第2章 第10讲 二次函数与幂函数（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习讲义围绕二次函数与幂函数核心考点，按“知识梳理-激活思维-聚焦知识-题型突破”逻辑架构，系统整合二次函数解析式、图象性质及幂函数定义性质，通过考点梳理、方法指导（如求解析式三策略）、真题训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破难点。 资料采用分层教学与题型专项突破策略，如二次函数最值问题通过对称轴与区间关系分类讨论培养数学思维，幂函数性质应用结合图象分析提升数学眼光。设置夯基精练与滚动小练分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第10讲　二次函数与幂函数 知识梳理　体系构建 激活思维 1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f的值等于(　　) A． B．4 C．8 D． 2．(教材经典题改编)若幂函数的图象过点(2，)，则它的单调递增区间为(　　) A．(－∞，0]　　　　 B．[0，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞)　　　　 D．R 3．(教材经典题改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在上是减函数，则实数k的取值范围是(　　) A．[2，＋∞)　　　　 B．[－2，＋∞) C．(－∞，2]　　　　 D．(－∞，－2] 4．已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，那么实数m的取值范围为(　　) A．{0，－3} B．[－3，0] C．{0，3} D．(－∞，－3]∪[0，＋∞) 5．已知函数f(x)＝x2＋ax－1在区间[0，3]上有最小值－2，那么实数a＝____． 聚焦知识 1．二次函数解析式的三种形式 (1) 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2) 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3) 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). 2．二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 ____ 值域 ____ ____ 对称轴 x＝____ 顶点 坐标 ____ 奇偶性 当b＝0时是____函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在(－∞，－]上单调递____；在[－，＋∞) 上单调递____ 在(－∞，－]上单调递____；在[－，＋∞) 上单调递____ 3．幂函数的定义 一般地，函数____叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 4．五种常见幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上 单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1，1) 5．幂函数的性质 (1) 幂函数在____上都有定义； (2) 幂函数的图象都过点____； (3) 当α>0时，幂函数的图象都过点____与____，且在(0，＋∞)上单调____； (4) 当α<0时，幂函数的图象都____点(0，0)，在(0，＋∞)上单调____． 题型突破　能力进阶 举题说法 幂函数 例1　已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则满足(a＋1)－>(3－2a)－的实数a的取值范围为(　　) A．∪ B． C．∪ D． 对于幂函数y＝xα的图象与性质，由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考察．(1) α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2) 曲线在第一象限的凹凸性：当α>1时，曲线下凹；当0<α<1时，曲线上凸；当α<0时，曲线下凹． 变式1　(多选)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，>0恒成立．若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负数，则下列结论可能成立的是(　　) A．a＋b<0，ab＝0　　　　 B．a＋b<0，ab>0 C．a＋b<0，ab<0　　　　 D．a＋b>0，ab>0 二次函数的图象与性质 视角1　二次函数的解析式 例 2-1　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 求二次函数解析式的三个策略 (1) 已知三个点的坐标，宜选用一般式； (2) 已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3) 已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式． 视角2　二次函数的图象 例 2-2　(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则(　　) (例 2-2) A．b＝－2a　　　　 B．a＋b＋c<0 C．a－b＋c<0　　　　 D．abc<0 变式 2-2　(多选)在下列图形中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝x的图象可能是(　　) A B C D 视角3　二次函数的性质 例 2-3　(2025·连云港期中)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的两个零点为2和－1，且f(1)＝－2. (1) 求f(x)的解析式； (2) 当x∈[t，t＋2]时，求f(x)的最小值． 对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a>0时，f(x)在区间[p，q]上的最大值是M，最小值是m，令x0＝： (1) 若－≤p，则m＝f(p)，M＝f(q)； (2) 若p<－<x0，则m＝f，M＝f(q)； (3) 若x0≤－<q，则m＝f，M＝f(p)； (4) 若－≥q，则m＝f(q)，M＝f(p). 1．已知二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x＋2)，且f(0)＝3，f(2)＝1.若在[0，m]上f(x)的最大值为3，最小值为1，则m的取值范围是(　　) A．(0，＋∞)　　　　 B．[2，＋∞) C．(0，2]　　　　 D．[2，4] 2．函数y＝－x2＋2ax＋2，x∈[－1，3]的最小值ymin＝____． 3．已知当x∈[a，a＋1]时，函数f(x)＝x2－2x＋1的最大值为4，则a的值为____． 二次方程根的分布 例3　(1) 若关于x的二次方程mx2＋(2m－1)x－m＋2＝0(m>0)的两个互异的实数根都小于1，则实数m的取值范围是____． (2) 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围是____. (3) 已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是__(－3，0)__． (1) 解决二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，做到“等价转化”； (2) 画图时注意二次函数四大因素——开口方向、对称轴、判别式、特殊点(特殊点是指含参的二次函数经过的一些定点，比如与x轴、y轴的交点或某些函数值的正负). 随堂内化 1．已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(　　) A．c＜b＜a 　　B．c＜a＜b 　　C．b＜c＜a 　　D．a＜b＜c 2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为____. 3．若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围为____． 4．已知函数f(x)＝mx2－(2m＋1)x＋3，m>0，当x∈[3，＋∞)时，f(x)的最小值为1，则m的值为____． 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．在同一平面直角坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　) A B C D 2．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(1－x)＝f(x)，且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解析式为f(x)＝(　　) A．－4x2＋4x＋7　　　　 B．4x2＋4x＋7 C．－4x2－4x＋7　　　　 D．－4x2＋4x－7 3．已知幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象过点(m，8).设a＝f(20.3)，b＝f(0.32)，c＝f(log20.3)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b<c<a B．a<c<b C．a<b<c D．c<b<a 4．若关于x的方程x2－(a－1)x＋4＝0在区间[1，3]内有两个不等实根，则实数a的取值范围是(　　) A．(4，5] B．[3，6] C． D． 5．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax2＋x＋1和函数g(x)＝ax＋1的图象不可能是(　　) A B C D 二、 多项选择题 6．(2026·太原期初)已知函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，则(　　) A．f(1)＝1 B．m2＋m＝2 C．f(x)是偶函数 D．当f(2)<2时，f(x)＝x-2 7．已知函数f(x)＝ax2－2bx－1，则下列结论正确的是(　　) A．若f(x)是偶函数，则b＝0 B．若f(x)<0的解集是(－1，1)，则ab＝1 C．若a＝1，则f(x)>0恒成立 D．∀a≤0，b<0，f(x)在(－∞，0)上单调递增 三、 填空题 8．已知幂函数f(x)的图象过点，则f(x)＝___；若f(a＋1)<f(3－2a)，则实数a的取值范围是___． 9．若方程2x2－4mx－3＝0的两根为α，β，且α∈(1，2)，β∈(－1，0)，则实数m的取值范围是____. 10．(2025·合肥二模)已知函数f(x)＝的最小值为－1，则a＝____. 四、 解答题 11．(2026·如东期初)已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm+1在(0，＋∞)上单调递增． (1) 求实数m的值； (2) 解关于x的不等式：f(x)<x＋a2－a. 12．(2026·镇江期初)已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1). (1) 若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值； (2) 若g(x)＝|f(x)|＋f(|x|)，对任意的x∈[－1，1]，g(x)>0恒成立，求实数a的取值范围． B组　滚动小练 13．(2026·黄冈期初)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)－sin x为偶函数，y＝f(x)＋2cos x为奇函数，则f(x)的最大值为____． 14．(2025·扬州期初)已知函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x＋2. (1) 若不等式f(x)<0的解集为(1，2)，求f(x)的表达式； (2) 解关于x的不等式：f(x)<0. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲　二次函数与幂函数 知识梳理　体系构建 激活思维 1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f的值等于(　B　) A． B．4 C．8 D． 【解析】 设幂函数f(x)＝xα，因为幂函数f(x)的图象经过点，所以2α＝，α＝－，所以f(x)＝x，则f＝＝4. 2．(教材经典题改编)若幂函数的图象过点(2，)，则它的单调递增区间为(　B　) A．(－∞，0]　　　　 B．[0，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞)　　　　 D．R 【解析】 设幂函数为y＝xα，则2α＝，可得α＝，所以y＝x，则所求的单调递增区间为[0，＋∞). 3．(教材经典题改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在上是减函数，则实数k的取值范围是(　A　) A．[2，＋∞)　　　　 B．[－2，＋∞) C．(－∞，2]　　　　 D．(－∞，－2] 【解析】 函数f(x)＝4x2－kx－8图象的对称轴为x＝，因为f(x)在上是减函数，所以≥⇒k≥2. 4．已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，那么实数m的取值范围为(　A　) A．{0，－3} B．[－3，0] C．{0，3} D．(－∞，－3]∪[0，＋∞) 【解析】 由题意得Δ＝4(m＋3)2－4×3×(m＋3)＝0，则m＝0或m＝－3，所以实数m的取值范围是{0，－3}． 5．已知函数f(x)＝x2＋ax－1在区间[0，3]上有最小值－2，那么实数a＝__－2__． 【解析】 当－≤0，即a≥0时，函数f(x)在区间[0，3]上为增函数，故f(x)min＝f(0)＝－1，不符合题意，舍去；当－≥3，即a≤－6时，函数f(x)在区间[0，3]上为减函数，故f(x)min＝f(3)＝8＋3a＝－2，解得a＝－，与a≤－6矛盾，舍去；当0<－<3，即－6<a<0时，f(x)min＝f＝－2，解得a＝－2，经检验符合题意．故a＝－2. 聚焦知识 1．二次函数解析式的三种形式 (1) 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2) 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3) 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0). 2．二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 __R__ 值域 ____ ____ 对称轴 x＝__－__ 顶点 坐标 ____ 奇偶性 当b＝0时是__偶__函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在(－∞，－]上单调递__减__；在[－，＋∞) 上单调递__增__ 在(－∞，－]上单调递__增__；在[－，＋∞) 上单调递__减__ 3．幂函数的定义 一般地，函数__y＝xα__叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 4．五种常见幂函数 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上 单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1，1) 5．幂函数的性质 (1) 幂函数在__(0，＋∞)__上都有定义； (2) 幂函数的图象都过点__(1，1)__； (3) 当α>0时，幂函数的图象都过点__(0，0)__与__(1，1)__，且在(0，＋∞)上单调__递增__； (4) 当α<0时，幂函数的图象都__不过__点(0，0)，在(0，＋∞)上单调__递减__． 题型突破　能力进阶 举题说法 幂函数 例1　已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则满足(a＋1)－>(3－2a)－的实数a的取值范围为(　C　) A．∪ B． C．∪ D． 【解析】 因为函数y＝xm2－2m－3在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－3<0，又m∈Z，所以m＝0，1，2.因为函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以m2－2m－3＝(m－3)(m＋1)为偶数，因为m＝0，2不符合，舍去，所以m＝1.函数y＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且函数y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，当x<0时，y<0，当x>0时，y>0，所以不等式(a＋1)－>(3－2a)－可化为或或所以－1<a<或a>，所以a的取值范围为∪. 对于幂函数y＝xα的图象与性质，由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考察．(1) α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2) 曲线在第一象限的凹凸性：当α>1时，曲线下凹；当0<α<1时，曲线上凸；当α<0时，曲线下凹． 变式1　(多选)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，>0恒成立．若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负数，则下列结论可能成立的是(　ABC　) A．a＋b<0，ab＝0　　　　 B．a＋b<0，ab>0 C．a＋b<0，ab<0　　　　 D．a＋b>0，ab>0 【解析】 因为函数f(x)＝(m2－m－1)·x m2＋m－3是幂函数，所以m2－m－1＝1⇒m2－m－2＝0⇒(m－2)·(m＋1)＝0，解得m＝2或m＝－1.因为对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当m＝2时，f(x)＝x3，满足题意．当m＝－1时，f(x)＝x-3＝，不符合题意，所以f(x)＝x3，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．因为f(a)＋f(b)的值为负数，所以f(a)＋f(b)＝a3＋b3<0⇒a3<(－b)3⇒a<－b⇒a＋b<0.当a＝0，b<0时，ab＝0，故A可能成立；当a<0，b<0时，ab>0，故B可能成立；当a>0，b<0，|b|>|a|时，ab<0，故C可能成立． 二次函数的图象与性质 视角1　二次函数的解析式 例 2-1　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 【解答】 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得解得所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 求二次函数解析式的三个策略 (1) 已知三个点的坐标，宜选用一般式； (2) 已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3) 已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式． 视角2　二次函数的图象 例 2-2　(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则(　ACD　) (例 2-2) A．b＝－2a　　　　 B．a＋b＋c<0 C．a－b＋c<0　　　　 D．abc<0 【解析】 对于A，由图可得对称轴为x＝－＝1，所以b＝－2a，故A正确；对于B，因为当x＝1时，y>0，所以a＋b＋c>0，故B错误；对于C，因为当x＝－1时，y<0，所以a－b＋c<0，故C正确；对于D，由图象开口向下，知a<0，因为b＝－2a，所以b>0，当x＝0时，y＝c>0，所以abc<0，故D正确． 变式 2-2　(多选)在下列图形中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝x的图象可能是(　ABD　) A B C D 【解析】 当a>b>0时，A正确；当b>a>0时，B正确；当0>a>b时，D正确；当0>b>a时，都不符合． 视角3　二次函数的性质 例 2-3　(2025·连云港期中)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的两个零点为2和－1，且f(1)＝－2. (1) 求f(x)的解析式； 【解答】 因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的两个零点为2和－1，所以可设f(x)＝a(x－2)(x＋1).又f(1)＝－2，所以－2a＝－2，解得a＝1，所以f(x)＝x2－x－2. (2) 当x∈[t，t＋2]时，求f(x)的最小值． 【解答】 因为f(x)＝x2－x－2的对称轴为x＝，所以当t>时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝t2－t－2；当t≤≤t＋2，即－≤t≤时，f(x)min＝f＝－；当t＋2<，即t<－时，f(x)在[t，t＋2]上单调递减，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋3t.综上，f(x)min＝ 对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a>0时，f(x)在区间[p，q]上的最大值是M，最小值是m，令x0＝： (1) 若－≤p，则m＝f(p)，M＝f(q)； (2) 若p<－<x0，则m＝f，M＝f(q)； (3) 若x0≤－<q，则m＝f，M＝f(p)； (4) 若－≥q，则m＝f(q)，M＝f(p). 1．已知二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(－x＋2)，且f(0)＝3，f(2)＝1.若在[0，m]上f(x)的最大值为3，最小值为1，则m的取值范围是(　D　) A．(0，＋∞)　　　　 B．[2，＋∞) C．(0，2]　　　　 D．[2，4] 【解析】 因为二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)图象的对称轴是直线x＝2.设f(x)＝a(x－2)2＋b，因为f(0)＝3，f(2)＝1，所以解得a＝，b＝1，所以f(x)＝(x－2)2＋1.因为f(0)＝3，f(2)＝1，f(x)在[0，m]上的最大值为3，最小值为1，所以m≥2.又f(4)＝3，所以由二次函数的性质知m≤4.综上，2≤m≤4. 2．函数y＝－x2＋2ax＋2，x∈[－1，3]的最小值ymin＝____． 【解析】 函数y＝－x2＋2ax＋2的图象开口向下，对称轴为直线x＝a.令y＝f(x)＝－x2＋2ax＋2，x∈[－1，3]，当a≤＝1时，ymin＝f(3)＝6a－7；当a>1时，ymin＝f(－1)＝1－2a.所以ymin＝ 3．已知当x∈[a，a＋1]时，函数f(x)＝x2－2x＋1的最大值为4，则a的值为__－1或2__． 【解析】 函数f(x)的对称轴为直线x＝1，当1≤a＋，即a≥时，f(x)max＝f(a＋1)＝a2＝4，解得a＝2或a＝－2(舍去)；当1>a＋，即a<时，f(x)max＝f(a)＝(a－1)2＝4，解得a＝－1或a＝3(舍去).综上，a＝2或－1. 二次方程根的分布 例3　(1) 若关于x的二次方程mx2＋(2m－1)x－m＋2＝0(m>0)的两个互异的实数根都小于1，则实数m的取值范围是____． 【解析】 因为关于x的二次方程mx2＋(2m－1)x－m＋2＝0(m>0)的两个互异的实数根都小于1，所以即解得m>. (2) 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围是____. 【解析】 设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，问题转化为抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点横坐标分别在(－1，0)和(1，2)内，则解得－<m<－. (3) 已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是__(－3，0)__． 【解析】 显然a≠0，设f(x)＝ax2＋x＋2.①若a>0，即f(x)的图象开口向上，则有f(0)<0且f(1)<0，可得a∈∅(或由f(0)＝2，结合图象也可知a>0不合题意).②若a<0，即f(x)的图象开口向下，则有f(0)>0且f(1)>0，即2>0且a＋3>0，可得－3<a<0.综上，实数a的取值范围是(－3，0). (1) 解决二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，做到“等价转化”； (2) 画图时注意二次函数四大因素——开口方向、对称轴、判别式、特殊点(特殊点是指含参的二次函数经过的一些定点，比如与x轴、y轴的交点或某些函数值的正负). 随堂内化 1．已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(　B　) A．c＜b＜a 　　B．c＜a＜b 　　C．b＜c＜a 　　D．a＜b＜c 【解析】 因为函数f(x)＝mxn为幂函数，所以m＝1.又函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，所以()n＝2，解得n＝3，故f(x)＝x3，则函数f(x)为增函数．因为n＞m＞ln 2，所以c＜a＜b. 2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为__f(x)＝x2－4x＋3__. 【解析】 因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)＝a(x－1)·(x－3)(a≠0)，因为f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，即a＝1，故f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 3．若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围为__(－4，－2)__． 【解析】 设函数f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，因为方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)内，另一根在区间(1，2)内，所以即所以－4<m<－2. 4．已知函数f(x)＝mx2－(2m＋1)x＋3，m>0，当x∈[3，＋∞)时，f(x)的最小值为1，则m的值为____． 【解析】 f(x)＝mx2－(2m＋1)x＋3，对称轴为x＝，当≤3，即m≥时，此时f(x)在[3，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(3)＝3m＝1，即m＝；当>3，即0<m<时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)min＝f＝－＋3＝1，解得m＝(舍去).综上所述，m＝. 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．在同一平面直角坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　C　) A B C D 【解析】 对于A，由函数y＝xa(a≠0)的图象可知a<0，由y＝ax－的图象可知a>0，互相矛盾，故A错误；对于B，由函数y＝xa(a≠0)的图象可知a>0，由y＝ax－的图象可知a<0，互相矛盾，故B错误；对于C，由函数y＝xa(a≠0)的图象可知a>1，由y＝ax－的图象可知a>0且－<0，可能符合题意，故C正确；对于D，由函数y＝xa(a≠0)的图象可知a<0，由y＝ax－的图象可知a<0且－<0，互相矛盾，故D错误． 2．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(1－x)＝f(x)，且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解析式为f(x)＝(　A　) A．－4x2＋4x＋7　　　　 B．4x2＋4x＋7 C．－4x2－4x＋7　　　　 D．－4x2＋4x－7 【解析】 由f(1－x)＝f(x)，得f(x)的对称轴为直线x＝，设f(x)＝a＋k(a≠0).因为f(x)的最大值是8，所以a<0，f＝k＝8，即f(x)＝a＋8(a<0).由f(2)＝－1，得f(2)＝a＋8＝－1，解得a＝－4，则f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 3．已知幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象过点(m，8).设a＝f(20.3)，b＝f(0.32)，c＝f(log20.3)，则a，b，c的大小关系是(　D　) A．b<c<a B．a<c<b C．a<b<c D．c<b<a 【解析】 因为幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象过点(m，8)，所以m－1＝1，且mn＝8，可得m＝2，n＝3，故f(x)＝x3.因为函数f(x)是R上的增函数，log20.3<0<0.32<1<20.3，所以f(log20.3)<f(0.32)<f(20.3)，即c<b<a. 4．若关于x的方程x2－(a－1)x＋4＝0在区间[1，3]内有两个不等实根，则实数a的取值范围是(　C　) A．(4，5] B．[3，6] C． D． 【解析】 设f(x)＝x2－(a－1)x＋4，由题意得解得5<a≤. 5．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax2＋x＋1和函数g(x)＝ax＋1的图象不可能是(　C　) A B C D 【解析】 若a＝0，则f(x)＝x＋1，g(x)＝1，A可能；若a＜0，则f(x)的图象开口向下，过点(0，1)，对称轴为x＝－＞0，g(x)的图象过点(0，1)和，且－＜－，B可能；若0＜a＜，则f(x)的图象开口向上，与x轴有两个交点，过点(0，1)，对称轴为x＝－，且－＜0，g(x)的图象过点(0，1)和，且－＞－，C不可能；若a＞，则f(x)的图象开口向上，与x轴没有交点，过点(0，1)，对称轴为x＝－，且－＜0，g(x)的图象过点(0，1)和，且－＞－，D可能． 二、 多项选择题 6．(2026·太原期初)已知函数f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数，则(　ABD　) A．f(1)＝1 B．m2＋m＝2 C．f(x)是偶函数 D．当f(2)<2时，f(x)＝x-2 【解析】 由f(x)＝(m2＋m－1)xm是幂函数知m2＋m－1＝1，所以m＝1或－2，所以f(x)＝x或f(x)＝x-2，所以f(1)＝1，m2＋m＝2，故A，B正确；当m＝1时，f(x)＝x，f(x)是奇函数，故C错误；对于f(x)＝x-2，f(2)＝<2，对于f(x)＝x，f(2)＝2<2不成立，即当f(2)<2时，f(x)＝x-2，故D正确． 7．已知函数f(x)＝ax2－2bx－1，则下列结论正确的是(　ABD　) A．若f(x)是偶函数，则b＝0 B．若f(x)<0的解集是(－1，1)，则ab＝1 C．若a＝1，则f(x)>0恒成立 D．∀a≤0，b<0，f(x)在(－∞，0)上单调递增 【解析】 对于A，函数f(x)的定义域为R，若函数f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，即ax2＋2bx－1＝ax2－2bx－1，即4bx＝0对任意的x∈R恒成立，则b＝0，故A正确；对于B，若不等式f(x)<0的解集为(－1，1)，则a>0且－1，1为方程f(x)＝0的两根，则解得故ab＝1，故B正确；对于C，若a＝1，则f(x)＝x2－2bx－1，Δ＝4b2＋4>0，f(x)>0不恒成立，故C错误；对于D，当a＝0时，因为b<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，当a<0时，函数f(x)的对称轴为直线x＝，且>0，由二次函数的单调性可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，因此，∀a≤0，b<0，f(x)在(－∞，0)上单调递增，故D正确． 三、 填空题 8．已知幂函数f(x)的图象过点，则f(x)＝__x－__；若f(a＋1)<f(3－2a)，则实数a的取值范围是____． 【解析】 设f(x)＝xα，将点代入得α＝－，所以f(x)＝x－，其在(0，＋∞)上单调递减，所以a＋1>3－2a>0，可得a∈. 9．若方程2x2－4mx－3＝0的两根为α，β，且α∈(1，2)，β∈(－1，0)，则实数m的取值范围是____. 【解析】 令f(x)＝2x2－4mx－3.由题知即解得<m<. 10．(2025·合肥二模)已知函数f(x)＝的最小值为－1，则a＝__2或－2__. 【解析】 ①若a≤1，则当x>1时，f(x)＝x－2a＋1，且f(x)单调递增，当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋3，则最小值为f(a)＝－a2＋3，如图(1)，若f(x)存在最小值－1，则有－a2＋3≤1－2a＋1且－a2＋3＝－1，解得a＝－2；②若a>1，则当1<x<a时，f(x)＝－x＋1，当x≥a时，f(x)＝x－2a＋1，当x≤1时，f(x)＝x2－2ax＋3，且f(x)单调递减，f(1)＝4－2a，f(a)＝1－a，如图(2)，若f(x)的最小值为f(1)，则4－2a＝－1，且4－2a≤1－a，a无解；若f(x)的最小值为f(a)，则1－a＝－1，且4－2a≥1－a，解得a＝2，此时f(1)＝4－2a＝0.综上所述，a＝－2或a＝2. 图(1) 图(2) (第10题答) 四、 解答题 11．(2026·如东期初)已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm+1在(0，＋∞)上单调递增． (1) 求实数m的值； 【解答】 因为函数f(x)＝(m2＋m－1)xm+1为幂函数，所以m2＋m－1＝1，解得m＝1或m＝－2.当m＝1时，f(x)＝x2，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当m＝－2时，f(x)＝x-1，在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．综上，m＝1. (2) 解关于x的不等式：f(x)<x＋a2－a. 【解答】 由(1)知f(x)＝x2，由f(x)<x＋a2－a，得x2－x－(a2－a)<0，即(x－a)[x＋(a－1)]<0.当a＝1－a，即a＝时，不等式x2－x＋<0无解；当a<1－a，即a<时，不等式x2－x－(a2－a)<0的解为a<x<1－a；当a>1－a，即a>时，不等式x2－x－(a2－a)<0的解为1－a<x<a.综上，当a＝时，不等式x2－x－(a2－a)<0的解集为∅；当a<时，不等式x2－x－(a2－a)<0的解集为(a，1－a)；当a>时，不等式x2－x－(a2－a)<0的解集为(1－a，a). 12．(2026·镇江期初)已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1). (1) 若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值； 【解答】 函数f(x)＝x2－2ax＋5的对称轴为直线x＝a，因为a>1，所以f(x)在[1，a]上单调递减．由f(x)的定义域和值域均是[1，a]，可得即解得a＝2. (2) 若g(x)＝|f(x)|＋f(|x|)，对任意的x∈[－1，1]，g(x)>0恒成立，求实数a的取值范围． 【解答】 因为a>1，所以f(x)＝x2－2ax＋5在[－1，1]上单调递减，又f(－1)＝1＋2a＋5＝6＋2a，所以f(－1)>0恒成立．当f(1)＝1－2a＋5＝6－2a>0时，1<a<3，f(x)在[－1，1]上恒大于零，此时g(x)＝|f(x)|＋f(|x|)＝f(x)＋f(|x|).因为当x∈[－1，1]时，|x|∈[0，1]⊂[－1，1]，故f(x)>0且f(|x|)>0，所以对任意的x∈[－1，1]，g(x)>0恒成立．当a＝3时，f(1)＝0，则g(1)＝|f(1)|＋f(|1|)＝0，不符合题意．当a>3时，因为f(0)＝5>0且f(1)＝6－2a<0，所以存在t∈(0，1)，使得f(t)＝0，则当t<x<1时，f(x)<0，|f(x)|＝－f(x)，此时g(x)＝|f(x)|＋f(|x|)＝－f(x)＋f(x)＝0，不符合题意．综上所述，a的取值范围为(1，3). B组　滚动小练 13．(2026·黄冈期初)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)－sin x为偶函数，y＝f(x)＋2cos x为奇函数，则f(x)的最大值为____． 【解析】 因为y＝f(x)－sin x为偶函数，所以f(－x)＋sin x＝f(x)－sin x①.又y＝f(x)＋2cos x为奇函数，所以f(－x)＋2cos x＝－f(x)－2cos x②.①－②并整理得f(x)＝sin x－2cos x．因为f(x)＝sin x－2cos x＝sin (x－φ)，其中tan φ＝2，所以当sin (x－φ)＝1，即x＝＋φ＋2kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值. 14．(2025·扬州期初)已知函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x＋2. (1) 若不等式f(x)<0的解集为(1，2)，求f(x)的表达式； 【解答】 因为f(x)<0的解集为(1，2)，所以1，2是方程f(x)＝0的根，且k>0，所以所以k＝1，所以f(x)＝x2－3x＋2. (2) 解关于x的不等式：f(x)<0. 【解答】 当k＝0时，f(x)＝－x＋2，由f(x)<0，得－x＋2<0，所以x>2.当k≠0时，f(x)＝(x－2)(kx－1)，由f(x)<0，得(x－2)(kx－1)<0，即k(x－2)<0.若k<0，则(x－2)>0，解得x>2或x<.若k>0，则(x－2)<0.①当k＝时，不等式无解；②当k>时，不等式的解为<x<2；③当0<k<时，不等式的解为2<x<.综上所述，当k<0时，不等式的解集为；当k＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；当0<k<时，不等式的解集为；当k＝时，不等式的解集为∅；当k>时，不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $