次有可能找出来。 22．有9盒月饼，其中8盒的质量相同，另外1盒轻一些，为次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？ （1）把下表补充完整，并回答下列问题。 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 4 2，2，2，3 3 4，4，1 3 3，3，3 （2）我发现：找次品的最佳策略是把待测物品分成（     ）份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差（     ），这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）若干盒月饼，其中有1盒较轻的是次品。用天平称，如果至少称3次能保证找出这盒较轻的月饼，那么这些月饼可能有几盒？ 【答案】（1） 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 3 4 2，2，2，3 3 3 4，4，1 3 3 3，3，3 2 （2）3；1 （3）这些月饼可能有10~27盒。 【分析】（1）根据分成的份数，用天平称一称，完成表格； （2）找次品的最佳策略是把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差1，这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）用天平找次品时，如果只含1个次品，且已知次品比正品轻，所测物品的数量与保证能找出次品至少需要测量的次数之间有以下关系：2~3个物品，1次；4~9个物品，2次；10~27个物品，3次；28~81个物品，4次…… 【详解】（1） 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 3 4 2，2，2，3 3 3 4，4，1 3 3 3，3，3 2 （2）我发现：找次品的最佳策略是把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差1，这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）若干盒月饼，其中有1盒较轻的是次品。用天平称，如果至少称3次能保证找出这盒较轻的月饼，那么这些月饼可能有10~27盒。 23．汪阿姨买了9袋薯片，其中8袋质量相同，另外1袋质量不足为次品。怎样用天平找出这袋质量不足的薯片？ （1）把下表补充完整。 袋数 分成的份数 保证能找出次品至少需要称的次数 9 3（4，4，1） 9 3（3，3，3） 9 4（2，2，2，3） （2）表中哪种方法需要称的次数最少？ （3）如果10袋薯片中有1袋是次品（次品轻一些），至少称几次才能保证找出次品？是怎么称的？ （4）我发现：用天平找次品（只含1个次品，已知次品比正品重或轻），如果待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成（     ）份，能平均分的要（     ），不能平均分的要使最多的那一份与最少的那一份相差（     ），这样可以保证找出次品时称的次数最少。 （5）用你发现的方法找出11袋、12袋薯片中的1袋次品（次品轻一些），看看至少称几次才能保证找出次品。 【答案】（1）见详解 （2）第二种方法 （3）3次；方法见详解 （4）3；平均分；1 （5）3次 【分析】（1）当袋数为9，分成3份（4、4、1）时，首先称重两个4袋的组。若天平平衡，则质量较轻的位于剩下的1袋中，此时仅需一次称重即可确定；若天平不平衡，则质量较轻的在轻的那一侧，随后将这4袋再次分为2份，进行第二次称重，如果平衡则质量较轻的在剩下的2袋中，需要第三次称重来确定具体是哪一袋。保证能找出次品至少需要称的次数为3次。 当袋数为9，分成3份（3、3、3）时，首先称重两个3袋的组。若天平平衡，则质量较轻的在剩下的3袋中。将这3袋分为1袋一组，进行第二次称重，即可确定质量较轻的1袋。保证能找出次品至少需要称的次数为2次；若天平不平衡，则质量较轻的在轻的一侧，同样将这3袋分为1袋一组进行第二次称重，确定质量较轻的1袋。保证能找出次品至少需要称的次数为2次。 当袋数为9，分成4份（2、2、2、3）时，首先称重两个2袋的组。若天平平衡，则质量较轻的在剩下的5袋中，再将这5袋分为2袋、2袋和1袋三组，称重两个2袋的组，如果平衡，则质量较轻的为剩下的1袋；如果不平衡，则继续称轻的2袋组，确定质量较轻的1袋。保证能找出次品至少需要称的次数为3次。若天平不平衡，则质量较轻的在轻的一侧，随后将这2袋再次进行第三次称重，即可确定具体是哪一袋。保证能找出次品至少需要称的次数为3次。 （2）比较表中三种方法需要称的次数，找出哪种方法称的次数最少。 （3）第一次称重：天平两侧放两个三袋。如果天平平衡，次品在剩下的4袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个2袋如果天平平衡，次品在剩下的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平不平衡，次品在轻的一侧的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋。 如果天平不平衡，次品在轻的一侧的3袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平平衡，次品是剩下的1袋。如果天平不平衡，次品是轻的那一袋。因此，至少需要称3次才能保证找出次品。 （4）在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时称量的次数最少。 （5）用上述方法将找出11袋、12袋薯片中的1袋次品（次品轻一些），看至少称几次才能保证找出次品。 【详解】通过分析可得： （1）填表如下： 袋数 分成的份数 保证能找出次品至少需要称的次数 9 3（4，4，1） 3 9 3（3，3，3） 2 9 4（2，2，2，3） 3 （2）表中第二种方法需要称的次数最少。 （3）至少称3次才能保证找出次品。先分成3份（3，3，4）。第一次称重：天平两侧放两个3袋。如果天平平衡，次品在剩下的4袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个2袋，如果天平平衡，次品在剩下的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平不平衡，次品在轻的一侧的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋。 如果天平不平衡，次品在轻的一侧的3袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平平衡，次品是剩下的1袋。如果天平不平衡，次品是轻的那一袋。因此，至少需要称3次才能保证找出次品。 （4）用天平找次品（只含1个次品，已知次品比正品重或轻），如果待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使最多的那一份与最少的那一份相差1，这样可以保证找出次品时称的次数最少。 （5）首先，将11袋薯片分成3份（4，4，3）。然后，将其中的两份4袋薯片放在天平的两端进行比较。然后根据天平的平衡情况，确定次品可能存在的范围。如果天平平衡，说明次品在剩下的3袋中；如果天平不平衡，说明次品在较轻的4袋中；最后根据次品可能存在的范围，再次分组和比较，找出次品。如果次品在3袋中，将这3袋薯片分成3份，每份1袋，然后，比较，找出次品。如果次品在4袋中，将这4袋薯片分成2份，每份2袋，然后进行比较，找出次品。12袋的情况相似，所以11袋、12袋都是至少称3次才能保证找出次品。 答：11袋、12袋都是至少称3次才能保证找出次品。 思维拓展 24．一架天平只有5g和30g两个砝码，要把300g白砂糖平均分成3份，至少要称几次？请写出称量方案。 【答案】至少称3次；称量方案见详解 【分析】第一次：用5g砝码和30g砝码称35g糖；第二次：用30g砝码加35g糖称65g糖；第三次：用第一次和第二次的糖共（g）称100g糖，最后剩下的糖也是100g。 【详解】第一次：用砝码称35g糖； 第二次：（g），用30g砝码加35g糖称65g糖； 第三次：（g）第一次和第二次的糖共100g，即可再称出100g糖，最后剩下的糖也是100g。 答：至少要称3次。 25．外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？ 【答案】88克 【分析】由于天平右边的9对中，既有比左边轻的，也有比左边重的，还有与左边一样重的，说明左边的两个球一定不是2个5克，也不是2个4克，则一定是1个4克和1个5克，这样可推出右边较重的3对中都是5克的球，较轻的5对中都是4克的球，一样重的一对中有1个4克和1个5克，进而可求出这些球的总质量。 【详解】3×（5＋5）＋5×（4＋4）＋2×（4＋5） ＝3×10＋5×8＋2×9 ＝30＋40＋18 ＝88（克） 答：这20个球的总重量是88克。 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