第2章 第8讲 函数的单调性与最值（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性与最值核心考点，涵盖定义、复合函数单调性、单调性应用及最值求法，按“知识梳理-题型突破-分层练习”逻辑架构知识体系。通过激活思维题夯实基础，聚焦知识填空构建概念网络，举题说法分视角突破，助力学生系统掌握高考重点。 讲义创新采用“多视角题型分类+分层精练”模式，如用定义法证明单调性培养逻辑推理能力，复合函数“同增异减”规律总结提升抽象思维。设置基础巩固与能力挑战练习，配合真题讲解，高效提升学生解题技能，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第8讲　函数的单调性与最值 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)已知y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为(　　) (第1题) A．[－1，3] B．[－1，2]和[4，5] C．[－1，2] D．[－3，－1]和[2，4] 2．(教材经典题改编)(多选)下列函数在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f(x)＝－2x＋1　　　　 B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝1－　　　　 D．f(x)＝|x| 3．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝(x∈(2，6])，则(　　) A．f(x)的最大值为2，最小值为0.4 B．f(x)的最大值为2，没有最小值 C．f(x)没有最大值，最小值为0.4 D．f(x)的最大值与最小值都没有 4．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为____． 5．已知函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)在其定义域上单调递减，那么不等式f(x2)>f(2x＋3)的解集为____． 聚焦知识 1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数x1，x2∈A 当x1<x2时，都有____，那么就说函数f(x)在区间A上是增函数 当x1<x2时，都有___，那么就说函数f(x)在区间A上是减函数 图象 描述 自左向右看，图象是____ 自左向右看，图象是____ (2) 复合函数的单调性 对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：____． 2．若函数f(x)与g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1) f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有____的单调性． (2) f(x)与－f(x)的单调性____． (3) 当a>0时，af(x)与f(x)的单调性____；当a<0时，af(x)与f(x)的单调性____． (4) 若f(x)≥0，则f(x)与具有____的单调性． (5) 若f(x)恒为正值或恒为负值，则当a>0时，f(x)与具有____的单调性； 当a<0时，f(x)与具有____的单调性． (6) f(x)与g(x)的和与差的单调性(相同区间上)简记为： ①↗＋↗＝↗；②↘＋↘＝↘； ③↗－↘＝↗；④↘－↗＝↘. 3．常用结论 (1) 函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 ①>0或(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在D上单调递增； ②<0或(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在D上单调递减． (2) 函数最值存在的两条结论 ①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到； ②开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值． 题型突破　能力进阶 举题说法 判断函数的单调性 视角1　基本初等函数单调性的直接判定 例 1-1　(2021·全国甲卷文)下列函数是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x　　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝x2　　　　 D．f(x)＝ 视角2　定义法证明函数单调性 例 1-2　(1) 已知函数f(x)＝，判断f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并证明． (2) 已知定义在R上的函数y＝f(x)满足：当x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)f(b). ①求证：f(0)＝1； ②求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0； ③求证：f(x)是增函数． 视角3　确定函数的单调区间 例 1-3　(1) 函数f(x)＝的单调递减区间是____． (2) 函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为____；函数g(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是____． (1) 求函数的单调区间时，应先求定义域，在定义域内求单调区间． (2) 函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法． 易错警示：函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”． 变式1　(2025·泉州模拟)函数g(x)＝x|x＋1|＋1的单调递减区间为____. 函数单调性的应用 视角1　利用单调性比大小 例 2-1　(2025·邯郸期中)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(3＋x)，且在(－∞，2]上单调递增，若a＝f(π)，b＝f()，c＝f(0)，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b 视角2　解抽象不等式 例 2-2　(1) 若f(x)是定义在(－∞，0]上的减函数，则不等式f(2x＋3)≤f(x＋1)的解集为____. (2) 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，若f(2)＝0，则不等式(x－1)f(x)>0的解集是____． 视角3　求参数的取值范围 例 2-3　(1) (2025·大庆期末)已知函数f(x)＝若对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有>0，则a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞)　　　　 B．(－∞，2) C．(1，2)　　　　 D．(1，2] (2) 若函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是____． 利用单调性求参数的范围(或值)的方法 (1) 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； (2) 若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 变式 2-3　设a为非零实数，函数f(x)＝若对任意的x1，x2∈R，x1≠x2，都有<2，则实数a的取值范围为____. 函数的最值(值域) 例3　(1) 函数f(x)＝在[－2，－1]上的值域是____． (2) 若函数f(x)＝－＋x2的定义域是[0，2]，则其值域为____． (3) 函数f(x)＝3x－的值域为___. (4) 函数f(x)＝，x∈(0，＋∞)的值域为____． 求函数值域的主要方法 (1) 配方法：对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域问题，可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域(详见第10讲). (2) 单调性法：根据函数的单调性直接求最值． (3) 分离常数法：分子分母都是一次函数的情形，先分离常数，再利用反比例函数的图象求解． (4) 基本不等式法：详见第6讲． (5) 换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形如y＝ax＋b＋的值域，可通过换元将原函数转化为二次型函数． (6) 判别式法：将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用判别式求出y的取值范围或最值． 1．函数f(x)＝3x－10＋的值域为(　　) A．[5，＋∞)　　　　 B．[6，＋∞) C．[7，＋∞)　　　　 D．[10，＋∞) 2．(2025·成都期中)已知函数y＝，x∈(m，n]的最小值为8，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(1，2] D．[1，2) 3．已知函数y＝的值域为[－1，4]，则常数a＋b＝____． 　“对勾”函数与“飘带”函数 “对勾”函数的图象与性质 解析式 y＝ax＋(a>0，b>0) y＝ax＋(a<0，b<0) 图象 定义域 (－∞，0)∪(0，＋∞) 渐近线 y＝ax，x＝0 值域 (－∞，－2]∪[2，＋∞) 奇偶性 奇函数 单调性 在，上是增函数，在，上是减函数 在，上是增函数，在，上是减函数 “飘带”函数的图象与性质 解析式 y＝ax－(a>0，b>0) y＝ax－(a<0，b<0) 图象 定义域 (－∞，0)∪(0，＋∞) 渐近线 y＝ax，x＝0 值域 R 奇偶性 奇函数 单调性 在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数 在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数 例4　(1) (多选)函数f(x)＝|x|－(x∈R)的图象可能是(　　) A B C D (2) (多选)已知函数f(x)＝x＋(a>0)在[2，4]上的最大值比最小值大1，则a的值可以是(　　) A．4 B．12 C．6－4 D．6＋4 随堂内化 1．(2023·北京卷)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝－ln x　　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝－　　　　 D．f(x)＝3|x-1| 2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　) A． B．－ C．－2 D．2 3．(2025·亳州模拟)若函数f(x)＝在[1，＋∞)上的最大值为，则a＝(　　) A． B．1 C．＋1 D．－1 4．(2025·福州模拟)已知函数f(x)＝在(m，m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，－2]∪[1，＋∞) B．[－2，1] C．(－∞，－1]∪[2，＋∞) D．[－1，2] 配套精练 练习1 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．函数y＝ln (－x2＋2x＋3)的单调递减区间是(　　) A．(－1，1]　　　B．[1，3) 　　　C．(－∞，1]　　　D．[1，＋∞) 2．函数f(x)＝的单调递减区间是(　　) A．(4，＋∞)　　　B．(0，4) 　　　C．(4，8)　　　D．(－∞，4) 3．设a∈R，已知函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，则a的取值范围是(　　) A．[－4，1) B．(1，4] C．(1，2] D．(1，＋∞) 4．已知函数f(x)＝则不等式f(2a2－1)>f(3a＋4)的解集为(　　) A．(－∞，－1)　　　　　　　 B． C．(－∞，－1)∪　　　 D． 5．函数f(x)＝[x]被称为取整函数，也称高斯函数，其中[x]表示不大于实数x的最大整数．若∀m∈(0，＋∞)，[x]2＋[x]≤，则x的取值范围是(　　) A．[－1，2]　　　B．(－1，2) 　　　C．[－2，2)　　　D．(－2，2] 二、 多项选择题 6．下列函数中，在(2，＋∞)上单调的是(　　) A．y＝　　　　 B．y＝x＋ C．y＝x2－4x＋1　　　　 D．y＝|x－4| 7．定义min{a，b}＝设f(x)＝min{|x|，x＋1}，则(　　) A．f(x)有最大值，无最小值 B．当x≤0时，f(x)的最大值为 C．不等式f(x)≤的解集为 D．f(x)的单调递增区间为(0，1) 三、 填空题 8．已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为____． 9．已知f(x)＝满足：对任意的x1≠x2，<0恒成立，则实数a的取值范围是____． 10．已知函数f(x)＝若c＝0，则f(1)＝__1__；若f(x)的值域是，则实数c的取值范围是____． 四、 解答题 11．已知函数f(x)＝ax＋，其中a，b为常数，且f(1)＝5，f(2)＝4. (1) 求a，b的值； (2) 利用单调性的定义证明函数f(x)在区间(0，2)上是减函数； (3) 求函数f(x)在区间[1，3]上的最大值和最小值． 12．已知函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1. (1) 求f(1)和f(9)的值； (2) 解关于x的不等式：f(3x＋6)＋f(x)<2. B组　能力挑战(选做) 13．已知函数f(x)＝－，当x∈[m，n](n>m>0)时，f(x)的值域也是[m，n]，则实数a的取值范围是(　　) A．　　　　 B． C．　　　　 D． 14．(2025·鹰潭期中)已知定义在[0，＋∞)上的函数f(x)满足：∀x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，>2.若f(1)＝2 026，则不等式f(x－2 026)>2(x－1 014)的解集为(　　) A．(2 025，＋∞)　　　　 B．(2 026，＋∞) C．(2 027，＋∞)　　　　 D．(1 014，＋∞) 15．已知函数f(x)的定义域为R，对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)f(b)，当x<0时，f(x)>1，且f(0)≠0，若f(－2)＝4，则不等式f(5x2－12x)>16的解集是___． 配套精练 练习2 一、 单项选择题 1．(2025·天津期中)若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，<0，则(　　) A．f(3)<f(1)<f(－2) B．f(1)<f(－2)<f(3) C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(－2)<f(1) 2．函数f(x)＝的值域为(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，－5] C．(－∞，－5]∪[3，＋∞) D．[－1，＋∞) 3．已知函数f(x)＝在R上单调，则实数a的取值范围是(　　) A．　　　　 B．(3，4] C．∪(3，4]　　　　 D．∪(3，4] 4．(2025·重庆期末)已知函数f(x)＝x＋(x>0)，记该函数在区间[t－1，t](t>1)上的最大值与最小值的差值为g(t)，则g(t)的最小值为(　　) A．－2 B．1 C． D．－4 二、 多项选择题 5．已知函数f(x)＝x－(a≠0)，则下列说法正确的是(　　) A．当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增 B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．当a＞0时，f(x)的值域为R 6．已知f(x)＝下列选项正确的是(　　) A．当a＝1时，函数的值域为R B．若函数在R上单调递增，则a的取值范围是[－1，0] C．若f(1＋m2)≥f(2|m|)，则m≥1 D．f(f(0))＝e＋ln 2 7．已知函数f(x)满足：对任意的x∈R，都有f(x＋3)＝f(1－x)，且对任意的x1，x2∈[2，＋∞)，<0(x1≠x2)，则下列结论正确的是(　　) A．f(－a2＋a＋1)≤f B． ∀x∈R，f(x)≤f(2) C．f(0)>f(3) D．若f(m)>f(－1)，则－1<m<5 三、 填空题 8．函数y＝x|x－4|的单调递减区间是____． 9．函数f(x)＝的值域为____． 10．(2025·苏州模拟)已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且f(x)－f(y)＝f，当x>1时，f(x)<0，且f(3)＝－1，则满足不等式f(x)－f(x－1)＋2≤0的x的取值范围为____． 四、 解答题 11．已知函数f(x)＝，且f(1)＝10，f(3)＝6. (1) 求f(x)的解析式； (2) 判断f(x)在[3，＋∞)上的单调性并用单调性的定义证明； (3) 若不等式f(m2＋3)>10恒成立，求m的取值范围． 12．设函数y＝f(x)的定义域为I，一般地，对∀x1，x2∈I(x1≠x2)，若f<，则称y＝f(x)为“凹函数”；若f>，则称y＝f(x)为“凸函数”．对于函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数． (1) 已知函数f(x)＝x＋，x∈[1，3]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域； (2) 求证：f(x)＝x＋在(0，＋∞)上是凹函数； (3) 已知函数g(x)＝，函数h(x)＝－x－2a，若对任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得h(x2)＝g(x1)，求实数a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲　函数的单调性与最值 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)已知y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为(　B　) (第1题) A．[－1，3] B．[－1，2]和[4，5] C．[－1，2] D．[－3，－1]和[2，4] 2．(教材经典题改编)(多选)下列函数在(0，＋∞)上为增函数的是(　BCD　) A．f(x)＝－2x＋1　　　　 B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝1－　　　　 D．f(x)＝|x| 【解析】 对于A，f(x)＝－2x＋1是一次函数，所以f(x)在R上是减函数，故A错误；对于B，因为f(x)＝x2＋1的对称轴为y轴，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故B正确；对于C，因为y＝－在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故C正确；对于D，函数f(x)＝|x|＝函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故D正确． 3．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝(x∈(2，6])，则(　C　) A．f(x)的最大值为2，最小值为0.4 B．f(x)的最大值为2，没有最小值 C．f(x)没有最大值，最小值为0.4 D．f(x)的最大值与最小值都没有 4．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围为__(－∞，40]∪[160，＋∞)__． 【解析】 函数f(x)的图象的对称轴是直线x＝，当≤5或≥20，即k≤40或k≥160时，f(x)在[5，20]上是单调函数，所以实数k的取值范围为(－∞，40]∪[160，＋∞). 5．已知函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)在其定义域上单调递减，那么不等式f(x2)>f(2x＋3)的解集为__(－1，0)∪(0，3)__． 【解析】 由得解得－1<x<0或0<x<3. 聚焦知识 1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数x1，x2∈A 当x1<x2时，都有__f(x1)＜f(x2)__，那么就说函数f(x)在区间A上是增函数 当x1<x2时，都有__f(x1)＞f(x2)__，那么就说函数f(x)在区间A上是减函数 图象 描述 自左向右看，图象是__上升的__ 自左向右看，图象是__下降的__ (2) 复合函数的单调性 对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：__同增异减__． 2．若函数f(x)与g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1) f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有__相同__的单调性． (2) f(x)与－f(x)的单调性__相反__． (3) 当a>0时，af(x)与f(x)的单调性__相同__；当a<0时，af(x)与f(x)的单调性__相反__． (4) 若f(x)≥0，则f(x)与具有__相同__的单调性． (5) 若f(x)恒为正值或恒为负值，则当a>0时，f(x)与具有__相反__的单调性； 当a<0时，f(x)与具有__相同__的单调性． (6) f(x)与g(x)的和与差的单调性(相同区间上)简记为： ①↗＋↗＝↗；②↘＋↘＝↘； ③↗－↘＝↗；④↘－↗＝↘. 3．常用结论 (1) 函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 ①>0或(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在D上单调递增； ②<0或(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在D上单调递减． (2) 函数最值存在的两条结论 ①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到； ②开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值． 题型突破　能力进阶 举题说法 判断函数的单调性 视角1　基本初等函数单调性的直接判定 例 1-1　(2021·全国甲卷文)下列函数是增函数的为(　D　) A．f(x)＝－x　　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝x2　　　　 D．f(x)＝ 【解析】 由一次函数的性质可知f(x)＝－x在R上是减函数，不符合题意；由指数函数的性质可知f(x)＝在R上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知f(x)＝x2在R上不单调，不符合题意；根据幂函数的性质可知f(x)＝在R上单调递增，符合题意． 视角2　定义法证明函数单调性 例 1-2　(1) 已知函数f(x)＝，判断f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并证明． 【解答】 f(x)在[0，＋∞)上单调递增．证明如下：任取0≤x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.因为0≤x1＜x2，所以x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，故f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故f(x)在[0，＋∞)上单调递增． (2) 已知定义在R上的函数y＝f(x)满足：当x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)f(b). ①求证：f(0)＝1； 【解答】 令a＝1，b＝0，则f(1)＝f(0)f(1)，又f(1)>1，所以f(0)＝1. ②求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0； 【解答】 令a＝x，b＝－x，则f(0)＝f(x)f(－x)＝1，即f(x)＝.当x>0时，f(x)>1；当x<0时，－x>0，f(－x)>1，所以0<f(x)<1.又f(0)＝1，所以∀x∈R，f(x)>0. ③求证：f(x)是增函数． 【解答】 任取x1，x2∈R，且x1>x2，则f(x1－x2＋x2)＝f(x1)＝f(x1－x2)f(x2)，故＝f(x1－x2).因为x1－x2>0，所以＝f(x1－x2)>1.又f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，故f(x)是增函数． 视角3　确定函数的单调区间 例 1-3　(1) 函数f(x)＝的单调递减区间是__(－∞，－4]__． 【解析】 由x2＋2x－8≥0，可得x≤－4或x≥2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－4]∪[2，＋∞).设u＝x2＋2x－8，则y＝u，因为y＝u(u≥0)是增函数，而u＝x2＋2x－8在定义域上的单调递减区间是(－∞，－4]，所以函数y＝的单调递减区间是(－∞，－4]. (2) 函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为__[2，＋∞)__；函数g(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是__(4，＋∞)__． 【解析】 因为y＝|x－2|＝所以函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2)，单调递增区间为[2，＋∞)，所以f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞).由x2－2x－8>0，得g(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数g(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内).因为函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，所以函数g(x)的单调递增区间为(4，＋∞). (1) 求函数的单调区间时，应先求定义域，在定义域内求单调区间． (2) 函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法． 易错警示：函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”． 变式1　(2025·泉州模拟)函数g(x)＝x|x＋1|＋1的单调递减区间为____. 【解析】 当x≥－1时，g(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1，则g(x)在上单调递减，在上单调递增；当x<－1时，g(x)＝－x(x＋1)＋1＝－x2－x＋1，则g(x)在(－∞，－1]上单调递增，所以g(x)＝的单调递减区间为. 函数单调性的应用 视角1　利用单调性比大小 例 2-1　(2025·邯郸期中)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(3＋x)，且在(－∞，2]上单调递增，若a＝f(π)，b＝f()，c＝f(0)，则(　D　) A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b 【解析】 由已知得函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(x)在(－∞，2]上单调递增，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，所以f(0)<f().又2<π<4，所以f(π)>f(4)＝f(0).因为π－2>2－，所以f(π)<f().综上，f(0)<f(π)<f()，即c<a<b. 视角2　解抽象不等式 例 2-2　(1) 若f(x)是定义在(－∞，0]上的减函数，则不等式f(2x＋3)≤f(x＋1)的解集为____. 【解析】 由f(2x＋3)≤f(x＋1)，可得解得－2≤x≤－. (2) 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，若f(2)＝0，则不等式(x－1)f(x)>0的解集是__(1，2)__． 【解析】 因为定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(2)＝0，所以当x∈(0，2)时，f(x)>0，当x∈(2，＋∞)时，f(x)<0.由(x－1)·f(x)>0，得或解得1<x<2. 视角3　求参数的取值范围 例 2-3　(1) (2025·大庆期末)已知函数f(x)＝若对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有>0，则a的取值范围是(　D　) A．(1，＋∞)　　　　 B．(－∞，2) C．(1，2)　　　　 D．(1，2] 【解析】 因为函数f(x)对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有>0，所以f(x)在R上为增函数．又f(x)＝所以解得1<a≤2. (2) 若函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是__(－∞，－3]__． 【解析】 y＝＝1＋，由题意知解得a≤－3，所以a的取值范围是(－∞，－3]. 利用单调性求参数的范围(或值)的方法 (1) 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； (2) 若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 变式 2-3　设a为非零实数，函数f(x)＝若对任意的x1，x2∈R，x1≠x2，都有<2，则实数a的取值范围为____. 【解析】 不妨设x1>x2，则对任意x1，x2∈R，x1>x2，都有f(x1)－f(x2)<2(x1－x2)，即f(x1)－2x1<f(x2)－2x2，从而函数g(x)＝f(x)－2x＝在R上是减函数，则有解得<a≤－1. 函数的最值(值域) 例3　(1) 函数f(x)＝在[－2，－1]上的值域是____． 【解析】 因为f(x)＝＝＝＋，x∈[－2，－1]，所以4x＋10∈[2，6]，所以∈，所以∈，所以f(x)∈. (2) 若函数f(x)＝－＋x2的定义域是[0，2]，则其值域为____． 【解析】 由题意知函数y＝－，y＝x2均在[0，2]上单调递增，故f(x)在定义域[0，2]上为增函数，所以f(x)min＝f(0)＝－2＋0＝－2，f(x)max＝f(2)＝－＋4＝，即f(x)的值域为. (3) 函数f(x)＝3x－的值域为____. 【解析】 令t＝≥0，则x＝t2－1，可得y＝3(t2－1)－t＝3t2－t－3＝32－≥－，当且仅当t＝时等号成立，所以函数f(x)的值域为. (4) 函数f(x)＝，x∈(0，＋∞)的值域为__∪__． 【解析】 令y＝，整理得yx2－(6y＋1)x＋7y＋1＝0，可知关于x的方程yx2－(6y＋1)·x＋7y＋1＝0有正根．若y＝0，则－x＋1＝0，解得x＝1，符合题意；若y≠0，则x2－x＋7＋＝0，可得或解得<－7或≥2－4且≠0，则－<y<0或y>0或y≤－.综上所述，y>－或y≤－，即函数f(x)＝，x>0的值域为∪. 求函数值域的主要方法 (1) 配方法：对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域问题，可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域(详见第10讲). (2) 单调性法：根据函数的单调性直接求最值． (3) 分离常数法：分子分母都是一次函数的情形，先分离常数，再利用反比例函数的图象求解． (4) 基本不等式法：详见第6讲． (5) 换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形如y＝ax＋b＋的值域，可通过换元将原函数转化为二次型函数． (6) 判别式法：将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用判别式求出y的取值范围或最值． 1．函数f(x)＝3x－10＋的值域为(　A　) A．[5，＋∞)　　　　 B．[6，＋∞) C．[7，＋∞)　　　　 D．[10，＋∞) 【解析】 由x－5≥0，得x≥5，所以f(x)的定义域为[5，＋∞).因为y＝3x－10与y＝在[5，＋∞)上均为增函数，所以f(x)在[5，＋∞)上为增函数，所以f(x)≥f(5)＝5，即函数f(x)的值域为[5，＋∞). 2．(2025·成都期中)已知函数y＝，x∈(m，n]的最小值为8，则实数m的取值范围是(　D　) A．(0，1) B．(1，2) C．(1，2] D．[1，2) 【解析】 y＝＝＝3＋，因为y＝在(m，n]上的最小值为8，所以x∈(m，n]时，3＋≥8，即≥5，解得1<x≤2，所以1≤m<n.易知反比例型函数y＝3＋在(1，＋∞)上单调递减，所以y＝3＋在x＝n处取到的最小值为8，即3＋＝8，解得n＝2，所以1≤m<2. 3．已知函数y＝的值域为[－1，4]，则常数a＋b＝__7或－1__． 【解析】 因为y＝，所以x2y－ax＋y－b＝0，Δ＝a2－4y(y－b)≥0，即4y2－4by－a2≤0.因为函数y＝的值域为[－1，4]，所以y1＝－1，y2＝4是方程4y2－4by－a2＝0的两个根，所以－1＋4＝b，－1×4＝－，解得a＝4，b＝3或a＝－4，b＝3，所以a＋b＝7或－1. 　“对勾”函数与“飘带”函数 “对勾”函数的图象与性质 解析式 y＝ax＋(a>0，b>0) y＝ax＋(a<0，b<0) 图象 定义域 (－∞，0)∪(0，＋∞) 渐近线 y＝ax，x＝0 值域 (－∞，－2]∪[2，＋∞) 奇偶性 奇函数 单调性 在，上是增函数，在，上是减函数 在，上是增函数，在，上是减函数 “飘带”函数的图象与性质 解析式 y＝ax－(a>0，b>0) y＝ax－(a<0，b<0) 图象 定义域 (－∞，0)∪(0，＋∞) 渐近线 y＝ax，x＝0 值域 R 奇偶性 奇函数 单调性 在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数 在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数 例4　(1) (多选)函数f(x)＝|x|－(x∈R)的图象可能是(　ABD　) A B C D 【解析】 当m＝0时，f(x)＝|x|(x≠0)，A有可能；当m＝1时，f(x)＝易得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，根据对勾函数图象，易得f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，D有可能；当m＝－1时，f(x)＝易得f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，B有可能，所以C不可能． (2) (多选)已知函数f(x)＝x＋(a>0)在[2，4]上的最大值比最小值大1，则a的值可以是(　AD　) A．4 B．12 C．6－4 D．6＋4 【解析】 依题意可得f(x)＝x＋(a>0)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．若≤2，则0<a≤4，f(x)在[2，4]上单调递增，所以f(x)max＝f(4)＝4＋，f(x)min＝f(2)＝2＋，所以f(x)max－f(x)min＝4＋－＝2－＝1，解得a＝4.若≥4，则a≥16，f(x)在[2，4]上单调递减，所以f(x)min＝f(4)＝4＋，f(x)max＝f(2)＝2＋，所以f(x)max－f(x)min＝2＋－＝－2＝1，解得a＝12(舍去).若2<<4，则4<a<16，f(x)在[2，]上单调递减，在[，4]上单调递增，所以f(x)min＝f()＝2，f(x)max＝max{f(2)，f(4)}，若4＋>2＋且4<a<16，即4<a<8，则f(x)max＝f(4)＝4＋，所以f(x)max－f(x)min＝4＋－2＝1，解得a＝4(舍去)或a＝36(舍去)；若4＋≤2＋且4<a<16，即8≤a<16，f(x)max＝f(2)＝2＋，所以f(x)max－f(x)min＝2＋－2＝1，解得a＝6＋4或a＝6－4(舍去).综上可得a＝6＋4或a＝4. 随堂内化 1．(2023·北京卷)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　C　) A．f(x)＝－ln x　　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝－　　　　 D．f(x)＝3|x-1| 【解析】 对于A，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；对于C，因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，因为f＝3|-1|＝3＝，f(1)＝3|1-1|＝30＝1，f(2)＝3|2-1|＝3，显然f(x)＝3|x-1|在(0，＋∞)上不单调，故D错误． 2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　A　) A． B．－ C．－2 D．2 【解析】 因为函数y＝－x和y＝在上均为减函数，所以f(x)在上是减函数，所以f(x)max＝f(－2)＝2－＝. 3．(2025·亳州模拟)若函数f(x)＝在[1，＋∞)上的最大值为，则a＝(　D　) A． B．1 C．＋1 D．－1 【解析】 因为f(x)＝＝(x≥1)，所以当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)上单调递减，则f(x)max＝f(1)＝＝，解得a＝－1，与a≤0矛盾，不符合题意．当a>0时，根据对勾函数单调性可知，函数y＝x＋在(0，)上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，若0<a≤1，函数y＝x＋在[1，＋∞)上单调递增，则f(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝＝，解得a＝－1，符合题意；若a>1，函数y＝x＋在(1，)上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，则函数f(x)在(1，)上单调递增，在[，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f()＝＝，解得a＝，与a>1矛盾，不符合题意．综上所述，a＝－1. 4．(2025·福州模拟)已知函数f(x)＝在(m，m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围为(　A　) A．(－∞，－2]∪[1，＋∞) B．[－2，1] C．(－∞，－1]∪[2，＋∞) D．[－1，2] 【解析】 作出函数f(x)＝的大致图象如图所示，要使函数f(x)在(m，m＋1)上单调递增，则m≥1或m＋1≤－1，解得m≥1或m≤－2，所以实数m的取值范围为(－∞，－2]∪[1，＋∞). (第4题答) 配套精练 练习1 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．函数y＝ln (－x2＋2x＋3)的单调递减区间是(　B　) A．(－1，1]　　　B．[1，3) 　　　C．(－∞，1]　　　D．[1，＋∞) 2．函数f(x)＝的单调递减区间是(　B　) A．(4，＋∞)　　　B．(0，4) 　　　C．(4，8)　　　D．(－∞，4) 【解析】 由题意得－x2＋8x>0，解得0<x<8，故f(x)＝的定义域为(0，8).由于y＝在(0，＋∞)上单调递减，由复合函数单调性可知，故只需求t＝－x2＋8x在(0，8)内的单调递增区间，由t＝－x2＋8x的图象开口向下，对称轴为x＝4，可知(0，4)即为所求． 3．设a∈R，已知函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，则a的取值范围是(　C　) A．[－4，1) B．(1，4] C．(1，2] D．(1，＋∞) 【解析】 因为函数y＝f(x)是定义在[－4，4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，所以－4≤a＋1<2a≤4，解得1<a≤2. 4．已知函数f(x)＝则不等式f(2a2－1)>f(3a＋4)的解集为(　D　) A．(－∞，－1)　　　　　　　 B． C．(－∞，－1)∪　　　 D． 【解析】 在函数f(x)＝中，因为y＝＋1在(－∞，0)上单调递减，y＝2－x2在[0，＋∞)上单调递减，且＋1＝2－02，所以函数f(x)＝在定义域R上单调递减．因为f(2a2－1)>f(3a＋4)，所以2a2－1<3a＋4，解得－1<a<，即不等式f(2a2－1)>f(3a＋4)的解集为. 5．函数f(x)＝[x]被称为取整函数，也称高斯函数，其中[x]表示不大于实数x的最大整数．若∀m∈(0，＋∞)，[x]2＋[x]≤，则x的取值范围是(　C　) A．[－1，2]　　　B．(－1，2) 　　　C．[－2，2)　　　D．(－2，2] 【解析】 ∀m∈(0，＋∞)，＝m＋≥2，当且仅当m＝1时取等号．由[x]2＋[x]≤，可得[x]2＋[x]≤2，即([x]＋2)([x]－1)≤0，所以－2≤[x]≤1，故－2≤x<2. 二、 多项选择题 6．下列函数中，在(2，＋∞)上单调的是(　AC　) A．y＝　　　　 B．y＝x＋ C．y＝x2－4x＋1　　　　 D．y＝|x－4| 7．定义min{a，b}＝设f(x)＝min{|x|，x＋1}，则(　BC　) A．f(x)有最大值，无最小值 B．当x≤0时，f(x)的最大值为 C．不等式f(x)≤的解集为 D．f(x)的单调递增区间为(0，1) 【解析】 作函数f(x)＝min{|x|，x＋1}的图象如图所示．对于A，根据图象可得f(x)无最大值，也无最小值，故A错误；对于B，由图可知，当x≤0时，f(x)的最大值为，故B正确；对于C，由|x|≤，解得－≤x≤，结合图象可得不等式f(x)≤的解集为，故C正确；对于D，由图可知，f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，故D错误． (第7题答) 三、 填空题 8．已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为__(－∞，－3]__． 【解析】 因为f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，1－a].因为f(x)在(－∞，4]上是减函数，所以1－a≥4，可得a≤－3，即实数a的取值范围是(－∞，－3]. 9．已知f(x)＝满足：对任意的x1≠x2，<0恒成立，则实数a的取值范围是____． 【解析】 由题意可得函数f(x)在R上单调递减，则有解得≤a<. 10．已知函数f(x)＝若c＝0，则f(1)＝__1__；若f(x)的值域是，则实数c的取值范围是____． 【解析】 当c＝0时，f(x)＝所以f(1)＝1.函数f(x)＝的定义域为[－2，3]，值域为，显然0∉(c，3]，且c≠0，否则f(x)在(c，3]上的值域包含，矛盾，因此0<c<3，函数f(x)在(c，3]上单调递减，在(c，3]上的值域为，于是⊆，则<≤2，从而≤c<3.当－2≤x≤c时，f(x)＝2－≥－，当且仅当x＝－时取等号，又f(－2)＝2，因此f(c)＝c2＋c≤2，解得－2≤c≤1.综上，≤c≤1，即实数c的取值范围是. 四、 解答题 11．已知函数f(x)＝ax＋，其中a，b为常数，且f(1)＝5，f(2)＝4. (1) 求a，b的值； 【解答】 因为f(x)＝ax＋，所以解得 (2) 利用单调性的定义证明函数f(x)在区间(0，2)上是减函数； 【解答】 由(1)知f(x)＝x＋，任取x1，x2∈(0，2)且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝.因为0<x1<x2<2，所以x1－x2<0，0<x1x2<4，x1x2－4<0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，2)上是减函数． (3) 求函数f(x)在区间[1，3]上的最大值和最小值． 【解答】 设2<x1<x2≤3，由(2)知f(x1)－f(x2)＝，因为2<x1<x2≤3，所以x1－x2<0，4<x1x2≤9，x1x2－4>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(2，3]上是增函数．由(2)知f(x)在区间[1，2)上是减函数，所以f(x)min＝f(2)＝4.因为f(1)＝5，f(3)＝，所以f(x)max＝f(1)＝5. 12．已知函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1. (1) 求f(1)和f(9)的值； 【解答】 由题知，f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，可得f(1)＝0.令x＝y＝3，则f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.故f(1)＝0，f(9)＝2. (2) 解关于x的不等式：f(3x＋6)＋f(x)<2. 【解答】 因为f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，且f(9)＝2，f(xy)＝f(x)＋f(y)，所以f(3x＋6)＋f(x)<2等价于f(3x2＋6x)<f(9)，所以解得0<x<1，即该不等式的解集为(0，1). B组　能力挑战(选做) 13．已知函数f(x)＝－，当x∈[m，n](n>m>0)时，f(x)的值域也是[m，n]，则实数a的取值范围是(　D　) A．　　　　 B． C．　　　　 D． 【解析】 函数f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，依题意而n>m>0，因此f(x)＝x在(0，＋∞)上有两个不相等的正实数根，即－＝x⇔＝x＋有两个不相等的正实数根．函数g(x)＝x＋在(0，1]上单调递减，此时g(x)∈[2，＋∞)；g(x)在[1，＋∞)上单调递增，此时g(x)∈[2，＋∞).由方程＝x＋有两个不相等的正实数根，得直线y＝与函数g(x)在(0，＋∞)上的图象有两个交点，则>2，解得0<a<，所以实数a的取值范围是. 14．(2025·鹰潭期中)已知定义在[0，＋∞)上的函数f(x)满足：∀x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，>2.若f(1)＝2 026，则不等式f(x－2 026)>2(x－1 014)的解集为(　C　) A．(2 025，＋∞)　　　　 B．(2 026，＋∞) C．(2 027，＋∞)　　　　 D．(1 014，＋∞) 【解析】 由>2，得>0.令g(x)＝f(x)－2x，则>0，因此函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增．由f(1)＝2 026，得g(1)＝2 024，由f(x－2 026)>2(x－1 014)，得f(x－2 026)－2(x－2 026)>2 024，即g(x－2 026)>g(1)，则x－2 026>1，解得x>2 027，所以原不等式的解集为(2 027，＋∞). 15．已知函数f(x)的定义域为R，对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)f(b)，当x<0时，f(x)>1，且f(0)≠0，若f(－2)＝4，则不等式f(5x2－12x)>16的解集是____． 【解析】 因为对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)，f(－2)＝4，且f(0)≠0，所以f(－4)＝[f(－2)]2＝42＝16，且f(0)＝f(0)f(0)⇒f(0)＝1.任取x1<x2，则x1－x2<0，f(x1－x2)＝f(x1)f(－x2)>1，又f(－x2)＝＝，所以f(x1－x2)＝f(x1)f(－x2)＝f(x1)·>1.若f(x2)<0，当x1<0时，f(x1)>1，则f(x1)·<0，矛盾，所以f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减，所以不等式f(5x2－12x)>16等价于f(5x2－12x)>f(－4)，所以5x2－12x<－4，即(5x－2)(x－2)<0，解得<x<2.所以不等式f(5x2－12x)>16的解集是. 配套精练 练习2 一、 单项选择题 1．(2025·天津期中)若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，<0，则(　D　) A．f(3)<f(1)<f(－2) B．f(1)<f(－2)<f(3) C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(－2)<f(1) 【解析】 因为f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，所以f(－2)＝f(2).因为∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，<0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以f(3)<f(2)<f(1)，即f(3)<f(－2)<f(1). 2．函数f(x)＝的值域为(　C　) A．[3，＋∞) B．(－∞，－5] C．(－∞，－5]∪[3，＋∞) D．[－1，＋∞) 【解析】 f(x)＝x＋－1，设g(x)＝x＋，则f(x)＝g(x)－1.由对勾函数的性质可知：函数g(x)＝x＋是奇函数，当x>0时，g(x)在(0，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，则g(x)在x＝2处取得最小值g(2)＝4，当x→0或x→＋∞时，g(x)→＋∞，所以g(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，所以函数f(x)＝g(x)－1的值域为(－∞，－5]∪[3，＋∞)， 3．已知函数f(x)＝在R上单调，则实数a的取值范围是(　B　) A．　　　　 B．(3，4] C．∪(3，4]　　　　 D．∪(3，4] 【解析】 当a＝0时，f(x)＝f(x)在R上不单调，不满足条件；当a>0时，f(x)在R上只能单调递增，则解得3<a≤4；当a<0时，f(x)在R上只能单调递减，则解得a∈∅.综上，实数a的取值范围是(3，4]. 4．(2025·重庆期末)已知函数f(x)＝x＋(x>0)，记该函数在区间[t－1，t](t>1)上的最大值与最小值的差值为g(t)，则g(t)的最小值为(　D　) A．－2 B．1 C． D．－4 【解析】 易知f(x)＝x＋(x>0)在(0，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．当即1<t≤2时，f(x)在[t－1，t]上单调递减，所以g(t)＝f(t－1)－f(t)＝－1，此时g(t)的最小值为1.当t－1≥2，即t≥3时，f(x)在[t－1，t]上单调递增，所以g(t)＝f(t)－f(t－1)＝1－，此时g(t)的最小值为.当2<t<3时，若t>2且f(t－1)≥f(t)，即2<t≤，则f(x)在[t－1，2]上单调递减，在[2，t]上单调递增，所以g(t)＝f(t－1)－f(2)＝t－5＋，此时g(t)的最小值为－4.若t<3且f(t)>f(t－1)，即<t<3，则f(x)在[t－1，2]上单调递减，在[2，t]上单调递增，所以g(t)＝f(t)－f(2)＝t＋－4，此时g(t)>－4.综上，g(t)的最小值为－4. 二、 多项选择题 5．已知函数f(x)＝x－(a≠0)，则下列说法正确的是(　BCD　) A．当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增 B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．当a＞0时，f(x)的值域为R 【解析】 当a＞0时，f(x)＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，若x＞0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→0时，f(x)→－∞，故f(x)的值域为R，故A错误，D正确．当a＝－4时，f(x)＝x＋为对勾函数，其单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，且当x＞0时，x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时取等号)，当x＜0时，x＋＝－≤－2＝－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故B，C正确． 6．已知f(x)＝下列选项正确的是(　BD　) A．当a＝1时，函数的值域为R B．若函数在R上单调递增，则a的取值范围是[－1，0] C．若f(1＋m2)≥f(2|m|)，则m≥1 D．f(f(0))＝e＋ln 2 【解析】 对于A，当a＝1时，f(x)＝当x<0时，f(x)＝－x2－2x－1＝－(x＋1)2≤0，当x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)，因为函数y＝ex，y＝ln (x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝ex＋ln (x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，则f(x)＝ex＋ln (x＋1)≥f(0)＝1，综上所述，函数的值域为(－∞，0]∪[1，＋∞)，故A错误；对于B，由A知，函数y＝ex＋ln (x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，要使函数f(x)在R上单调递增，则解得－1≤a≤0，则a的取值范围是[－1，0]，故B正确；对于C，因为1＋m2≥1，2|m|≥0恒成立，由A知，函数y＝ex＋ln (x＋1)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(1＋m2)≥f(2|m|)，即为1＋m2≥2|m|，即(|m|－1)2≥0恒成立，所以m∈R，故C错误；对于D，因为f(0)＝1，所以f(f(0))＝f(1)＝e＋ln 2，故D正确． 7．已知函数f(x)满足：对任意的x∈R，都有f(x＋3)＝f(1－x)，且对任意的x1，x2∈[2，＋∞)，<0(x1≠x2)，则下列结论正确的是(　ABD　) A．f(－a2＋a＋1)≤f B． ∀x∈R，f(x)≤f(2) C．f(0)>f(3) D．若f(m)>f(－1)，则－1<m<5 【解析】 因为对任意的x∈R，都有f(x＋3)＝f(1－x)，所以函数f(x)关于直线x＝2对称．因为对任意的x1，x2∈[2，＋∞)，<0(x1≠x2)，所以函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，在(－∞，2)上单调递增，故函数f(x)在x＝2处取最大值，故B正确；f(0)＝f(4)<f(3)，故C错误；因为－a2＋a＋1＝－2＋≤，所以f(－a2＋a＋1)≤f，故A正确；若f(m)>f(－1)，则|m－2|<|2－(－1)|，解得－1<m<5，故D正确． 三、 填空题 8．函数y＝x|x－4|的单调递减区间是__(2，4)__． 【解析】 当x<4时，y＝－x(x－4)＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，所以该函数在(－∞，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减；当x>4时，y＝x(x－4)＝(x－2)2－4，则该函数在(4，＋∞)上单调递增．综上，该函数的单调递减区间为(2，4). 9．函数f(x)＝的值域为____． 【解析】 f(x)＝，即y＝，整理得yx2－2x＋2y－1＝0，当y＝0时，x＝－；当y≠0时，由Δ＝4－4y(2y－1)≥0，得2y2－y－1≤0，解得－≤y≤1，且y≠0.综上，－≤y≤1，则f(x)的值域是. 10．(2025·苏州模拟)已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且f(x)－f(y)＝f，当x>1时，f(x)<0，且f(3)＝－1，则满足不等式f(x)－f(x－1)＋2≤0的x的取值范围为____． 【解析】 f(9)＝f(3)＋f(3)＝－2，任取0<x1<x2，则>1.因为当x>1时，f(x)<0，所以f<0，故f(x2)－f(x1)＝f<0，所以f(x1)>f(x2)，因此f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由不等式f(x)－f(x－1)＋2≤0，可得f≤f(9)，则有解得x∈. 四、 解答题 11．已知函数f(x)＝，且f(1)＝10，f(3)＝6. (1) 求f(x)的解析式； 【解答】 因为函数f(x)＝，且f(1)＝10，f(3)＝6，所以解得所以f(x)＝. (2) 判断f(x)在[3，＋∞)上的单调性并用单调性的定义证明； 【解答】 函数f(x)＝＝x＋在[3，＋∞)上单调递增．证明如下：任取x1，x2∈[3，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－＝(x1－x2)＋－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝(x1－x2)·.因为x1，x2∈[3，＋∞)，x1<x2，所以x1x2>9，x1－x2<0，所以(x1－x2)·<0，所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在[3，＋∞)上单调递增． (3) 若不等式f(m2＋3)>10恒成立，求m的取值范围． 【解答】 令f(x)＝＝10，解得x2－10x＋9＝0，解得x＝9或x＝1，所以f(9)＝10，f(1)＝10.由(2)可知f(x)在[3，＋∞)上单调递增，又因为m2＋3≥3，所以由f(m2＋3)>10，可得f(m2＋3)>f(9)，所以m2＋3>9，解得m<－或m>，所以m的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞). 12．设函数y＝f(x)的定义域为I，一般地，对∀x1，x2∈I(x1≠x2)，若f<，则称y＝f(x)为“凹函数”；若f>，则称y＝f(x)为“凸函数”．对于函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数． (1) 已知函数f(x)＝x＋，x∈[1，3]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域； 【解答】 由题知，函数f(x)的单调递减区间是[1，2]，单调递增区间是[2，3]，所以f(x)min＝f(2)＝2＋2＝4.又f(1)＝1＋4＝5，f(3)＝3＋＝，所以f(1)>f(3)，所以f(x)max＝f(1)＝5，所以f(x)在[1，3]上的值域为[4，5]. (2) 求证：f(x)＝x＋在(0，＋∞)上是凹函数； 【解答】 设x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，则－f＝－－＝＋2－－＝2－＝＝>0，所以>f，所以当x>0时，f(x)＝x＋是凹函数． (3) 已知函数g(x)＝，函数h(x)＝－x－2a，若对任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得h(x2)＝g(x1)，求实数a的值． 【解答】 y＝g(x)＝＝2x＋1＋－8，设t＝2x＋1，x∈[0，1]，1≤t≤3，则y＝t＋－8，t∈[1，3].由已知性质得，当1≤t≤2，即0≤x≤时，g(x)单调递减，当2<t≤3，即<x≤1时，g(x)单调递增．又g(0)＝－3，g＝－4，g(1)＝－，所以g(x)的值域为[－4，－3].因为h(x)＝－x－2a在[0，1]上为减函数，所以h(x)∈[－1－2a，－2a].根据题意，g(x)的值域为h(x)的值域的子集，从而有所以a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $