第3章 第16讲 导数与函数的单调性（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数单调性核心考点，涵盖单调区间求解、含参函数单调性讨论、由单调性确定参数范围等高考高频内容，以知识梳理构建体系，通过激活思维题夯实基础，聚焦知识明确方法步骤，题型突破分视角精讲典例与变式，形成完整复习链条。 讲义采用“考点分层突破+真题变式训练”策略，如含参函数单调性讨论中按参数影响分类解析，结合2023新高考Ⅱ卷等真题强化应用，培养学生数学思维与推理能力，配套A组夯基、B组滚动练习实现分层提升，为教师把控复习节奏提供支撑，助力学生高效突破难点提升应考能力。

第16讲　导数与函数的单调性 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)函数f(x)＝ex－x的单调递减区间为(　C　) A．(1，＋∞)　　　　 B．(0，＋∞) C．(－∞，0)　　　　 D．(－∞，1) 【解析】 f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝ex－1<0，得x<0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0). 2．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3，1)，则m＋n的值为(　A　) A．－2 B．2 C．－3 D．1 【解析】 由题设，f′(x)＝x2＋2mx＋n，由f(x)的单调递减区间是(－3，1)，得f′(x)<0的解集为(－3，1)，则－3，1是f′(x)＝0的解，所以－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2. 3．(教材经典题改编)(多选)已知函数y＝f′(x)的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f(x)的判断正确的是(　BD　) (第3题) A．在区间(0，a)上，f(x)为定值 B．函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增 C．函数y＝f(x)在区间(c，e)内单调递增 D．函数y＝f(x)在区间(b，d)内单调递减 【解析】 由图知，当0<x<a时，f′(x)>0且为定值；当a<x<c时，f′(x)单调递减，且当x∈(a，b)时，f′(x)>0，当x∈(b，c)时，f′(x)<0；当c<x<e时，f′(x)单调递增，且当x∈(c，d)时，f′(x)<0，当x∈(d，e)时，f′(x)>0，所以当0<x<a时，f(x)单调递增且为斜率大于0的直线，当a<x<b时，f(x)单调递增，当b<x<c时，f(x)单调递减，当c<x<d时，f(x)单调递减，当d<x<e时，f(x)单调递增，其大致图象如图． (第3题答) 4．(教材经典题改编)函数f(x)＝x3－x2－x的单调递增区间为__和(1，＋∞)__． 【解析】 因为f(x)＝x3－x2－x，所以f′(x)＝3x2－2x－1＝(x－1)(3x＋1).令f′(x)>0，解得x>1或x<－，所以函数f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞). 5．若函数f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是__(－∞，－2]__． 【解析】 因为f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在(0，＋∞)上是减函数，所以f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即f′(x)＝－2x＋4＋≤0(x>0)，即b≤2x2－4x(x>0).因为x>0时，2x2－4x＝2(x－1)2－2≥－2，所以b≤－2. 聚焦知识 1．求可导函数f(x)单调区间的步骤： (1) 确定f(x)的__定义域__； (2) 求导数f′(x)； (3) 在定义域内解不等式f′(x)__>__0(或f′(x)__<__0)，得函数f(x)的单调递增(减)区间； (4) 当__f′(x)>0__时，f(x)在相应区间上是增函数，当__f′(x)<0__时，f(x)在相应区间上是减函数． 2．常用结论 (1) f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件． (2) f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件． (3) 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 题型突破　能力进阶 举题说法 函数单调性的判断 视角1　不含参函数 例 1-1　(1) 已知f(x)＝2x2－3x－ln x，则f(x)的单调递增区间为__(1，＋∞)__． 【解析】 函数f(x)＝2x2－3x－ln x的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝4x－3－＝，由f′(x)>0，得x>1，所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞). (2) 已知函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为__(1，＋∞)__，单调递减区间为__(－∞，0)和(0，1)__． 确定不含参函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“，”或“和”隔开． 变式 1-1　(2026·荆州期初节选)已知函数f(x)＝ex－x2＋sin2x，讨论f(x)在[0，＋∞)上的单调性． 【解答】f(x)＝ex－x2＋sin 2x，求导得f′(x)＝ex－x＋sin 2x.令函数g(x)＝ex－x，x≥0，求导得g′(x)＝ex－1≥0，则函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)≥g(0)＝1，即ex－x≥1，当且仅当x＝0时取等号．当x≥0时，f′(x)≥1＋sin 2x≥0，所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增． 视角2　含参函数 例 1-2　(1) (2025·九江三模节选)已知函数f(x)＝ax2＋(1－2a)x－ln x，其中a<0，讨论f(x)的单调性． 【解答】 函数f(x)＝ax2＋(1－2a)x－ln x的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝2ax＋1－2a－＝.①若－＝1，即a＝－时，f′(x)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②若－<1，即a<－时，由f′(x)>0，得－<x<1；由f′(x)<0，得0<x<－或x>1，故函数f(x)在上单调递增，在，(1，＋∞)上单调递减．③若－>1，即－<a<0时，由f′(x)>0，得1<x<－；由f′(x)<0，得0<x<1或x>－，故函数f(x)在上单调递增，在(0，1)，上单调递减．综上，当－<a<0时，函数f(x)在(0，1)，上单调递减，在上单调递增；当a＝－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a<－时，函数f(x)在，(1，＋∞)上单调递减，在上单调递增． (2) (2025·合肥一检节选)已知函数f(x)＝ln x－a，其中a>0，讨论f(x)的单调性． 【解答】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，f′(x)＝－a－＝.令g(x)＝－ax2＋x－a，x>0，当Δ＝1－4a2≤0，即a≥时，g(x)≤0恒成立，则f′(x)≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当1－4a2>0，即0<a<时，函数g(x)有两个零点x1，x2，且x1＝，x2＝.当x变化时，g(x)，f(x)的变化情况如下表所示： x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞) g(x) — 0 ＋ 0 — f(x) ↘ f(x1) ↗ f(x2) ↘ 综上，当0<a<时，f(x)在内单调递增，在和上单调递减；当a≥时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． (1) 研究含参函数的单调性，要根据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，如：开口方向、是否有解、解是否在定义域的取值范围内、解之间的大小关系等． (2) 划分函数的单调区间时，还要确定导数为0的点和函数的间断点． (3) 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数． 变式 1-2　(2026·深圳11月模拟节选)已知函数f(x)＝(x－1)eax(a≠0). (1) 当a＝1时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； 【解答】 当a＝1时，f(x)＝(x－1)ex，f(1)＝0，f′(x)＝xex，f′(1)＝e，故y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)，即ex－y－e＝0. (2) 讨论f(x)在(0，＋∞)上的单调性． 【解答】 f′(x)＝eax＋a(x－1)eax＝(ax＋1－a)·eax，由于x∈(0，＋∞)，若0<a≤1，则ax＋1－a>0，f′(x)＝(ax＋1－a)·eax>0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；若a>1，令f′(x)>0，得x>1－，令f′(x)<0，得0<x<1－，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增；若a<0，令f′(x)>0，得0<x<1－，令f′(x)<0，得x>1－，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．综上，若a∈(0，1]，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增；若a>1，则f(x)在上单调递减，在上单调递增；若a<0，则f(x)在上单调递减，在上单调递增． 结合函数单调性确定参数 视角1　求参数取值范围 例 2-1　(1) (2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　C　) A．e2 B．e C．e-1 D．e-2 【解析】 依题可知，f′(x)＝aex－≥0在(1，2)上恒成立，显然a>0，所以xex≥.设g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)在(1，2)上单调递增，g(x)>g(1)＝e，故e≥，即a≥＝e-1，即a的最小值为e-1. (2) 若函数h(x)＝ln x－ax2－2x在[1，4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为__(－1，＋∞)__． 【解析】 因为h(x)在[1，4]上存在单调递减区间，所以h′(x)＝－ax－2＜0在[1，4]上有解，所以当x∈[1，4]时，a＞－有解，而当x∈[1，4]时，－＝－1，＝－1(此时x＝1)，所以a＞－1. (3) 若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是(　B　) A．(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞) B．(－3，－1)∪(1，3) C．(－2，2) D．不存在这样的实数k 【解析】 由题意得f′(x)＝3x2－12＝0在(k－1，k＋1)上至少有一个实数根，又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2和x＝－2两侧异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，故只有2或－2在(k－1，k＋1)内，所以k－1<2<k＋1或k－1<－2<k＋1，所以1<k<3或－3<k<－1. 由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法： (1) 可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0 (或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立； (2) 可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集； (3) 若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围． 变式 2-1　(2025·张家口三模改编)已知函数g(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　B　) A． B．(0，1] C．[1，2] D．(1，2] 【解析】 由题意可知h(x)＝在[1，＋∞)上单调递增①，t(x)＝aex-1在(－∞，1)上单调递增②，且t(1)＝ae0＝a≤h(1)＝＝2a③.对于①，要使h(x)＝在[1，＋∞)上单调递增，则h′(x)＝≥0在[1，＋∞)上恒成立，即2a－1≤x2在[1，＋∞)上恒成立，所以2a－1≤(x2)min.因为x2≥1，所以2a－1≤1，解得a≤1；对于②，因为y＝ex-1在(－∞，1)上单调递增，所以t(x)＝aex-1在(－∞，1)上单调递增时，a>0；对于③，a≤2a，所以a≥0，所以解得0<a≤1，所以实数a的取值范围是(0，1]. 视角2　解不等式 例 2-2　(2026·武汉摸底)已知函数f(x)＝－x3，则满足不等式f(m＋2)＋f(2m－1)>2的实数m的取值范围是(　C　) A．　　　　 B． C．　　　　 D． 【解析】 设g(x)＝f(x)－1＝－x3－1＝－x3＝－x3，g(x)的定义域为R，关于原点对称，g(－x)＝－(－x)3＝＋x3＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．因为g′(x)＝－3x2＝－3x2<0，所以g(x)在R上单调递减．由f(m＋2)＋f(2m－1)>2，得[f(m＋2)－1]＋[f(2m－1)－1]>0，即g(m＋2)＋g(2m－1)>0，g(m＋2)>－g(2m－1)＝g(1－2m).因为g(x)在R上单调递减，所以m＋2<1－2m，解得m<－. 变式 2-2　已知定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝x ln (x2＋3)，则满足f(5－a)<f(a＋1)的实数a的取值范围为(　B　) A．(1，＋∞)　　　　 B．(2，＋∞) C．(3，＋∞)　　　　 D．(4，＋∞) 【解析】 f(x)的图象关于x＝1对称，当x≥1时，有f(x)＝x ln (x2＋3)，则f′(x)＝ln (x2＋3)＋>0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故f(x)在(－∞，1)上单调递减．对于f(5－a)<f(a＋1)，则|5－a－1|<|a＋1－1|，可得|4－a|<|a|，所以(4－a)2<a2⇒16<8a⇒a>2. 随堂内化 1．若函数f(x)＝2x2＋ax＋ln x在(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围为(　A　) A．(－∞，－4)　　　　 B．(－∞，－4] C．(－4，＋∞)　　　　 D．[－4，＋∞) 【解析】 f′(x)＝4x＋a＋，x>0，因为f′(x)＝4x＋a＋≥2＋a＝4＋a，所以f′(x)的最小值为4＋a.若函数f(x)＝2x2＋ax＋ln x在(0，＋∞)上不单调，则4＋a<0，解得a<－4. 2．(2025·晋城一模)若函数f(x)＝ax3－x2＋a在[－6，－4]上单调递减，则实数a的取值范围为(　D　) A．　　　　 B． C．　　　　 D． 【解析】 因为f(x)＝ax3－x2＋a，所以f′(x)＝3ax2－2x，由题意得，f′(x)＝3ax2－2x≤0对x∈[－6，－4]恒成立，则a≤对x∈[－6，－4]恒成立．因为函数g(x)＝在[－6，－4]上为减函数，所以g(x)min＝g(－4)＝－，所以a≤－，即实数a的取值范围为. 3．(2025·萍乡一模节选)已知函数f(x)＝e2x－(a＋2)ex＋2ax＋1，其中a∈R，讨论f(x)的单调性． 【解答】 f′(x)＝e2x－(a＋2)ex＋2a＝(ex－2)·(ex－a).当a≤0时，ex－a>0，令f′(x)>0，得x>ln 2；令f′(x)<0，得x<ln 2，所以f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln 2)上单调递减．当a＝2时，f′(x)＝(ex－2)2≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．当a>2时，令f′(x)>0，得x>ln a或x<ln 2；令f′(x)<0，得ln 2<x<ln a，所以f(x)在(－∞，ln 2)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，ln a)上单调递减．当0<a<2时，令f′(x)>0，得x>ln 2或x<ln a；令f′(x)<0，得ln a<x<ln 2，所以f(x)在(－∞，ln a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(ln a，ln 2)上单调递减．综上，当a≤0时，f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln 2)上单调递减；当0<a<2时，f(x)在(－∞，ln a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(ln a，ln 2)上单调递减；当a＝2时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>2时，f(x)在(－∞，ln 2)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，ln a)上单调递减． 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．函数y＝＋ln x的单调递增区间为(　D　) A．(0，2) B．(0，1) C．(2，＋∞) D．(1，＋∞) 【解析】 函数的定义域为(0，＋∞)，y＝＋ln x＝x＋＋ln x，则y′＝1－＋＝＝.令解得x∈(1，＋∞). 2．(2026·辽宁期初)已知连续函数f(x)的导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)在[－2，2]上的图象，则(　A　) (第2题) A．f(x)在[－1，0]上单调递减 B．f(x)在[0，1]上单调递减 C．f(x)在[－1，2]上单调递增 D．f(x)在[－2，0]上单调递增 【解析】 由图象可得当－2≤x<－1时，xf′(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)在[－2，－1)上单调递增；当－1<x<0时，xf′(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)在(－1，0)上单调递减，当0<x<1时，xf′(x)>0，此时f′(x)>0，函数f(x)在(0，1)上单调递增，当1<x≤2时，xf′(x)>0，此时f′(x)>0，函数f(x)在(1，2]上单调递增．又f′(－1)＝0，f′(0)＝0，f′(1)＝0，f(x)为连续函数，故B，C，D都错误，A正确． 3．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　A　) A． B． C．(1，2] D．[1，2) 【解析】 显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝.由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为.因为函数f(x)在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1<<k＋1，解得－<k<.又因为(k－1，k＋1)为定义域内的一个子区间，所以k－1≥0，即k≥1.综上，实数k的取值范围是. 4．(2025·邵阳二模)已知函数f(x)＝3x3－sin x＋x，则满足f(x)＋f(4－3x)<0的x的取值范围是(　C　) A．(1，＋∞)　　　　 B．(－∞，1) C．(2，＋∞)　　　　 D．(－∞，2) 【解析】 f(x)＝3x3－sin x＋x，定义域为R，f(－x)＝－3x3＋sin x－x＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f′(x)＝9x2－cos x＋1≥0，所以f(x)在R上单调递增，所以f(x)＋f(4－3x)<0，即f(x)<－f(4－3x)＝f(3x－4)，即x<3x－4，解得x>2，故x的取值范围是(2，＋∞). 二、 多项选择题 5．若函数f(x)＝x3－x2－2x＋1是区间(m－1，m＋3)上的单调函数，则实数m的值可以是(　ACD　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 【解析】 因为f(x)＝x3－x2－2x＋1，x∈R，所以f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1).由f′(x)<0，可得－1<x<2，由f′(x)>0，可得x<－1或x>2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(－1，2).若函数f(x)在(m－1，m＋3)上单调递减，则(m－1，m＋3)⊆(－1，2)，且m－1<m＋3，则无解；若函数f(x)在(m－1，m＋3)上单调递增，则(m－1，m＋3)⊆(－∞，－1)或(m－1，m＋3)⊆(2，＋∞)，即m＋3≤－1或m－1≥2，解得m≤－4或m≥3. 6．若函数y＝在(1，＋∞)上单调递减，则称f(x)为“P函数”．下列函数中为“P函数”的为(　AC　) A．f(x)＝1 B．f(x)＝x C．f(x)＝ D．f(x)＝ 【解析】 对于A，y＝＝，当x∈(1，＋∞)时，y＝ln x为增函数，故y＝为减函数，所以f(x)＝1为“P函数”，故A符合．对于B，y＝＝，y′＝，令y′＝0，得x＝e.当x∈(1，e)时，y′<0，即y＝在(1，e)上单调递减；当x∈(e，＋∞)时，y′>0，即y＝在(e，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝x不是“P函数”，故B不符合．对于C，y＝＝，y′＝，当x∈(1，＋∞)时，y′<0，则y＝在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝为“P函数”，故C符合．对于D，y＝＝，y′＝，令y′＝0，得x＝e2，当x∈(1，e2)时，y′<0，即y＝在(1，e2)上单调递减；当x∈(e2，＋∞)时，y′>0，即y＝在(e2，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝不是“P函数”，故D不符合. 三、 填空题 7．已知函数f(x)＝cos x＋x sin x，x∈(－π，π)，那么f(x)的单调递增区间为__，__，单调递减区间为__，__． 【解析】 函数f(x)＝cos x＋x sin x，x∈(－π，π)，求导得f′(x)＝－sin x＋sin x＋x cos x＝x cos x．当－π<x<－时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当－<x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当0<x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当<x<π时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)的单调递增区间为，，单调递减区间为，. 8．(2025·聊城二模改)若f(x)＝x＋，则不等式f(xex－2)＋f(2ex－x)<0的解集为__(－∞，－2)∪(0，＋∞)__. 【解析】 由f(x)＝x＋，x∈R，得f(－x)＝－x＋＝－f(x)，知f(x)为奇函数，且f′(x)＝1－≤1－＝0，故f(x)单调递减，则不等式f(xex－2)＋f(2ex－x)<0化简为f(xex－2)<－f(2ex－x)＝f(x－2ex)，所以xex－2>x－2ex，即(x＋2)(ex－1)>0，解得x>0或x<－2. 9．已知f(x)＝x2－mx，g(x)＝(x＋m)ex，两个函数图象至少有一个在区间(－1，2)上不单调，则实数m的取值范围是__(－3，4)__． 【解析】 由函数f(x)＝x2－mx的对称轴为x＝，若f(x)在(－1，2)上不单调，则满足－1<<2，解得－2<m<4.由函数g(x)＝(x＋m)·ex，可得g′(x)＝(x＋m＋1)ex，若g(x)在(－1，2)上不单调，则满足－1<－m－1<2，解得－3<m<0.由两个函数图象至少有一个在区间(－1，2)上不单调，则有－2<m<4或－3<m<0，可得－3<m<4，所以实数m的取值范围为(－3，4). 四、 解答题 10．(1) (2025·保定一模节选)已知函数f(x)＝ax2－(a＋3)x＋ln x，讨论函数f(x)的单调性． 【解答】 函数f(x)＝ax2－(a＋3)x＋ln x的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝3ax－(a＋3)＋＝.当a≤0时，由f′(x)>0，得0<x<；由f′(x)<0，得x>，故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．当0<a<3时，由f′(x)>0，得0<x<或x>；由f′(x)<0，得<x<，故函数f(x)在，上单调递增，在上单调递减．当a＝3时，f′(x)≥0，当且仅当x＝时取等号，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a>3时，由f′(x)>0，得0<x<或x>；由f′(x)<0，得<x<，故函数f(x)在，上单调递增，在上单调递减．综上，当a≤0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减；当0<a<3时，函数f(x)在，上单调递增，在上单调递减；当a＝3时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>3时，函数f(x)在，上单调递增，在上单调递减． (2) (2026·南京期初节选)已知函数f(x)＝ln (ax)＋＋a(x－1)，其中a≠0，讨论f(x)的单调性． 【解答】 已知f(x)＝ln (ax)＋＋a(x－1)，f′(x)＝－＋a＝.当a>0时，定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，二次函数y＝ax2＋x－1图象开口向上，且Δ＝1＋4a>0，令ax2＋x－1＝0，此方程在(0，＋∞)上必有解x＝，当0<x<时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减；当x>时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增．当a<0时，定义域为(－∞，0)，则f′(x)＝<0恒成立，f(x)在(－∞，0)上单调递减．综上所述，当a>0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；当a<0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减． 11．(2025·泉州三检节选)设函数f(x)＝ex+1－x2－kx. (1) 当k＝0时，求曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程； 【解答】 当k＝0时，f(x)＝ex+1－x2，则f′(x)＝ex+1－2x，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线斜率为f′(－1)＝3，又f(－1)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为y＝3x＋3. (2) 若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数k的取值范围． 【解答】 f′(x)＝ex+1－2x－k，由题意得，当x∈[－1，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立．令F(x)＝f′(x)，则F′(x)＝ex+1－2，且F′(x)在[－1，＋∞)上单调递增．令F′(x)＝0，解得x＝ln 2－1>－1，所以当x∈(－1，ln 2－1)时，F′(x)<0，故F(x)单调递减；当x∈(ln 2－1，＋∞)时，F′(x)>0，故F(x)单调递增，所以F(x)min＝F(ln 2－1)＝4－2ln 2－k.又f′(x)≥0恒成立，所以F(x)min≥0，故k≤4－2ln 2，即实数k的取值范围是(－∞，4－2ln 2]. B组　滚动小练 12．(2026·无锡期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝10x，则f(lg 3)＝(　C　) A．－3 B．3 C．－ D． 【解析】 由题意知函数f(x)是定义在R上的奇函数，故f(lg 3)＝－f(－lg 3)＝－f，而lg <0，故f＝10lg ＝，则f(lg 3)＝－. 13．(2026·肇庆一模)已知f(x)＝ex－e－x，若f(x＋1)＋f(x－1)>0，则x的取值范围是(　A　) A．(0，＋∞)　　　　 B．(1，＋∞) C．(－1，＋∞)　　　　 D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 【解析】 函数f(x)＝ex－e－x的定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数．而函数y＝ex，y＝－e－x在R上都单调递增，则函数f(x)在R上单调递增，不等式f(x＋1)＋f(x－1)>0，即f(x＋1)>－f(x－1)＝f(－x＋1)，则x＋1>－x＋1，解得x>0，所以x的取值范围是(0，＋∞). 14．(2026·杭州一模)《算经十书》是中国古代数学典籍的合集．书中记载(用现代文表达)：今有牛、羊、猪各数头(各有至少1头)，已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪、羊数量之和，则牛、羊、猪的总头数至少为(　B　) A．12 B．15 C．18 D．21 【解析】 设牛、羊、猪分别为x，y，z头，则根据题意有则x>3，故xmin＝4，则ymin＝5，zmin＝6，此时满足3x>y＋z，故(x＋y＋z)min＝4＋5＋6＝15. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲　导数与函数的单调性 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)函数f(x)＝ex－x的单调递减区间为(　　) A．(1，＋∞)　　　　 B．(0，＋∞) C．(－∞，0)　　　　 D．(－∞，1) 2．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3，1)，则m＋n的值为(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．1 3．(教材经典题改编)(多选)已知函数y＝f′(x)的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f(x)的判断正确的是(　　) (第3题) A．在区间(0，a)上，f(x)为定值 B．函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增 C．函数y＝f(x)在区间(c，e)内单调递增 D．函数y＝f(x)在区间(b，d)内单调递减 4．(教材经典题改编)函数f(x)＝x3－x2－x的单调递增区间为____． 5．若函数f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是____． 聚焦知识 1．求可导函数f(x)单调区间的步骤： (1) 确定f(x)的____； (2) 求导数f′(x)； (3) 在定义域内解不等式f′(x)____0(或f′(x)____0)，得函数f(x)的单调递增(减)区间； (4) 当____时，f(x)在相应区间上是增函数，当____时，f(x)在相应区间上是减函数． 2．常用结论 (1) f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件． (2) f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件． (3) 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 题型突破　能力进阶 举题说法 函数单调性的判断 视角1　不含参函数 例 1-1　(1) 已知f(x)＝2x2－3x－ln x，则f(x)的单调递增区间为____． (2) 已知函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为____，单调递减区间为____． 确定不含参函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意：一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“，”或“和”隔开． 变式 1-1　(2026·荆州期初节选)已知函数f(x)＝ex－x2＋sin2x，讨论f(x)在[0，＋∞)上的单调性． 视角2　含参函数 例 1-2　(1) (2025·九江三模节选)已知函数f(x)＝ax2＋(1－2a)x－ln x，其中a<0，讨论f(x)的单调性． (2) (2025·合肥一检节选)已知函数f(x)＝ln x－a，其中a>0，讨论f(x)的单调性． (1) 研究含参函数的单调性，要根据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，如：开口方向、是否有解、解是否在定义域的取值范围内、解之间的大小关系等． (2) 划分函数的单调区间时，还要确定导数为0的点和函数的间断点． (3) 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数． 变式 1-2　(2026·深圳11月模拟节选)已知函数f(x)＝(x－1)eax(a≠0). (1) 当a＝1时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2) 讨论f(x)在(0，＋∞)上的单调性． 结合函数单调性确定参数 视角1　求参数取值范围 例 2-1　(1) (2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A．e2 B．e C．e-1 D．e-2 (2) 若函数h(x)＝ln x－ax2－2x在[1，4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为____． (3) 若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞) B．(－3，－1)∪(1，3) C．(－2，2) D．不存在这样的实数k 由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法： (1) 可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0 (或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立； (2) 可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集； (3) 若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围． 变式 2-1　(2025·张家口三模改编)已知函数g(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A． B．(0，1] C．[1，2] D．(1，2] 视角2　解不等式 例 2-2　(2026·武汉摸底)已知函数f(x)＝－x3，则满足不等式f(m＋2)＋f(2m－1)>2的实数m的取值范围是(　　) A．　　　　 B． C．　　　　 D． 变式 2-2　已知定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝x ln (x2＋3)，则满足f(5－a)<f(a＋1)的实数a的取值范围为(　　) A．(1，＋∞)　　　　 B．(2，＋∞) C．(3，＋∞)　　　　 D．(4，＋∞) 随堂内化 1．若函数f(x)＝2x2＋ax＋ln x在(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－4)　　　　 B．(－∞，－4] C．(－4，＋∞)　　　　 D．[－4，＋∞) 2．(2025·晋城一模)若函数f(x)＝ax3－x2＋a在[－6，－4]上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A．　　　　 B． C．　　　　 D． 3．(2025·萍乡一模节选)已知函数f(x)＝e2x－(a＋2)ex＋2ax＋1，其中a∈R，讨论f(x)的单调性． 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．函数y＝＋ln x的单调递增区间为(　　) A．(0，2) B．(0，1) C．(2，＋∞) D．(1，＋∞) 2．(2026·辽宁期初)已知连续函数f(x)的导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)在[－2，2]上的图象，则(　　) (第2题) A．f(x)在[－1，0]上单调递减 B．f(x)在[0，1]上单调递减 C．f(x)在[－1，2]上单调递增 D．f(x)在[－2，0]上单调递增 3．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　) A． B． C．(1，2] D．[1，2) 4．(2025·邵阳二模)已知函数f(x)＝3x3－sin x＋x，则满足f(x)＋f(4－3x)<0的x的取值范围是(　　) A．(1，＋∞)　　　　 B．(－∞，1) C．(2，＋∞)　　　　 D．(－∞，2) 二、 多项选择题 5．若函数f(x)＝x3－x2－2x＋1是区间(m－1，m＋3)上的单调函数，则实数m的值可以是(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 6．若函数y＝在(1，＋∞)上单调递减，则称f(x)为“P函数”．下列函数中为“P函数”的为(　　) A．f(x)＝1 B．f(x)＝x C．f(x)＝ D．f(x)＝ 三、 填空题 7．已知函数f(x)＝cos x＋x sin x，x∈(－π，π)，那么f(x)的单调递增区间为____，单调递减区间为____． 8．(2025·聊城二模改)若f(x)＝x＋，则不等式f(xex－2)＋f(2ex－x)<0的解集为____. 9．已知f(x)＝x2－mx，g(x)＝(x＋m)ex，两个函数图象至少有一个在区间(－1，2)上不单调，则实数m的取值范围是____． 四、 解答题 10．(1) (2025·保定一模节选)已知函数f(x)＝ax2－(a＋3)x＋ln x，讨论函数f(x)的单调性． (2) (2026·南京期初节选)已知函数f(x)＝ln (ax)＋＋a(x－1)，其中a≠0，讨论f(x)的单调性． 11．(2025·泉州三检节选)设函数f(x)＝ex+1－x2－kx. (1) 当k＝0时，求曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程； B组　滚动小练 12．(2026·无锡期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝10x，则f(lg 3)＝(　　) A．－3 B．3 C．－ D． 13．(2026·肇庆一模)已知f(x)＝ex－e－x，若f(x＋1)＋f(x－1)>0，则x的取值范围是(　　) A．(0，＋∞)　　　　 B．(1，＋∞) C．(－1，＋∞)　　　　 D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 14．(2026·杭州一模)《算经十书》是中国古代数学典籍的合集．书中记载(用现代文表达)：今有牛、羊、猪各数头(各有至少1头)，已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪、羊数量之和，则牛、羊、猪的总头数至少为(　　) A．12 B．15 C．18 D．21 学科网（北京）股份有限公司 $