3.1.1 基本计数原理（讲义）数学人教B版高二选择性必修第二册

第三章 排列、组合与二项式定理 3.1.1　基本计数原理 课标要点 通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义． 学习重难点 重点： 理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理． 难点： 会利用两个基本计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 知识点 分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 随学随练 1．（23-24高二下·山东烟台·开学考试）甲、乙两个班级分别有29名学生，30名学生，从两个班中选一名学生，则不同的选法有（    ） A．59种 B．29种 C．30种 D．种 2．（25-26高二下·陕西榆林·期中）某校开设类选修课3门，类选修课2门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（    ） A．2种 B．3种 C．5种 D．6种 知识点分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 特别提醒 　[点拨]　1.使用分类加法计数原理的条件 完成一件事时，若每一类方法中的任一种方法均能将这件事从头到尾完成，则计算完成这件事的方法总数用分类加法计数原理． 2．使用分步乘法计数原理的条件 完成一件事，若每一步的任一种方法只能完成这件事的一部分，而且必须依次完成所有各步后才能完成这件事，则计算完成这件事的方法总数用分步乘法计数原理． 3．使用两个计数原理解题的本质 ―→―→ ―→―→ 随学随练 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）用数字0，1，2可以组成多少个没有重复数字的三位数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知四棱锥.用红、黄、蓝、绿四种颜色（四种颜色全部使用），涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数（    ）    A．24 B．48 C．72 D．96 题型分类加法计数原理 ▌例1 某系统的5位验证码，每一位都可以从数字 0，1，2 中任选一个，数字可以重复.若验证码中 0，1，2 三个数字都至少出现一次，则不同的验证码共有多少个？ ▌对点练1-1．（25-26高二下·陕西西安·期末）书桌上有2本不同的语文课外读物和3本不同的数学课外读物．现从中取出一本，则不同的取法种数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 题型分步乘法计数原理 ▌例1（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）若将本不同的书放到个不同的盒子里，则不同的放法种数为__________ ▌对点练1-1（25-26高二下·四川遂宁·期中）为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、6种荤菜中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 题型 两个基本计数原理的简单应用 ▌例15名学生分别从 A，B，C 三个志愿服务项目中任选1个参加，要求 项目至少有1人参加，则不同的选择方法共有多少种？ ▌对点练1-1名学生分别从，，三个志愿服务项目中任选个参加，要求，两个项目都至少有人参加，则不同的选择方法共有多少种？ 基础通关 1．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某书架有三层，上层有本不同的数学书，中层有本不同的语文书，下层有本不同的英语书.若从该书架任取本书.则不同的取法数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东梅州·期末）学校社团招新，其中有5个不同的文艺类社团、7个不同的体育类社团和6个不同的科技类社团．甲同学从这些社团中选择一个加入，不同的选法有（    ） A．3种 B．7种 C．18种 D．210种 3．（25-26高二下·陕西西安·期末）从2幅不同的国画和5幅不同的水彩画中任选一幅布置房间，则不同的选法共有（     ） A．4种 B．7种 C．10种 D．25种 4．（25-26高二下·全国·课后作业）小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张、一等座10张、商务座5张，则小张的购票方案种数为（   ） A．3 B．19 C．40 D．200 5．（25-26高二下·青海海东·期末）某外语组有9人，其中6人主修英语，3人主修俄语，从中选出主修英语和俄语的各一人，不同的选法有（    ） A．9种 B．18种 C．种 D．种 6．（23-24高二下·广东深圳·阶段检测）用0，1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（   ） A．16 B．24 C．36 D．48 7．（25-26高二下·吉林四平·期末）已知4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同报法的种数为（    ） A．16 B．27 C．64 D．81 8．（25-26高二下·广东梅州·期末）某风景区有5个出入口，如果甲同学从其中的任意一个门进入景区，并要求从其它的门出去，那么共有多少种不同的进出景区的方式？（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 9．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）用数字组成没有重复数字的四位数的个数为（     ） A．96 B．72 C．120 D．24 10．（25-26高二下·河北唐山·期末）“这么近，那么美，周末到河北”．2026年暑假来临之际，甲、乙、丙、丁、戊五位同学决定一起游历河北．夏天到河北的游客，一般都会选择承德避暑山庄、秦皇岛山海关、唐山清东陵这三个地方游览，如果某天每人只能去这三个景点中的一个地方，清东陵一定有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A．243 B．211 C．125 D．60 11．（25-26高二下·天津·期末）由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的3位数的个数为（    ） A．10 B．24 C．48 D．60 12．（25-26高二下·全国·课后作业）假定有一排蜂房，其形状如图所示，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了伤只能爬，不能飞，而且只能从一间蜂房爬到与之相邻的右方（包括右上、右下）蜂房中去．若该蜜蜂从最初位置爬到4号蜂房中，则不同的路线有（   ） A．4种 B．6种 C．8种 D．10种 素养提升 13．（25-26高二下·全国·课后作业）为优惠于民，某通信运营商推出“优惠卡活动”，每张卡卡号的前7位是固定的．现从后4位号码为“0000”到“9999”的10000张卡中选带有“6”或“9”的卡作为“优惠卡”，则“优惠卡”的张数是（   ） A．1980 B．4096 C．5904 D．8020 14．（25-26高二下·北京海淀·期末）从中任取两个不同的数，组成有序数对．在平面直角坐标系中，以为坐标的点位于第一象限的个数为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·四川广安·期末）如图，现须用3种颜色对4个区域着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法（     ）    A．3 B．6 C．12 D．24 16．（25-26高二下·重庆·期末）从这10个数字中任取三个数字，则至少有两个数是连续数字的取法共有（     ） A．35种 B．56种 C．64种 D．70种 17．（25-26高二下·全国·课后作业）有红、黄、蓝三种颜色的旗各足够多面，每次可以升1面、2面或3面旗，纵向排列在旗杆上表示信号，旗数或顺序不同时表示不同信号，则可以表示不同信号的种数为（   ） A．38 B．39 C．40 D．42 迁移创新 18．（25-26高二下·安徽宿州·期末）暑假期间，小明和小红打算从黄山、九华山、宏村、天柱山四个安徽著名景点中各随机挑选2个进行游玩，则两人所选不同景点的总数为3的概率为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·内蒙古通辽·期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，由甲开始传球，传球者每次传球时都将球传给另外两个人中的一个人.经过次传球后球在甲手中，则不同的传递方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 20．（25-26高二下·内蒙古锡林郭勒·期末）5名医生分成3个支教组，则不同的分组方式共有（     ） A．20种 B．25种 C．30种 D．150种 21．（25-26高二下·福建三明·期末）首届“闽超”联赛期间，三明赛区为了给球迷提供更好的服务，派5名志愿者到A，B，C三个公交接驳点进行服务，若每人只能去一个接驳点，每个接驳点至少派一人，其中志愿者甲只能去接驳点A，则不同选派方案的种数为（   ） A．20 B．42 C．44 D．50 22．（25-26高二下·四川乐山·期末）如图，现要对某市的5个区域地图进行着色，有4种颜色可供选择，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．108种 23．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）如图，对一个正五边形的五个区域进行涂色，要求同一个区域只涂一种颜色，相邻的两个区域涂不同的颜色.现有红、黄、蓝3种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方案数为（    ） A．24 B．28 C．30 D．36 24．（25-26高二下·天津·阶段检测）有5个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5，从中无放回地随机取3次，每次取1个球．记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的不同取法总数为（   ） A．28 B．32 C．36 D．48 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 排列、组合与二项式定理 3.1.1　基本计数原理 课标要点 通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义． 学习重难点 重点： 理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理． 难点： 会利用两个基本计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 知识点 分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 随学随练 1．（23-24高二下·山东烟台·开学考试）甲、乙两个班级分别有29名学生，30名学生，从两个班中选一名学生，则不同的选法有（    ） A．59种 B．29种 C．30种 D．种 【答案】A 【详解】分两类：第一类从甲班选有29种方法，第二类从乙班选有30种方法. 由分类加法计数原理得共有种不同方法. 2．（25-26高二下·陕西榆林·期中）某校开设类选修课3门，类选修课2门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（    ） A．2种 B．3种 C．5种 D．6种 【答案】C 【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种. 知识点分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 特别提醒 　[点拨]　1.使用分类加法计数原理的条件 完成一件事时，若每一类方法中的任一种方法均能将这件事从头到尾完成，则计算完成这件事的方法总数用分类加法计数原理． 2．使用分步乘法计数原理的条件 完成一件事，若每一步的任一种方法只能完成这件事的一部分，而且必须依次完成所有各步后才能完成这件事，则计算完成这件事的方法总数用分步乘法计数原理． 3．使用两个计数原理解题的本质 ―→―→ ―→―→ 随学随练 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）用数字0，1，2可以组成多少个没有重复数字的三位数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【详解】用数字0，1，2组成没有重复数字的三位数：102，120，201，210，共4个. 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知四棱锥.用红、黄、蓝、绿四种颜色（四种颜色全部使用），涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数（    ）    A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【分析】由于 5 个顶点涂 4 种颜色且棱两端异色、4 色全部使用，故只能是同色或同色两类，两类计数方式同理，相加可得总涂色方法数. 【详解】因为同一条棱的2个顶点异色，所以恰好有一对不相邻顶点颜色相同，其余顶点颜色互不相同， 故分两类：一类是同色；另一类是同色. 若同色，可分4步完成涂色： 第一步，涂顶点，有4种颜色可选； 第二步，涂，不能和同色，有3种颜色可选； 第三步，涂，与都异色，有2种颜色可选； 第四步，涂，与异色，且四种颜色必须全部用完， 已经用了三种颜色，只有1种颜色可选； 故不同的涂色方法有种， 同理可得同色时，也有不同的涂色方法种， 所以共有不同的涂色方法种. 题型分类加法计数原理 ▌例1 某系统的5位验证码，每一位都可以从数字 0，1，2 中任选一个，数字可以重复.若验证码中 0，1，2 三个数字都至少出现一次，则不同的验证码共有多少个？ 【答案】150 【分析】先求所有验证码的个数，再排除至少缺少一个数字的情况.只出现一种数字的验证码会被重复扣除，再加上即可求出答案. 【详解】每一位都有3种选择，所以所有验证码共有个. 若缺少数字0，则每一位只能从1，2中选择，有个. 同理，缺少数字1或缺少数字2时也各有 个， 但是，验证码“00000”“11111”“22222”各同时缺少另外两个数字，在上述计算中均被重复扣除，因此需要补回3个. 所以三个数字都至少出现一次的验证码共有个. ▌对点练1-1．（25-26高二下·陕西西安·期末）书桌上有2本不同的语文课外读物和3本不同的数学课外读物．现从中取出一本，则不同的取法种数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】利用分类加法计数原理，直接将两类书籍的数量相加即可得出取出一本书的总取法数. 【详解】由题意得不同的取法种数为种. 题型分步乘法计数原理 ▌例1（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）若将本不同的书放到个不同的盒子里，则不同的放法种数为__________ 【答案】/ 【分析】利用计数原理的方法直接求解即可. 【详解】由题知，每本书都有种选择， 故不同的放法种数为. ▌对点练1-1（25-26高二下·四川遂宁·期中）为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、6种荤菜中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（ ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理计算. 【详解】由题意可知，分三步完成： 第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法； 第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法， 根据分步计数原理，共有种不同的选取方法， 题型 两个基本计数原理的简单应用 ▌例15名学生分别从 A，B，C 三个志愿服务项目中任选1个参加，要求 项目至少有1人参加，则不同的选择方法共有多少种？ 【答案】211 【分析】“ 项目至少有1人参加”的相反情况是“没有人参加 项目”，采用间接法求解. 【详解】不考虑限制条件时，每名学生都有3种选择，共有种选择方法. 若没有人参加 项目，则每名学生只能从 B，C 两个项目中选择，共有种选择方法. 所以 项目至少有1人参加的选择方法共有种. ▌对点练1-1名学生分别从，，三个志愿服务项目中任选个参加，要求，两个项目都至少有人参加，则不同的选择方法共有多少种？ 【答案】 【分析】先从所有选择方法中分别减去“项目无人参加”和“项目无人参加”的情况，再处理二者同时发生时产生的重复扣除问题即可求解． 【详解】不考虑限制条件，即名学生参加三个志愿服务项目，共有种选择方法； 若项目无人参加，即名学生参加两个志愿服务项目，有种选择方法； 若项目无人参加，即名学生参加两个志愿服务项目，有种选择方法； 若，两个项目都无人参加，即名学生只能全部参加项目，只有1种选择方法，这种方法在前面被重复扣除，因此需要补回， 所以符合条件的方法共有种选择方法． 基础通关 1．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）某书架有三层，上层有本不同的数学书，中层有本不同的语文书，下层有本不同的英语书.若从该书架任取本书.则不同的取法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，从该书架任取本书，不同的取法数为. 2．（25-26高二下·广东梅州·期末）学校社团招新，其中有5个不同的文艺类社团、7个不同的体育类社团和6个不同的科技类社团．甲同学从这些社团中选择一个加入，不同的选法有（    ） A．3种 B．7种 C．18种 D．210种 【答案】C 【详解】，故不同的选法有种. 3．（25-26高二下·陕西西安·期末）从2幅不同的国画和5幅不同的水彩画中任选一幅布置房间，则不同的选法共有（     ） A．4种 B．7种 C．10种 D．25种 【答案】B 【详解】从2幅不同的国画里选1幅，共有2种选法； 从5幅不同的水彩画里选1幅，共有5种选法. 根据分类加法计数原理，总的不同选法数是两类选法数相加：种. 4．（25-26高二下·全国·课后作业）小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张、一等座10张、商务座5张，则小张的购票方案种数为（   ） A．3 B．19 C．40 D．200 【答案】B 【详解】购票可以分为买二等座、买一等座、买商务座三类，共种． 5．（25-26高二下·青海海东·期末）某外语组有9人，其中6人主修英语，3人主修俄语，从中选出主修英语和俄语的各一人，不同的选法有（    ） A．9种 B．18种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】从主修英语的选1人，有6种方法；从主修俄语的选1人，有3种方法， 所以不同选法种数是. 6．（23-24高二下·广东深圳·阶段检测）用0，1，2，3，4可以组成无重复数字的三位数的个数为（   ） A．16 B．24 C．36 D．48 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】要组成无重复数字的三位数，需百位不能为0，分步计数可得： 1.  选百位数字：只能从1、2、3、4这4个非零数字里选，共4种选择； 2.  选十位数字：百位已经用掉1个数字，剩下4个数字（包含0）都可以选，共4种选择； 3.  选个位数字：百位、十位已经用掉2个不同数字，剩下3个数字可选，共3种选择. 由分步乘法计数原理，可得总个数为. 7．（25-26高二下·吉林四平·期末）已知4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同报法的种数为（    ） A．16 B．27 C．64 D．81 【答案】D 【详解】一共有 3 支运动队：足球、篮球、乒乓球，每位同学都有3 种报名选择；共有 4 名同学，每人选择相互独立； 总报法种数：. 8．（25-26高二下·广东梅州·期末）某风景区有5个出入口，如果甲同学从其中的任意一个门进入景区，并要求从其它的门出去，那么共有多少种不同的进出景区的方式？（    ） A．5 B．10 C．20 D．30 【答案】C 【详解】进景区有5种选择，出景区不能与进的门相同，有4种选择，总方式数为． 9．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）用数字组成没有重复数字的四位数的个数为（     ） A．96 B．72 C．120 D．24 【答案】A 【分析】首先考虑四位数的最高位不是0，然后依次考虑其他位数的情况，利用乘法原理计算即可. 【详解】首先考虑四位数的最高位不是0， 故最高位有4种选法（从1到4四个数字中任选一个数字）， 百位有4种选法，十位有3种选法，个位有2种选法. 由乘法原理，用数字组成没有重复数字的四位数的个数为个. 10．（25-26高二下·河北唐山·期末）“这么近，那么美，周末到河北”．2026年暑假来临之际，甲、乙、丙、丁、戊五位同学决定一起游历河北．夏天到河北的游客，一般都会选择承德避暑山庄、秦皇岛山海关、唐山清东陵这三个地方游览，如果某天每人只能去这三个景点中的一个地方，清东陵一定有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A．243 B．211 C．125 D．60 【答案】B 【详解】根据分步乘法计数原理： 计算无限制条件下的总方案数：每位同学可从3个景点中任选1个，5位同学的总方案数为种； 计算清东陵无人去的方案数：此时每位同学仅能从剩余2个景点中选择，方案数为种； 清东陵一定有人去的方案数为总方案数减去清东陵无人去的方案数，即. 11．（25-26高二下·天津·期末）由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的3位数的个数为（    ） A．10 B．24 C．48 D．60 【答案】C 【详解】百位不能为，所以只能从这个数字中选，有种选择， 百位已经选了个数字，十位有剩下个数字（包含）可选，有种选择， 百位和十位各选了个数字，个位有剩下个数字可选，有种选择， 根据乘法原理，总个数为：， 所以选项C正确. 12．（25-26高二下·全国·课后作业）假定有一排蜂房，其形状如图所示，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了伤只能爬，不能飞，而且只能从一间蜂房爬到与之相邻的右方（包括右上、右下）蜂房中去．若该蜜蜂从最初位置爬到4号蜂房中，则不同的路线有（   ） A．4种 B．6种 C．8种 D．10种 【答案】C 【详解】按每一步可到达的相邻右方蜂房展开树状图，如图， 由图可知从起点到4号蜂房的全部路线共8种． 素养提升 13．（25-26高二下·全国·课后作业）为优惠于民，某通信运营商推出“优惠卡活动”，每张卡卡号的前7位是固定的．现从后4位号码为“0000”到“9999”的10000张卡中选带有“6”或“9”的卡作为“优惠卡”，则“优惠卡”的张数是（   ） A．1980 B．4096 C．5904 D．8020 【答案】C 【分析】直接统计 “含有 6 或 9” 情况较多，采用间接法（正难则反），先计算后四位既不含数字 6、也不含数字 9 的号码数量，再用总号码数去减，得到优惠卡张数. 【详解】卡号后四位每一位可取 0∼9，共 10 个数字, 若既不含 6，也不含 9，则每一位只能从剩下 8 个数字中选取， 由分步乘法计数原理得到后4位不含6且不含9的卡共有张． 卡号后4位共有种，因此优惠卡有张． 14．（25-26高二下·北京海淀·期末）从中任取两个不同的数，组成有序数对．在平面直角坐标系中，以为坐标的点位于第一象限的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据第一象限点横、纵坐标均为正的特征，利用分步乘法计数原理计算符合条件的有序数对个数． 【详解】平面直角坐标系中，第一象限内的点满足横坐标且纵坐标，题设给出的数中，大于的数为，共个，要求选取两个不同的数组成有序数对， 选横坐标：从个正数中任选1个，共种选法 选纵坐标：由于为不同的数，故从剩余个正数中任选个，共种选法， 根据分步乘法计数原理，符合条件的点的总个数为． 15．（25-26高二下·四川广安·期末）如图，现须用3种颜色对4个区域着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法（     ）    A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【详解】由分步计数原理，第一步涂区域共有3种着色方法，第二步涂区域只有2种着色方法， 第三步涂区域有1种着色方法，最后涂区域有2种着色方法， 所以一共有种着色方法. 16．（25-26高二下·重庆·期末）从这10个数字中任取三个数字，则至少有两个数是连续数字的取法共有（     ） A．35种 B．56种 C．64种 D．70种 【答案】C 【详解】由题意，3个数都是连续数字的情况： 若取到的3个数中最小的数为，则剩下的2个数为， 因此共有8种取法； 恰有2个数是连续数字的情况： 当连续的2个数字为时，则剩下的数从这7个中任取1个，共7种取法； 当连续的2个数字为时，则剩下的数从这6个中任取1个，共6种取法； 当连续的2个数字为时，则剩下的数从这6个中任取1个，共6种取法； 当连续的2个数字为时，则剩下的数从这6个中任取1个，共6种取法； 当连续的2个数字为时，则剩下的数从这6个中任取1个，共6种取法； 当连续的2个数字为时，则剩下的数从这6个中任取1个，共6种取法； 当连续的2个数字为时，则剩下的数从这6个中任取1个，共6种取法； 当连续的2个数字为时，则剩下的数从这6个中任取1个，共6种取法； 当连续的2个数字为时，则剩下的数从这7个中任取1个，共7种取法， 因此共有种取法. 综上所述，至少有两个数是连续数字的取法共有种. 17．（25-26高二下·全国·课后作业）有红、黄、蓝三种颜色的旗各足够多面，每次可以升1面、2面或3面旗，纵向排列在旗杆上表示信号，旗数或顺序不同时表示不同信号，则可以表示不同信号的种数为（   ） A．38 B．39 C．40 D．42 【答案】B 【分析】首先，将升旗分类可分为升1面，升2面，升3面，求出每一类表示信号的数量，再相加即可求解. 【详解】升1面旗有3种信号，升2面旗有种信号，升3面旗有种信号． 总数为种． 迁移创新 18．（25-26高二下·安徽宿州·期末）暑假期间，小明和小红打算从黄山、九华山、宏村、天柱山四个安徽著名景点中各随机挑选2个进行游玩，则两人所选不同景点的总数为3的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用计数原理求出选取的方法数，再根据古典概型概率公式计算. 【详解】两人各选2个景点的方法数是， 所选不同景点的总数为3，则其中一个景点重复，方法数是， 所以概率为. 19．（25-26高二下·内蒙古通辽·期末）甲、乙、丙三人相互做传球训练，由甲开始传球，传球者每次传球时都将球传给另外两个人中的一个人.经过次传球后球在甲手中，则不同的传递方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】通过建立传球后球在甲手中与不在甲手中的递推关系，逐步计算得到次传球后球在甲手中的情况数. 方法二：直接列出所有满足要求的传递方式即可. 【详解】方法一：设为经过次传球后球在甲手中的不同传递方式数，为经过次传球后球不在甲手中的不同传递方式数，. 初始状态：次传球时球在甲手中，故，. 每次传球有种选择，因此次传球的总方式数为，即. 若次传球后球在甲手中，则第次传球后球必定不在甲手中，且第次由持球者传给甲， 因此递推关系为. 依次计算： 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，. 故经过次传球后球在甲手中的不同传递方式共有种. 方法二：满足题意的有：甲-乙-甲-乙-甲、甲-乙-甲-丙-甲、甲-乙-丙-乙-甲、 甲-丙-甲-乙-甲、甲-丙-甲-丙-甲、甲-丙-乙-丙-甲，共有种， 20．（25-26高二下·内蒙古锡林郭勒·期末）5名医生分成3个支教组，则不同的分组方式共有（     ） A．20种 B．25种 C．30种 D．150种 【答案】B 【分析】先确定5人分3组的两类人数分配方案：1,1,3和2,2,1，分别计算两类无序分组的数量后求和即可. 【详解】将5名医生分为3个不区分次序的支教组，且每组至少1人，人数分配共两类： 人数为1,1,3的分组：从5人中任选3人组成3人组，剩余2人各为1组， 由于两个1人组无序，无重复计数，该类分组数为种； 人数为2,2,1的分组：先从5人中选2人组成第一个2人组，再从剩余3人中选2人组成第二个2人组， 剩余1人单独成组，由于两个2人组无序，需消除重复计数，故该类分组数为种， 根据分类加法计数原理，总分组方式共有种. 21．（25-26高二下·福建三明·期末）首届“闽超”联赛期间，三明赛区为了给球迷提供更好的服务，派5名志愿者到A，B，C三个公交接驳点进行服务，若每人只能去一个接驳点，每个接驳点至少派一人，其中志愿者甲只能去接驳点A，则不同选派方案的种数为（   ） A．20 B．42 C．44 D．50 【答案】D 【分析】固定甲去接驳点A后，将问题转化为剩余4名志愿者分配到A、B、C三点，且B、C均至少分配1人，用容斥原理计算符合要求的方案数. 【详解】已知志愿者甲固定去A，因此A已满足至少1人的要求，仅需保证B、C两个接驳点均至少分配1人， 剩余4名志愿者每人可选择A、B、C中任意一个接驳点， 4名志愿者无限制分配的总情况数为种； 排除B接驳点无人的情况：剩余4人均分配到A或C，共种； 排除C接驳点无人的情况：剩余4人均分配到A或B，共种； 上述两类排除情况中，“B、C均无人，剩余4人均分配到A”的情况被重复排除，需补回1种； 由容斥原理，符合条件的选派方案种数为. 22．（25-26高二下·四川乐山·期末）如图，现要对某市的5个区域地图进行着色，有4种颜色可供选择，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．108种 【答案】B 【分析】应用分步分类计数原理求不同着色方法数. 【详解】第一步涂：有种颜色可选，共种选择， 第二步涂：与不同色，共种选择， 第三步涂：与都不同色，共种选择， 第四步涂、：分两类讨论， 当与同色时， 只有种， 与相邻，只需排除两种颜色，共种， 此情况总数， 当与不同色时， 需要排除三种颜色，共种， 与相邻，需要排除三个不同颜色，共种， 此情况总数， 所以总着色方法为种. 23．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）如图，对一个正五边形的五个区域进行涂色，要求同一个区域只涂一种颜色，相邻的两个区域涂不同的颜色.现有红、黄、蓝3种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方案数为（    ） A．24 B．28 C．30 D．36 【答案】C 【分析】A与C同色时，先涂A，B，C，再分D选择与B同色和B不同色求解；当A与C不同色时，先涂A，B，C再分D选择与A同色和B同色求解. 【详解】当A与C同色时，A有3种涂法，B有2种涂法，C有1种涂法， D选择与B同色时，E选择剩下的1种颜色，有1种涂法， D选择与B不同色时，则选择剩下的1种颜色，E选择与B同色，有1种涂法， 共有种涂法； 当A与C不同色时，A有3种涂法，B有2种涂法，C有1种涂法， D选择与A同色时，E可以选择B或C同色，有2种涂法， D选择与B同色时， E选择与C同色， 共有， 综上：共有种涂法. 24．（25-26高二下·天津·阶段检测）有5个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5，从中无放回地随机取3次，每次取1个球．记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的不同取法总数为（   ） A．28 B．32 C．36 D．48 【答案】B 【分析】设三次取出的球编号依次为，由题可得，然后由列举法可得答案. 【详解】设三次取出的球编号依次为，由题可得. 当时，可得，则可为，即满足题意的情况有2种； 当时，可得，则可为，即满足题意的情况有8种； 当时，可得，则可为，即满足题意的情况有12种； 当时，可得，则可为，即满足题意的情况有8种； 当时，可得，则可为，即满足题意的情况有2种. 综上可得满足题意的不同取法数为：. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $