第2章 微专题1 函数的对称性（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数对称性核心考点，涵盖轴对称（自对称、互对称）、中心对称及综合应用，按“概念探究—性质推导—真题应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理（如函数对称条件及推论）、方法指导（对称关系转化技巧）、真题训练（2021新高考Ⅱ卷等实例），帮助学生构建系统认知，突破抽象难点。 讲义以“问题驱动—规律抽象—应用迁移”为教学主线，创新设计探究式学习活动，如通过例1-1分析函数自对称与单调性的关联，培养学生数学思维与推理能力。配套分层精练（单选、多选、填空）覆盖不同难度，结合即时方法总结，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

　函数的对称性 轴对称 探究1　一个函数的自对称 例 1-1　已知函数f(x－1)为偶函数，且函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1－2x)<f(－7)的解集为(　A　) A．(－∞，3)　　　　 B．(3，＋∞) C．(－∞，2)　　　　 D．(2，＋∞) 【解析】 因为f(x－1)为偶函数，所以f(x－1)的图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于直线x＝－1对称．因为f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，－1]上单调递减．因为f(1－2x)<f(－7)＝f(5)，所以－7<1－2x<5，解得x<3. 若函数y＝f(x)的定义域为R，且满足条件：f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 推论：(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且满足条件：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2) 若函数y＝f(x)的定义域为R，且满足条件：f(x)＝f(2a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3) 若函数y＝f(x)的定义域为R，且满足条件：f(a＋x)＝f(a－x)，方程f(x)＝0有n个根，则此n个根的和为na； (4) 函数f(x＋a)是偶函数⇔f(x)关于x＝a对称． 变式 1-1　(2025·秦皇岛一模)若函数f(x)＝(x2－2x)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则a＋b＝__34__，f(x)的最小值为__－36__． 【解析】 因为函数f(x)＝(x2－2x)(x2＋ax＋b)的图象关于x＝－2对称，令x2－2x＝0，解得x＝0或x＝2，所以由对称性可知，方程x2＋ax＋b＝0的两根为－4，－6，由韦达定理可得可得所以f(x)＝x(x－2)·(x2＋10x＋24)＝x(x－2)(x＋4)(x＋6).因为f(－4－x)＝(－x－4)(－x－6)(－x)(－x＋2)＝x(x－2)·(x＋4)(x＋6)＝f(x)，所以函数f(x)＝x(x－2)(x＋4)(x＋6)的图象关于直线x＝－2对称，则a＋b＝34.因为f(x)＝(x2＋4x)(x2＋4x－12)，令t＝x2＋4x＝(x＋2)2－4≥－4，则f(x)＝h(t)＝t(t－12)＝t2－12t＝(t－6)2－36，所以h(t)min＝h(6)＝－36，故f(x)min＝－36. 探究2　两个函数的互对称 例 1-2　下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是(　D　) A．y＝log2(2＋x)　　　　 B．y＝log2(2－x) C．y＝log2(4＋x)　　　　 D．y＝log2(4－x) 【解析】 设所求函数图象上的任意一点P(x，y)，点P关于x＝2对称的点为Q(4－x，y).由题意知点Q在y＝log2x的图象上，可得y＝log2(4－x)，即函数y＝log2x关于x＝2对称的函数解析式为y＝log2(4－x). 若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x可得). 推论：(1) 函数y＝f(x－a)与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝a对称，函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称； (2) 函数y＝f(mx－a)与函数y＝f(b－mx)的图象关于直线x＝对称； (3) 函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝0(即y轴)对称，函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(即y轴)对称． 变式 1-2　若函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m＝(　D　) A．3 B． C．－1 D．－ 【解析】 设点P(x，y)在函数y＝f(1－x)的图象上，点P关于直线x＝m的对称点为Q(x′，y′)，则即则y′＝f(1－2m＋x′)，即y＝f(1－2m＋x)与y＝f(1－x)关于直线x＝m对称，则1－2m＝2，解得m＝－. 中心对称 例2　(1) 若函数f(x)＝x3＋ax2－x－1(a∈R)的图象关于点(－1，f(－1))中心对称，则实数a的值为__3__． 【解析】 由函数f(x)的图象关于点(－1，f(－1))中心对称，得f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2f(－1).因为f(－1＋x)＋f(－1－x)＝(－1＋x)3＋a(－1＋x)2－(－1＋x)－1＋(－1－x)3＋a(－1－x)2－(－1－x)－1＝(2a－6)·x2＋2a－2，2f(－1)＝2(a－1)，于是(2a－6)x2＋2a－2＝2(a－1)，则2a－6＝0，解得a＝3. (2) 已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)，则(xi＋yi)＝__10__． 【解析】 因为函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，即满足＝1，所以y＝f(x)的图象关于点(0，1)中心对称．因为函数y＝＝1＋的图象关于点(0，1)中心对称，所以函数y＝与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)也关于点(0，1)中心对称，故交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)成对出现，且每一对点都关于(0，1)对称，故(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x10)＋(y1＋y2＋…＋y10)＝0＋×2＝10. (1) 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数y＝f(x)的图象关于点中心对称． (2) 两个函数的互对称：函数y＝f(x)与y＝－f(2a－x)的图象关于点(a，0)中心对称．特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点中心对称．推广：两个函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称． (3) 三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象关于点中心对称． 变式2　已知曲线y＝ln －x＋a关于点(－1，0)中心对称，则a＝(　C　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 【解析】 因为y＝ln －x＋a关于点(－1，0)中心对称，所以f(－2－x)＋f(x)＝0，所以ln －(－2－x)＋a＋ln －x＋a＝0，可得a＝－1. 中心对称与轴对称的应用 例3　(1) (2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　B　) A．f＝0　　　　 B．f(－1)＝0 C．f(2)＝0　　　　 D．f(4)＝0 【解析】 由函数f(x＋2)为偶函数，可得f(2＋x)＝f(2－x).由函数f(2x＋1)为奇函数，可得f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(2－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，所以F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝f(3)＝－f(1)＝0，故B正确，其他三个选项不确定． (2) (2026·如东期初)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f是奇函数，当1≤x≤2时，f(x)＝3－2x，则f＝(　A　) A．－ B．－ C． D． 【解析】 由f是奇函数，知f＝－f，令x＋＝－t，则有f(t＋1)＝－f(－t).因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(t＋1)＝－f(－t)＝－f(t)，则有f(t＋2)＝－f(t＋1)＝f(t)，即函数f(x)的一个周期为2.所以f＝f＝f＝3－2×＝－. (1) 如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同). (2) 如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a). (3) 如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|. 变式3　(2025·石家庄三模)(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)是定义在R上的奇函数，则(　AC　) A．f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 B．f(x)是周期为2的函数 C．f(2 027)＝0 D．f(i)＝0 【解析】 对于A，因为y＝f(x＋1)是R上的奇函数，其图象关于原点对称，且y＝f(x＋1)可看成是函数y＝f(x)向左平移1个单位长度得到，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确；对于B，由y＝f(x＋1)是R上的奇函数，可得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＝－f(x＋2)，又f(－x)＝f(x)，则f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期为4的函数，故B错误；对于C，由f(－x)＝－f(x＋2)，令x＝－1，得f(1)＝－f(1)，则f(1)＝0，所以f(2 027)＝f(506×4＋3)＝f(3)＝f(－1)＝f(1)＝0，故C正确；对于D，由f(x＋2)＋f(x)＝0，得f(2)＋f(4)＝0，又f(1)＝f(3)＝0，f(x)是周期为4的函数，则f(i)＝4[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(2)，而f(2)的值无法确定，故D错误． 配套精练 1．(2018·全国 Ⅱ 卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　C　) A．－50 B．0 C．2 D．50 【解析】 由题知f(x＋4)＝f(－2－x)＝－f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，所以f(x)的周期为4.因为f(1)＝2，f(2)＝0，f(3)＝－2，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2. 2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x<0时，f(x)＝log2(－6x＋2)，则f的值为(　B　) A．－1 B．－2 C．2 D．1 【解析】 由题意知f(1＋x)＝f(1－x)，则f[1＋(x－1)]＝f[1－(x－1)]，即f(x)＝f(2－x)，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f＝f＝f＝－f＝－log2＝－2. 3．(2021·全国甲卷理)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　D　) A．－ B．－ C． D． 【解析】 因为f(x＋1)为奇函数，所以f(x＋1)＝－f(－x＋1).因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2).由f(x＋1)＝－f(－x＋1)，得f(x＋2)＝－f(－x)＝f(－x＋2)，即－f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4.由f(x＋1)＝－f(－x＋1)，得f(0)＝－f(2).由f(x＋2)＝f(－x＋2)，得f(3)＝f(1).由f(0)＋f(3)＝6，得－f(2)＋f(1)＝6，即－(4a＋b)＋a＋b＝6，解得a＝－2.由f(x＋1)＝－f(－x＋1)，得f(1)＝－f(1)，即f(1)＝0，所以a＋b＝0，解得b＝2，所以f＝f＝－f＝－＝. 4．(2025·芜湖期末)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)－1为奇函数，y＝f(x＋1)为偶函数，若f(2 025)＝2，则f(3)＝(　C　) A．1 B．－1 C．0 D．－3 【解析】 由y＝f(x)－1为奇函数，得f(－x)＋f(x)＝2.由y＝f(x＋1)为偶函数，得f(1－x)＝f(1＋x)⇒f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＋f(2－x)＝2，即f(x)＋f(2＋x)＝2，f(x＋2)＋f(x＋4)＝2，所以f(x＋4)＝f(x)，函数f(x)的周期为T＝4，所以f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝2.又f(1)＋f(3)＝2，所以f(3)＝0. 5．(2025·黄山一模)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋4)＋f(－x)＝0，且对任意的x1，x2∈[2，＋∞)，都有>0.若m，n是关于x的方程x2－4x＋t2－5＝0的两个不等实根，则关于t的不等式f(m)＋f(n)＋f(t)>0的解集为(　D　) A．(－∞，2)　　　B．(－3，2) 　　　C．(2，＋∞)　　　D．(2，3) 【解析】 因为m，n是关于x的方程x2－4x＋t2－5＝0的两个不等的实根，所以Δ＝16－4(t2－5)>0，解得－3<t<3，且m＋n＝4.由f(x＋4)＋f(－x)＝0，x∈R，得函数f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，则f(m)＋f(n)＝0，且f(2)＝0.因为对任意的x1，x2∈[2，＋∞)，都有>0，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则该函数在(－∞，2)上也为增函数，从而函数f(x)在R上为增函数．由f(m)＋f(n)＋f(t)>0，可得f(t)>0＝f(2)，解得t>2.又－3<t<3，所以2<t<3. 二、 多项选择题 6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＋f(1－x)＝0，且f(x)不是常函数，则下列说法中正确的有(　ABD　) A．若2为f(x)的周期，则f(x)为奇函数 B．若f(x)为奇函数，则2为f(x)的周期 C．若4为f(x)的周期，则f(x)为偶函数 D．若f(x)为偶函数，则4为f(x)的周期 【解析】 对于A，若2是f(x)的周期，则f(x＋2)＝f(x)，由f(1＋x)＋f(1－x)＝0，可得f(2＋x)＝f(1＋x＋1)＝－f(1－x－1)＝－f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；对于B，若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，由f(1＋x)＋f(1－x)＝0，可得f(2＋x)＝f(1＋x＋1)＝－f(1－x－1)＝－f(－x)＝f(x)，所以2是f(x)的周期，故B正确；若4是f(x)的周期，设f(x)＝sin πx，则f(1＋x)＋f(1－x)＝sin (π＋πx)＋sin (π－πx)＝0，该函数的最小正周期为2，故4为该函数的周期，但该函数为奇函数，故C不正确；对于D，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，由f(1－x)＝f(x－1)，可得f(x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x)＝－f(x＋2)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以4是f(x)的周期，故D正确． 7．设函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，f(3)＝1，则(　ABD　) A．f(－1)＝1　　　　 B．f(x)＝f(4＋x) C．f(x)＝f(4－x)　　　　 D．(k)＝－1 【解析】 由f(x)为奇函数，知函数f(x)的图象关于点(0，0)中心对称，又f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)为周期函数且周期为T＝4，故B正确．f(3)＝f(－1)＝1，故A正确．f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，故C错误．由上可知f(2)＝－f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝－1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝－1＋0＋1＋0＝0，则(k)＝f(1)＋f(2)＝－1，故D正确． 8．(2026·黄冈期初)已知定义在R上的函数f(x)和g(x)，若f(x＋2)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x＋1)＋g(3－x)＝4，则(　BCD　) A．g(2)＝2 B．f(6)＝0 C．f(x)的图象关于x＝4对称 D．8为g(x)的一个周期 【解析】 对于A，由f(x＋2)为奇函数，得f(x＋2)＝－f(－x＋2)，故f(x＋1)＝－f(－x＋3)，由f(x＋1)＋g(3－x)＝4，得－f(－x＋3)＋g(3－x)＝4，且有f(－x＋2＋1)＋g(3＋x－2)＝4，即f(－x＋3)＋g(1＋x)＝4，则g(3－x)＋g(1＋x)＝8，令x＝1，则2g(2)＝8，即g(2)＝4，故A错误；对于B，由g(x)为偶函数，得g(x)＝g(－x)，由f(x＋1)＋g(3－x)＝4，得f(x＋4)＋g(－x)＝4，f(4－x)＋g(x)＝4，故f(x＋4)＋g(－x)－f(4－x)－g(x)＝4－4＝0，又g(x)＝g(－x)，所以f(x＋4)＝f(4－x)，则f(x＋2)＝f(6－x)，则f(2)＝f(6)，由f(x＋2)＝－f(－x＋2)，得f(2)＝－f(2)，故f(2)＝0，f(6)＝0，故B正确；对于C，由f(x＋4)＝f(4－x)，得f(x)的图象关于x＝4对称，故C正确；对于D，由g(3－x)＋g(1＋x)＝8，得g(－x)＋g(4＋x)＝8，又g(x)＝g(－x)，则g(x)＋g(4＋x)＝8，g(x－4)＋g(x)＝8，则g(x)＋g(4＋x)＝g(x－4)＋g(x)，即g(4＋x)＝g(x－4)，即8为g(x)的一个周期，故D正确． 9．(2025·南昌一模)已知f(x)是R上的连续函数，满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列说法正确的是(　BCD　) A．f(0)＝0 B．f(x)为偶函数 C．f(x)的一个周期为6 D．是f(x)的一个对称中心 【解析】 对于A，令x＝y＝0，则2f(0)＝f2(0)，解得f(0)＝0或f(0)＝2.若f(0)＝0，令y＝0，则f(x)＋f(x)＝2f(x)＝f(x)f(0)＝0，这与f(1)＝1矛盾，所以f(0)＝2，故A错误．对于B，令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝f(0)f(y)＝2f(y)，即f(－y)＝f(y)，可知f(x)是偶函数，故B正确．对于C，令y＝1，则f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)①，用x＋1代替上式中的x，则f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)②，联立①②可得f(x＋2)＝－f(x－1)，再次用x＋1代替x，得f(x＋3)＝－f(x)，用x＋3代替上式的x，则f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以6是f(x)的一个周期，故C正确．对于D，由C中的f(x＋3)＝－f(x)及f(x)为偶函数，得f(x＋3)＝－f(－x)，即f(x＋3)＋f(－x)＝0，所以f(x)的图象关于中心对称，故D正确． 三、 填空题 10．已知函数f(x)＝(x＋3)(2x2＋mx＋n)，若∀x∈R，f(2－x)＋f(x)＝0，则2m＋n＝__－14__． 【解析】 由∀x∈R，f(2－x)＋f(x)＝0，得函数f(x)图象的对称中心为(1，0)，显然f(－3)＝0，则f(5)＝0，于是f(x)＝2(x＋3)(x－1)(x－5)＝(x＋3)(2x2－12x＋10)，因此m＝－12，n＝10，所以2m＋n＝－24＋10＝－14. 11．(2025·湛江期末)已知函数f(x)满足f(x－2)＋f(－x)＝0，且f(x＋1)是奇函数，若f(2)＝3，则f(9)＋f(10)＝__3__． 【解析】 因为f(x＋1)是奇函数，所以f(1)＝0，f(x＋1)＝－f(－x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(－x).因为f(x－2)＋f(－x)＝0，所以f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x)＝f(x＋4)，即f(x)是周期为4的周期函数，则f(9)＋f(10)＝f(1)＋f(2)＝3. 12．已知函数f(2x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，且当x∈(0，1]时，f(x)＝log2x，则f＝__1__. 【解析】 由函数f(2x＋1)为奇函数，得f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0.又f(x＋2)为偶函数，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，且关于直线x＝2对称，即f(2－x)＝－f(x)，f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，则f＝f＝－f＝－log2＝1. 13．(2026·南通模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(－1－x)＝－f(－1＋x)，f(3＋x)＝f(1－x)，当x∈[－1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(1)＋f(3)＝0，且f(－4)＋f(3)＝－3，则f＝____. 【解析】 因为f(－1－x)＝－f(－1＋x)，所以f(－2－x)＝－f(x)，又f(3＋x)＝f(1－x)，所以f(4－x)＝f(x)，所以f(－2－x)＝－f(4－x)，所以f(x－6)＝－f(x)，所以f(x－12)＝－f(x－6)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是12.由f(3＋x)＝f(1－x)可知f(3)＝f(1)，又f(1)＋f(3)＝0，所以f(1)＝0，所以f(1)＝a＋b＝0.由f(－4)＋f(3)＝－3及f(－1－x)＝－f(－1＋x)可知－f(2)＋f(1)＝－3，所以f(2)＝3，所以f(2)＝4a＋b＝3，结合f(1)＝a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，所以当x∈[－1，2]时，f(x)＝x2－1.所以f＝f＝f＝f＝－f＝－f＝－f＝－f＝－＝. 14．已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b＝__2__． 【解析】 由题意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2，设f(x)＝x3－3x2＋5x－3，则f(a)＝－2，f(b)＝2.因为f(x)图象的对称中心为(1，0)，所以a＋b＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 　函数的对称性 轴对称 探究1　一个函数的自对称 例 1-1　已知函数f(x－1)为偶函数，且函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1－2x)<f(－7)的解集为(　　) A．(－∞，3)　　　　 B．(3，＋∞) C．(－∞，2)　　　　 D．(2，＋∞) 若函数y＝f(x)的定义域为R，且满足条件：f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 推论：(1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且满足条件：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2) 若函数y＝f(x)的定义域为R，且满足条件：f(x)＝f(2a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3) 若函数y＝f(x)的定义域为R，且满足条件：f(a＋x)＝f(a－x)，方程f(x)＝0有n个根，则此n个根的和为na； (4) 函数f(x＋a)是偶函数⇔f(x)关于x＝a对称． 变式 1-1　(2025·秦皇岛一模)若函数f(x)＝(x2－2x)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则a＋b＝____，f(x)的最小值为____． 探究2　两个函数的互对称 例 1-2　下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是(　　) A．y＝log2(2＋x)　　　　 B．y＝log2(2－x) C．y＝log2(4＋x)　　　　 D．y＝log2(4－x) 若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x可得). 推论：(1) 函数y＝f(x－a)与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝a对称，函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称； (2) 函数y＝f(mx－a)与函数y＝f(b－mx)的图象关于直线x＝对称； (3) 函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(a－x)的图象关于直线x＝0(即y轴)对称，函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(即y轴)对称． 变式 1-2　若函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m＝(　　) A．3 B． C．－1 D．－ 中心对称 例2　(1) 若函数f(x)＝x3＋ax2－x－1(a∈R)的图象关于点(－1，f(－1))中心对称，则实数a的值为____． (2) 已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)，则(xi＋yi)＝____． (1) 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数y＝f(x)的图象关于点中心对称． (2) 两个函数的互对称：函数y＝f(x)与y＝－f(2a－x)的图象关于点(a，0)中心对称．特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点中心对称．推广：两个函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称． (3) 三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象关于点中心对称． 变式2　已知曲线y＝ln －x＋a关于点(－1，0)中心对称，则a＝(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 中心对称与轴对称的应用 例3　(1) (2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　　) A．f＝0　　　　 B．f(－1)＝0 C．f(2)＝0　　　　 D．f(4)＝0 (2) (2026·如东期初)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f是奇函数，当1≤x≤2时，f(x)＝3－2x，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． (1) 如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同). (2) 如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a). (3) 如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|. 变式3　(2025·石家庄三模)(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)是定义在R上的奇函数，则(　　) A．f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 B．f(x)是周期为2的函数 C．f(2 027)＝0 D．f(i)＝0 配套精练 1．(2018·全国 Ⅱ 卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　) A．－50 B．0 C．2 D．50 2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x<0时，f(x)＝log2(－6x＋2)，则f的值为(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．1 3．(2021·全国甲卷理)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 4．(2025·芜湖期末)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)－1为奇函数，y＝f(x＋1)为偶函数，若f(2 025)＝2，则f(3)＝(　　) A．1 B．－1 C．0 D．－3 5．(2025·黄山一模)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋4)＋f(－x)＝0，且对任意的x1，x2∈[2，＋∞)，都有>0.若m，n是关于x的方程x2－4x＋t2－5＝0的两个不等实根，则关于t的不等式f(m)＋f(n)＋f(t)>0的解集为(　　) A．(－∞，2)　　　B．(－3，2) 　　　C．(2，＋∞)　　　D．(2，3) 二、 多项选择题 6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＋f(1－x)＝0，且f(x)不是常函数，则下列说法中正确的有(　　) A．若2为f(x)的周期，则f(x)为奇函数 B．若f(x)为奇函数，则2为f(x)的周期 C．若4为f(x)的周期，则f(x)为偶函数 D．若f(x)为偶函数，则4为f(x)的周期 7．设函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，f(3)＝1，则(　　) A．f(－1)＝1　　　　 B．f(x)＝f(4＋x) C．f(x)＝f(4－x)　　　　 D．(k)＝－1 8．(2026·黄冈期初)已知定义在R上的函数f(x)和g(x)，若f(x＋2)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x＋1)＋g(3－x)＝4，则(　　) A．g(2)＝2 B．f(6)＝0 C．f(x)的图象关于x＝4对称 D．8为g(x)的一个周期 9．(2025·南昌一模)已知f(x)是R上的连续函数，满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则下列说法正确的是(　　) A．f(0)＝0 B．f(x)为偶函数 C．f(x)的一个周期为6 D．是f(x)的一个对称中心 三、 填空题 10．已知函数f(x)＝(x＋3)(2x2＋mx＋n)，若∀x∈R，f(2－x)＋f(x)＝0，则2m＋n＝____． 11．(2025·湛江期末)已知函数f(x)满足f(x－2)＋f(－x)＝0，且f(x＋1)是奇函数，若f(2)＝3，则f(9)＋f(10)＝____． 12．已知函数f(2x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，且当x∈(0，1]时，f(x)＝log2x，则f＝____. 13．(2026·南通模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(－1－x)＝－f(－1＋x)，f(3＋x)＝f(1－x)，当x∈[－1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(1)＋f(3)＝0，且f(－4)＋f(3)＝－3，则f＝____. 14．已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b＝____． 学科网（北京）股份有限公司 $