第6章 第31讲 等比数列及其前n项和（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习讲义聚焦等比数列核心考点，涵盖定义、通项公式、前n项和公式及性质，按“知识梳理-真题训练-题型突破-分层练习”逻辑架构，通过考点梳理构建知识体系，方法指导提炼解题策略，真题训练强化应用能力，助力学生系统突破等比数列重难点。 资料以新课标核心素养为导向，创新采用“真题情境-模型建构-变式迁移”教学法，如通过构造数列证明等比关系培养数学思维，利用等比数列性质解决求和问题发展数学眼光。设置基础巩固与能力挑战分层练习，配合即时反馈机制，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第31讲　等比数列及其前n项和 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 2．(2021·全国甲卷)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n+1＋a(a为常数)，则(　　) A．a＝－1 B．数列{an}的公比为2 C．an＝2n D．S9＝1 023 4．在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a7＋a9＝____． 5．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3＝4a1，则＝____． 聚焦知识 1．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项公式为an＝____，其推导方法是累乘法． 2．等比数列的前n项和公式 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝____；当q≠1时，Sn＝____＝____，其推导方法是错位相减法． 3．等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，t，r，k∈N*). (1) 若m＋n＝p＋t＝2r，则am·an＝ap·at＝a. (2) 数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列． (3) 数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1，或q＝－1且m为奇数)． (4) 若{bn}(与{an}项数相同)也是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． (5) 若an>0，则{logaan}(a>0且a≠1)是以logaa1为首项，logaq为公差的等差数列． (6) ∀m，p∈N*，Sm＋p＝Sm＋qmSp. (7) 若{an}共有2n项，则＝q，其中S偶，S奇分别是数列{an}的偶数项和与奇数项和． (8) 等比数列的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列． 4．常用结论 (1) 等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，其中c≠0，q≠0. (2) 等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A，其中A≠0，q≠1，0. 题型突破　能力进阶 举题说法 等比数列的基本量运算 例1　(1) (2025·苏锡常镇一模)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＝4a3－4a2，则＝(　　) A．5 B．9 C．－9 D．－5 (2) (2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A． B． C．15 D．40 等比数列基本量运算的解题策略 (1) 等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． (2) 解方程组时常常利用“作商”消元法． (3) 运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解． 变式1　(1) (2026·肇庆一模)设Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a5＋3a6＝8，a8＋3a9＝64，则S3＝(　　) A． B． C． D．2 (2) (2026·江门期中)(多选)已知等比数列{an}的首项为4，公比为q，前n项和为Sn.若＝，则(　　) A．q＝－ B．S3＝7 C．an＋Sn＝8 D．log2an＝n－3 等比数列的判定与证明 例2　(2025·温州三模)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1，n∈N*. (1) 若数列{bn}满足bn＝an＋n，试判断{bn}是否为等比数列，并说明理由； (2) 若数列{cn}满足cn＝(－1)nan，求数列{cn}的前2n项和T2n. 等比数列的两种常用判定方法 (1) 定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2) 等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列． 变式2　(2025·清远二模)已知数列{an}的首项为a1＝4，且满足an＋1＋an＝6×5n(n∈N*). (1) 求证：数列是等比数列； (2) 求数列{an}的前n项和Sn. 等比数列的性质及其应用 视角1　项的性质 例 3-1　(1) (2025·南通三模)在等比数列{an}中，a5·a6·a7＝8，a2＋a6＝20，则a4＝(　　) A．36 B．±6 C．－6 D．6 (2) (2025·滨州二模)设{an}为等比数列，且a2＋a3＝3，a3＋a4＝6，则a7＋a8＝(　　) A．12 B．24 C．48 D．96 (3) (2025·苏州期初)(多选)已知数列{an}是等比数列，则(　　) A．数列{a}是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列{an＋an＋1}是等比数列 D．数列{lg a}是等比数列 视角2　和的性质 例 3-2　(1) (2025·赣州二模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S20＝21，S30＝49，则S10＝(　　) A．－7 B．7 C．63 D．7或63 (2) 设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝____． 随堂内化 1．(2026·徐州期中)在数列{an}中，a1＝1，若数列{an·an＋1}是公比为2的等比数列，则a1＋a3＋a5＋…＋a19＝(　　) A．2 048 B．2 047 C．1 024 D．1 023 2．(2026·三门峡期中)在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)＝x3＋4x2＋9x－1的极值点，则a5＝(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 3．已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 4．(2026·宁波一模)(多选)已知等比数列{an}中，a1a2＝1，则下面说法正确的是(　　) A．若a1>1，则数列{an}是递减数列 B．若0<a1<1，则数列{an}是递减数列 C．若－1<a1<0，则数列{an}是递增数列 D．若a1<－1，则数列{an}是递增数列 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．(2026·聊城期中)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3a4＝32，a5＝16，则S5＝(　　) A．16 B．31 C．32 D．63 2．(2025·杭州质检)若等比数列{an}满足a1＋a2＝2，a1－a3＝3，则数列{an}的公比等于(　　) A．－或 B．或－ C．－ D． 3．(2025·南通一调)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．9 4． (2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 5．(2025·南京、盐城一模)已知数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 二、 多项选择题 6．(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，且q>0.若S3＝7，a3＝1，则(　　) A．q＝　 B．a5＝ C．S5＝8 D．an＋Sn＝8 7．(2025·泉州二检)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，{an}的前n项积为Tn.若a10＝1，S10－S7＝7，则(　　) A．数列{log2an}为等差数列 B．a1＝1 024 C．Sn<1 024 D．Tn的最大值为245 三、 填空题 8．(2025·深圳一调)在等比数列{an}中，已知a1a3＝9，a2＋a4＝9，则a4＝____． 9．(2023·北京卷)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝___；数列{an}所有项的和为____． 10．(2025·新高考Ⅰ卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为____． 四、 解答题 11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，且Sn＝2an＋1－3，令bn＝. (1) 求证：{an}为等比数列； (2) 求使bn取得最大值时n的值． 12．(2025·绍兴二模)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1) 记bn＝a2n＋2，求b1，b2并证明数列{bn}是等比数列； (2) 记cn＝a2n＋3，求满足c1＋c2＋c3＋…＋cn<100的所有正整数n的值． B组　能力挑战(挑战点：新定义问题) 13．(2025·吕梁期末节选)如图，在横坐标为x1的点处作f(x)的切线，该切线与x轴的交点为x2； (第13题) 在横坐标为x2的点处作f(x)的切线，该切线与x轴的交点为x3；一直继续下去，得到数列{xn}． (1) 求证：xn＋1＝xn－； (2) 若函数f(x)＝x2－x－6，记an＝ln ，a1＝2，xn>3，求数列{an}的通项公式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第31讲　等比数列及其前n项和 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　D　) A．14 B．12 C．6 D．3 【解析】 设等比数列{an}的公比为q，q≠0，显然q≠1.因为a1＋a2＋a3＝＝168，a2－a5＝a1·q－a1·q4＝a1q(1－q3)＝42，所以q＝，a1＝96，则a6＝a1q5＝96×＝3. 2．(2021·全国甲卷)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(　B　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解析】 若a1＝－1，q＝1，则Sn＝na1＝－n，{Sn}是递减数列，不满足充分性；若{Sn}是递增数列，则q≠0，且Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0恒成立，则a1＞0，q＞0，满足必要性．故甲是乙的必要不充分条件． 3．(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n+1＋a(a为常数)，则(　BC　) A．a＝－1 B．数列{an}的公比为2 C．an＝2n D．S9＝1 023 【解析】 因为Sn＝2n+1＋a，所以a1＝4＋a，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8.因为{an}是等比数列，所以a＝a1a3，即42＝8(4＋a)，解得a＝－2，故A错误；数列{an}的公比q＝＝2，故B正确；因为a1＝2，公比q＝2，所以an＝a1qn-1＝2n，故C正确；因为a＝－2，所以Sn＝2n+1－2，所以S9＝210－2＝1 022，故D错误． 4．在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a7＋a9＝__2__． 【解析】 设等比数列{an}的公比为q，则由题设知可得q4＝，即q2＝，故a7＋a9＝(a5＋a7)q2＝2. 5．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3＝4a1，则＝__17__． 【解析】 设等比数列{an}的公比为q.由a3＝4a1，可得4a1＝a1q2，即q2＝4，所以＝＝1＋q4＝1＋42＝17. 聚焦知识 1．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项公式为an＝__a1·qn-1__，其推导方法是累乘法． 2．等比数列的前n项和公式 设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝__na1__；当q≠1时，Sn＝____＝____，其推导方法是错位相减法． 3．等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，t，r，k∈N*). (1) 若m＋n＝p＋t＝2r，则am·an＝ap·at＝a. (2) 数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列． (3) 数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1，或q＝－1且m为奇数)． (4) 若{bn}(与{an}项数相同)也是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． (5) 若an>0，则{logaan}(a>0且a≠1)是以logaa1为首项，logaq为公差的等差数列． (6) ∀m，p∈N*，Sm＋p＝Sm＋qmSp. (7) 若{an}共有2n项，则＝q，其中S偶，S奇分别是数列{an}的偶数项和与奇数项和． (8) 等比数列的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列． 4．常用结论 (1) 等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，其中c≠0，q≠0. (2) 等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A，其中A≠0，q≠1，0. 题型突破　能力进阶 举题说法 等比数列的基本量运算 例1　(1) (2025·苏锡常镇一模)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＝4a3－4a2，则＝(　A　) A．5 B．9 C．－9 D．－5 【解析】 设等比数列{an}的公比为q，显然an≠0，由a4＝4a3－4a2，得a2q2＝4a2q－4a2，则q2＝4q－4，解得q＝2，所以＝＝5. (2) (2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　C　) A． B． C．15 D．40 【解析】 设等比数列{an}的公比为q.方法一：因为S5＝5S3－4，a1＝1，显然q≠1，则有＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍去)或q2＝4.因为此数列的各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝＝15. 方法二：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q>0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15. 等比数列基本量运算的解题策略 (1) 等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． (2) 解方程组时常常利用“作商”消元法． (3) 运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解． 变式1　(1) (2026·肇庆一模)设Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a5＋3a6＝8，a8＋3a9＝64，则S3＝(　C　) A． B． C． D．2 【解析】 设等比数列{an}的公比为q，因为＝＝q-3＝，所以q＝2.由a5＋3a6＝a1q4＋3a1q5＝112a1＝8，得a1＝，所以S3＝＝. (2) (2026·江门期中)(多选)已知等比数列{an}的首项为4，公比为q，前n项和为Sn.若＝，则(　BC　) A．q＝－ B．S3＝7 C．an＋Sn＝8 D．log2an＝n－3 【解析】 由题设知＝q5，而＝，则＝，所以q5＝，解得q＝，又a1＝4，所以an＝4×n-1＝23-n，故A错误；Sn＝＝8，所以S3＝8×＝7，故B正确；an＋Sn＝23-n＋8＝8，故C正确；log2an＝3－n，故D错误． 等比数列的判定与证明 例2　(2025·温州三模)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋2n－1，n∈N*. (1) 若数列{bn}满足bn＝an＋n，试判断{bn}是否为等比数列，并说明理由； 【解答】 {bn}是等比数列，理由如下：因为an＋1＝3an＋2n－1，n∈N*，所以an＋1＋(n＋1)＝3(an＋n).又bn＝an＋n，所以bn＋1＝3bn.因为a1＝2，所以b1＝3≠0，故{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列． (2) 若数列{cn}满足cn＝(－1)nan，求数列{cn}的前2n项和T2n. 【解答】 由(1)可知bn＝3n，所以an＝3n－n，所以cn＝(－1)n·(3n－n)＝(－3)n＋n·(－1)n+1，所以T2n＝[(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)2n]＋[1＋(－2)＋3＋(－4)＋…＋(2n－1)－2n]＝－n＝×9n－n－. 等比数列的两种常用判定方法 (1) 定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2) 等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列． 变式2　(2025·清远二模)已知数列{an}的首项为a1＝4，且满足an＋1＋an＝6×5n(n∈N*). (1) 求证：数列是等比数列； 【解答】 因为数列{an}满足an＋1＋an＝6×5n，即an＋1＝－an＋6×5n，所以an＋1－5n+1＝－(an－5n)，即＝－1.又因为a1＝4，所以a1－51＝－1，故数列{an－5n}是首项为－1，公比为－1的等比数列． (2) 求数列{an}的前n项和Sn. 【解答】 由(1)知an－5n＝－1×(－1)n-1＝(－1)n，所以an＝(－1)n＋5n，所以Sn＝51＋52＋…＋5n＋(－1)＋1＋…＋(－1)n.当n为偶数时，Sn＝＋0＝×5n+1－；当n为奇数时，Sn＝－1＝×5n+1－.综上，Sn＝ 等比数列的性质及其应用 视角1　项的性质 例 3-1　(1) (2025·南通三模)在等比数列{an}中，a5·a6·a7＝8，a2＋a6＝20，则a4＝(　D　) A．36 B．±6 C．－6 D．6 【解析】 在等比数列{an}中，a5a6a7＝a＝8，所以a6＝2，a2＝18，所以a4＝±＝±6.由于a2>0，故a4>0，所以a4＝6. (2) (2025·滨州二模)设{an}为等比数列，且a2＋a3＝3，a3＋a4＝6，则a7＋a8＝(　D　) A．12 B．24 C．48 D．96 【解析】 设等比数列{an}的公比为q，由a2＋a3＝3，a3＋a4＝6，可得＝＝q＝2，所以a7＋a8＝(a2＋a3)q5＝3×25＝96. (3) (2025·苏州期初)(多选)已知数列{an}是等比数列，则(　AB　) A．数列{a}是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列{an＋an＋1}是等比数列 D．数列{lg a}是等比数列 【解析】 根据题意，数列{an}是等比数列，设其公比为q，则＝q.对于A，因为＝q2，所以数列{a}是等比数列，故A正确；对于B，因为＝＝，所以数列为等比数列，故B正确；对于C，D，例如an＝(－1)n，则an＋an＋1＝0，所以数列{an＋an＋1}不是等比数列，lg a＝lg 1＝0，所以数列{lg a}不是等比数列，故C，D错误． 视角2　和的性质 例 3-2　(1) (2025·赣州二模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S20＝21，S30＝49，则S10＝(　B　) A．－7 B．7 C．63 D．7或63 【解析】 由等比数列和的性质知，S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，所以(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(21－S10)2＝S10(49－21)，解得S10＝7或S10＝63.设等比数列{an}的公比为q，若S10＝63，则S20－S10＝S10q10，即－42＝63·q10，而q10>0，显然等式不成立；若S10＝7，则S20－S10＝S10q10，即14＝7q10，故q10＝2>0，满足题设．所以S10＝7. (2) 设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，则公比q＝____． 【解析】 由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，得210(S30－S20)＝S20－S10.易知S20－S10≠0，所以＝.因为数列{an}是等比数列，所以＝q10，故q10＝，解得q＝±.因为等比数列{an}为正项数列，所以q>0，故q＝. 随堂内化 1．(2026·徐州期中)在数列{an}中，a1＝1，若数列{an·an＋1}是公比为2的等比数列，则a1＋a3＋a5＋…＋a19＝(　D　) A．2 048 B．2 047 C．1 024 D．1 023 【解析】 由数列{an·an＋1}是公比为2的等比数列，知＝2，所以＝2，因此数列{an}的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a1＋a3＋a5＋…＋a19＝＝1 023. 2．(2026·三门峡期中)在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)＝x3＋4x2＋9x－1的极值点，则a5＝(　B　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 【解析】 因为f(x)＝x3＋4x2＋9x－1，所以f′(x)＝x2＋8x＋9.令f′(x)＝0，则可知a3·a7＝9，a3＋a7＝－8.因为在等比数列{an}中，a＝a3·a7且a3<0，所以a5＝－3. 3．已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n＝(　B　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 由等比数列有2n＋1项，知奇数项有n＋1项，偶数项有n项．设等比数列{an}的公比为q，得奇数项之和为1＋q2＋q4＋…＋q2n＝1＋q(q＋q3＋q5＋…＋q2n-1)＝85，偶数项之和为q＋q3＋q5＋…＋q2n-1＝42，可得q＝2，所以前2n＋1项和为＝85＋42＝127，解得n＝3. 4．(2026·宁波一模)(多选)已知等比数列{an}中，a1a2＝1，则下面说法正确的是(　AD　) A．若a1>1，则数列{an}是递减数列 B．若0<a1<1，则数列{an}是递减数列 C．若－1<a1<0，则数列{an}是递增数列 D．若a1<－1，则数列{an}是递增数列 【解析】 由a1a2＝1，知公比q＝.对于A，若a1>1，则公比q＝∈(0，1)，故＝q∈(0，1)，又a1>1，所以数列{an}是递减数列，故A正确．对于B，若0<a1<1，则公比q＝∈(1，＋∞)，又0<a1<1，所以数列{an}是递增数列，故B错误．对于C，若－1<a1<0，则公比q＝∈(1，＋∞)，故＝q∈(1，＋∞)，又－1<a1<0，所以数列{an}是递减数列，故C错误．对于D，若a1<－1，则公比q＝∈(0，1)，故＝q∈(0，1)，又a1<－1，所以数列{an}是递增数列，故D正确． 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．(2026·聊城期中)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3a4＝32，a5＝16，则S5＝(　B　) A．16 B．31 C．32 D．63 【解析】 设{an}的公比为q，则a3a4＝＝＝32，可得q＝2，所以a1＝＝1，则S5＝＝25－1＝31. 2．(2025·杭州质检)若等比数列{an}满足a1＋a2＝2，a1－a3＝3，则数列{an}的公比等于(　C　) A．－或 B．或－ C．－ D． 【解析】 设{an}的公比为q，则a1＋a2＝a1(1＋q)＝2，a1－a3＝a1－a1q2＝a1(1－q2)＝a1(1＋q)(1－q)＝2(1－q)＝3，所以q＝－. 3．(2025·南通一调)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则＝(　C　) A．1 B．2 C．4 D．9 【解析】 由Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，得2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，则有an＋1＋an＋1＋an＋2＝0，即an＋2＝－2an＋1.又{an}为等比数列，所以q＝－2，从而＝q2＝4. 4．(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　C　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 【解析】 易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝.当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得化简可得q2＝－5，舍去．所以S8＝－85. 5．(2025·南京、盐城一模)已知数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是(　B　) A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】 因为数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3，所以a1＋2a1＝3，解得a1＝1，故an＝2n-1.因为ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝ak(1＋2＋22＋…＋29)＝2k-1·＝2k+9－2k-1＝214－24，解得k＝5. 二、 多项选择题 6．(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，且q>0.若S3＝7，a3＝1，则(　AD　) A．q＝　 B．a5＝ C．S5＝8 D．an＋Sn＝8 【解析】 对于A，由题意得结合q>0，解得故A正确；对于B，a5＝a1q4＝4×4＝，故B错误；对于C，S5＝＝＝，故C错误；对于D，an＝4×n-1＝23-n，Sn＝＝8－23-n，则an＋Sn＝23-n＋8－23-n＝8，故D正确． 7．(2025·泉州二检)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，{an}的前n项积为Tn.若a10＝1，S10－S7＝7，则(　ACD　) A．数列{log2an}为等差数列 B．a1＝1 024 C．Sn<1 024 D．Tn的最大值为245 【解析】 对于A，设公比为q(q>0)，因为a10＝1，所以an＝a10qn-10＝qn-10，故log2an＋1－log2an＝log2qn-9－log2qn-10＝log2q为常数，故A正确．对于B，因为S10－S7＝7，所以a10＋a9＋a8＝1＋＋＝7，解得q＝或q＝－(舍去)，所以a1＝＝29＝512，故B错误．对于C，Sn＝＝210＝1 024－1 024·n<1 024，故C正确．对于D，Tn＝a1a2·…·an＝29·28·…·210-n＝2，由于y＝＝－x2＋x，其图象对称轴为直线x＝，而n∈N*，故n＝9或n＝10时，Tn的最大值为245，故D正确． 三、 填空题 8．(2025·深圳一调)在等比数列{an}中，已知a1a3＝9，a2＋a4＝9，则a4＝__6__． 【解析】 设等比数列{an}的公比为q，由a1a3＝a＝9，得a2＝±3.又a2＋a4＝9，若a2＝－3，则a4＝12＝a2q2＝－3q2，q2＝－4<0，矛盾，舍去；若a2＝3，则a4＝6＝a2q2＝3q2，q＝±，符合题意．综上，a4＝6. 9．(2023·北京卷)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝__48__；数列{an}所有项的和为__384__． 【解析】 方法一：设前3项的公差为d，后7项的公比为q，则q4＝＝＝16，又q>0，可得q＝2，则a3＝1＋2d＝＝3，即1＋2d＝3，可得d＝1，所以a7＝a3q4＝48，a1＋a2＋…＋a9＝1＋2＋3＋3×2＋…＋3×26＝3＋＝384. 方法二：因为当3≤n≤7时，{an}为等比数列，则a＝a5a9＝12×192＝482，又an>0，所以a7＝48.因为a＝a3a7，所以a3＝＝3.设后7项的公比为q，则q>0，q2＝＝4，解得q＝2，可得a1＋a2＋a3＝＝6，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝＝＝381，所以a1＋a2＋…＋a9＝6＋381－a3＝384. 10．(2025·新高考Ⅰ卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为__2__． 【解析】 设该等比数列为{an}，Sn是其前n项和，公比为q，q>0，则S4＝4，S8＝68，当q＝1时，S4＝4a1＝4，即a1＝1，则S8＝8a1＝8≠68，显然不成立，舍去；当q≠1时，则S4＝＝4，S8＝＝68，两式相除得＝，即＝17，则1＋q4＝17，解得q＝2(舍负)，所以该等比数列的公比为2. 四、 解答题 11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，且Sn＝2an＋1－3，令bn＝. (1) 求证：{an}为等比数列； 【解答】 由Sn＝2an＋1－3，a1＝，可得a2＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an，即＝.又＝，所以＝，所以{an}是首项和公比均为的等比数列． (2) 求使bn取得最大值时n的值． 【解答】 由(1)可得an＝，所以bn＝(n2＋n).当n≥2时，＝＝.当2≤n<5时，>1；当n＝5时，＝1；当n>5时，<1，可知b1<b2<b3<b4＝b5>b6>b7>….所以bn取得最大值时n的值为4或5. 12．(2025·绍兴二模)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1) 记bn＝a2n＋2，求b1，b2并证明数列{bn}是等比数列； 【解答】 由题知a2＝3，a3＝6，a4＝8，所以b1＝5，b2＝10.因为＝＝＝＝2，所以数列{bn}是首项为5，公比为2的等比数列． (2) 记cn＝a2n＋3，求满足c1＋c2＋c3＋…＋cn<100的所有正整数n的值． 【解答】 由(1)知bn＝5×2n-1，所以cn＝5×2n-1＋1，所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＝5×2n＋n－5.因为c1＋c2＋c3＋…＋cn是递增的，且c1＋c2＋c3＋c4＝79<100<c1＋c2＋c3＋c4＋c5＝160，所以正整数n的所有取值为1，2，3，4. B组　能力挑战(挑战点：新定义问题) 13．(2025·吕梁期末节选)如图，在横坐标为x1的点处作f(x)的切线，该切线与x轴的交点为x2； (第13题) 在横坐标为x2的点处作f(x)的切线，该切线与x轴的交点为x3；一直继续下去，得到数列{xn}． (1) 求证：xn＋1＝xn－； 【解答】 函数f(x)在点(xn，f(xn))处的切线斜率为f′(xn)，所以函数y＝f(x)在点(xn，f(xn))处的切线方程为y－f(xn)＝f′(xn)·(x－xn).因为切线过点(xn＋1，0)，所以0－f(xn)＝f′(xn)(xn＋1－xn)，解得xn＋1＝xn－. (2) 若函数f(x)＝x2－x－6，记an＝ln ，a1＝2，xn>3，求数列{an}的通项公式． 【解答】 因为f(x)＝x2－x－6，所以f′(x)＝2x－1，所以xn＋1＝xn－，即xn＋1＋2＝，xn＋1－3＝，所以＝2，则ln ＝2ln ，即an＋1＝2an，又a1＝2，所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，即an＝2n. 学科网（北京）股份有限公司 $