上海市青浦高级中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试卷

上海市青浦高级中学2025学年第二学期期末考试 高一 数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1．已知的终边经过点，则_________． 2．已知，则________． 3．复数的虚部________． 4．三角函数的单调增区间为________． 5．已知等差数列，，公差为1，则前n项和________． 6．在中，、、所对的边分别为a、b、c，若，，，则的面积等于________． 7．在等比数列中，，，则________． 8．已知向量，，则在方向上的投影向量是________． 9．如图，矩形中，E为中点，与交于点F，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为________（用、表示）． 10．青浦高级中学高一数学组开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．某小组成员在旗杆附近找到某建筑物（建筑物高度低于旗杆高度），测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和．则该旗杆的高度为________． 11．函数，的值域为_________． 12．如图，以边长为1的正方形的各边为基准向外作正三角形，构成八边形．若点P、Q在八边形的内部（含边界），则的最小值为________． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13．下列函数中既是奇函数，最小正周期是的是（ ） A． B． C． D． 14．已知数列的前n项和为，数列是递增数列是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知，，…，，是平面内两两互不相等的非零向量，且满足（），且对任意的m，，，，当时，都有，则正整数k的最大值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 16．已知复数、在复平面内对应的点分别为P、Q，（O为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（ ） A． B． C．的周长 D．的面积 三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17．（本题满分8分，本大题共有2小题，第1小题4分，第2小题4分） 设，复数． （1）若z为纯虚数，求a的值； （2）若z在复平面内表示的点位于第四象限，求a的取值范围． 18．（本题满分8分，本大题共有2小题，第1小题4分，第2小题4分） 设函数． （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）求函数在上的最大值与最小值及相对应的x的值． 19．（本题满分10分，本大题共有2小题，第1小题4分，第2小题6分） 在中，，，，点O为所在平面上一点，满足（m、且）． （1）若，用，表示； （2）若点O为的外心，求m、n的值． 20．（本题满分12分，本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题6分） 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形，并修建两条小路、（路的宽度忽略不计），其中千米，千米，是以D为直角顶点的等腰直角三角形．设，． （1）当时，求： ①小路的长度； ②草坪的面积； （2）当草坪的面积最大时，求此时小路的长度． 21．（本题满分14分，共有3小题，第1小题3分，第2小题5分，第3小题6分） 设数列的前n项和为，若（，），则称是“紧密数列”． （1）已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为1，，，x，，求x的取值范围； （2）若数列的前n项和为（，），判断是否是“紧密数列”，并说明理由； （3）设是公比为q的等比数列，若与都是“紧密数列”，求q的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $