第2章 第11讲 指数与指数函数（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学讲义聚焦指数与指数函数高考核心考点，涵盖根式、分数指数幂、指数函数图象与性质等内容，按知识梳理、激活思维、题型突破、随堂内化、配套精练的逻辑架构展开，通过考点梳理构建体系，方法指导提炼规律，真题训练强化应用，帮助学生系统突破重点难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，如比较函数值大小时引导用中间量法发展推理能力，分析复合函数单调性时强化逻辑思维，设置A组夯基精练与B组滚动小练分层训练。创新教学活动设计助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供精准指导，有效提升学生应考能力。

第11讲　指数与指数函数 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)设a>0，则下列运算中正确的是(　　) A．aa＝a　　　　 B．a÷a＝a C．aa－＝0　　　　 D．(a)4＝a 2．(教材经典题改编)设a＝30.7，b＝2-0.4，c＝90.4，则(　　) A．b<c<a B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c 3．(教材经典题改编)已知x＋x－＝5，则x＋x-1的值为(　　) A．5 B．23 C．25 D．27 4．下列函数的值域是(0，＋∞)的是(　　) A．y＝4　　　　 B．y＝ C．y＝　　　　 D．y＝ 5．函数y＝ax+2 026＋2 026(a>0，a≠1)的图象恒过定点____． 聚焦知识 1．根式 (1) 概念：式子叫做____，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (2) 性质：()n＝a(a使得有意义)；当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1) 规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝____(a>0，m，n∈N*且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝____(a>0，m，n∈N*且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂____． (2) 有理指数幂的运算性质：aras＝____； (ar)s＝____；(ab)r＝____，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 3．指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 __(0，＋∞)__ 性质 过定点__(0，1)__，即当x＝0时，y＝1 当x>0时，__y>1__； 当x<0时，__0<y<1__ 当x<0时，__y>1__； 当x>0时，__0<y<1__ 在(－∞，＋∞)上是 __增函数__ 在(－∞，＋∞)上是 __减函数__ 4．常用结论 (1) 画指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a)，(0，1). (2) 底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”． (3) f(x)＝ax与g(x)＝(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称． 题型突破　能力进阶 举题说法 指数式的求值与化简 例1　(1) (2025·新乡二模)3+＝(　　) A．16 B．8 C．32 D．16 (2) (2026·如东期初)(多选)已知＋＝3，则(　　) A．a＋＝7　　　　 B．a2＋＝47 C．＝　　　　 D．a＋a－＝18 (3) (2025·漳州三模)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k>0.若在前5 h内消除了10%的污染物，则15 h后污染物含量还剩余(　　) A．70% B．85% C．81% D．72.9% 指数幂运算的一般原则：(1) 负指数幂化成正指数幂的倒数．(2) 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(3) 若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示． 变式1　(1) 求值：＋0.002－－10(－2)-1＋π0＝____． (2) 已知a－a－＝，则a＋a－＝____． (3) 化简：÷＝____． 指数函数的图象及应用 例2　(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为(　　) A．a＝b B．0<b<a C．a<b<0 D．0<a<b 指数型函数的图象，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论． 1．(2025·北京卷)为了得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上所有点的(　　) A．横坐标变为原来的(纵坐标不变) B．横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变) C．纵坐标变为原来的(横坐标不变) D．纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变) 2．函数y＝2|1-x|的图象大致是(　　) A B C D 3．(2025·安庆二模)若函数f(x)＝a·2－|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，则(　　) A．函数f(x)不具有奇偶性 B．a＝2 C．函数f(x)的值域为(－∞，2) D．函数f(x)的单调递增区间为[0，＋∞) 指数函数的性质及应用 视角1　比较函数值(式)的大小 例 3-1　(2025·天津三模)设a＝，b＝2sin ，c＝3－，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<b<a B．a<c<b C．a<b<c D．c<a<b 变式 3-1　(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 视角2　单调区间 例 3-2　(1) (2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2]　　　　 B．[－2，0) C．(0，2]　　　　 D．[2，＋∞) (2) 已知函数f(x)＝a·4x－(a－2)2x＋1在(－2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为(　　) A．[0，4]　　　　 B．(0，4] C．[2，＋∞)　　　　 D．{0}∪[2，＋∞) 变式 3-2　(2025·济宁二模)若函数f(x)＝x2－ax在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是____． 视角3　最值 例3-3　(1) 函数f(x)＝+4x的值域为____. (2) 函数y＝4x－3×2x+2＋1(x∈(－∞，3])的值域是____． 视角4　综合应用 例3-4　已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝. (1) 求函数f(x)在R上的解析式； (2) 判断函数f(x)在R上的单调性，并用定义证明； (3) 若对任意实数m∈[－1，1]，f(m)＋f(m2－2t)<0 恒成立，求实数t的取值范围． (1) 利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2) 求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 随堂内化 1．(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 2．(2025·青岛二模)已知函数f(x)＝x，g(x)＝2x＋2－x，则大致图象如图的函数可能是(　　) (第2题) A．f(x)＋g(x) B．f(x)－g(x) C．f(x)g(x) D． 3．已知函数f(x)＝2 026x－2 026－x，若关于x的不等式f(－x－1)＋f(a)<0恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，2)　　　　 B．(－∞，－2) C．(2，＋∞)　　　　 D．(－2，2) 4．(多选)已知函数f(x)＝，则(　　) A．f(log34)＝ B．f(x)的值域为(－∞，1) C．f(x)是R上的减函数 D．函数f(x)的图象关于点中心对称 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a 2．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 3．(2025·泉州一检)若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，1) 　　　B．(1，4]　　　C．(1，8] 　　　D．(1，16] 4．(2025·广州一模)已知实数a，b满足3a＝4b，则下列不等式可能成立的是(　　) A．b<a<0 B．2b<a<0 C．0<a<b D．0<2b<a 5．1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《Body size and metabolic rate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即F＝c0M，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的(参考数据：≈1.778 3)(　　) (第5题) A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍 二、 多项选择题 6．已知a>0，b>0，x>0，y>0，则下列运算或化简中正确的有(　　) A．·(a-2)－＝a B．(xa-1y)a·(4y－a)＝4x C．[(1－)2]－(1＋)-1＋(1＋)0＝3－2 D．2a3b·(－5ab)÷(4)＝－ab－ 7．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝2x+1，则(　　) A．f(x)＝2x－2－x　　　　 B．f(x)>－2 C．g(x)＝2x＋2－x　　　　 D．g(log23)＝ 三、 填空题 8．若函数f(x)＝2x2＋ax－3在(1，＋∞)上单调，则实数a的取值范围是____． 9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f(x)＝×4x－3×2x＋4(0<x<2)，则函数y＝[f(x)]的值域为____． 10．(2025·聊城一模)设实数a>0，函数f(x)＝为奇函数，则f(lg 3)＝____． 四、 解答题 11．已知函数f(x)＝，g(x)＝1－f(－x)，且g(x)是R上的奇函数． (1) 求实数a的值； (2) 判断函数g(x)的单调性并用定义证明； (3) 求不等式g(2x－1)＋g(x)>0的解集． 12．已知函数f(x)＝4x＋m·2x，m∈R. (1) 若m＝－3，解关于x的不等式：f(x)>4； (2) 若函数y＝f(x)＋f(－x)的最小值为－4，求m的值． B组　滚动小练 13．(2026·青岛期初)已知正数a，b满足a＋b＝1，则a＋＋的最小值为(　　) A． B．1 C．2 D． 14．(2025·漳州一模)(多选)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)＝0，且对任意的x，y∈R，有f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y)，则(　　) A．f(0)＝1 B．f(x)是偶函数 C．f(x)的图象关于点(π，0)中心对称 D．2π是f(x)的一个周期 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲　指数与指数函数 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)设a>0，则下列运算中正确的是(　D　) A．aa＝a　　　　 B．a÷a＝a C．aa－＝0　　　　 D．(a)4＝a 【解析】 对于A，aa＝a＋＝a；对于B，a÷a＝a1-＝a；对于C，aa－＝a0＝1；对于D，(a)4＝a. 2．(教材经典题改编)设a＝30.7，b＝2-0.4，c＝90.4，则(　D　) A．b<c<a B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c 【解析】 b＝2-0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b<a<c. 3．(教材经典题改编)已知x＋x－＝5，则x＋x-1的值为(　B　) A．5 B．23 C．25 D．27 【解析】 因为x＋x－＝5，所以(x＋x－)2＝52，即x＋x-1＋2＝25，所以x＋x-1＝23. 4．下列函数的值域是(0，＋∞)的是(　C　) A．y＝4　　　　 B．y＝ C．y＝　　　　 D．y＝ 【解析】 对于A，y＝4的值域是(0，1)∪(1，＋∞)；对于B，y＝的值域是[0，＋∞)；对于C，y＝的值域是(0，＋∞)；对于D，y＝的值域是[0，1). 5．函数y＝ax+2 026＋2 026(a>0，a≠1)的图象恒过定点__(－2 026，2 027)__． 聚焦知识 1．根式 (1) 概念：式子叫做__根式__，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (2) 性质：()n＝a(a使得有意义)；当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 (1) 规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝____(a>0，m，n∈N*且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝____(a>0，m，n∈N*且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂__没有意义__． (2) 有理指数幂的运算性质：aras＝__ar＋s__； (ar)s＝__ars__；(ab)r＝__arbr__，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 3．指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 __(0，＋∞)__ 性质 过定点__(0，1)__，即当x＝0时，y＝1 当x>0时，__y>1__； 当x<0时，__0<y<1__ 当x<0时，__y>1__； 当x>0时，__0<y<1__ 在(－∞，＋∞)上是 __增函数__ 在(－∞，＋∞)上是 __减函数__ 4．常用结论 (1) 画指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a)，(0，1). (2) 底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”． (3) f(x)＝ax与g(x)＝(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称． 题型突破　能力进阶 举题说法 指数式的求值与化简 例1　(1) (2025·新乡二模)3+＝(　A　) A．16 B．8 C．32 D．16 【解析】 3+＝3+＝2(3-)(3+)＝24＝16. (2) (2026·如东期初)(多选)已知＋＝3，则(　ABD　) A．a＋＝7　　　　 B．a2＋＝47 C．＝　　　　 D．a＋a－＝18 【解析】 对于A，由＋＝3，得a＋2＋＝9，则a＋＝7，A正确；对于B，由a＋＝7，得a2＋2＋＝49，则a2＋＝47，B正确；对于C，由2＝a＋－2＝5，得a－a－＝±，于是＝±，C错误；对于D，a＋a－＝(a＋a－)(a－1＋a-1)＝＝18，D正确． (3) (2025·漳州三模)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k>0.若在前5 h内消除了10%的污染物，则15 h后污染物含量还剩余(　D　) A．70% B．85% C．81% D．72.9% 【解析】 当t＝0时，P＝P0·e－k·0＝P0；当t＝5时，＝0.9，即e-5k＝0.9；当t＝15时，＝e-15k＝(e-5k)3＝0.93＝0.729＝72.9%. 指数幂运算的一般原则：(1) 负指数幂化成正指数幂的倒数．(2) 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(3) 若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示． 变式1　(1) 求值：＋0.002－－10(－2)-1＋π0＝__－__． 【解析】 原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－. (2) 已知a－a－＝，则a＋a－＝__3__． 【解析】 因为(a－a－)2＝a＋a-1－2＝(a＋a－)2－4＝5，所以(a＋a－)2＝9.又因为a＋a－>0，所以a＋a－＝3. (3) 化简：÷＝__ab－__． 【解析】 原式＝×＝a＋－－·b－－－＝ab－. 指数函数的图象及应用 例2　(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为(　ABC　) A．a＝b B．0<b<a C．a<b<0 D．0<a<b 【解析】 由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的大致图象如图所示．由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故A正确；作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，故B正确；作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故C正确；当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝6b，故D错误． (例2答) 指数型函数的图象，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应分类讨论． 1．(2025·北京卷)为了得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上所有点的(　A　) A．横坐标变为原来的(纵坐标不变) B．横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变) C．纵坐标变为原来的(横坐标不变) D．纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变) 【解析】 因为y＝9x＝32x，所以将函数y＝3x的图象上所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变，即可得到函数y＝9x的图象． 2．函数y＝2|1-x|的图象大致是(　A　) A B C D 【解析】 函数y＝2|1-x|＝所以当x>1时，y＝2x-1是增函数，当x≤1时，y＝21-x是减函数，且当x＝1时，y＝1，即函数的图象过点(1，1)，所以符合条件的图象是A. 3．(2025·安庆二模)若函数f(x)＝a·2－|x|＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，则(　D　) A．函数f(x)不具有奇偶性 B．a＝2 C．函数f(x)的值域为(－∞，2) D．函数f(x)的单调递增区间为[0，＋∞) 【解析】 因为函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故A错误；由函数f(x)的图象过原点，得f(0)＝0，即a＋b＝0，所以f(x)＝a(2－|x|－1)，由于－1<2－|x|－1≤0，f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，故a<0，且0≤a(2|x|－1)<－a，故a＝－2，于是B，C错误；f(x)＝－2·2－|x|＋2＝显然f(x)的单调递增区间为[0，＋∞)，故D正确． 指数函数的性质及应用 视角1　比较函数值(式)的大小 例 3-1　(2025·天津三模)设a＝，b＝2sin ，c＝3－，则a，b，c的大小关系为(　D　) A．c<b<a B．a<c<b C．a<b<c D．c<a<b 【解析】 因为0<<0，所以0<a<1.因为b＝2sin ＝2＝>1，所以b>1.因为0<3－<30，所以0<c<1.因为c＝3－＝(3－)，(3－)2＝，而2＝>，则3－<.根据幂函数y＝x在[0，＋∞)上单调递增得>(3－)，即a>c.综上，c<a<b. 变式 3-1　(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　B　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 【解析】 因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，即0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b.因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0.综上，b>a>c. 视角2　单调区间 例 3-2　(1) (2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　D　) A．(－∞，－2]　　　　 B．[－2，0) C．(0，2]　　　　 D．[2，＋∞) 【解析】 因为函数y＝2x在R上单调递增，函数f(x)＝2x(x－a)在(0，1)上单调递减，所以函数y＝x(x－a)＝－在(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞). (2) 已知函数f(x)＝a·4x－(a－2)2x＋1在(－2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为(　A　) A．[0，4]　　　　 B．(0，4] C．[2，＋∞)　　　　 D．{0}∪[2，＋∞) 【解析】 令t＝2x，则y＝at2－(a－2)t＋1，当x∈(－2，＋∞)时，t＝2x单调递增，且t>.当a＝0时，y＝2t＋1在上单调递增，则函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，符合题意；当a>0时，y＝at2－(a－2)t＋1的对称轴为t＝，则有≤，可得0<a≤4；当a<0时，y＝at2－(a－2)t＋1表示开口向下的抛物线，且在上单调递减，不符合题意．综上，0≤a≤4. 变式 3-2　(2025·济宁二模)若函数f(x)＝x2－ax在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是__(－∞，2]__． 【解析】 f(x)＝x2－ax是由y＝u与u＝x2－ax复合而成，因为f(x)＝x2－ax在[1，＋∞)上单调递减，且外层函数y＝u在R上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数u＝x2－ax在[1，＋∞)上单调递增．对于二次函数u＝x2－ax，其图象开口向上，对称轴为直线x＝，要使u＝x2－ax在[1，＋∞)上单调递增，则需满足≤1，解得a≤2. 视角3　最值 例3-3　(1) 函数f(x)＝+4x的值域为____. 【解析】 易知二次函数t＝－x2＋4x的图象开口向下，当x＝2时，取得最大值4，且t∈(－∞，4).又函数y＝是减函数，所以f(x)＝+4x的值域为. (2) 函数y＝4x－3×2x+2＋1(x∈(－∞，3])的值域是__[－35，1)__． 【解析】 令t＝2x，因为x∈(－∞，3]，所以t∈(0，8]，则4x－3×2x+2＋1＝t2－12t＋1.令g(t)＝t2－12t＋1＝(t－6)2－35，t∈(0，8]，所以当t＝6时，g(t)取得最小值，且g(t)min＝－35.又g(0)＝1，g(8)＝－31，所以g(t)∈[－35，1)，即函数y＝4x－3×2x+2＋1(x∈(－∞，3])的值域是[－35，1). 视角4　综合应用 例3-4　已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝. (1) 求函数f(x)在R上的解析式； 【解答】 当x>0时，f(x)＝＝＝1－，任取x<0，则－x>0，f(－x)＝1－＝1－＝.当x<0时，因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝.又因为f(0)＝0也符合上式，所以f(x)＝. (2) 判断函数f(x)在R上的单调性，并用定义证明； 【解答】 f(x)在R上单调递增，证明如下：任取x1，x2∈R且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝－＝.因为 x1<x2，所以2x1<2x2，所以2x1－2x2<0.又因为2x1＋1>0，2x2＋1>0，所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x)在R上单调递增． (3) 若对任意实数m∈[－1，1]，f(m)＋f(m2－2t)<0 恒成立，求实数t的取值范围． 【解答】 由f(m)＋f(m2－2t)<0，得f(m)<－f(m2－2t)，所以f(m)<f(2t－m2)，所以m<2t－m2，即m2＋m<2t，即∀m∈[－1，1]，m2＋m<2t.令y＝m2＋m＝－，m∈[－1，1]，当m＝1时，ymax＝2，所以2<2t，解得t>1，所以实数t的取值范围为(1，＋∞). (1) 利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2) 求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 随堂内化 1．(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　D　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 【解析】 由y＝1.01x在R上单调递增，得a＝1.010.5<b＝1.010.6；由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，得a＝1.010.5>c＝0.60.5，综上，b>a>c. 2．(2025·青岛二模)已知函数f(x)＝x，g(x)＝2x＋2－x，则大致图象如图的函数可能是(　D　) (第2题) A．f(x)＋g(x) B．f(x)－g(x) C．f(x)g(x) D． 【解析】 因为f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(－x)＝－x＝－f(x)，g(－x)＝2－x＋2x＝g(x)，所以f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．由图易知其为奇函数，而f(x)＋g(x)与f(x)－g(x)为非奇非偶函数，故排除A，B.当x→＋∞时，f(x)g(x)→＋∞，排除C. 3．已知函数f(x)＝2 026x－2 026－x，若关于x的不等式f(－x－1)＋f(a)<0恒成立，则实数a的取值范围为(　A　) A．(－∞，2)　　　　 B．(－∞，－2) C．(2，＋∞)　　　　 D．(－2，2) 【解析】 因为y＝2 026x，y＝－2 026－x在R上单调递增，所以f(x)＝2 026x－2 026－x在R上单调递增．又f(－x)＝2 026－x－2 026x＝－(2 026x－2 026－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．由f(－x－1)＋f(a)<0恒成立，得f(a)<－f(－x－1)＝f(x＋1)恒成立，所以a<x＋1对于任意x≥0恒成立．当x＝0时，a∈R；当x>0时，a<＝＋，又＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝1时取等号，所以min＝2，所以a<2.综上，实数a的取值范围为(－∞，2). 4．(多选)已知函数f(x)＝，则(　ACD　) A．f(log34)＝ B．f(x)的值域为(－∞，1) C．f(x)是R上的减函数 D．函数f(x)的图象关于点中心对称 【解析】 f(log34)＝＝＝，故A正确；由y＝1＋3x的值域是(1，＋∞)，知f(x)＝的值域是(0，1)，故B错误；由y＝1＋3x恒正且在R上单调递增，知f(x)＝是R上的减函数，故C正确；由f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝1，知D正确． 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则(　D　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a 【解析】 方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得a<b.由幂函数y＝x0.5在定义域内单调递增，得c>b.综上，c>b>a. 方法二：因为＝0.30.1<1，＝<1，a，b，c都为正数，所以c>b>a. 2．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　D　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 【解析】 因为f(x)＝为偶函数，所以f(x)－f(－x)＝－＝＝0.又因为x不恒为0，所以ex－e(a-1)x＝0，即ex＝e(a-1)x，则x＝(a－1)x恒成立，即1＝a－1，解得a＝2. 3．(2025·泉州一检)若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　B　) A．(0，1) 　　　B．(1，4]　　　C．(1，8] 　　　D．(1，16] 【解析】 由指数函数的底数要求知a>0且a≠1，当x≥4时，f(x)＝x＋－3单调递增，因为双勾函数f(x)＝x＋－3在(0，)上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，所以≤4，故0<a≤16.当x<4时，由f(x)＝ax-3单调递增，知a>1.由a1≤4＋－1，得a≤4.综上，1<a≤4. 4．(2025·广州一模)已知实数a，b满足3a＝4b，则下列不等式可能成立的是(　B　) A．b<a<0 B．2b<a<0 C．0<a<b D．0<2b<a 【解析】 设函数f(x)＝3x，g(x)＝4x，h(x)＝2x，作出函数f(x)与g(x)的图象如图(1)所示，设3a＝4b＝t，直线y＝t与函数f(x)＝3x，g(x)＝4x的图象交点的横坐标为a，b.当0<t<1时，由图象可知a<b<0；当t>1时，由图象可知0<b<a，故A，C错误．因为3a＝4b，所以3a＝22b，设3a＝22b＝t，作出函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象如图(2)所示，直线y＝t与函数f(x)＝3x，h(x)＝2x的图象交点的横坐标为a，2b.当0<t<1时，由图象可知2b<a<0；当t>1时，由图象可知0<a<2b，故B正确，D错误． 图(1) 图(2) (第4题答) 5．1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《Body size and metabolic rate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即F＝c0M，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的(参考数据：≈1.778 3)(　C　) (第5题) A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍 【解析】 设该哺乳动物原体重为M1，基础代谢率为F1，则F1＝c0M1，经过一段时间生长，其体重为10M1，基础代谢率为F2，则F2＝c0(10M1)＝10·c0·M1＝10F1，故＝10≈1.778 33≈5.6. 二、 多项选择题 6．已知a>0，b>0，x>0，y>0，则下列运算或化简中正确的有(　ABD　) A．·(a-2)－＝a B．(xa-1y)a·(4y－a)＝4x C．[(1－)2]－(1＋)-1＋(1＋)0＝3－2 D．2a3b·(－5ab)÷(4)＝－ab－ 【解析】 对于A，·(a-2)－＝a－＋＝a，故A正确；对于B，(xa-1y)a·(4y－a)＝4xa-1×aya－a＝4xy0＝4x，故B正确；对于C，[(1－)2]－(1＋)-1＋(1＋)0＝(－1)2×－＋1＝－1－(－1)＋1＝1，故C错误；对于D，2a3b·(－5ab)÷(4)＝－10ab÷(4ab)＝－ab－，故D正确． 7．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝2x+1，则(　ACD　) A．f(x)＝2x－2－x　　　　 B．f(x)>－2 C．g(x)＝2x＋2－x　　　　 D．g(log23)＝ 【解析】 由f(x)＋g(x)＝2x+1，得f(－x)＋g(－x)＝2－x+1.因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以－f(x)＋g(x)＝2－x+1，解得f(x)＝2x－2－x，g(x)＝2x＋2－x，故A，C正确．f(－2)＝－4＝－<－2，g(log23)＝2log23＋2－log23＝3＋＝，故B错误，D正确． 三、 填空题 8．若函数f(x)＝2x2＋ax－3在(1，＋∞)上单调，则实数a的取值范围是__[－2，＋∞)__． 【解析】 因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝x2＋ax－3在上为减函数，在上为增函数，且函数f(x)＝2x2＋ax－3在(1，＋∞)上单调，所以根据复合函数的单调性，可得－≤1，即a≥－2，所以a的取值范围是[－2，＋∞). 9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函数f(x)＝×4x－3×2x＋4(0<x<2)，则函数y＝[f(x)]的值域为__{－1，0，1}__． 【解析】 f(x)＝×4x－3×2x＋4(0<x<2)，令t＝2x，则t∈(1，4)，设g(t)＝t2－3t＋4，该二次函数开口向上，对称轴为直线t＝3，g(1)＝，g(3)＝－，g(4)＝0，所以g(t)∈，即f(x)∈，所以[f(x)]∈{－1，0，1}． 10．(2025·聊城一模)设实数a>0，函数f(x)＝为奇函数，则f(lg 3)＝__2__． 【解析】 因为a>0，且函数f(x)＝为奇函数，f(－x)＝＝，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－，整理可得(a2－1)10x＝0恒成立，则a2－1＝0.因为a>0，所以a＝1，则f(x)＝，故f(lg 3)＝＝＝2. 四、 解答题 11．已知函数f(x)＝，g(x)＝1－f(－x)，且g(x)是R上的奇函数． (1) 求实数a的值； 【解答】 因为g(x)是R上的奇函数，所以g(－x)＋g(x)＝0，所以1－f(x)＋1－f(－x)＝0，所以f(x)＋f(－x)＝2，即＋＝2，化简得＝2，即(a＋2)(2x＋1)＝2(2x＋1)，所以a＋2＝2，解得a＝0. (2) 判断函数g(x)的单调性并用定义证明； 【解答】 由(1)得f(x)＝，所以g(x)＝1－f(－x)＝1－＝1－.函数g(x)在R上单调递增，证明如下：由于g(x)的定义域为R，任取x1<x2，则g(x1)－g(x2)＝1－－＝－＝.因为x1<x2，所以2x1<2x2，2x1＋1>0，2x2＋1>0，所以g(x1)－g(x2)<0，所以g(x1)<g(x2)，所以函数g(x)在R上单调递增． (3) 求不等式g(2x－1)＋g(x)>0的解集． 【解答】 因为g(x)是R上的奇函数，所以不等式g(2x－1)＋g(x)>0等价于g(2x－1)>－g(x)，即g(2x－1)>g(－x).因为函数g(x)在R上单调递增，所以2x－1>－x，解得x>，所以不等式g(2x－1)＋g(x)>0的解集为. 12．已知函数f(x)＝4x＋m·2x，m∈R. (1) 若m＝－3，解关于x的不等式：f(x)>4； 【解答】 当m＝－3时，由f(x)＝4x－3×2x>4，得4x－3×2x－4>0，即(2x＋1)(2x－4)>0.因为2x＋1>0，所以2x－4>0，解得x>2，所以原不等式的解集为(2，＋∞). (2) 若函数y＝f(x)＋f(－x)的最小值为－4，求m的值． 【解答】 y＝f(x)＋f(－x)＝(4x＋4－x)＋m(2x＋2－x)＝(2x＋2－x)2＋m(2x＋2－x)－2.令t＝2x＋2－x，因为2x>0，所以t＝2x＋2－x≥2＝2(当且仅当x＝0时取等号)，则y＝g(t)＝t2＋mt－2＝2－－2，t≥2.①当－≤2，即m≥－4时，g(t)在[2，＋∞)上单调递增，则ymin＝g(2)＝2m＋2，所以2m＋2＝－4，解得m＝－3，符合题意；②当－>2，即m<－4时，g(t)在上单调递减，在上单调递增，则ymin＝g＝－－2，所以－－2＝－4，解得m＝±2，不合题意，舍去．综上，m的值为－3. B组　滚动小练 13．(2026·青岛期初)已知正数a，b满足a＋b＝1，则a＋＋的最小值为(　C　) A． B．1 C．2 D． 【解析】 由题意可得a＋＋＝＋＝＋≥2＝2，当且仅当＝，且a＋b＝1，即a＝b＝时等号成立，所以a＋＋的最小值为2. 14．(2025·漳州一模)(多选)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)＝0，且对任意的x，y∈R，有f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y)，则(　ABC　) A．f(0)＝1 B．f(x)是偶函数 C．f(x)的图象关于点(π，0)中心对称 D．2π是f(x)的一个周期 【解析】 对于A，令x＝y，可得f(2x)＋f(2x)＝2f(2x)f(0)，解得f(0)＝1，故A正确；对于B，令x＝－y，可得f(2x)＋f(－2x)＝2f(0)f(2x)＝2f(2x)，所以f(2x)＝f(－2x)，即对任意的x∈R，f(x)＝f(－x)，故f(x)是偶函数，故B正确；对于C，令x＋y＝π，则f(2π－2y)＋f(2y)＝2f(π)·f(π－2y)＝0，即f(2π－x)＋f(x)＝0，因此f(x)的图象关于点(π，0)中心对称，故C正确；对于D，因为f(x)是偶函数，所以f(x－2π)＋f(x)＝0，即f(x)＋f(x＋2π)＝0，可得f(x－2π)＝f(x＋2π)，也即f(x)＝f(x＋4π)，所以4π是f(x)的一个周期，故D错误． 学科网（北京）股份有限公司 $