精品解析：上海市复旦大学附属复兴中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学卷

复旦大学附属复兴中学2025学年第二学期期末考试 高一年级数学试卷 高一___班______号姓名__________得分__________ 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果． 1. 若复数，则的虚部为______． 2. 4与9的等比中项为__________. 3. 在空间中，三个平面最多能把空间分成______部分． 4. 数列中，，，则__________． 5. 若向量，，且，则__________． 6. 如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是________． 7. 已知等差数列中，，则__________． 8. 设， 已知方程的两虚根为 、. 若， 则_____ 9. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 10. 已知复数（，），满足，（为正整数），其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则__________． 11. 在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为__________． 12. 已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为 的等差数列，当时，则符合条件的点集 的个数为______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑． 13. 下列说法错误的是（ ） A. 已知复数，，若，则 B. 若，则与共线 C. 若，则 D. 已知复数，，若，则 14. 设 是平面向量的一组基底，那么 “ ” 是 “ 是钝角” 的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 15. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为（ ） A. B. C. D. 16. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为.若复数满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知数列的前n项和满足，n为正整数． （1）求数列的通项公式； （2）求数列前200项和． 18. 已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． （1）求实数m； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值． 19. 某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%． （1）求今年1月到12月该消毒剂的总产量（精确到升）； （2）从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120升以内（不含120升）？ 参考公式：月产消毒剂中不合格的量=月产量×（1－月产品合格率） 20. 已知平面上的，是锐角，，，在边上的射影满足，点满足，点在直线上，使得. （1）若，求； （2）若是中点，求 的值； （3）记的中点为 ，求面积的最小值. 21. 对于一个向量组且，令，如果存在，使得，则称是该向量组的“ -向量”. （1）设且，若是向量组的“-向量”，求实数 的取值范围； （2）若且，则向量组且）是否存在“1-向量”？若存在，求出“1-向量”；若不存在，请说明理由； （3）若向量组中的每一个向量均是它的“-向量”，且，，设在平面直角坐标系中有一点列且，满足为坐标原点，，且且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦大学附属复兴中学2025学年第二学期期末考试 高一年级数学试卷 高一___班______号姓名__________得分__________ 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果． 1. 若复数，则的虚部为______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用复数的定义求解即可. 【详解】复数的实部为2，虚部为5， 故答案为：5 2. 4与9的等比中项为__________. 【答案】±6 【解析】 【分析】 直接利用公式求等比中项得解. 【详解】由题得4与9的等比中项为. 故答案为：±6 3. 在空间中，三个平面最多能把空间分成______部分． 【答案】8 【解析】 【分析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果． 【详解】三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2； 三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5， 所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分． 故答案为：8． 4. 数列中，，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，代入，得， 当时，代入，得. 5. 若向量，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标充要条件列方程求解参数. 【详解】 已知，，且，则有  ， 整理得，解得. 6. 如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是________． 【答案】28 【解析】 【分析】还原原图可知原图为直角梯形，然后利用梯形面积公式求解即可 【详解】因为A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，所以原图形是一个直角梯形，如图所示．又A′D′＝4， 所以原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积为S＝×(2＋5)×8＝28. 故答案为：28 7. 已知等差数列中，，则__________． 【答案】 12 【解析】 【详解】因为，所以， 又，所以. 8. 设， 已知方程的两虚根为、. 若， 则_____ 【答案】5 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程根的共轭和韦达定理求值. 【详解】因为，方程的两虚根为、， 所以. 可设，则（不妨设 ）， 则根据韦达定理，得：，又， 所以，，. 故答案为：5 9. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，则，， 所以在方向上的投影向量为. 10. 已知复数（，），满足，（为正整数），其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由知，，依题意得，，进而可得. 【详解】由得， 所以，，由知，， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以； 数列为摆动数列，所以， 故. 11. 在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为__________． 【答案】（或） 【解析】 【分析】设复数u在复平面内对应的点为A，可得，结合模长关系可得，进而可得向量与夹角. 【详解】设复数u在复平面内对应的点为A， 由题意可知：，，，， 则， 即，解得， 可得， 所以向量与的夹角为（或）. 12. 已知集合是由函数的图象上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、．若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为 的等差数列，当时，则符合条件的点集 的个数为______． 【答案】60 【解析】 【分析】确定数列中最大值为1，最小值为，然后根据 分类得出等差数列，再由等差数列的项确定点的横坐标的值，然后由 中对应点的情形确定集合个数． 【详解】由已知,， 设，则，显然， 若，则，因此有， 由得或，对应， 同理对应， 集合 中已经含有点， 因此产生的集合 中，点可有也可没有，至少有一个， 所以 的个数为， 若，则， ，或，，或， 对应点， 产生的集合 中，点可有也可没有，至少有一个， 中至少有一个，中至少有一个， 的个数为， 综上，集合 的个数为． 故答案为：60. 【点睛】方法点睛：确定集合的个数即为确定集合中元素的可能性，本题中首先确定出最终等差数列的最大值和最小值，从而根据公差得出等差数列，由等差数列确定可能含有的点，从而得出集合个数． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑． 13. 下列说法错误的是（ ） A. 已知复数，，若，则 B. 若，则与共线 C. 若，则 D. 已知复数，，若，则 【答案】D 【解析】 【分析】设，，根据复数相等，得到两个复数实部与虚部的关系，即可判断A， 设的夹角为，根据向量数量积的计算公式，由，推出或，即可判断B，根据即可判断 C，设，计算出，即可判断D. 【详解】对于A，设，，，则，. 若，即，则有，所以，故A正确； 对于B，设的夹角为，因为，若， 则，即或，所以与共线，故B正确； 对于C，因为，若，则，故C正确； 对于D，若取，则， 但是，，故D错误. 14. 设 是平面向量的一组基底，那么 “ ” 是 “ 是钝角” 的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】 是钝角时，，必要性满足， 是平面向量的一组基底，则， 时，， 时，，充分性也满足， 所以应为充要条件. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，过三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出截面图形，利用已知条件，转化求解截面周长即可． 【详解】如图，取BC的中点 ，连接EF，AF，, 、 分别为棱、的中点，则，正方体中，则有，所以平面为所求截面， 因为正方体的棱长为2，所以，，，所以四边形的周长为. 故选：A. 16. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为.若复数满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数加减的几何意义，，结合，可得，再由即可求解． 【详解】由题意知复数在复平面内对应的点的坐标为， 设复数在复平面内对应的点的坐标为，，， 则，又， 所以，即， ， ，当且仅当在线段 上取等号， ，且， ，当时取等， 综上，当点在时等号同时成立，取得最小值3， 即的最小值为3． 故选：C 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知数列的前n项和满足，n为正整数． （1）求数列的通项公式； （2）求数列前200项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和的关系求解即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，满足上式， 所以. 【小问2详解】 由于， 所以数列前200项和为 . 18. 已知复数（i是虚数单位，），且为纯虚数． （1）求实数m； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法化简，再由复数的类型求解即可； （2）根据复数的除法化简，再由复数对应点所在象限列出不等式组求解. 【小问1详解】 为纯虚数，，解得， 故，则． 【小问2详解】 ， ， 复数对应的点在第二象限， ，解得， 故实数a的取值范围为． 19. 某工厂去年12月试生产新工艺消毒剂1250升，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年1月按去年12月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%． （1）求今年1月到12月该消毒剂的总产量（精确到升）； （2）从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120升以内（不含120升）？ 参考公式：月产消毒剂中不合格的量=月产量×（1－月产品合格率） 【答案】（1）升 （2）12 【解析】 【分析】（1）设今年第个月生产了升消毒剂，再根据，结合等比数列的求和公式求解即可； （2）设第个月生产的消毒剂中不合格的量为升，由题意，再分析的单调性，结合，即可求解. 【小问1详解】 设今年第个月生产了升消毒剂，则有， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以今年1月到12月该消毒剂的总产量为：（升） 【小问2详解】 设第个月生产的消毒剂中不合格的量为升，由（1）有， 所以， 所以，由，解得， 所以当时，， 又， ， 所以从第12月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在120升以内. 20. 已知平面上的，是锐角，，，在边上的射影满足，点满足，点在直线上，使得. （1）若，求； （2）若是中点，求 的值； （3）记的中点为 ，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知在上的投影向量为，再根据数量积的定义求解即可； （2）用，表示向量，，进而结合题意，利用求解即可； （3）设，用，表示向量，，再结合得，根据得，根据求得中边上的高为，最后结合基本不等式求解面积的最小值即可. 【小问1详解】 解：因为在边上的射影满足， 所以在上的投影向量为，且， 所以 所以，当时， 【小问2详解】 解：因为点满足， 所以， 因为是中点，所以， 所以， 因为， 所以，即，解得（负舍） 所以 【小问3详解】 解：结合（2）知，因为点在直线上， 设，则， 因为， 所以，即， 代入整理得，即 因为的中点为 ， 所以， 所以 因为，，在边上的射影满足， 所以，且 因为点满足 所以点到的距离为，即中边上的高为 所以面积为 记，令，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，即时等号成立， 所以面积为，即面积的最小值为，此时. 21. 对于一个向量组且，令，如果存在，使得，则称是该向量组的“ -向量”. （1）设且，若是向量组的“-向量”，求实数 的取值范围； （2）若且，则向量组且）是否存在“1-向量”？若存在，求出“1-向量”；若不存在，请说明理由； （3）若向量组中的每一个向量均是它的“-向量”，且，，设在平面直角坐标系中有一点列且，满足为坐标原点，，且且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值. 【答案】（1） （2）存在，为 （3）12156 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标模长公式以及已知的向量关系列出不等式求解. （2）先求出向量模长，再根据“1-向量”的定义列出不等式，结合三角函数的值域求解. （3）根据“-1向量”的定义及数量积的运算律得，同理，相加变形得，则，设，由条件列式变形得，从而将问题转化为的最大值问题，结合二倍角正弦公式利用正弦函数性质求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，即，因为，，所以，所以，解得或， 即 的取值范围是. 【小问2详解】 由题意可得， 因，所以向量组以6为周期. 若存在“1-向量”，则只需， 又， 所以，所以， 故只需， 即， 当且仅当且时符合要求， 即或或，且， 故存在“1-向量”，且为，其余均与这三者重复. 【小问3详解】 由题意可知，， 三式相加化简可得，即， 所以，设， 则有 可得③， 将③累加可得， 代入②可得， 所以， 又， 所以当时，，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $