第2章 第14讲 函数与方程（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学讲义聚焦函数与方程高考核心考点，涵盖函数零点概念、存在定理、二分法及参数问题等，按“知识梳理-题型突破-分层训练”逻辑架构，通过激活思维题、聚焦知识梳理、举题说法（如零点区间判定、个数判断）等环节，帮助学生构建知识网络，突破难点。 资料融合数学思维与数学眼光，如例2结合奇函数图象分析嵌套函数零点，培养几何直观与推理能力。设置随堂内化与A、B组精练分层训练，配合方法总结（如二分法步骤、零点个数判断策略），确保高效复习，助力学生提升综合解题能力，为教师把控节奏提供清晰路径。

第14讲　函数与方程 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．(教材经典题改编)函数y＝－ln x　的零点所在区间是(　　) A．(3，4) B．(2，3) C．(1，2) D．(0，1) 3．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．b>a>c 4．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是____． 聚焦知识 1．函数零点 (1) 概念：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的____，即：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (2) 函数零点存在定理：①条件：(ⅰ) 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；(ⅱ) ____<0. ②结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得____，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 (1) 对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2) 步骤：第一步：确定区间[a，b]，验证____，给定精确度ε； 第二步：求区间[a，b]的中点c； 第三步：计算f(c)：①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b)). 第四步：判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤二到四． 3．常用结论 (1) 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． (2) 由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 题型突破　能力进阶 举题说法 零点所在区间的判定 例1　已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 确定函数零点所在区间的方法：(1) 解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2) 利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3) 数形结合法：通过画函数图象，判断图象与x轴在给定区间上是否有交点． 变式1　函数f(x)＝x＋ln x－4的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 零点个数的判定 例2　(2025·承德期末)已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且f(x)在[0，2]上的图象如图所示，则函数g(x)＝[f(x)－x]·[f(x)＋x＋1]的零点个数为(　　) (例2) A．7 B．6 C．5 D．4 函数零点个数的判断方法：(1) 直接求零点．(2) 零点存在定理，应注意：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点．(3) 作出两函数的图象，观察其交点即得零点个数． 变式2　函数f(x)＝sin －log2x的零点个数为____． (变式2答) 根据零点情况确定参数 视角1　根据零点个数求参数范围 例 3-1　已知函数f(x)＝g(x)＝x＋a，F(x)＝f(x)＋g(x).若F(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，0)　　　　 B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞)　　　　 D．[1，＋∞) 视角2　根据零点所在区间求参数范围 例 3-2　(2025·抚顺二模)若函数f(x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为(　　) A．[－4，1)　　　B．(－4，1] 　　　C．[－1，4)　　　D．(－1，4] 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法 (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； (2) 值域法：将问题转化成求函数的值域问题加以解决； (3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后利用数形结合求解． 变式3　已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋2x－m，若g(x)有一个零点，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，1]　　　　 B．(－∞，1) C．[1，＋∞)　　　　 D．(1，＋∞) 　嵌套函数的零点 例4　(1) 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝[f(x)]2－(m＋2)f(x)＋2m恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，1]　　　　 B．(0，1) C．[1，＋∞)　　　　 D．(1，＋∞) (2) 已知函数f(x)＝则方程f(f(x))＝2的所有根之积为___． 对于嵌套函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下： (1) 确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)； (2) 确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1，2，3，…，n)； (3) 确定直线u＝ui(i＝1，2，3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an. 随堂内化 1．函数f(x)＝ln x与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 2．(2025·滁州二模)函数f(x)＝的所有零点之和为(　　) A．－4 B．－3 C．0 D．1 3．若函数f(x)＝|ex－1|－b只有一个零点，则实数b的取值集合是____． 4．已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，x4满足x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1x2＝____，(x3－3)(x4－3)的取值范围是____． 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．已知方程3x＋2x－10＝0的解在(k，k＋1)(k∈Z)内，则k＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．(2025·南昌一模)已知f(x)＝则方程f(x)＝8所有根的和为(　　) A．1 B．2 C．5 D．7 3．已知f(x)是定义在R上的函数，且有f(x＋1)＝f(x)＋1，当0<x≤1时，f(x)＝3x＋1，则方程f(x)＝4的根的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知函数f(x)＝a－是R上的奇函数，若函数y＝f(x－2m)的零点在区间(－1，1)内，则m的取值范围是(　　) A．　　　　 B．(－1，1) C．(－2，2)　　　　 D．(0，1) 5．已知函数f(x)＝则函数y＝[f(x)]2－5f(x)＋6的零点个数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 6．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b 二、 多项选择题 7．已知函数f(x)＝x2－2|x|(x<a)，若函数F(x)＝f(x)－x存在两个零点，则a的取值可能是(　　) A．－1 B．1 C．2 D．3 8．已知函数f(x)＝若存在x1<x2<x3，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值可以是(　　) A． B．3 C． D． 三、 填空题 9．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围是____． 10．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－有三个零点，则实数m的取值范围是____． 11．设函数f(x)＝ex＋ax2，g(x)＝a－e－x，若曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则实数a＝____. 12．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a的四个不同的解从左到右依次为x1，x2，，，则x1＋x2＋＋的取值范围是____. B组　滚动小练 13．从A地到B地的距离约为300 km，经多次试验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的数据如下表： v 0 40 60 80 120 Q 0 7 8 10 20 为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系，下列最符合实际的函数模型是(　　) A．Q＝a＋b　　　　 B．Q＝av3＋bv2＋cv C．Q＝0.6v＋b　　　　 D．Q＝klogav＋b 14．(2025·莆田四模)沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏(如图)，上方装有a cm3的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过t min剩余的细沙量为y cm3，且y＝ae－bt(b为常数)，经过16 min，上方还剩下一半细沙，则要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为(　　) (第14题) A．24 min B．28 min C．32 min D．36 min 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲　函数与方程 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数是(　B　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＞0，所以f(x)在(2，3)内有零点．又因为f(x)为增函数，所以函数f(x)有且只有1个零点． 2．(教材经典题改编)函数y＝－ln x　的零点所在区间是(　B　) A．(3，4) B．(2，3) C．(1，2) D．(0，1) 【解析】 因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，所以函数y＝－ln x在(0，＋∞)上是减函数．当x＝2时，y＝－ln 2>0；当x＝3时，y＝1－ln 3<0，两函数值异号，所以函数y＝－ln x的零点所在区间是(2，3). 3．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　B　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．b>a>c 【解析】 在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝x3及y＝－x的图象如图所示，由图象可知b>c>a. (第3题答) 4．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是__(0，1)__． 【解析】 令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，作出函数f(x)的图象如图所示．由题可知函数y＝f(x)的图象和直线y＝m有3个交点，根据图象可得实数m的取值范围是(0，1). (第4题答) 聚焦知识 1．函数零点 (1) 概念：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的__横坐标__，即：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (2) 函数零点存在定理：①条件：(ⅰ) 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；(ⅱ) __f(a)·f(b)__<0. ②结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 (1) 对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． (2) 步骤：第一步：确定区间[a，b]，验证__f(a)·f(b)<0__，给定精确度ε； 第二步：求区间[a，b]的中点c； 第三步：计算f(c)：①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b)). 第四步：判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤二到四． 3．常用结论 (1) 若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． (2) 由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 题型突破　能力进阶 举题说法 零点所在区间的判定 例1　已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝(　A　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 【解析】 因为函数f(x)＝e－x－2x－5是连续的减函数，f(－2)＝e2－1>0，f(－1)＝e－3<0，所以f(－2)·f(－1)<0，函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)，即(m，m＋1)上，又m∈Z，所以m＝－2． 确定函数零点所在区间的方法：(1) 解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2) 利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3) 数形结合法：通过画函数图象，判断图象与x轴在给定区间上是否有交点． 变式1　函数f(x)＝x＋ln x－4的零点所在的区间是(　C　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 【解析】 函数f(x)＝x＋ln x－4的定义域为(0，＋∞)，因为f(x)在(0，＋∞)上连续且为增函数，且f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝－1＋ln 3>0，则f(2)·f(3)<0.由零点存在定理可知，函数f(x)＝x＋ln x－4的零点所在的区间是(2，3). 零点个数的判定 例2　(2025·承德期末)已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且f(x)在[0，2]上的图象如图所示，则函数g(x)＝[f(x)－x]·[f(x)＋x＋1]的零点个数为(　B　) (例2) A．7 B．6 C．5 D．4 【解析】 令g(x)＝[f(x)－x][f(x)＋x＋1]＝0，得f(x)＝x或f(x)＝－x－1.如图，画出f(x)在[－2，2]上的图象与直线y＝x，直线y＝－x－1.由图可知，f(x)的图象与直线y＝x有5个公共点，f(x)的图象与直线y＝－x－1仅有1个公共点，则g(x)的零点个数为5＋1＝6. (例2答) 函数零点个数的判断方法：(1) 直接求零点．(2) 零点存在定理，应注意：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点．(3) 作出两函数的图象，观察其交点即得零点个数． 变式2　函数f(x)＝sin －log2x的零点个数为__3__． (变式2答) 【解析】 函数f(x)＝sin －log2x的零点个数转化为y1＝sin 与y2＝log2x的图象的交点个数．当x＝5时，函数f(x)＝sin 取最大值，当x＝4时函数y＝log2x的值为，且5<4<6，结合图象可知，两函数图象有3个交点．所以f(x)＝sin －log2x的零点个数为3. 根据零点情况确定参数 视角1　根据零点个数求参数范围 例 3-1　已知函数f(x)＝g(x)＝x＋a，F(x)＝f(x)＋g(x).若F(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是(　C　) A．[－1，0)　　　　 B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞)　　　　 D．[1，＋∞) 【解析】 由F(x)＝f(x)＋g(x)恰有2个零点，得函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点．画出函数y＝f(x)的图象如图所示，平移直线y＝－x，当－a≤1，即a≥－1时，直线y＝－x－a与函数y＝f(x)的图象有2个交点． (例3-1答) 视角2　根据零点所在区间求参数范围 例 3-2　(2025·抚顺二模)若函数f(x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为(　D　) A．[－4，1)　　　B．(－4，1] 　　　C．[－1，4)　　　D．(－1，4] 【解析】 当x∈[1，4)时，由f(x)＝kx－4＋xlog2x＝0可得k＋log2x－＝0.令g(x)＝k＋log2x－，因为函数y＝log2x，y＝k－在[1，4)上均为增函数，所以函数g(x)＝k＋log2x－在[1，4)上为增函数．因为函数f(x)在区间[1，4)内有零点，则函数g(x)在区间[1，4)内有零点，所以解得－1<k≤4，即实数k的取值范围是(－1，4]. 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法 (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； (2) 值域法：将问题转化成求函数的值域问题加以解决； (3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后利用数形结合求解． 变式3　已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋2x－m，若g(x)有一个零点，则m的取值范围是(　C　) A．(－∞，1]　　　　 B．(－∞，1) C．[1，＋∞)　　　　 D．(1，＋∞) 【解析】 由g(x)＝0，得f(x)＝－2x＋m，因此g(x)有一个零点，当且仅当函数y＝f(x)的图象与直线y＝－2x＋m有且仅有一个公共点．函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，此时f(x)∈(0，1)；f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)∈R.在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝－2x＋m的图象如图所示，观察图象知，当m<1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝－2x＋m有两个交点．当m≥1时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝－2x＋m有1个交点，所以m的取值范围是[1，＋∞). (变式3答) 　嵌套函数的零点 例4　(1) 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝[f(x)]2－(m＋2)f(x)＋2m恰好有5个不同的零点，则实数m的取值范围是(　A　) A．(0，1]　　　　 B．(0，1) C．[1，＋∞)　　　　 D．(1，＋∞) 【解析】 画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数g(x)＝[f(x)]2－(m＋2)f(x)＋2m恰好有5个不同的零点，所以方程[f(x)]2－(m＋2)f(x)＋2m＝0有5个根．设t＝f(x)，则方程化为t2－(m＋2)t＋2m＝0，易知此方程有两个不等的实根t1＝m，t2＝2.结合f(x)的图象可知，t1∈(0，1]，t2∈(1，＋∞).令h(t)＝t2－(m＋2)t＋2m，则由二次函数的根的分布情况得解得0<m≤1.(或由y＝f(x)的图象与y＝2有两个交点，所以y＝f(x)的图象与y＝t1有3个交点，所以0<t1≤1，即0<m≤1) (例4(1)答) (2) 已知函数f(x)＝则方程f(f(x))＝2的所有根之积为____． 【解析】 令t＝f(x)，由f(f(x))＝2可得f(t)＝2.当t≤0时，由f(t)＝－t2－2t＝2，即t2＋2t＋2＝0，则Δ＝4－4×2<0，即方程t2＋2t＋2＝0无解；当t>0时，由f(t)＝|log2t|＝2，可得t＝或t＝4.当t＝时，若x≤0，由f(x)＝－x2－2x＝，可得x2＋2x＋＝0，解得x1＝，x2＝，若x>0，由f(x)＝|log2x|＝，可得x3＝2，x4＝2－.当t＝4时，若x≤0，由f(x)＝－x2－2x＝4，可得x2＋2x＋4＝0，Δ＝4－4×4<0，方程x2＋2x＋4＝0无解，当x>0时，由f(x)＝|log2x|＝4，可得x5＝24，x6＝2-4，因此，方程f(f(x))＝2的所有根之积为x1x2x3x4x5x6＝. 对于嵌套函数y＝f(g(x))的零点个数问题，求解思路如下： (1) 确定内层函数u＝g(x)和外层函数y＝f(u)； (2) 确定外层函数y＝f(u)的零点u＝ui(i＝1，2，3，…，n)； (3) 确定直线u＝ui(i＝1，2，3，…，n)与内层函数u＝g(x)图象的交点个数分别为a1，a2，a3，…，an，则函数y＝f(g(x))的零点个数为a1＋a2＋a3＋…＋an. 随堂内化 1．函数f(x)＝ln x与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(　B　) A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】 由题知g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)＝ln x与g(x)＝(x－2)2的图象如图所示．由图可知，两个函数的图象有2个交点． (第1题答) 2．(2025·滁州二模)函数f(x)＝的所有零点之和为(　C　) A．－4 B．－3 C．0 D．1 【解析】 由或可得x＝－1或x＝－3或x＝1或x＝3，故函数f(x)的零点之和为0. 3．若函数f(x)＝|ex－1|－b只有一个零点，则实数b的取值集合是__{0}∪[1，＋∞)__． 【解析】 函数f(x)＝|ex－1|－b只有一个零点，即y＝|ex－1|的图象与直线y＝b只有1个交点．作出y＝|ex－1|的大致图象与直线y＝b如图所示，由图可知，实数b的取值集合是{0}∪[1，＋∞). (第3题答) 4．已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，x4满足x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1x2＝__1__，(x3－3)(x4－3)的取值范围是__(0，27)__． 【解析】 作出函数f(x)的大致图象如图所示．因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，x1<x2<x3<x4，所以由图可知，－log3x1＝log3x2，即x1x2＝1，＝9，且3<x3<6，所以(x3－3)(x4－3)＝x3x4－3(x3＋x4)＋9＝x3(18－x3)－45＝－x＋18x3－45.因为y＝－x＋18x3－45在(3，6)上单调递增，所以0<y<27，即(x3－3)(x4－3)的取值范围是(0，27). (第4题答) 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．已知方程3x＋2x－10＝0的解在(k，k＋1)(k∈Z)内，则k＝(　B　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 设f(x)＝3x＋2x－10，则f(x)在定义域内单调递增，故f(x)在定义域内至多有一个零点．因为f(1)＝3＋2－10＝－5<0，f(2)＝9＋4－10＝3>0，所以f(x)仅在(1，2)内存在零点，即方程3x＋2x－10＝0的解在(1，2)内，故k＝1. 2．(2025·南昌一模)已知f(x)＝则方程f(x)＝8所有根的和为(　A　) A．1 B．2 C．5 D．7 【解析】 当x<0时，由x2－2x＝8，得(x＋2)(x－4)＝0，所以x＝－2；当x>0时，由2x＝8，得x＝3.因为－2＋3＝1，所以方程f(x)＝8的所有根的和为1. 3．已知f(x)是定义在R上的函数，且有f(x＋1)＝f(x)＋1，当0<x≤1时，f(x)＝3x＋1，则方程f(x)＝4的根的个数为(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 因为f(x)是定义在R上的函数，且有f(x＋1)＝f(x)＋1，当0<x≤1时，f(x)＝3x＋1，所以当－1<x≤0时，0<x＋1≤1，则f(x)＝f(x＋1)－1＝3x＋3，同理，当1<x≤2时，0<x－1≤1，f(x)＝f(x－1)＋1＝3x－1，当2<x≤3时，0<x－2≤1，f(x)＝f(x－2)＋2＝3x－3，当3<x≤4时，0<x－3≤1，f(x)＝f(x－3)＋3＝3x－5.作出函数f(x)的图象与直线y＝4如图所示，由图象可知，方程f(x)＝4的根的个数为3. (第3题答) 4．已知函数f(x)＝a－是R上的奇函数，若函数y＝f(x－2m)的零点在区间(－1，1)内，则m的取值范围是(　A　) A．　　　　 B．(－1，1) C．(－2，2)　　　　 D．(0，1) 【解析】 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝a－＝0，a＝1，f(x)＝1－.易知f(x)在R上是增函数，所以f(x)有唯一零点0.因为函数y＝f(x－2m)的零点在区间(－1，1)内，所以x－2m＝0，即m＝在(－1，1)上有解，所以m∈. 5．已知函数f(x)＝则函数y＝[f(x)]2－5f(x)＋6的零点个数为(　C　) A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】 令[f(x)]2－5f(x)＋6＝0，解得f(x)＝2或f(x)＝3.作出y＝f(x)的图象如图所示，由图可知，直线y＝2与y＝f(x)的图象有3个交点，直线y＝3与y＝f(x)的图象有4个交点，所以原方程有7个解，即函数y＝[f(x)]2－5f(x)＋6有7个零点． (第5题答) 6．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为(　C　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b 【解析】 令f(x)＝0，得2x＝－x；令g(x)＝0，得log2x＝－x；令h(x)＝0，得＝－x.作出y＝2x，y＝log2x，y＝和y＝－x的图象如图所示．由图象可知c＝0，所以b>c>a. (第6题答) 二、 多项选择题 7．已知函数f(x)＝x2－2|x|(x<a)，若函数F(x)＝f(x)－x存在两个零点，则a的取值可能是(　BCD　) A．－1 B．1 C．2 D．3 【解析】 F(x)＝f(x)－x＝作出F(x)的大致图象如图所示，由图可知，F(x)在R上共有3个零点，即F(x)＝0在R上有3个根，分别为x1＝－1，x2＝0，x3＝3.因为函数F(x)＝f(x)－x在(－∞，a)上存在两个零点，所以a∈(0，3]. (第7题答) 8．已知函数f(x)＝若存在x1<x2<x3，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值可以是(　CD　) A． B．3 C． D． 【解析】 设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝t，作出函数y＝f(x)与y＝t的图象如图所示．观察图形知，当0<t≤3时，直线y＝t与函数f(x)的图象有三个交点，点(x1，t)，(x2，t)关于直线x＝－1对称，则x1＋x2＝－2，且函数f(x)在(2，＋∞)上为增函数．由f(x3)＝x－4x3＋1∈(0，3]，x3>2，得2＋<x3≤2＋，因此x1＋x2＋x3＝x3－2∈(，]. (第8题答) 三、 填空题 9．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围是__(0，1]__． 【解析】 依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，即f(x)＝b有四个解，转化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有四个交点．当x∈(－∞，－1)时，函数f(x)为减函数，f(x)∈[0，＋∞)；当x∈(－1，0]时，函数f(x)为增函数，f(x)∈(0，1]；当x∈(0，1)时，函数f(x)为减函数，f(x)∈(0，＋∞)；当x∈[1，＋∞)时，函数f(x)为增函数，f(x)∈[0，＋∞).结合图象可知，实数b的取值范围为(0，1]. (第9题答) 10．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－有三个零点，则实数m的取值范围是__(－2，－)∪(，2)__． 【解析】 函数g(x)＝f(x)－有三个零点转化为y＝f(x)与y＝的图象有3个交点．作出f(x)的大致图象如图所示，由图可知，要使y＝f(x)与y＝的图象有3个交点，则1<<2，解得<m<2或－2<m<－. (第10题答) 11．设函数f(x)＝ex＋ax2，g(x)＝a－e－x，若曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则实数a＝__2__. 【解析】 令h(x)＝f(x)－g(x)，则h(x)＝ex＋ax2－a＋e－x，定义域为R，因为h(－x)＝e－x＋ax2－a＋ex＝h(x)，所以h(x)为偶函数．由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则h(x)只有唯一的零点0，所以h(0)＝1－a＋1＝0，解得a＝2. 12．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a的四个不同的解从左到右依次为x1，x2，，，则x1＋x2＋＋的取值范围是____. 【解析】 作出函数f(x)的大致图象如图所示，由图知0<a≤2，则－4≤x1<－2<x2≤0<≤<1<≤9，且x1＋x2＝－4，log3＋log3＝0，即x3x4＝1，所以x1＋x2＋＋＝x4＋－4.因为y＝x＋－4在(1，9]上单调递增，所以y∈，故x1＋x2＋＋∈. (第12题答) B组　滚动小练 13．从A地到B地的距离约为300 km，经多次试验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v≤120)的数据如下表： v 0 40 60 80 120 Q 0 7 8 10 20 为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系，下列最符合实际的函数模型是(　B　) A．Q＝a＋b　　　　 B．Q＝av3＋bv2＋cv C．Q＝0.6v＋b　　　　 D．Q＝klogav＋b 【解析】 依题意以及表中数据画出散点图如图所示，由图可知，该函数必须满足三个条件：①定义域为[0，120]；②在定义域上单调递增；③函数图象经过坐标原点．由散点图可知，函数图象不符合Q＝a＋b的图象特征，排除A；函数Q＝0.6v＋b为减函数，排除C；当v＝0时，Q＝klogav＋b没有意义，排除D，故最符合实际的函数模型为Q＝av3＋bv2＋cv. (第13题答) 14．(2025·莆田四模)沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏(如图)，上方装有a cm3的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过t min剩余的细沙量为y cm3，且y＝ae－bt(b为常数)，经过16 min，上方还剩下一半细沙，则要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为(　C　) (第14题) A．24 min B．28 min C．32 min D．36 min 【解析】 依题意有ae-16b＝a，即e-16b＝，两边取对数得－16b＝ln ＝－ln 2，所以b＝，故y＝ae－t.当容器上方细沙只有开始时的时，则有ae－t＝a，所以e－t＝，两边取对数得－t＝ln ＝－2ln 2，所以t＝32，即需要经过32 min. 学科网（北京）股份有限公司 $