第2章 第12讲 第2课时 对数函数的图象与性质（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习讲义聚焦对数函数的图象与性质核心考点，涵盖定义域、值域、单调性、定点及反函数等知识，以知识梳理构建体系，通过激活思维题回顾基础，题型突破分图象应用、性质应用（比较大小、解不等式、参数范围）等模块，结合随堂内化与配套精练，实现考点梳理、方法指导、真题训练的系统复习。 讲义突出核心素养培养，如例1通过作|log₂(x-1)|图象并分析交点符号，发展学生几何直观与抽象能力（数学眼光），比较大小题用数形结合培养推理意识（数学思维）。设置A组夯基、B组滚动分层练习，配合即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供实用指导。

第2课时　对数函数的图象与性质 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)可能是(　C　) (第1题) A．y＝1－x-1, x∈(0，＋∞) B．y＝－，x∈(0，＋∞) C．y＝ln x D．y＝x－1，x∈(0，＋∞) 【解析】 根据f(2)<1，f(3)>1，可知y＝ln x满足． 2．(教材经典题改编)函数y＝的定义域是(　B　) A．(0，1)　　　　 B． C．　　　　 D．∪(1，＋∞) 【解析】 由题知log0.5(4x－3)≥0，得0<4x－3≤1，解得<x≤1. 3．(教材经典题改编)若loga<1，则实数a的取值范围是(　D　) A．(0，1)　　　　 B． C． 　　　　 D．∪(1，＋∞) 【解析】 由题意得a>0且a≠1，因为loga<1，所以当0<a<1时，则有解得0<a<；当a>1时，loga<0恒成立．综上，a∈∪(1，＋∞). 4．(教材经典题改编)已知a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　B　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a 【解析】 方法一：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象，由图象可知，当x＝6时，log0.26＞log0.36＞log0.46，即a＞b＞c. (第4题答) 方法二：易知0＞log60.4＞log60.3＞log60.2，所以＜＜，即log0.46＜log0.36＜log0.26，即c<b<a. 5．若f(x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围为(　A　) A．[1，2) B．[1，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 【解析】 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，图象的对称轴为x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1，2). 聚焦知识 1．对数函数的图象及其性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：__(0，＋∞)__，值域：__R__ ①图象过定点__(1，0)__； ②函数y＝logax与y＝logx(a>0且a≠1)的图象关于__x轴__对称； ③在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐__增大__ 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是__增函数__ 在(0，＋∞)上是__减函数__ 2．反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 题型突破　能力进阶 举题说法 对数函数图象的应用 例1　(1) ①函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象如何变化得到的？ 【解答】 函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象向右平移1个单位长度得到的． ②在坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象(不要求写作法)； 【解答】 y＝|log2(x－1)|的图象如图(1)所示． ③设函数y＝x与函数y＝|log2(x－1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1，x2，设M＝(x1－2)(x2－2)，请判断M的符号． 【解答】 作出函数y＝x与函数y＝|log2(x－1)|的大致图象如图(2)所示，由图可知1<x1<2，2<x2，所以M＝(x1－2)(x2－2)<0. 图(1) 图(2) (例1(1)答) (2) (2026·烟台期中)若实数a，b，c满足log2a＝log3b＝，则a，b，c的大小关系不可能是(　D　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a 【解析】 设log2a＝log3b＝c＝k>0，作出函数y＝log2x，y＝log3x，y＝x的图象，如图，结合选项，由图可知，当直线y＝k为l1时，c<a<b；当直线y＝k为l2时，a<c<b；当直线y＝k为l3时，a<b<c，而c<b<a始终不可能． (例1(2)答) 对数函数图象的识别及应用方法 (1) 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质及函数图象上的特殊点(如与坐标轴的交点、最高点、最低点等)，排除不符合要求的选项． (2) 对数型方程、不等式问题常可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 变式1　在同一平面直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0且a≠1)的图象可能是(　D　) A B C D 【解析】 当0<a<1时，函数y＝ax过定点(0，1)且单调递减，则函数y＝过定点(0，1)且单调递增，函数y＝loga过定点且单调递减，D选项符合；当a>1时，函数y＝ax过定点(0，1)且单调递增，则函数y＝过定点(0，1)且单调递减，函数y＝loga过定点且单调递增，各选项均不符合． 对数函数性质的应用 视角1　比较大小 例 2-1　(2025·太原一模)已知a＝，b＝log23，c＝log35，则下列结论正确的是(　B　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．a>c>b 【解析】 由a＝＝log22＝log22<log23＝b，a＝＝log33＝log3>log35＝c，所以b>a>c. 变式 2-1　(2025·青岛期末)设m＝log0.30.4，n＝log20.4，则(　A　) A．mn<m＋n<0　　　　 B．m＋n<mn<0 C．m＋n<0<mn　　　　 D．mn<0<m＋n 【解析】 因为m＝log0.30.4>log0.31＝0，n＝log20.4<log21＝0，所以mn<0.因为＝＋＝log0.40.3＋log0.42＝log0.40.6，且0＝log0.41<log0.40.6<log0.40.4＝1，所以mn<m＋n<0. 视角2　解对数不等式 例 2-2　(1) 不等式log2x<－x＋1的解集是__(0，1)__． 【解析】 不等式log2x<－x＋1，即log2x＋x－1<0.令f(x)＝log2x＋x－1，x∈(0，＋∞)，因为y＝log2x与y＝x－1均在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(1)＝0，所以当0<x<1时，f(x)<0，则不等式log2x<－x＋1的解集是(0，1). (2) 若函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)满足f(3)＝－1，则不等式f(x)>1的解集为__(5，6)__． 【解析】 由f(3)＝－1，可得f(3)＝loga＝－1，可知a＝3.f(x)>1即为log3>1，可得>3，即－3＝>0，所以4(5－x)·(x－6)>0，解得5<x<6，即所求解集为(5，6). 变式 2-2　已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围为__∪(3，＋∞)__． 【解析】 由f(a)>f(3)，得|log3a|>|log33|＝1，所以log3a>1或log3a<－1，解得a>3或0<a<，即实数a的取值范围为∪(3，＋∞). 视角3　求参数的范围 例 2-3　(1) (2025·泰安模拟)已知函数f(x)＝lg (x2－ax－5)在(5，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　B　) A．(－∞，4)　　　　 B．(－∞，4] C．(4，＋∞)　　　　 D．[4，＋∞) 【解析】 由函数f(x)＝lg (x2－ax－5)在(5，＋∞)上单调递增，可得u(x)＝x2－ax－5在(5，＋∞)上单调递增，且u(x)>0在(5，＋∞)上恒成立，故需满足解得a≤4. (2) 若函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是__(1，)__． 【解析】 令u(x)＝x2－ax＋＝＋－，则u(x)有最小值－.欲使函数f(x)＝loga有最小值，则有解得1<a<，即实数a的取值范围为(1，). 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，有三个关注点：一是定义域范围，所有问题都必须在定义域范围内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的运用． 变式 2-3　(2025·聊城期末)设a>0，且a≠1，函数f(x)＝的值域为[2，＋∞)，则实数a的取值范围是__(1，]__． 【解析】 当x≤2时，f(x)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，则f(x)在(－∞，2]上单调递减，所以f(x)≥f(2)＝2，此时f(x)∈[2，＋∞).要使函数f(x)的值域为[2，＋∞)，则当x>2时，logax≥2，所以解得1<a≤，所以实数a的取值范围是(1，]. 　反函数的应用(选讲) 例3　(多选)已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则(　BC　) A．x1＋x2>0　　　　 B．x1x2<0 C．ex1＋ln x2＝0　　　　 D．x1x2－x1＋x2>1 【解析】 依题意，x1＋ex1＝0⇔e x1＝－x1，x2＋ln x2＝0⇔ln x2＝－x2，则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ex，y＝ln x图象交点的横坐标(如图).而函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，又直线y＝－x垂直于直线y＝x，则点(x1，e x1)与点(x2，ln x2)关于直线y＝x对称，则x2＝e x1＝－x1>0，于是x1＋x2＝0，x1x2<0，e x1＋ln x2＝0，故A错误，B，C正确；x1x2－x1＋x2－1＝(x1＋1)(x2－1)<0，即x1x2－x1＋x2<1，故D错误． (例3答) 变式3　设函数f(x)＝10x＋x－6的零点为m，函数g(x)＝lg x＋x－6的零点为n，则m＋n＝__6__． 【解析】 令f(x)＝10x＋x－6＝0，得10x＝6－x，则f(x)的零点m即为y＝10x与y＝6－x的交点的横坐标，同理函数g(x)＝lg x＋x－6的零点n为y＝lg x与y＝6－x的交点的横坐标，如图．因为y＝10x与y＝lg x互为反函数，即它们的图象关于y＝x对称，且y＝6－x与y＝x垂直，所以y＝10x和y＝lg x与y＝6－x的交点也关于y＝x对称．由解得两直线交点为(3，3)，所以m＋n＝6. (变式3答) 随堂内化 1．已知函数f(x)＝1＋loga(2x－3)(a>0，a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 令2x－3＝1，得x＝2，此时f(2)＝1＋loga1＝1，所以f(x)恒过定点(2，1)，则m＝2，n＝1，所以m＋n＝3. 2．(2025·常州期中)已知函数f(x)＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)，∃x∈[1，2]，使得f(x)≥1成立，则实数a的取值范围是(　A　) A．　　　　 B．∪(1，2] C．(1，2]　　　　 D． 【解析】 因为y＝2－ax(a>0)在[1，2]上单调递减，所以x＝2时，2－2a>0，即a<1，所以0<a<1，则y＝logat在[1，2]上单调递减，所以f(x)在[1，2]上单调递增，所以f(x)max＝f(2)＝loga(2－2a)≥1，所以2－2a≤a，所以a≥.综上所述，a的取值范围是. 3．(2025·孝感三模)(多选)已知函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则(　AC　) A．0<a<1 B．a>1 C．f(a＋2 026)>f(2 027) D．f(a＋2 026)<f(2 027) 【解析】 f(x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞).设z＝|x－1|，可得函数z＝|x－1|在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可得0<a<1，故A正确，B错误；由0<a<1，可得2 026<a＋2 026<2 027，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以f(a＋2 026)>f(2 027)，故C正确，D错误． 4．已知函数f(x)＝log3(mx2＋x＋2)，m∈R. (1) 若f(x)的定义域为R，则m的取值范围为____； 【解析】 因为函数f(x)＝log3(mx2＋x＋2)的定义域为R，所以mx2＋x＋2>0在R上恒成立．当m＝0时，x＋2>0在R上不恒成立，不符合题意；当m≠0时，则有解得m>.综上，m的取值范围为. (2) 若f(x)的值域为R，则m的取值范围为____. 【解析】 若函数f(x)＝log3(mx2＋x＋2)的值域为R，则y＝mx2＋x＋2的值域必须包含(0，＋∞).当m＝0时，则y＝x＋2的值域包含(0，＋∞)，符合题意；当m≠0时，则有解得0<m≤.综上，m的取值范围为. 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　B　) A．－1 B．0 C． D．1 【解析】 因为f(x)为偶函数，所以 f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝x ln ，由(2x－1)·(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝x ln ＝f(x)，此时f(x)为偶函数，故a＝0. 2．函数f(x)＝log2(2x)与g(x)＝2－x在同一平面直角坐标系下的图象大致是(　B　) A B C D 【解析】 由f(x)＝log2(2x)＝1＋log2x为定义域上的增函数，g(x)＝2－x为定义域上的增函数可排除A，C.由g(0)＝2－0＝1，排除D，故选B. 3．已知a∈，则f(x)＝loga(x2－4x＋3)的单调递减区间为(　C　) A．(－∞，1)　　　　 B．(－∞，2) C．(3，＋∞)　　　　 D．(2，＋∞) 【解析】 由x－x＝0，可得x＝x，当x>1时，x<1<1，方程x＝x无解；当x＝1时，方程x＝x显然不成立；当x≤0时，x≥1，方程x＝x无解，所以0<x<1，即0<a<1，可知函数y＝logax为减函数．由x2－4x＋3>0，解得x<1或x>3，当x∈(－∞，1)时，y＝x2－4x＋3单调递减，所以f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y＝x2－4x＋3单调递增，所以f(x)单调递减，故函数f(x)的单调递减区间为(3，＋∞). 4．已知函数f(x)＝|log3x|，若b>a>0，且a，b是f(x)的图象与直线y＝m(m>0)的两个交点对应的横坐标，则4a＋b的最小值为(　B　) A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】 作出f(x)＝|log3x|的图象如图所示．因为|log3a|＝|log3b|＝m，b>a>0，所以由图可知b>1>a>0，所以－log3a＝log3b，即log3a＋log3b＝0，所以ab＝1，所以4a＋b＝＋b≥2＝4，当且仅当b＝2时等号成立，即4a＋b的最小值为4. (第4题答) 5．若函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)在区间[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　A　) A． B． C． D．(1，＋∞) 【解析】 f(x)＝loga是由t＝ax－，y＝logat复合而成．由题意知a>0，则t＝ax－在区间[1，2]上单调递增，若函数f(x)＝loga(其中a>0且a≠1)在区间[1，2]上单调递减，则y＝logat单调递减，可得0<a<1.又t＝ax－>0在[1，2]上恒成立，所以tmin＝a－>0，解得a>.综上，<a<1. 二、 多项选择题 6．已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则下列选项错误的有(　ABC　) A．f(x)在(0，2)上单调递增 B．f(x)在(0，2)上单调递减 C．f(x)存在最小值 D．f(x)存在最大值 【解析】 f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln [x(2－x)]＝ln (2x－x2).由得0<x<2，故函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)的定义域为(0，2).令t＝2x－x2，则y＝ln t，二次函数t＝2x－x2的图象开口向下，其对称轴为直线x＝1，所以t＝2x－x2在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以t＝2x－x2∈(0，1].又函数y＝ln t在(0，1]上单调递增，所以由复合函数的单调性，可得f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，故A，B错误；因为当t∈(0，1]时，y＝ln t∈(－∞，0]，即f(x)∈(－∞，0]，所以f(x)在(0，2)上的最大值为0，无最小值，故C错误，D正确． 7．已知函数f(x)＝log2(mx2＋2x＋m－1)，m∈R，则下列说法正确的是(　AC　) A．若函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是 B．若函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，则实数m＝ C．若函数f(x)在区间[2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围是[0，＋∞) D．若m＝0，则不等式f(x)<1的解集为 【解析】 对于A，因为f(x)的定义域为R，所以mx2＋2x＋m－1>0恒成立，则解得m>，故A正确．对于B，因为f(x)的值域为[－1，＋∞)，所以y＝mx2＋2x＋m－1的最小值为，所以解得m＝2，故B错误．对于C，当m＝0时，f(x)＝log2(2x－1)，符合题意；当m≠0时，则有解得m>0.综上，m≥0，故C正确．对于D，当m＝0时，f(x)＝log2(2x－1)，由f(x)<1，可得0<2x－1<2，解得<x<，故D错误． 三、 填空题 8．(2025·滁州一模)已知函数f(x)＝loga(3x＋4)＋2x恒过定点(m，n)，则m＋n＝__－3__． 【解析】 令3x＋4＝1，得x＝－1，又f(－1)＝－2，所以f(x)过定点(－1，－2)，即m＝－1，n＝－2，所以m＋n＝－3. 9．(2026·苏州期初)函数f(x)＝lg (2x)·lg (5x)－lg 2·lg 5的最小值为__－__． 【解析】 由题设知f(x)＝(lg 2＋lg x)(lg 5＋lg x)－lg 2·lg 5＝(lg x)2＋lg x，且x>0.令t＝lg x∈R，则f(x)＝g(t)＝t2＋t＝2－，当t＝－，即x＝时，f(x)min＝－. 10．若x1是方程xex＝2的解，x2是方程x ln x＝2的解，则x1＋x2＝__2__． 【解析】 由题意知，y＝ex与y＝的交点为，y＝ln x与y＝的交点为，因为y＝ln x与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，且y＝的图象关于直线y＝x对称，所以点与点关于直线y＝x对称．联立可得x＝.由中点坐标公式可得x1＋x2＝2×＝2. 四、 解答题 11．(2026·南通期初)已知f(x)＝logax(a>0且a≠1). (1) 若a＝2，解关于x的方程：ff(2x)＝－5； 【解答】 若a＝2，则f(x)＝log2x，ff(2x)＝log2 ·log2(2x)＝(log28－log2x)(log22＋log2x)＝(3－log2x)(1＋log2x).由ff(2x)＝－5，得(3－log2x)(1＋log2x)＝－5，化简得(log2x－4)(log2x＋2)＝0，所以log2x＝4或log2x＝－2，解得x＝16或x＝. (2) 若f(2a－1)>f(a＋2)，求a的取值范围． 【解答】 ①当0<a<1时，函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递减，由f(2a－1)>f(a＋2)，得0<2a－1<a＋2，解得<a<3，此时<a<1.②当a>1时，函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上单调递增，由f(2a－1)>f(a＋2)，得0<a＋2<2a－1，解得a>3.综上，a的取值范围为∪(3，＋∞). 12．已知f(x)＝log为奇函数，a为常数． (1) 求a的值； 【解答】 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以log＝－log＝log，所以＝，即(a2－1)·x2＝0，解得a＝±1，经检验，a＝1不合题意，所以a＝－1. (2) 求证：f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增； 【解答】 由(1)可知f(x)＝log＝log(x>1)，任取1<m<n，则n－1>m－1>0，所以0<<，即1＋<1＋，即0<<，所以log>log，即f(n)>f(m)，所以f(x)＝log在(1，＋∞)上为增函数． (3) 若∀x∈[2，5]，不等式f(x)>x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 【解答】 设g(x)＝f(x)－＝log－x，由(2)得f(x)＝log在(1，＋∞)上为增函数．又y＝x在R上单调递减，所以g(x)在[2，5]上为增函数，所以g(x)≥g(2)＝－.又g(x)>m在[2，5]上恒成立，所以m<－.故实数m的取值范围是. B组　滚动小练 13．(2026·淮安期中)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)＝f(2－x)，∀x1，x2∈[1，＋∞)，x1≠x2，<0.若f(2)<f(lg x)，则实数x的取值范围为(　A　) A．(1，100)　　　B．　　　C．(10，100)　　　D．(1，10) 【解析】 因为f(x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称．又∀x1，x2∈[1，＋∞)，x1≠x2，<0，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，1]上单调递增．又f(2)＝f(0)，所以0<lg x<2，所以1<x<100，所以实数x的取值范围为(1，100). 14．已知二次函数f(x)＝ax2－bx＋3. (1) 若不等式f(x)>0的解集为，求a和b的值． 【解答】 由题意知－，1是方程ax2－bx＋3＝0的两根，则解得 (2) 若a>0，b＝3a＋1. ①解关于x的不等式：f(x)≤0； 【解答】 若b＝3a＋1，则f(x)＝ax2－(3a＋1)·x＋3＝(ax－1)(x－3).当0<a<时，>3，则不等式f(x)≤0的解集为；当a＝时，＝3，则不等式f(x)≤0的解集为{3}；当a>时，<3，则不等式f(x)≤0的解集为. ②若对任意的a∈[1，2]，f(x)>0恒成立，求x的取值范围． 【解答】 若b＝3a＋1，则f(x)＝ax2－(3a＋1)x＋3＝(x2－3x)a－x＋3.令g(a)＝(x2－3x)a＋3－x，则g(a)>0在[1，2]上恒成立，所以即解得x<或x>3，即x的取值范围为∪(3，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　对数函数的图象与性质 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)可能是(　　) (第1题) A．y＝1－x-1, x∈(0，＋∞) B．y＝－，x∈(0，＋∞) C．y＝ln x D．y＝x－1，x∈(0，＋∞) 2．(教材经典题改编)函数y＝的定义域是(　　) A．(0，1)　　　　 B． C．　　　　 D．∪(1，＋∞) 3．(教材经典题改编)若loga<1，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，1)　　　　 B． C． 　　　　 D．∪(1，＋∞) 4．(教材经典题改编)已知a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a 5．若f(x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A．[1，2) B．[1，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 聚焦知识 1．对数函数的图象及其性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：____，值域：____ ①图象过定点____； ②函数y＝logax与y＝logx(a>0且a≠1)的图象关于____对称； ③在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐____ 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是____ 在(0，＋∞)上是____ 2．反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 题型突破　能力进阶 举题说法 对数函数图象的应用 例1　(1) ①函数y＝log2(x－1)的图象是由y＝log2x的图象如何变化得到的？ ②在坐标系中作出y＝|log2(x－1)|的图象(不要求写作法)； ③设函数y＝x与函数y＝|log2(x－1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1，x2，设M＝(x1－2)(x2－2)，请判断M的符号． (2) (2026·烟台期中)若实数a，b，c满足log2a＝log3b＝，则a，b，c的大小关系不可能是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a 对数函数图象的识别及应用方法 (1) 在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质及函数图象上的特殊点(如与坐标轴的交点、最高点、最低点等)，排除不符合要求的选项． (2) 对数型方程、不等式问题常可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 变式1　在同一平面直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) A B C D 对数函数性质的应用 视角1　比较大小 例 2-1　(2025·太原一模)已知a＝，b＝log23，c＝log35，则下列结论正确的是(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．a>c>b 变式 2-1　(2025·青岛期末)设m＝log0.30.4，n＝log20.4，则(　　) A．mn<m＋n<0　　　　 B．m＋n<mn<0 C．m＋n<0<mn　　　　 D．mn<0<m＋n 视角2　解对数不等式 例 2-2　(1) 不等式log2x<－x＋1的解集是____． (2) 若函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)满足f(3)＝－1，则不等式f(x)>1的解集为____． 变式 2-2　已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围为____． 视角3　求参数的范围 例 2-3　(1) (2025·泰安模拟)已知函数f(x)＝lg (x2－ax－5)在(5，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，4)　　　　 B．(－∞，4] C．(4，＋∞)　　　　 D．[4，＋∞) (2) 若函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是____． 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，有三个关注点：一是定义域范围，所有问题都必须在定义域范围内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的运用． 变式 2-3　(2025·聊城期末)设a>0，且a≠1，函数f(x)＝的值域为[2，＋∞)，则实数a的取值范围是____． 　反函数的应用(选讲) 例3　(多选)已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则(　　) A．x1＋x2>0　　　　 B．x1x2<0 C．ex1＋ln x2＝0　　　　 D．x1x2－x1＋x2>1 变式3　设函数f(x)＝10x＋x－6的零点为m，函数g(x)＝lg x＋x－6的零点为n，则m＋n＝____． 随堂内化 1．已知函数f(x)＝1＋loga(2x－3)(a>0，a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．(2025·常州期中)已知函数f(x)＝loga(2－ax)(a>0，且a≠1)，∃x∈[1，2]，使得f(x)≥1成立，则实数a的取值范围是(　　) A．　　　　 B．∪(1，2] C．(1，2]　　　　 D． 3．(2025·孝感三模)(多选)已知函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则(　　) A．0<a<1 B．a>1 C．f(a＋2 026)>f(2 027) D．f(a＋2 026)<f(2 027) 4．已知函数f(x)＝log3(mx2＋x＋2)，m∈R. (1) 若f(x)的定义域为R，则m的取值范围为____； (2) 若f(x)的值域为R，则m的取值范围为___. 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 2．函数f(x)＝log2(2x)与g(x)＝2－x在同一平面直角坐标系下的图象大致是(　　) A B C D 3．已知a∈，则f(x)＝loga(x2－4x＋3)的单调递减区间为(　　) A．(－∞，1)　　　　 B．(－∞，2) C．(3，＋∞)　　　　 D．(2，＋∞) 4．已知函数f(x)＝|log3x|，若b>a>0，且a，b是f(x)的图象与直线y＝m(m>0)的两个交点对应的横坐标，则4a＋b的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 5．若函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)在区间[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D．(1，＋∞) 二、 多项选择题 6．已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则下列选项错误的有(　　) A．f(x)在(0，2)上单调递增 B．f(x)在(0，2)上单调递减 C．f(x)存在最小值 D．f(x)存在最大值 7．已知函数f(x)＝log2(mx2＋2x＋m－1)，m∈R，则下列说法正确的是(　　) A．若函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是 B．若函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，则实数m＝ C．若函数f(x)在区间[2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围是[0，＋∞) D．若m＝0，则不等式f(x)<1的解集为 三、 填空题 8．(2025·滁州一模)已知函数f(x)＝loga(3x＋4)＋2x恒过定点(m，n)，则m＋n＝____． 9．(2026·苏州期初)函数f(x)＝lg (2x)·lg (5x)－lg 2·lg 5的最小值为____． 10．若x1是方程xex＝2的解，x2是方程x ln x＝2的解，则x1＋x2＝____． 四、 解答题 11．(2026·南通期初)已知f(x)＝logax(a>0且a≠1). (1) 若a＝2，解关于x的方程：ff(2x)＝－5； (2) 若f(2a－1)>f(a＋2)，求a的取值范围． 12．已知f(x)＝log为奇函数，a为常数． (1) 求a的值； (2) 求证：f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增； (3) 若∀x∈[2，5]，不等式f(x)>x＋m恒成立，求实数m的取值范围． B组　滚动小练 13．(2026·淮安期中)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)＝f(2－x)，∀x1，x2∈[1，＋∞)，x1≠x2，<0.若f(2)<f(lg x)，则实数x的取值范围为(　　) A．(1，100)　　　B．　　　C．(10，100)　　　D．(1，10) 14．已知二次函数f(x)＝ax2－bx＋3. (1) 若不等式f(x)>0的解集为，求a和b的值． (2) 若a>0，b＝3a＋1. ①解关于x的不等式：f(x)≤0； ②若对任意的a∈[1，2]，f(x)>0恒成立，求x的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $