第3章 第15讲 导数的几何意义和四则运算（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数的几何意义和四则运算核心考点，以概念（平均/瞬时变化率）、几何物理意义（切线方程、瞬时速度）、运算公式（基本公式、运算法则）为逻辑主线，通过知识梳理构建体系，激活思维夯实基础，聚焦知识明确考点，题型突破分层指导，帮助学生系统掌握导数应用的关键难点。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，如通过“在某点处切线”与“过某点处切线”的对比分析，引导学生逻辑推理切线问题解法，结合2024全国甲卷等真题讲解距离最值转化策略。设置随堂内化与配套精练（单选、多选、填空），分层突破考点，有效提升学生解题能力，为教师把控复习节奏提供实用教学资源。

第三章　一元函数的导数及其应用 第15讲　导数的几何意义和四则运算 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(　A　) (第1题) A．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0 B．f′(1)<f′(2)<f′(3)<0 C．0<f′(1)<f′(2)<f′(3) D．f′(1)>f′(2)>0>f′(3) 【解析】 由图象可知函数f(x)是单调递增的，所以f′(1)，f′(2)，f′(3)均为正．从图中还可以看出函数f(x)切线的斜率是随着自变量x的增大而逐渐减小的，因此该函数的导函数单调递减，所以有f′(1)>f′(2)>f′(3)>0. 2．(教材经典题改编)(多选)下列求导运算正确的是(　AD　) A．y＝x5在x＝3处的导数是405 B．y＝ln x在x＝处的导数是 C．y＝sin x在x＝2π处的导数是0 D．y＝ex在x＝0处的导数是1 【解析】 对于A，因为y＝x5，所以y′＝5x4，所以在x＝3处的导数为5×34＝405，故A正确；对于B，因为y＝ln x，所以y′＝，所以在x＝处的导数为，故B错误；对于C，因为y＝sin x，所以y′＝cos x，所以在x＝2π处的导数为cos 2π＝1，故C错误；对于D，因为y＝ex，所以y′＝ex，所以在x＝0处的导数为e0＝1，故D正确． 3．设函数f(x)满足 ＝1，则f′(x0)＝(　B　) A．1 B．2 C． D．3 【解析】 由 ＝1，得 ＝1，所以f′(x0)＝ ＝2. 4．(教材经典题)一个质量为m＝3 kg的物体做直线运动，设位移y(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数y(t)＝1＋t2 表示，并且物体的动能Ek＝mv2(单位：J)，则物体开始运动后第5 s时的动能为__150__J. 【解析】 因为y＝1＋t2，求导得y′＝2t，所以该物体在t＝5 s的瞬时速度为10 m/s，则物体开始运动后第5 s时的动能为mv2＝×3×102＝150(J). 5．(教材经典题)曲线y＝在点处的切线方程是__y＝x＋__． 【解析】 设y＝f(x)＝(3x－1)，则f′(x)＝3×(3x－1)－＝(3x－1)－，则f′＝1，因此曲线y＝在点处的切线方程为y－1＝x－，即y＝x＋. 聚焦知识 1．概念 (1) 平均变化率：已知函数y＝f(x)，把式子＝称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率． (2) 瞬时变化率：f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，即f′(x0)＝ ；当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数． 2．几何意义 (1) “在”点P(x0，f(x0))处的切线方程是__y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)__． (2) “过”点(x1，y1)的切线：①设切点(x0，y0)；②求切线方程；③列方程组：切点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，即y0＝f(x0)；切点在切线y－y1＝f′(x0)(x－x1)上；④解方程组，得x0，求切线方程． 3．物理意义 若物体的位移函数为y＝s(t)，则瞬时速度v＝__s′(t)__，加速度a＝__s″(t)__． 4．运算 (1) 基本公式 ①C′＝0； ②(xn)′＝__nxn-1__； ③(sin x)′＝__cos x__； ④(cos x)′＝__－sin x__； ⑤(ax)′＝__axln a__； ⑥(ex)′＝__ex__； ⑦(logax)′＝____； ⑧(ln x)′＝____． (2) 运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__； ②[f(x)·g(x)]′＝__f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)__； ③′＝____(g(x)≠0)； ④复合函数求导法则 [f(g(x))]′＝__f′(g(x))·g′(x)__． 题型突破　能力进阶 举题说法 导数的运算 视角1　导数的定义 例 1-1　(1) 下列命题正确的是(　A　) A．平均变化率＝就是图象上两点(x1，y1)，(x2，y2)连线的斜率 B．函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓” C．若某质点运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝，则该质点在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s D．已知函数h(x)在R上可导，若 ＝2，则h′(1)＝2 【解析】 对于A，根据平均变化率的定义，对于函数y＝f(x)，在区间[x1，x2]上的平均变化率＝，从几何意义上讲，就是函数图象上两点(x1，y1)，(x2，y2)连线的斜率，故A正确；对于B，导数的几何意义是函数在某一点处的切线的斜率，反映函数的变化快慢，应该是函数的导数的绝对值越小，说明函数在某点处切线斜率的绝对值越小，即函数的变化越慢，函数的图象就越平缓，故B错误；对于C，s′(t)＝－，s′(3)＝－，所以该质点在t＝3 s时的瞬时速度为－ m/s，故C错误；对于D，已知函数h(x)在R上可导，由 ＝ ＝2，即 ＝4，所以h′(1)＝4，故D错误． (2) 已知函数f(x)＝2ln x＋8x，则 的值为(　D　) A．－20 B．－10 C．10 D．20 【解析】 因为f(x)＝2ln x＋8x，所以f′(x)＝＋8，所以 ＝2 ＝2f′(1)＝20. 视角2　导数的运算 例 1-2　 (1) (教材经典题)求下列函数的导数． ①y＝2x＋log2x； 【解答】 y′＝2xln 2＋. ②y＝； 【解答】 y′＝＝. ③y＝(3x＋1)2ln (3x)； 【解答】y′＝[(3x＋1)2]′ln (3x)＋(3x＋1)2[ln (3x)]′＝6(3x＋1)ln (3x)＋. ④y＝3xe-3x. 【解答】 y′＝(3x)′e-3x＋3x(e-3x)′＝3xe-3xln 3－3x+1e-3x. (2) 已知函数f(x)＝x3＋f′(1) x2＋3x＋10，则f(3)＝(　C　) A．－1 B．0 C．－8 D．1 【解析】 因为函数f(x)＝x3＋f′(1)x2＋3x＋10，所以f′(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则f′(1)＝1＋2f′(1)＋3，解得f′(1)＝－4，则f(x)＝x3－4x2＋3x＋10，所以f(3)＝×33－4×32＋3×3＋10＝－8. (1) 求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2) 抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3) 复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 变式 1-2　(1) (2026·镇江期初)(多选)下列求导结果正确的有(　BD　) A．(e2＋x)′＝e2＋1 B．′＝ C．′＝＋ D．(x2cos x)′＝2x cos x－x2sin x 【解析】 对于A，(e2＋x)′＝1，故A错误；对于B，′＝＝，故B正确；对于C，′＝ln 2·2x＋，故C错误；对于D，(x2cos x)′＝2x cos x－x2sin x，故D正确． (2) (2026·周口期初)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)＝(　B　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，因为f(1)＝1，所以g(1)＝0.因为f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，所以f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，所以f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2. 导数的几何意义 视角1　在某点处的切线 例 2-1　(2024·全国甲卷理)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　A　) A． B． C． D． 【解析】 f(x)＝，则f′(x)＝，故f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝3x＋1.令x＝0，解得y＝1，令y＝0，解得x＝－，故所求三角形的面积为S＝×|－|×1＝. 变式 2-1　(1) (2025·湛江二模)已知函数f(x)＝ex＋2x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　B　) A．y＝2x＋1　　　　 B．y＝3x＋1 C．y＝2x　　　　 D．y＝3x 【解析】 由f(x)＝ex＋2x，得f′(x)＝ex＋2，则f(0)＝1，f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝3x＋1. (2) (2026·南通如东期初)若直线y＝2x－4是曲线y＝ln x＋x＋a的切线，则实数a的值是__－3__． 【解析】 由y＝ln x＋x＋a，则y′＝＋1.因为直线y＝2x－4是曲线y＝ln x＋x＋a的切线，所以y′＝＋1＝2，解得x＝1，所以1＋a＝2－4，解得a＝－3. 视角2　过某点的切线 例 2-2　(1) 已知曲线y＝x3＋，那么曲线过点P(2，4)的切线方程为__y＝4x－4或y＝x＋2__． 【解析】 设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，y′＝x2，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝x，所以切线方程为y－x－＝x(x－x0)，代入点P(2，4)，可得4－x－＝x(2－x0)，即x－3x＋4＝0，解得x0＝2或x0＝－1，故所求的切线方程为y＝4x－4或y＝x＋2. (2) (2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__(－∞，－4)∪(0，＋∞)__. 【解析】 由y＝(x＋a)ex，得y′＝(x＋a＋1)ex，设切点为(x0，(x0＋a)e x0)，则切线斜率为(x0＋a＋1)e x0，可得切线方程为y－(x0＋a)e x0＝(x0＋a＋1)e x0 (x－x0).又切线过原点，所以－(x0＋a)·e x0＝－x0(x0＋a＋1)e x0，化简得x＋ax0－a＝0(*).又切线有两条，即方程(*)有两个不等实根，则Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0. 变式 2-2　(1) (2026·青岛10月调研)写出过坐标原点且与曲线y＝e|2x|相切的一条直线方程：__y＝2ex(或y＝－2ex)__． 【解析】 当x≥0时，y＝e2x，y′＝2e2x，设切点坐标为(x0，e2x0)，则＝2 e2x0，解得x0＝，所以切点坐标为，切线方程为y－e＝2e，即y＝2ex.因为y＝e|2x|为偶函数，所以它的图象关于y轴对称，则它的过原点的切线也关于y轴对称，所以它的另一条切线方程为y＝－2ex. (2) 已知过点A(a，0)作曲线y＝(2－x)·ex-1的切线有且仅有1条，则a的值为(　A　) A．－2或2　　　　 B．－1或3 C．3　　　　 D．－2 【解析】 设切点为(x0，(2－x0)ex0－1)，由已知得y′＝(1－x)ex－1，则切线斜率k＝(1－x0)ex0－1，所以切线方程为y－(2－x0)e x0－1＝(1－x0)ex0－1(x－x0).因为切线过点A(a，0)，则－(2－x0)ex0－1＝(1－x0)e x0－1 (a－x0)，化简得x－(a＋2)x0＋a＋2＝0.又因为切线有且仅有1条，所以Δ＝(a＋2)2－4(a＋2)＝0，解得a＝－2或2. (1) 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． (2) 处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． 导数几何意义的应用 例3　已知点P是曲线C1：y＝x3＋2x2＋x＋1在点(0，1)处的切线上的任意一点，点Q是曲线C2：y＝上的任意一点，则PQ的最小值是____． 【解析】 由点P是曲线C1：y＝x3＋2x2＋x＋1在点(0，1)处的切线上的任意一点，可得y′＝x2＋4x＋1，y′|x＝0＝1，所以点P满足的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.设与直线x－y＋1＝0平行的直线与曲线C2：y＝相切的切点坐标为，可得y′＝，所以＝1，解得m＝1，切点坐标为(1，0)，切线方程为x－y－1＝0，则PQ的最小值是两平行线之间的距离＝. 距离最值转化问题解题技巧 (1) 将距离问题转化为平行切线问题； (2) 求与给定直线平行且与曲线相切的直线； (3) 计算两平行线间距离． 变式3　若点P是曲线y＝ln x－x2上任意一点，则点P到直线l：x＋y－4＝0距离的最小值为(　C　) A． B． C．2 D．4 【解析】 过点P作曲线y＝ln x－x2的切线，当切线与直线l：x＋y－4＝0平行时，点P到直线l：x＋y－4＝0的距离最小，设此时切点为P(x0，y0)(x0>0)，y′＝－2x，所以切线斜率为k＝－2x0.由题知－2x0＝－1，解得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以P(1，－1)，此时点P到直线l：x＋y－4＝0的距离d＝＝2. 随堂内化 1．(2024·全国甲卷文)曲线f(x)＝x6＋3x－1在点(0，－1)处的切线与坐标轴围成的面积为(　A　) A． B． C． D．－ 【解析】 因为f(x)＝x6＋3x－1，所以f′(x)＝6x5＋3，曲线在点(0，－1)处的切线斜率k＝3，故曲线在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1，则其与坐标轴围成的面积S＝×1×＝. 2．若函数f(x)满足 ＝，则f′(1)＝__－__． 【解析】 由导数的定义知， ＝－＝－f′(1)＝，所以f′(1)＝－. 3．(2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝ln (x＋1)，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为__y＝－ln_2·(x－1)__． 【解析】 f′(x)＝－ln (x＋1)＋·，f(1)＝0，f′(1)＝－ln 2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－f(1)＝f′(1)·(x－1)，即y＝－ln 2·(x－1). 4．过点(－1，0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程：__2x－y＋2＝0(或x＋4y＋1＝0)__． 【解析】 y＝x3－x，y′＝3x2－1，设切点坐标为(x0，x－x0)，则切线斜率为3x－1，切线方程为y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)，代入点(－1，0)，得2x＋3x－1＝0，即(x0＋1)2(2x0－1)＝0，解得x0＝－1或x0＝.当x0＝－1时，切线方程为2x－y＋2＝0；当x0＝时，切线方程为x＋4y＋1＝0. 配套精练 一、 单项选择题 1．(2025·南通期末)已知函数f(x)＝，则式子(x>0)表示(　C　) A．f(x)在x＝1＋Δx处的导数 B．f(x)在x＝1处的导数 C．f(x)在[1，1＋x]上的平均变化率 D．f(x)在[1－x，1]上的平均变化率 2．已知函数f(x)＝ex－f′(1)x，则(　C　) A．f(1)＝－　　　　 B．f′(1)＝－ C．f(2)＝e2－e　　　　 D．f′(2)＝e2－e 3．(2026·如东期初)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(ex)＝x＋1，则f′(e)＝(　D　) A．1 B．2 C．e D． 【解析】 已知f(ex)＝x＋1，令t＝ex(t>0)，则x＝ln t，代入f(ex)＝x＋1，得f(t)＝ln t＋1，即f(x)＝ln x＋1.对其求导得f′(x)＝，将x＝e代入得f′(e)＝. 4．(2025·安庆三模)曲线y＝e-2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　A　) A． B． C． D．1 【解析】 因为y′＝－2e-2x，y′|x＝0＝－2，所以曲线y＝e-2x＋1在点(0，2)处的切线方程为y＝－2x＋2，易知它与y＝x的交点为，与y＝0的交点为(1，0)，所以所求三角形面积为××1＝. 5．(2026·湛江10月调研)曲线y＝ln x＋ax＋在点(1，a＋1)处的切线l过定点(　D　) A．(1，2) B．(1，1) C．(1，0) D．(0，1) 【解析】 令函数f(x)＝ln x＋ax＋，则f′(x)＝＋a－，故f(1)＝a＋1，f′(1)＝a，所以l的方程为y－(a＋1)＝a(x－1)，整理得y＝ax＋1，所以l经过定点(0，1). 6．曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋8＝0的最短距离是(　A　) A．2 B．2 C．2 D． 【解析】 如图，将直线2x－y＋8＝0平移至与函数f(x)＝ln (2x－1)图象相切时，切点到直线2x－y＋8＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，f(x0))，f′(x)＝，令f′(x0)＝2，得x0＝1，则切点坐标为(1，0)，所以切点(1，0)到直线2x－y＋8＝0的距离为d＝＝2. (第6题答) 7．(2025·清远二模)设曲线y＝e(n+1)x(n∈N*)在(1，en+1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 025x1＋log2 025x2＋log2 025x3＋…＋log2 025x2 024的值为(　A　) A．－1　　　　 B．－log2 0252 024 C．log2 0252 024－1　　　　 D．1 【解析】 由y＝e(n+1)x(n∈N*)，可得y′＝(n＋1)·e(n+1)x，所以曲线y＝e(n+1)x(n∈N*)在(1，en+1)处的切线方程是y－en+1＝(n＋1)en+1(x－1).令y＝0，得xn＝，所以log2 025x1＋log2 025x2＋log2 025x3＋…＋log2 025x2 024＝log2 025(x1x2x3…x2 024)＝log2 025＝log2 025＝－1. 8．(2025·佛山一模)若直线y＝x＋a与曲线y＝ln (x＋b)相切，则a2＋b2的最小值为(　A　) A． B．1 C． D．2 【解析】 设直线y＝x＋a与曲线y＝ln (x＋b)相切于点为(x0，y0).对y＝ln (x＋b)求导，可得y′＝.因为直线y＝x＋a的斜率为1，由导数的几何意义可知＝1，即x0＝1－b.又因为切点(x0，y0)既在直线上又在曲线上，所以y0＝x0＋a且y0＝ln (x0＋b)，即ln (x0＋b)＝x0＋a.将x0＝1－b代入ln (x0＋b)＝x0＋a可得ln (1－b＋b)＝1－b＋a，即a＝b－1.将a＝b－1代入a2＋b2可得a2＋b2＝(b－1)2＋b2＝2b2－2b＋1＝22＋，所以当b＝，a＝－时，a2＋b2取得最小值. 二、 多项选择题 9．(2025·镇江期初)下列求导运算正确的是(　CD　) A．(e3x)′＝3ex B．′＝x C．(2sin x－3)′＝2cos x D．′＝ 【解析】 对于A，(e3x)′＝e3x·(3x)′＝3e3x，故A错误；对于B，′＝＝＝，故B错误；对于C，(2sin x－3)′＝2cos x，故C正确；对于D，′＝·′＝·＝，故D正确． 10．已知曲线f(x)＝x3－x2＋ax－1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的可能取值为(　AC　) A． B．3 C． D． 【解析】 因为f(x)＝x3－x2＋ax－1，所以f′(x)＝2x2－2x＋a，令切点的横坐标为m，且m>0，可得切线斜率k＝2m2－2m＋a＝3，即2m2－2m＋a－3＝0，由题意可得关于m的方程2m2－2m＋a－3＝0有两个不等的正根，则即解得3<a<，所以a的取值可能为，. 11．若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t，则称函数y＝f(x)为“t型函数”．下列函数中为“2型函数”的有(　CD　) A．y＝x－x3　　　　 B．y＝x＋ex C．y＝sin x　　　　 D．y＝x＋cos x 【解析】 对于A，y＝x－x3的导数为y′＝1－3x2，由1－3x＋1－3x＝2，得3x＋3x＝0，得x1＝x2＝0，故A不是“2型函数”；对于B，y＝x＋ex的导数为y′＝1＋ex，可得函数图象上在任意两点处的切线的斜率之和大于2，故B不是“2型函数”；对于C，y′＝cos x，由cos x1＋cos x2＝2，得cos x1＝cos x2＝1，可取x1＝0，x2＝2π，故C是“2型函数”；对于D，y＝x＋cos x的导数为y′＝1－sin x，若1－sin x1＋1－sin x2＝2，即sin x1＝－sin x2，此时有无数多个解，故D是“2型函数”． 三、 填空题 12．(2025·新高考Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则实数a＝__4__． 【解析】 方法一：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2，所以令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5，所以切点坐标为(0，5).因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4. 方法二：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1.假设y＝2x＋5与y＝ex＋x＋a的切点为(x0，y0)，则解得a＝4. 13．(2025·芜湖期末)若过点(2，t)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则实数t的取值范围是__(ln 2，＋∞)__． 【解析】 设切点为(x0，ln x0)(x0>0)，由题得y′＝，故切线的斜率为，切线方程为y－ln x0＝·(x－x0).因为切线经过点(2，t)，所以t－ln x0＝(2－x0)，故(t＋1)x0－x0ln x0－2＝0有两个不同的实数根．不妨设g(x)＝(t＋1)x－x ln x－2(x>0)，则g′(x)＝t－ln x．当0<x<et时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x>et时，g′(x)<0，g(x)单调递减．故g(x)max＝g(et)＝et－2，则et－2>0，即t>ln 2，所以实数t的取值范围为(ln 2，＋∞). 14．(2026·三门峡期中)已知函数f(x)＝过原点O(0，0)作曲线y＝f(x)的切线，其切线方程为__x－ey＝0__． 【解析】 当x≤0时，函数f(x)＝ex，可得f′(x)＝ex.设切点为P(x0，y0)，则f′(x0)＝e x0，所以切线方程为y－ex0＝e x0(x－x0).因为切线过原点O(0，0)，所以－e x0＝－x0e x0，解得x0＝1，不符合题意，舍去．当x>0时，函数f(x)＝ln x，可得f′(x)＝.设切点为Q(x1，y1)，则f′(x1)＝，所以切线方程为y－ln x1＝(x－x1).因为切线过原点O(0，0)，所以ln x1＝1，解得x1＝e，此时切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　一元函数的导数及其应用 第15讲　导数的几何意义和四则运算 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(　　) (第1题) A．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0 B．f′(1)<f′(2)<f′(3)<0 C．0<f′(1)<f′(2)<f′(3) D．f′(1)>f′(2)>0>f′(3) 2．(教材经典题改编)(多选)下列求导运算正确的是(　　) A．y＝x5在x＝3处的导数是405 B．y＝ln x在x＝处的导数是 C．y＝sin x在x＝2π处的导数是0 D．y＝ex在x＝0处的导数是1 3．设函数f(x)满足 ＝1，则f′(x0)＝(　　) A．1 B．2 C． D．3 4．(教材经典题)一个质量为m＝3 kg的物体做直线运动，设位移y(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数y(t)＝1＋t2 表示，并且物体的动能Ek＝mv2(单位：J)，则物体开始运动后第5 s时的动能为____J. 5．(教材经典题)曲线y＝在点处的切线方程是____． 聚焦知识 1．概念 (1) 平均变化率：已知函数y＝f(x)，把式子＝称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率． (2) 瞬时变化率：f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，即f′(x0)＝ ；当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数． 2．几何意义 (1) “在”点P(x0，f(x0))处的切线方程是____． (2) “过”点(x1，y1)的切线：①设切点(x0，y0)；②求切线方程；③列方程组：切点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，即y0＝f(x0)；切点在切线y－y1＝f′(x0)(x－x1)上；④解方程组，得x0，求切线方程． 3．物理意义 若物体的位移函数为y＝s(t)，则瞬时速度v＝____，加速度a＝____． 4．运算 (1) 基本公式 ①C′＝0； ②(xn)′＝____； ③(sin x)′＝____； ④(cos x)′＝____； ⑤(ax)′＝____； ⑥(ex)′＝____； ⑦(logax)′＝____； ⑧(ln x)′＝____． (2) 运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝____； ②[f(x)·g(x)]′＝____； ③′＝____(g(x)≠0)； ④复合函数求导法则 [f(g(x))]′＝____． 题型突破　能力进阶 举题说法 导数的运算 视角1　导数的定义 例 1-1　(1) 下列命题正确的是(　　) A．平均变化率＝就是图象上两点(x1，y1)，(x2，y2)连线的斜率 B．函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓” C．若某质点运动的位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝，则该质点在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s D．已知函数h(x)在R上可导，若 ＝2，则h′(1)＝2 (2) 已知函数f(x)＝2ln x＋8x，则 的值为(　　) A．－20 B．－10 C．10 D．20 视角2　导数的运算 例 1-2　 (1) (教材经典题)求下列函数的导数． ①y＝2x＋log2x； ②y＝； ③y＝(3x＋1)2ln (3x)； ④y＝3xe-3x. (2) 已知函数f(x)＝x3＋f′(1) x2＋3x＋10，则f(3)＝(　　) A．－1 B．0 C．－8 D．1 (1) 求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2) 抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3) 复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 变式 1-2　(1) (2026·镇江期初)(多选)下列求导结果正确的有(　　) A．(e2＋x)′＝e2＋1 B．′＝ C．′＝＋ D．(x2cos x)′＝2x cos x－x2sin x (2) (2026·周口期初)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 导数的几何意义 视角1　在某点处的切线 例 2-1　(2024·全国甲卷理)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． 变式 2-1　(1) (2025·湛江二模)已知函数f(x)＝ex＋2x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A．y＝2x＋1　　　　 B．y＝3x＋1 C．y＝2x　　　　 D．y＝3x (2) (2026·南通如东期初)若直线y＝2x－4是曲线y＝ln x＋x＋a的切线，则实数a的值是____． 视角2　过某点的切线 例 2-2　(1) 已知曲线y＝x3＋，那么曲线过点P(2，4)的切线方程为___． (2) (2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是____. 变式 2-2　(1) (2026·青岛10月调研)写出过坐标原点且与曲线y＝e|2x|相切的一条直线方程：____． (2) 已知过点A(a，0)作曲线y＝(2－x)·ex-1的切线有且仅有1条，则a的值为(　　) A．－2或2　　　　 B．－1或3 C．3　　　　 D．－2 (1) 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． (2) 处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． 导数几何意义的应用 例3　已知点P是曲线C1：y＝x3＋2x2＋x＋1在点(0，1)处的切线上的任意一点，点Q是曲线C2：y＝上的任意一点，则PQ的最小值是____． 距离最值转化问题解题技巧 (1) 将距离问题转化为平行切线问题； (2) 求与给定直线平行且与曲线相切的直线； (3) 计算两平行线间距离． 变式3　若点P是曲线y＝ln x－x2上任意一点，则点P到直线l：x＋y－4＝0距离的最小值为(　　) A． B． C．2 D．4 随堂内化 1．(2024·全国甲卷文)曲线f(x)＝x6＋3x－1在点(0，－1)处的切线与坐标轴围成的面积为(　　) A． B． C． D．－ 2．若函数f(x)满足 ＝，则f′(1)＝____． 3．(2023·全国乙卷节选)已知函数f(x)＝ln (x＋1)，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为___． 4．过点(－1，0)作曲线y＝x3－x的切线，写出一条切线的方程：____． 配套精练 一、 单项选择题 1．(2025·南通期末)已知函数f(x)＝，则式子(x>0)表示(　　) A．f(x)在x＝1＋Δx处的导数 B．f(x)在x＝1处的导数 C．f(x)在[1，1＋x]上的平均变化率 D．f(x)在[1－x，1]上的平均变化率 2．已知函数f(x)＝ex－f′(1)x，则(　　) A．f(1)＝－　　　　 B．f′(1)＝－ C．f(2)＝e2－e　　　　 D．f′(2)＝e2－e 3．(2026·如东期初)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(ex)＝x＋1，则f′(e)＝(　　) A．1 B．2 C．e D． 4．(2025·安庆三模)曲线y＝e-2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D．1 5．(2026·湛江10月调研)曲线y＝ln x＋ax＋在点(1，a＋1)处的切线l过定点(　　) A．(1，2) B．(1，1) C．(1，0) D．(0，1) 6．曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋8＝0的最短距离是(　　) A．2 B．2 C．2 D． 7．(2025·清远二模)设曲线y＝e(n+1)x(n∈N*)在(1，en+1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 025x1＋log2 025x2＋log2 025x3＋…＋log2 025x2 024的值为(　　) A．－1　　　　 B．－log2 0252 024 C．log2 0252 024－1　　　　 D．1 8．(2025·佛山一模)若直线y＝x＋a与曲线y＝ln (x＋b)相切，则a2＋b2的最小值为(　　) A． B．1 C． D．2 二、 多项选择题 9．(2025·镇江期初)下列求导运算正确的是(　　) A．(e3x)′＝3ex B．′＝x C．(2sin x－3)′＝2cos x D．′＝ 10．已知曲线f(x)＝x3－x2＋ax－1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的可能取值为(　　) A． B．3 C． D． 11．若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t，则称函数y＝f(x)为“t型函数”．下列函数中为“2型函数”的有(　　) A．y＝x－x3　　　　 B．y＝x＋ex C．y＝sin x　　　　 D．y＝x＋cos x 三、 填空题 12．(2025·新高考Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则实数a＝____． 13．(2025·芜湖期末)若过点(2，t)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则实数t的取值范围是____． 14．(2026·三门峡期中)已知函数f(x)＝过原点O(0，0)作曲线y＝f(x)的切线，其切线方程为____． 学科网（北京）股份有限公司 $