第2章 第12讲 第1课时 对数的运算（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学讲义聚焦对数的运算这一高考核心考点，涵盖对数概念、运算性质及换底公式，按“概念-性质-应用”逻辑层次构建知识体系。通过激活思维题诊断学情，聚焦知识表格系统梳理，配合题型突破中的方法指导与真题训练，帮助学生夯实基础并突破运算难点。 资料突出分层教学与实战导向，设A组夯基精练和B组滚动小练，融入2025-2026模拟题及教材经典改编题。如换底公式应用例题引导学生通过已知对数转换培养数学思维，实际问题（臭氧含量计算）强化模型意识，助力学生高效提升运算能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第12讲　对数与对数函数 第1课时　对数的运算 知识梳理　体系构建 激活思维 1．化简4log16x2的结果为(　　) A．|x| B． C．x D． 2．计算：2log525＋3log264－8log71＝(　　) A．14 B．8 C．22 D．27 3．(教材经典题改编)下列各式正确的是(　　) A．log3(27×92)＝5 B．lg 5＋lg 2＝1 C．ln 3＋ln ＝1 D．log35－log315＝ 4．(教材经典题改编)计算：2(log43＋log83)·(log32＋log92)＝(　　) A．1 B． C．2 D． 5．(教材经典题改编)(多选)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则下列各式正确的是(　　) A．lg 6＝a＋b　　　　 B．log34＝ C．log212＝a＋2b　　　　 D．lg ＝b－a 聚焦知识 1．对数的概念及运算性质 概念 一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作____．其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，将log10N记作lg N．另外，以无理数e＝2.718 28…为底数的对数叫做自然对数，并将logeN记作ln N 运算 法则 (1) 对数的性质： ①alogaN＝____； ②logaab＝b(a>0且a≠1)． (2) 对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝____； ②loga＝____； ③logaMn＝____(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R且m≠0) 换底 公式 换底公式：logaN＝(a，b均大于零且不等于1) 2．常用结论 (1) logab＝； (2) logab·logbc·logcd＝logad. 题型突破　能力进阶 举题说法 对数式的化简与求值 例1　(1) 计算：31＋log35－24＋log23＋103lg 3＋log25＝____． (2) 计算：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＋(log32＋log92)·(log43＋log83)＋27ln 8－8ln 7＝____． (3) (2025·泉州二检)已知xlog23＝1，则3x＋3－x＝(　　) A． B． C． D． (1) 将同底对数的和、差、倍合并； (2) 对数运算中的常用结论：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N. 变式1　(1) 计算：4log43＋log2－log169＝___． (2) (2025·焦作三模)已知a>0，b>0且ab＝4，则(　　) A．log2a·log2b＝2 B．log2a＋log2b＝1 C．2a·2b＝16 D．(2a)b＝16 (3) (2026·如东期初)计算：eln 2＋log5125＋＝____． 换底公式的应用 例2　(1) 若log2a＋loga2＝2，则a＝(　　) A． B．1 C．2 D．4 (2) 已知log23＝m，log37＝n，则log4256＝(　　) A．　　　　 B． C．　　　　 D． 　　 1．(2025·许昌二模)若2a＝5b＝，则＋＝____． 2．(2025·深圳三模)已知实数a>1，且满足loga(2a)＋log2aa＝，则a＝___． 3．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log615＝____(结果用a，b表示)． 4．(2026·南通期初)设a＝，b＝ln ，c＝log2，则(　　) A．b<c<a B．c<b<a C．b<a<c D．a<b<c 对数的实际应用 例3　(2025·青岛一模)近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量Q与时间t(单位：年)的关系为Q＝Q0e－，其中Q0是臭氧的初始含量．臭氧消失一半所需要的时间约为(ln 2≈0.693，精确到1年)(　　) A．265年 B．266年 C．276年 D．277年 变式3　(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1　　　　 B．2N2＝3N1 C．N＝N　　　　 D．N＝N 随堂内化 1．若2a＝5b＝10，则2＝(　　) A．2 B．4 C．5 D．10 2．(2025·安庆三模)已知函数f(x)满足f(x)＝2f(x－1)，当0≤x<1时，f(x)＝3x，则f(log318)＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．18 3．(2025·重庆模拟)已知2x＝3y＝5z(x，y，z≠0)，且＋＝，则a＝(　　) A．log23 B．log25 C．log35 D．log56 4．(2024·全国甲卷理)已知a>1且－＝－，则a＝____． 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a-3b＝(　　) A．25　　　B．5 C．　　　D． 2．已知a＝log35，b＝log23，则lg 3＝(　　) A． B． C．＋ D． 3．设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么下列关系正确的是(　　) A．a＋2b＝c　　　　 B．ac＋bc＝2ab C．＋＝　　　　 D．＋＝ 4．(2025·南通模拟)已知a>0，b>0，log9a＝log12b＝log16(a＋b)，则＝(　　) A． B． C． D． 5．(2025·北京卷)一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T＝klog2N(单位：h)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20 h，则当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(　　) A．2 h B．4 h C．20 h D．40 h 二、 多项选择题 6．下列关系表示正确的是(　　) A．若 log72＝a，log75＝b，则lg 5＝ B．若2x＝9，log2＝y，则x＋2y＝6 C．若x，y，z∈(0，＋∞)，且3x＝4y＝6z，则＋＝ D．若log89＝a，log25＝b，则lg 3＝ 7．(2023·新高考I卷)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 三、 填空题 8．计算：5log52＋log93·log24＝____． 9．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝____． 10．(2026·南通期初)已知函数f(x)＝若f(f(a))＝－1，则a＝____． 四、 解答题 11．科研人员研究候鸟迁徙时，发现其飞行速度可表示为函数v＝log2－lg x0(单位：km/min)，其中x为候鸟每分钟耗氧量单位数，x0为耗氧偏差常数． (1) 若x0＝8，则候鸟停下休息时(速度为0)，它每分钟的耗氧量为多少个单位？ (2) 若雄鸟的飞行速度为1.5 km/min，雌鸟为0.5 km/min，则雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟的多少倍？ 参考数据：lg 2≈0.3，21.8≈3.48. 12．设关于x的方程 lg 2x－lg x2＋3p＝0的两个实根分别是α，β. (1) 求实数p的取值范围； (2) 求logαβ＋logβα的取值范围． B组　滚动小练 13．(2025·威海期末)已知函数f(x)＝2ax2－2x－1＋x，若对任意的x1，x2∈(1，3)，且x1≠x2，都有<1，则(　　) A．a≤ B．a≤0 C．a≥－3 D．a≥1 14．(2026·海安期初)(多选)设x>0，则(　　) A．>1　　　　 B．5－x－≤1 C．x＋>1　　　　 D．ln x＋≥2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲　对数与对数函数 第1课时　对数的运算 知识梳理　体系构建 激活思维 1．化简4log16x2的结果为(　A　) A．|x| B． C．x D． 2．计算：2log525＋3log264－8log71＝(　C　) A．14 B．8 C．22 D．27 3．(教材经典题改编)下列各式正确的是(　B　) A．log3(27×92)＝5 B．lg 5＋lg 2＝1 C．ln 3＋ln ＝1 D．log35－log315＝ 【解析】 对于A，log3(27×92)＝log3(33×34)＝7，故A错误；对于B，lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故B正确；对于C，ln 3＋ln ＝ln 1＝0，故C错误；对于D，log35－log315＝log3＝－1，故D错误． 4．(教材经典题改编)计算：2(log43＋log83)·(log32＋log92)＝(　D　) A．1 B． C．2 D． 【解析】 2(log43＋log83)(log32＋log92)＝2＝log23×＝. 5．(教材经典题改编)(多选)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则下列各式正确的是(　AD　) A．lg 6＝a＋b　　　　 B．log34＝ C．log212＝a＋2b　　　　 D．lg ＝b－a 【解析】 对于A，lg 6＝lg (2×3)＝lg 2＋lg 3＝a＋b，故A正确；对于B，log34＝＝，故B错误；对于C，log212＝＝＝，故C错误；对于D，lg ＝lg 3－lg 2＝b－a，故D正确． 聚焦知识 1．对数的概念及运算性质 概念 一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作__logaN＝b__．其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，将log10N记作lg N．另外，以无理数e＝2.718 28…为底数的对数叫做自然对数，并将logeN记作ln N 运算 法则 (1) 对数的性质： ①alogaN＝__N__； ②logaab＝b(a>0且a≠1)． (2) 对数的运算法则：如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝__logaM＋logaN__； ②loga＝__logaM－logaN__； ③logaMn＝__nlogaM__(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R且m≠0) 换底 公式 换底公式：logaN＝(a，b均大于零且不等于1) 2．常用结论 (1) logab＝； (2) logab·logbc·logcd＝logad. 题型突破　能力进阶 举题说法 对数式的化简与求值 例1　(1) 计算：31＋log35－24＋log23＋103lg 3＋log25＝__－__． 【解析】 31＋log35－24＋log23＋103lg 3＋log25＝3×3log35－24×2log23＋(10lg 3)3＋(2log25)-1＝3×5－16×3＋33＋5-1＝－. (2) 计算：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＋(log32＋log92)·(log43＋log83)＋27ln 8－8ln 7＝____． 【解析】 设m＝ln 8，则em＝8，所以7ln 8－8ln 7＝7m－(em)ln 7＝7m－(eln 7)m＝7m－7m＝0，所以(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＋(log32＋log92)·(log43＋log83)＋27ln 8－8ln 7＝(lg 2)2＋lg 2(lg 5＋1)＋2lg 5＋＋20＝(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＋2lg 5＋log32×log23＋1＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 2＋2lg 5＋＋1＝＋1＝. (3) (2025·泉州二检)已知xlog23＝1，则3x＋3－x＝(　B　) A． B． C． D． 【解析】 由xlog23＝1得x＝＝log32，3x＋3－x＝3log32＋＝2＋＝. (1) 将同底对数的和、差、倍合并； (2) 对数运算中的常用结论：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N. 变式1　(1) 计算：4log43＋log2－log169＝____． 【解析】 原式＝3＋log46－log43＝3＋log42＝3＋＝. (2) (2025·焦作三模)已知a>0，b>0且ab＝4，则(　D　) A．log2a·log2b＝2 B．log2a＋log2b＝1 C．2a·2b＝16 D．(2a)b＝16 【解析】 由题意得，A项中的log2a·log2b和C项中的2a·2b＝2a＋b的值无法确定；对于B，log2a＋log2b＝log2ab＝2；对于D，(2a)b＝2ab＝16. (3) (2026·如东期初)计算：eln 2＋log5125＋＝____． 【解析】 因为eln 2＝eloge2＝2，log5125＝log553＝3，＝＝，所以eln 2＋log5125＋＝2＋3＋＝. 换底公式的应用 例2　(1) 若log2a＋loga2＝2，则a＝(　C　) A． B．1 C．2 D．4 【解析】 由log2a＋loga2＝2，得log2a＋＝2.令t＝log2a，则t＋＝2，即t2－2t＋1＝0，可得t＝1，所以t＝log2a＝1，解得a＝2. (2) 已知log23＝m，log37＝n，则log4256＝(　C　) A．　　　　 B． C．　　　　 D． 【解析】 由换底公式得log27＝log23·log37＝mn，则log72＝，所以log4256＝log42(7×8)＝log427＋log428，其中log427＝＝＝＝＝，log428＝3log422＝＝＝，故log4256＝＋＝. 　　 1．(2025·许昌二模)若2a＝5b＝，则＋＝__－1__． 【解析】 若2a＝5b＝，则＋＝＋＝log2＋log5＝log10＝－1. 2．(2025·深圳三模)已知实数a>1，且满足loga(2a)＋log2aa＝，则a＝__2__． 【解析】 设loga(2a)＝t，则t＝loga2＋1，因为a>1，所以t>1.由t＋＝，解得t＝2或t＝(舍去)，所以loga2＋1＝2，解得a＝2. 3．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log615＝____(结果用a，b表示)． 【解析】 log615＝＝＝＝. 4．(2026·南通期初)设a＝，b＝ln ，c＝log2，则(　C　) A．b<c<a B．c<b<a C．b<a<c D．a<b<c 【解析】 因为b＝ln ，c＝log2＝＝，ln >0，0<ln 2<1，所以b<c.因为a＝＝log22＝log2，c＝log2＝log2，所以c>a.因为a＝＝ln e＝ln ，b＝ln ，所以a>b.综上，b<a<c. 对数的实际应用 例3　(2025·青岛一模)近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量Q与时间t(单位：年)的关系为Q＝Q0e－，其中Q0是臭氧的初始含量．臭氧消失一半所需要的时间约为(ln 2≈0.693，精确到1年)(　D　) A．265年 B．266年 C．276年 D．277年 【解析】 令Q＝Q0e－＝Q0，可得e－＝，可得－＝ln ＝－ln 2，所以t＝400ln 2≈277，故臭氧消失一半所需要的时间约为277年． 变式3　(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　D　) A．3N2＝2N1　　　　 B．2N2＝3N1 C．N＝N　　　　 D．N＝N 【解析】 由题意得＝2.1，＝3.15，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以N＝N. 随堂内化 1．若2a＝5b＝10，则2＝(　C　) A．2 B．4 C．5 D．10 【解析】 因为2a＝5b＝10，所以a＝log210，b＝log510，所以＝＝＝log25，所以2＝2log25＝5. 2．(2025·安庆三模)已知函数f(x)满足f(x)＝2f(x－1)，当0≤x<1时，f(x)＝3x，则f(log318)＝(　C　) A．2 B．4 C．8 D．18 【解析】 因为2＝log39<log318<log327＝3，所以0<log318－2<1.因为f(x)＝2f(x－1)，所以f(log318)＝22f(log318－2)＝22×3log318－2＝8. 3．(2025·重庆模拟)已知2x＝3y＝5z(x，y，z≠0)，且＋＝，则a＝(　D　) A．log23 B．log25 C．log35 D．log56 【解析】 设2x＝3y＝5z＝k(k>0)，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.由＋＝，得＋＝logk2＋logk3＝logk6＝alogk5，因此6＝5a，故a＝log56. 4．(2024·全国甲卷理)已知a>1且－＝－，则a＝__64__． 【解析】 由题知－＝－log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，可得log2a＝－1或log2a＝6.又a>1，所以log2a＝6，故a＝26＝64. 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a-3b＝(　C　) A．25　　　B．5 C．　　　D． 【解析】 因为2a＝5，所以a＝log25，又b＝log83＝log23，所以a－3b＝log2，4a-3b＝22log2＝. 2．已知a＝log35，b＝log23，则lg 3＝(　A　) A． B． C．＋ D． 【解析】 由b＝log23，得＝log32，则lg 3＝＝＝＝. 3．设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么下列关系正确的是(　C　) A．a＋2b＝c　　　　 B．ac＋bc＝2ab C．＋＝　　　　 D．＋＝ 【解析】 由3a＝4b＝6c＝k，得a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，＝logk3，＝logk4，＝logk6，则＝logk4＝logk2，根据logk3＋logk2＝logk6可知＋＝. 4．(2025·南通模拟)已知a>0，b>0，log9a＝log12b＝log16(a＋b)，则＝(　D　) A． B． C． D． 【解析】 设log9a＝log12b＝log16(a＋b)＝k，则有a＝9k＝32k，b＝12k＝3k×4k，a＋b＝16k＝42k，可得32k＋3k×4k＝42k，即2k＋k－1＝0，解得k＝，所以＝＝k＝. 5．(2025·北京卷)一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T＝klog2N(单位：h)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20 h，则当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(　B　) A．2 h B．4 h C．20 h D．40 h 【解析】 设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210)，因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时． 二、 多项选择题 6．下列关系表示正确的是(　ABC　) A．若 log72＝a，log75＝b，则lg 5＝ B．若2x＝9，log2＝y，则x＋2y＝6 C．若x，y，z∈(0，＋∞)，且3x＝4y＝6z，则＋＝ D．若log89＝a，log25＝b，则lg 3＝ 【解析】 对于A，a＝，b＝，所以＝＝，所以lg 5＝，故A正确；对于B，由2x＝9，得x＝log29，从而x＋2y＝log29＋2log2＝log29＋log2＝log264＝6，故B正确；对于C，设3x＝4y＝6z＝k，则x＝，y＝，z＝，所以＋＝＋＝＝＝＝＝，故C正确；对于D，因为log89＝a，所以＝＝log23＝a，所以log23＝a，lg 3＝＝＝，故D错误． 7．(2023·新高考I卷)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　ACD　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 【解析】 对于A，因为Lp1－Lp2＝20×lg －20×lg ＝20×＝20×lg ≥0，所以p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2－Lp3＝20×lg ≤20，所以lg ≤1，所以≤10，故B错误；对于C，Lp3＝20×lg ＝40，所以lg ＝2，所以＝100，故C正确；对于D，Lp1－Lp2＝20×lg ≤90－50＝40，所以lg ≤2，所以≤100，故D正确． 三、 填空题 8．计算：5log52＋log93·log24＝__3__． 【解析】 原式＝2＋log323·log222＝2＋×2＝3. 9．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝__e__． 【解析】 f(ln 2)f(ln 4)＝aln 2·aln 4＝aln 2+ln 4＝aln 8＝8，所以a＝e. 10．(2026·南通期初)已知函数f(x)＝若f(f(a))＝－1，则a＝__或－1或__． 【解析】 设t＝f(a)，则f(f(a))＝f(t)＝－1.当t>0时，f(t)＝log3t，由log3t＝－1，可得t＝3-1＝；当t≤0时，f(t)＝t，由t＝－1，得t＝(－1)3＝－1.当f(a)＝时，若a>0，由f(a)＝log3a＝，得a＝3＝；若a≤0，由f(a)＝a＝，得a＝3＝，舍去．当f(a)＝－1时，若a>0，由f(a)＝log3a＝－1，得a＝3-1＝；若a≤0，由f(a)＝a＝－1，得a＝(－1)3＝－1.综上，a＝或a＝－1或a＝. 四、 解答题 11．科研人员研究候鸟迁徙时，发现其飞行速度可表示为函数v＝log2－lg x0(单位：km/min)，其中x为候鸟每分钟耗氧量单位数，x0为耗氧偏差常数． (1) 若x0＝8，则候鸟停下休息时(速度为0)，它每分钟的耗氧量为多少个单位？ 【解答】 令v＝0，x0＝8，则0＝log2－lg 8，即log2＝3lg 2≈0.9，log2≈1.8，≈21.8≈3.48，x≈278(单位).故候鸟停下休息时，每分钟的耗氧量约为278个单位． (2) 若雄鸟的飞行速度为1.5 km/min，雌鸟为0.5 km/min，则雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟的多少倍？ 参考数据：lg 2≈0.3，21.8≈3.48. 【解答】 设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟为x2，则1.5＝log2－lg x0，0.5＝log2－lg x0，两式相减得1＝log2，log2＝2，故＝4，即雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟的4倍． 12．设关于x的方程 lg 2x－lg x2＋3p＝0的两个实根分别是α，β. (1) 求实数p的取值范围； 【解答】 因为lg2x－lg x2＋3p＝0，所以lg 2x－2lg x＋3p＝0.设t＝lg x，则关于t的方程t2－2t＋3p＝0的两根为lg α和lg β，所以Δ＝(－2)2－12p≥0，解得p≤，故p的取值范围为. (2) 求logαβ＋logβα的取值范围． 【解答】 显然α≠1，β≠1，可得所以logαβ＋logβα＝＋＝＝＝＝－2.因为3p≤1且3p≠0，所以≥4或<0，所以－2≥2或－2<－2，所以logαβ＋logβα的取值范围为(－∞，－2)∪[2，＋∞). B组　滚动小练 13．(2025·威海期末)已知函数f(x)＝2ax2－2x－1＋x，若对任意的x1，x2∈(1，3)，且x1≠x2，都有<1，则(　A　) A．a≤ B．a≤0 C．a≥－3 D．a≥1 【解析】 由题知∀x1，x2∈(1，3)，且x1≠x2，<0，令g(x)＝f(x)－x，则g(x)＝2ax2－2x－1在(1，3)上单调递减，所以y＝ax2－2x－1在(1，3)上单调递减．当a＝0时，y＝－2x－1满足题设，当a≠0时，则有或解得0<a≤或a<0.综上，a≤. 14．(2026·海安期初)(多选)设x>0，则(　BC　) A．>1　　　　 B．5－x－≤1 C．x＋>1　　　　 D．ln x＋≥2 【解析】 对于A，当x＝1时，无意义，故A错误；对于B，由x>0，得x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，则5－x－＝5－≤5－4＝1，故B正确；对于C，x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时等号成立，又x>0，所以x＋>1，故C正确；对于D，当x＝1时，ln x＝0，无意义，故D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $