第2章 第9讲 函数奇偶性与周期性（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数奇偶性与周期性核心考点，按定义、性质、应用逻辑架构知识体系，通过知识梳理构建概念网络，激活思维题组夯实基础认知，聚焦知识模块提炼性质规律，题型突破环节结合典例精讲与变式训练，形成“理解-应用-迁移”的完整复习链条。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如通过奇偶性判定步骤训练逻辑推理能力，借助周期性结论推导发展抽象思维，设计分层练习（A组夯基精练、B组滚动小练）实现精准提升。真题融入随堂内化环节，如2023年全国卷真题解析，助力学生在有限时间内高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第9讲　函数奇偶性与周期性 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝2x4＋3x2 　　　　 B．f(x)＝x3－2x C．f(x)＝x＋　　　　 D．f(x)＝ 2．若一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．2 3．(教材经典题改编)已知奇函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，且有最大值m，那么下列说法正确的是(　　) A．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－b)＝－m B．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－a)＝－m C．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－b)＝－m D．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－a)＝－m 4．(教材经典题改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－2)的值是____． 5．已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝____． 聚焦知识 1．奇偶性 定义：若____，则f(x)为偶函数；若____，则f(x)为奇函数． 这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称． 性质：(1) 奇函数的图象关于____对称，偶函数的图象关于____对称． (2) 若奇函数的定义域包含0，则必有f(0)＝____． (3) 在关于y 轴对称的两个区间内，奇函数单调性____，偶函数单调性____． (4) 一般地：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇，除法相同． (5) 复合函数的奇偶性：内偶则偶，内奇同外． (6) 既奇又偶的函数只有一个y＝0，但定义域可以有无数个． 2．周期性 (1) 对定义域内的任意x，存在非零常数T(T>0)，使____成立，则T为f(x)的周期； (2) 若T存在最小值，则该值为最小正周期． 题型突破　能力进阶 举题说法 函数奇偶性的判定 例1　判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝＋； (2) f(x)＝ (3) f(x)＝loga(m≠0)； (4) f(x)＝(a>0且a≠1)． 判断函数奇偶性的步骤：(1) 求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数也不是偶函数；(2) 验证f(－x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(－x)＝0或＝±1(f(x)≠0)是否成立． 变式1　(2026·镇江期初)下列函数为偶函数是(　　) A．f(x)＝2x－2－x B．f(x)＝ C．f(x)＝x ln (x＋) D．f(x)＝－x3＋x 函数奇偶性的应用 视角1　求值(解析式) 例 2-1　(1) (多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x＋5，则(　　) A．f(0)＝0 B．g(x)＝xf(x)是奇函数 C．f(－1)＝7 D．当x<0时，f(x)＝－x2＋x－5 (2) 设f(x)＝－x3＋(a－2)x2＋x是定义在[2b，b＋3]上的奇函数，则f＝(　　) A． B． C．－ D．－ (3) 已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋cx－4，f(10)＝6，则f(－10)＝____． (4) 已知定义域为R的函数f(x)＝a＋(a∈R)有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a＝____． (5) (2026·临沂期中)设函数f(x)的定义域为R，g(x)＝(x－1)f(x)，h(x)＝f(x)－x，若g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，则f(x)＝____． 一个奇函数如果存在最值，那么最大值与最小值互为相反数． 变式 2-1　(2026·连云港期中)已知函数f(x)，g(x)，h(x)的定义域都为R，其中f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)h(x)，g(x)＝h(x)－x3，则函数h(x)的最大值为(　　) A．－ B．－ C． D． 视角2　解不等式 例 2-2　(2025·邢台一模)设函数f(x)＝ln (1＋x4)－，则不等式f(2x)>f(x＋1)的解集为(　　) A． B．∪(1，＋∞) C． D．∪ 变式 2-2　(2025·新余二模)已知函数f(x)＝ln ＋sin x，则关于a的不等式f(a－2)＋f(a2－4)<0的解集是(　　) A．(，2)　　　B．(－3，2) 　　　C．(1，2)　　　D．(，) 函数的周期性 例3　(1) (2026·临沂期中)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈(0，1]时，f(x)＝log3x，则f＝(　　) A．1 B．－2 C．－1 D．2 (2) (2025·武汉2月调研)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，若f(1)＝2，f(11)＝3，则f(2 025)＝(　　) A．1 B．－1 C．5 D．－5 周期性的几个常用结论 对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则： (1) f(x＋a)＝f(x＋b)⇒f(x)的周期T＝|b－a|； (2) f(x＋a)＝－f(x)⇒f(x)的周期T＝2a； (3) f(x＋a)＝⇒f(x)的周期T＝2a； (4) f(x)＋f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a； (5) f(x)·f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a. 变式3　(2026·泉州期初)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当0<x≤1时，f(x)＝－x2＋x，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． 随堂内化 1．(2023·全国卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 2．(2026·南通期初)已知定义在R上的函数f(x)是周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝3－4x，则f＝(　　) A．2 B．1 C．－2 D．－1 3．(2025·驻马店期末)函数f(x)＝cos πx的部分图象大致为(　　) A B C D 4．设f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且满足f(－a2＋2a－5)<f(2a2＋a＋1)，则实数a的取值范围为____． 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．(2025·泉州二检)已知定义在R上的函数f(x)＋1为奇函数，且f(－1)＝－2，则f(1)＝(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 2．(2026·深圳期初)已知定义在R上的偶函数f(x)的最小正周期为2，当x∈(1，2)时，f(x)＝2x，则f＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 3．(2026·苏州期初)设函数f(x)＝ln |x＋1|－ln |x－1|，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在(1，＋∞)上单调递增 B．是奇函数，且在(－1，1)上单调递减 C．是偶函数，且在(－∞，－1)上单调递增 D．是奇函数，且在(－∞，－1)上单调递减 4．已知f(x)是定义在[1－m，2m－3]上的偶函数，当x∈[0，2m－3]时，f(x)单调递减，则关于x的不等式f(x－2)>f(3x－2m)的解集是(　　) A． B．(－∞，1)∪ C． D． 5．(2025·许昌二模)函数y＝的图象大致为(　　) A B C D 二、 多项选择题 6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x＋5，则(　　) A．f(0)＝0 B．g(x)＝xf(x)是奇函数 C．f(－1)＝7 D．当x<0时，f(x)＝－x2＋x－5 7．已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＋2＝f(x)＋f(y)，且当x>1时，f(x)>2，则下列说法正确的是(　　) A．f(－1)＝2 B．f(x)为偶函数 C．f(－2 026)<f(－2 025) D．f(x)在(1，＋∞)上是增函数 三、 填空题 8．(2023·全国甲卷理)若y＝(x－1)2＋ax＋sin 为偶函数，则a＝____． 9．(2025·新乡二模)若f(x)，g(x)分别为奇函数、偶函数，f(2)＋g(2)＝20，且f(x)－xg(x)＝x3，则f(－2)＋5g(－2)＝____． 10．若函数f(x)＝在区间[－2 026，2 026]上的最大值为4，则最小值为____． 四、 解答题 11．已知函数f(x)＝是定义域为[－1，1]上的奇函数，且f＝. (1) 求a，b的值； (2) 用定义法证明函数f(x)在[－1，1]上单调递增； (3) 解不等式：f(t2－1)＋f(2t－2)<0. 12．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(1)＝－2，且x<0时，f(x)>0. (1) 判断并证明f(x)的奇偶性； (2) 解关于t的不等式：f(t2－t－2)－f(t＋1)>－10. B组　滚动小练 13．(2026·南昌期初)已知甲、乙、丙、丁四位老师参加青年教师教学大赛，问其比赛结果，他们回答如下：甲：丙第一，乙第二；乙：丙第二，丁第三；丙：丁最后，甲第二．如果每个人的两个回答中，都恰有一个是正确的，而且没有并列名次，那么这次比赛获得第一、二、三、四名的依次是(　　) A．丙、甲、丁、乙　　　　 B．丙、甲、乙、丁 C．甲、乙、丙、丁　　　　 D．甲、乙、丁、丙 14．(2026·南通如东期初)已知a，b>0，且ab＝a＋b＋3，则a＋4b的最小值是(　　) A．6 B．9 C．13 D．7＋4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲　函数奇偶性与周期性 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)(多选)下列函数是奇函数的是(　BC　) A．f(x)＝2x4＋3x2 　　　　 B．f(x)＝x3－2x C．f(x)＝x＋　　　　 D．f(x)＝ 2．若一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b＝(　A　) A．－1 B．1 C．0 D．2 3．(教材经典题改编)已知奇函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，且有最大值m，那么下列说法正确的是(　B　) A．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－b)＝－m B．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递减，且f(－a)＝－m C．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－b)＝－m D．函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上单调递增，且f(－a)＝－m 【解析】 奇函数在对称区间上的单调性相同，最值互为相反数． 4．(教材经典题改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－2)的值是__－6__． 【解析】 由题知f(2)＝6，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－6. 5．已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝__1__． 【解析】 由题意得f＝f＝－4×＋2＝1. 聚焦知识 1．奇偶性 定义：若__f(－x)＝f(x)__，则f(x)为偶函数；若__f(－x)＝－f(x)__，则f(x)为奇函数． 这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称． 性质：(1) 奇函数的图象关于__原点__对称，偶函数的图象关于__y轴__对称． (2) 若奇函数的定义域包含0，则必有f(0)＝__0__． (3) 在关于y 轴对称的两个区间内，奇函数单调性__相同__，偶函数单调性__相反__． (4) 一般地：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇×偶＝奇，除法相同． (5) 复合函数的奇偶性：内偶则偶，内奇同外． (6) 既奇又偶的函数只有一个y＝0，但定义域可以有无数个． 2．周期性 (1) 对定义域内的任意x，存在非零常数T(T>0)，使__f(x＋T)＝f(x)__成立，则T为f(x)的周期； (2) 若T存在最小值，则该值为最小正周期． 题型突破　能力进阶 举题说法 函数奇偶性的判定 例1　判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝＋； 【解答】 f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (2) f(x)＝ 【解答】 f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x＜0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x).故该函数为奇函数． (3) f(x)＝loga(m≠0)； 【解答】 f(x)的定义域为(－|m|，|m|)，f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (4) f(x)＝(a>0且a≠1)． 【解答】 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 判断函数奇偶性的步骤：(1) 求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数也不是偶函数；(2) 验证f(－x)是否等于±f(x)，或验证其等价形式f(x)±f(－x)＝0或＝±1(f(x)≠0)是否成立． 变式1　(2026·镇江期初)下列函数为偶函数是(　C　) A．f(x)＝2x－2－x B．f(x)＝ C．f(x)＝x ln (x＋) D．f(x)＝－x3＋x 【解析】 对于A，函数的定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A错误；对于B，由2x－1≠0可得x≠0，所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故B错误；对于C，函数的定义域为R，f(－x)＝－x ln (－x＋)＝－x ln ＝－x ln ＝x ln (x＋)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故C正确；对于D，函数的定义域为R，f(－x)＝－(－x)3＋(－x)＝x3＋x≠f(x)，所以f(x)不是偶函数，故D错误． 函数奇偶性的应用 视角1　求值(解析式) 例 2-1　(1) (多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x＋5，则(　AD　) A．f(0)＝0 B．g(x)＝xf(x)是奇函数 C．f(－1)＝7 D．当x<0时，f(x)＝－x2＋x－5 【解析】 对于A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以根据奇函数性质可知，f(0)＝0，故A正确；对于B，g(x)＝xf(x)的定义域为R，由于f(－x)＝－f(x)，则g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，即g(x)为偶函数，故B错误；对于C，当x>0时，f(x)＝x2＋x＋5，则f(1)＝7，故f(－1)＝－f(1)＝－7，故C错误；对于D，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝x2－x＋5＝－f(x)，所以f(x)＝－x2＋x－5，故D正确． (2) 设f(x)＝－x3＋(a－2)x2＋x是定义在[2b，b＋3]上的奇函数，则f＝(　D　) A． B． C．－ D．－ 【解析】 因为f(x)＝－x3＋(a－2)x2＋x是定义在[2b，b＋3]上的奇函数，则[2b，b＋3]关于原点对称，所以解得b＝－1，且f(－x)＝－f(x)，即－(－x)3＋(a－2)(－x)2－x＝－[－x3＋(a－2)x2＋x]，所以a－2＝2－a，解得a＝2，所以f(x)＝－x3＋x，且x∈[－2，2]，所以f＝f＝－－＝－. (3) 已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋cx－4，f(10)＝6，则f(－10)＝__－14__． 【解析】 设g(x)＝ax5＋bx3＋cx，则f(x)＝g(x)－4，且g(x)为奇函数，即g(－x)＝－g(x).又f(10)＝g(10)－4＝6⇒g(10)＝10，所以g(－10)＝－g(10)＝－10，所以f(－10)＝g(－10)－4＝－10－4＝－14. (4) 已知定义域为R的函数f(x)＝a＋(a∈R)有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a＝__3__． 【解析】 令g(x)＝，显然g(x)为奇函数，其最大值、最小值互为相反数，分别设为M，－M，则f(x)＝a＋(a∈R)的最大值、最小值分别为M＋a，－M＋a，和为2a＝6，则a＝3. (5) (2026·临沂期中)设函数f(x)的定义域为R，g(x)＝(x－1)f(x)，h(x)＝f(x)－x，若g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，则f(x)＝__x2＋x__． 【解析】 因为g(x)＝(x－1)f(x)为奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即(－x－1)f(－x)＝－(x－1)f(x).又h(x)＝f(x)－x为偶函数，所以h(－x)＝h(x)，即f(－x)＋x＝f(x)－x，得f(－x)＝f(x)－2x.将f(－x)＝f(x)－2x代入(－x－1)f(－x)＝－(x－1)f(x)，得(－x－1)·(f(x)－2x)＝－(x－1)f(x)，－xf(x)＋2x2－f(x)＋2x＝－xf(x)＋f(x)，2x2＋2x＝2f(x)，f(x)＝x2＋x. 一个奇函数如果存在最值，那么最大值与最小值互为相反数． 变式 2-1　(2026·连云港期中)已知函数f(x)，g(x)，h(x)的定义域都为R，其中f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)h(x)，g(x)＝h(x)－x3，则函数h(x)的最大值为(　D　) A．－ B．－ C． D． 【解析】 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又由f(x)＝(x＋1)h(x)，得(－x＋1)·h(－x)＝－(x＋1)h(x)①.因为g(x)是偶函数，所以g(－x)＝g(x)，又由g(x)＝h(x)－x3，得h(－x)＋x3＝h(x)－x3②.联立①②可解得h(x)＝－x4＋x3，所以h′(x)＝－4x3＋3x2＝x2(－4x＋3)，令h′(x)＝0，解得x＝0或x＝.当x<时，－4x＋3>0，且x2≥0，故h′(x)≥0，h(x)单调递增；当x>时，－4x＋3<0，故h′(x)<0，h(x)单调递减．因此，h(x)在x＝处取得极大值，也是最大值，h＝－＋＝. 视角2　解不等式 例 2-2　(2025·邢台一模)设函数f(x)＝ln (1＋x4)－，则不等式f(2x)>f(x＋1)的解集为(　B　) A． B．∪(1，＋∞) C． D．∪ 【解析】 因为函数f(x)＝ln (1＋x4)－的定义域为R，且f(－x)＝ln (1＋x4)－＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当x>0时，y＝1＋x4与y＝ln x，y＝－与y＝1＋3x均在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝ln (1＋x4)与y＝－均在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x)>f(x＋1)等价于|2x|>|x＋1|，即(2x)2>(x＋1)2，解得x>1或x<－，即不等式f(2x)>f(x＋1)的解集为∪(1，＋∞). 变式 2-2　(2025·新余二模)已知函数f(x)＝ln ＋sin x，则关于a的不等式f(a－2)＋f(a2－4)<0的解集是(　A　) A．(，2)　　　B．(－3，2) 　　　C．(1，2)　　　D．(，) 【解析】 由>0，得－1<x<1，故函数f(x)的定义域为(－1，1).因为f(－x)＝ln ＋sin (－x)＝－ln －sin x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故关于a的不等式f(a－2)＋f(a2－4)<0等价于f(a－2)<－f(a2－4)＝f(4－a2).由函数y＝ln ，y＝sin x在定义域(－1，1)上单调递增，可得函数f(x)在其定义域上单调递增，则有解得<a<2. 函数的周期性 例3　(1) (2026·临沂期中)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈(0，1]时，f(x)＝log3x，则f＝(　D　) A．1 B．－2 C．－1 D．2 【解析】 由f(x＋1)＝－f(x)可知f(x＋2)＝－f(x＋1)，联立上述两个等式得f(x)＝f(x＋2)，易知函数f(x)为周期函数，周期T＝2，故f＝f＝f.而根据f(x＋1)＝－f(x)可知f＝f＝－f.由题知当x∈(0，1]时，f(x)＝log3x，故f＝log3＝－2，所以f＝2. (2) (2025·武汉2月调研)已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，若f(1)＝2，f(11)＝3，则f(2 025)＝(　D　) A．1 B．－1 C．5 D．－5 【解析】 由题意可得f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，用x＋1代替x可得f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)，两式相加得f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)是以6为周期的周期函数，所以f(11)＝f(5)＝3.又f(5)＝－f(2)，所以f(2)＝－3，所以f(3)＝f(2)－f(1)＝－3－2＝－5，所以f(2 025)＝f(337×6＋3)＝f(3)＝－5. 周期性的几个常用结论 对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则： (1) f(x＋a)＝f(x＋b)⇒f(x)的周期T＝|b－a|； (2) f(x＋a)＝－f(x)⇒f(x)的周期T＝2a； (3) f(x＋a)＝⇒f(x)的周期T＝2a； (4) f(x)＋f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a； (5) f(x)·f(x＋a)＝k(k为常数)⇒f(x)的周期T＝2a. 变式3　(2026·泉州期初)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当0<x≤1时，f(x)＝－x2＋x，则f＝(　B　) A．－ B．－ C． D． 【解析】 因为f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f＝f＝f＝f＝f.因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f＝－f＝－＝－，即f＝－. 随堂内化 1．(2023·全国卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　B　) A．－1 B．0 C． D．1 【解析】 因为f(x)为偶函数，所以f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝x ln ，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)·ln ＝(－x)ln ＝x ln ＝f(x)，故f(x)为偶函数． 2．(2026·南通期初)已知定义在R上的函数f(x)是周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝3－4x，则f＝(　B　) A．2 B．1 C．－2 D．－1 【解析】 因为函数f(x)是周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝3－4x，所以f＝f＝f＝3－4＝3－2＝1. 3．(2025·驻马店期末)函数f(x)＝cos πx的部分图象大致为(　A　) A B C D 【解析】 因为函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数f(－x)＝cos (－πx)＝－·cos πx＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，排除B，C.当x∈时，f(x)<0，所以排除D. 4．设f(x)是定义在R上的偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且满足f(－a2＋2a－5)<f(2a2＋a＋1)，则实数a的取值范围为__(－4，1)__． 【解析】 因为f(x)为R上的偶函数，所以f(－a2＋2a－5)＝f(a2－2a＋5)，所以不等式等价于f(a2－2a＋5)<f(2a2＋a＋1).因为a2－2a＋5＝(a－1)2＋4>0，2a2＋a＋1＝22＋>0，且f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，偶函数的图象关于y轴对称，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，所以a2－2a＋5>2a2＋a＋1，即a2＋3a－4<0，解得－4<a<1，所以实数a的取值范围是(－4，1). 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．(2025·泉州二检)已知定义在R上的函数f(x)＋1为奇函数，且f(－1)＝－2，则f(1)＝(　B　) A．－2 B．0 C．1 D．2 【解析】 因为函数f(x)＋1为奇函数，所以f(－x)＋1＝－[f(x)＋1]，即f(－x)＋f(x)＝－2.令x＝1，得f(－1)＋f(1)＝－2，又f(－1)＝－2，所以f(1)＝0. 2．(2026·深圳期初)已知定义在R上的偶函数f(x)的最小正周期为2，当x∈(1，2)时，f(x)＝2x，则f＝(　B　) A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】 因为0<log2<log2＝，所以－<－log2<0，<2－log2<2.又定义在R上的偶函数f(x)的最小正周期为2，所以f＝f＝f＝22－log2＝＝4×＝3. 3．(2026·苏州期初)设函数f(x)＝ln |x＋1|－ln |x－1|，则f(x)(　D　) A．是偶函数，且在(1，＋∞)上单调递增 B．是奇函数，且在(－1，1)上单调递减 C．是偶函数，且在(－∞，－1)上单调递增 D．是奇函数，且在(－∞，－1)上单调递减 【解析】 由解得x≠－1且x≠1，则函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝ln |－x＋1|－ln |－x－1|＝ln |x－1|－ln |x＋1|＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故A，C错误；当x∈(－1，1)时，f(x)＝ln (x＋1)－ln (1－x)＝ln ＝ln ，则函数f(x)在(－1，1)上单调递增，当x∈(－∞，－1)时，f(x)＝ln (－x－1)－ln (1－x)＝ln ＝ln ，则函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，故B错误，D正确． 4．已知f(x)是定义在[1－m，2m－3]上的偶函数，当x∈[0，2m－3]时，f(x)单调递减，则关于x的不等式f(x－2)>f(3x－2m)的解集是(　C　) A． B．(－∞，1)∪ C． D． 【解析】 因为f(x)是定义在[1－m，2m－3]上的偶函数，所以1－m＋2m－3＝0，所以m＝2.因为当x∈[0，2m－3]时，f(x)单调递减，所以当x∈[0，1]时，f(x)单调递减．因为f(x－2)>f(3x－2m)，m＝2，所以f(|x－2|)>f(|3x－4|)，因为当x∈[0，1]时，f(x)单调递减，所以|x－2|<|3x－4|，所以(x－2)2<(3x－4)2，即2x2－5x＋3>0，解得x>或x<1.因为f(x)的定义域为[－1，1]，所以解得1≤x≤.综上，<x≤，即关于x的不等式f(x－2)>f(3x－2m)的解集为. 5．(2025·许昌二模)函数y＝的图象大致为(　D　) A B C D 【解析】 令y＝f(x)＝，定义域为{x|x∈R，x≠0}，因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数y＝为奇函数，所以其图象关于原点对称，故A不满足；当x∈时，f(x)>0，故B不满足；当x→＋∞时，y→0，故C不满足；而D均满足以上分析． 二、 多项选择题 6．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x＋5，则(　AD　) A．f(0)＝0 B．g(x)＝xf(x)是奇函数 C．f(－1)＝7 D．当x<0时，f(x)＝－x2＋x－5 【解析】 对于A，B，因为f(x)是定义在R上的奇函数，根据奇函数性质可知，f(0)＝0，A正确；g(x)＝xf(x)的定义域为R，由于f(－x)＝－f(x)，则g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，即g(x)为偶函数，B错误；对于C，当x>0时，f(x)＝x2＋x＋5，则f(1)＝7，故f(－1)＝－f(1)＝－7，C错误；对于D，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝x2－x＋5＝－f(x)，所以f(x)＝－x2＋x－5，D正确． 7．已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＋2＝f(x)＋f(y)，且当x>1时，f(x)>2，则下列说法正确的是(　ABD　) A．f(－1)＝2 B．f(x)为偶函数 C．f(－2 026)<f(－2 025) D．f(x)在(1，＋∞)上是增函数 【解析】 对于A，在f(xy)＋2＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝1，得f(1)＋2＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝2，再令x＝y＝－1，得f(1)＋2＝f(－1)＋f(－1)，解得f(－1)＝2，故A正确；对于B，令y＝－1，得f(－x)＋2＝f(x)＋f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，又f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)是偶函数，故B正确；对于C，D，设0<x1<x2，则t＝>1，所以f(t)>2，所以f(x2)＝f(tx1)＝f(t)＋f(x1)－2>f(x1)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因为f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上是减函数，从而f(－2 026)>f(－2 025)，故C错误，D正确． 三、 填空题 8．(2023·全国甲卷理)若y＝(x－1)2＋ax＋sin 为偶函数，则a＝__2__． 【解析】 因为y＝f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin ＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋cos x－2x＋ax＋1为偶函数，定义域为R，所以f(－x)＝(－x)2＋cos (－x)＋2x－ax＋1＝f(x)恒成立，所以(a－2)x＝0恒成立，解得a＝2. 9．(2025·新乡二模)若f(x)，g(x)分别为奇函数、偶函数，f(2)＋g(2)＝20，且f(x)－xg(x)＝x3，则f(－2)＋5g(－2)＝__4__． 【解析】 依题意得f(2)－2g(2)＝8，又f(2)＋g(2)＝20，解得f(2)＝16，g(2)＝4，所以f(－2)＋5g(－2)＝－f(2)＋5g(2)＝－16＋20＝4. 10．若函数f(x)＝在区间[－2 026，2 026]上的最大值为4，则最小值为__0__． 【解析】 因为f(x)＝＝＝＋2，所以令g(x)＝，x∈[－2 026，2 026]，则f(x)＝g(x)＋2.因为g(－x)＝＝＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以g(x)在[－2 026，2 026]上的最大值和最小值之和为0，即g(x)max＋g(x)min＝0，则f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋g(x)min＋4＝4.因为f(x)max＝4，所以f(x)min＝0. 四、 解答题 11．已知函数f(x)＝是定义域为[－1，1]上的奇函数，且f＝. (1) 求a，b的值； 【解答】 由题知f(0)＝b＝0，f＝＝，则a＝1，所以f(x)＝，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，满足题设，所以a＝1，b＝0. (2) 用定义法证明函数f(x)在[－1，1]上单调递增； 【解答】 由(1)知f(x)＝，令－1≤x1<x2≤1，则f(x2)－f(x1)＝－＝＝＝.因为x2－x1>0，1－x1x2>0，(x＋1)(x＋1)>0，所以f(x2)>f(x1)，所以函数f(x)在[－1，1]上单调递增． (3) 解不等式：f(t2－1)＋f(2t－2)<0. 【解答】 由题知f(t2－1)<－f(2t－2)＝f(2－2t)，则有即故≤t<1，所以不等式的解集为. 12．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(1)＝－2，且x<0时，f(x)>0. (1) 判断并证明f(x)的奇偶性； 【解答】 令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0.令y＝－x，可得f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x).又f(x)的定义域为R，图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数． (2) 解关于t的不等式：f(t2－t－2)－f(t＋1)>－10. 【解答】 任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2，则Δx＝x2－x1>0，于是f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1＋Δx)＝f(x1)－[f(x1)＋f(Δx)]＝－f(Δx).因为Δx>0，所以－Δx<0，由题意知f(－Δx)>0.又f(x)为奇函数，所以f(－Δx)＝－f(Δx)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，从而f(x)在[0，＋∞)上单调递减．因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在R上单调递减．由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，可知f(5)＝5f(1)＝－10.所以不等式f(t2－t－2)－f(t＋1)>－10等价于f(t2－t－2)＋f(－t－1)＝f(t2－2t－3)>f(5)，所以t2－2t－3<5，解得－2<t<4.所以不等式的解集为{t|－2<t<4}． B组　滚动小练 13．(2026·南昌期初)已知甲、乙、丙、丁四位老师参加青年教师教学大赛，问其比赛结果，他们回答如下：甲：丙第一，乙第二；乙：丙第二，丁第三；丙：丁最后，甲第二．如果每个人的两个回答中，都恰有一个是正确的，而且没有并列名次，那么这次比赛获得第一、二、三、四名的依次是(　A　) A．丙、甲、丁、乙　　　　 B．丙、甲、乙、丁 C．甲、乙、丙、丁　　　　 D．甲、乙、丁、丙 【解析】 若甲说的“丙第一”正确，则乙的回答中只能“丁第三”正确，丙的回答中“甲第二”正确，此时获得第一、二、三、四名依次是丙、甲、丁、乙；若甲说的“乙第二”正确，又没有并列名次，则乙的回答中只能“丁第三”正确，丙的回答中“甲第二”正确，此时第二名出现甲、乙并列，与题设矛盾，因此第一、二、三、四名依次是丙、甲、丁、乙． 14．(2026·南通如东期初)已知a，b>0，且ab＝a＋b＋3，则a＋4b的最小值是(　C　) A．6 B．9 C．13 D．7＋4 【解析】 由ab＝a＋b＋3，得a(b－1)＝b＋3，因为a，b>0，所以b＋3>0，则a(b－1)>0，即b>1，同理易得a>1.由ab＝a＋b＋3，得(a－1)(b－1)＝4.从而a＋4b＝a－1＋4(b－1)＋5≥2＋5＝13，当且仅当a－1＝4(b－1)，即b＝2，a＝5时取等号． 学科网（北京）股份有限公司 $