第2章 第7讲 函数的概念及其表示方法（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学讲义聚焦函数概念及其表示方法，涵盖函数三要素、定义域求法、解析式确定、分段函数应用等高考核心考点，按知识梳理-激活思维-聚焦知识-题型突破的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统构建知识网络，突破理解难点。 资料以教材经典题改编为基础，突出数学思维培养，如用“剥洋葱原理”解析定义域求法，通过换元法、方程思想突破解析式确定，设置随堂内化与A/B组分层练习。注重数学语言表达，助力学生在有限时间内提升解题能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第二章　基本初等函数 第7讲　函数的概念及其表示方法 知识梳理　体系构建 激活思维 1．下列图象表示函数关系y＝f(x)的是(　　) A B C D 2．(教材经典题改编)(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝x－1与g(x)＝－1 C．f(x)＝x2与g(x)＝()4 D．f(x)＝x2与g(x)＝ 3．(教材经典题改编)函数y＝的定义域为____. 4．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝则f(1)＋f(－3)＝____． 5．(教材经典题改编)给定函数f(x)＝－x＋1，g(x)＝(x－1)2，x∈R，m(x)＝min{f(x)，g(x)}，则m(x)＝____． 聚焦知识 1．函数的概念及表示 概念 设A，B是两个____的实数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有____的元素y和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中将所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的____，将所有的输出值y组成的集合叫做函数的____ 三要素 (1) 函数的三要素：____、____、____. (2) 如果两个函数的____相同，并且____完全一致，那么这两个函数为同一个函数 表示 方法 (1) 解析法　(2) 列表法　(3) 图象法 注意： (1) 直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． (2) 在函数的定义中，有两个非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 2．定义域的求法 (1) 分母不为0；偶次根式被开方数非负； 零指数幂底数不为0；实际问题有意义；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. (2) 复合函数的定义域：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同． 题型突破　能力进阶 举题说法 对函数概念的理解 例1　(1) (2025·泉州期中)托马斯说：“函数是近代数学思想之花．”下列对应关系中，满足从集合M＝{－2，0，2}到集合N＝{0，2}的一个函数是(　　) A．y＝x B．y＝|x| C．y＝ D．y＝x2 (2) 已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是(　　) A B C D 变式1　(2026·潍坊期初)已知集合A＝，B＝{－1，0，1，2，4}，若x∈A，y∈B，则下列对应关系为A上的一个函数的是(　　) A．y＝　　　　 B．y＝log2x C．y＝x2　　　　 D．y＝2x 函数的定义域 例2　(1) 函数f(x)＝＋(x－1)0的定义域为____． (2) 若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． (3) 已知函数f(x＋1)的定义域为(－5，0)，则f(2x－1)的定义域为(　　) A．(－4，1)　　　B．　　　C．(－9，1)　　　D． 函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是使解析式有意义的实数x的取值集合．求定义域的方法(剥洋葱原理)：对解析式中限制x的条件，逐层分析，再取交集(同时成立)，最后转化成解不等式(组)来确定定义域． 变式2　(1) 若函数f(x)＝的定义域为M，则M＝(　　) A．[2，＋∞)　　　　 B．(3，＋∞) C．[2，3)　　　　 D．[2，3)∪(3，＋∞) (2) 若函数f(x)的定义域为[－2，4]，则y＝的定义域为(　　) A．(1，8]　　　　 B．[－4，1)∪(1，8] C．(1，2]　　　　 D．[－1，1)∪(1，2] (3) (2025·许昌模拟)若函数f(x)＝lg (mx2＋mx＋1)的定义域为R，则实数m的取值范围是____． 函数的解析式 例3　(1) 已知f＝lg x，求f(x). (2) 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x). (3) 已知f(x)＋2f(－x)＝3x2－x，求f(x). 函数解析式的求法 (1) 凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后用x替代g(x)，便得f(x)的表达式． (2) 待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法． (3) 换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，即令t＝g(x)，反解出x，代入原式可得f(t)，改写即得f(x)，此时要注意新元的取值范围． (4) 方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). (5) 赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出函数解析式． 1．已知二次函数f(x)满足f(2x)＋f(x－1)＝10x2－7x＋5，求f(f(1)). 2．已知f(x)＋2f＝3x－2，求f(x). 3．已知f＝，那么f(x)的解析式为____． 分段函数 例4　(1) 已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝____． (2) (2025·南昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＝5－a，则实数a的值为(　　) A．或2 B．或1 C．1 D． (1) 根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2) 已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或取值范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 变式4　已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝(　　) A．0或1　　　　 B．－1或1 C．0或－2　　　　 D．－2或－1 随堂内化 1．(2025·荆州期中)下列选项中表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝x0与g(x)＝1 B．f(x)＝x与g(x)＝ C．f(x)＝与g(x)＝x－2 027 D．f(x)＝与g(x)＝|x| 2．(2025·鞍山期末)已知f＝x2＋＋4，则f(x)＝(　　) A．x2＋2　　　　 B．x2－2 C．x＋(|x|≥2)　　　　 D．x2＋2(|x|≥2) 3．已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝的定义域是___． 4．已知f(x)＝若f(a)<3，则实数a的取值范围是____． 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．已知集合A＝{－1，1，2}，B＝，若x∈A，y∈B，则下列对应关系为A上的一个函数的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝－ C．y＝x2＋1 D．y＝2x 2．(2026·福州质检)已知函数f(x)＝则f(2 025)＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 3．若函数f(2x－1)的定义域为[－3，1]，则y＝的定义域为(　　) A． B． C． D． 4．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围为(　　) A．(－3，－1)　　　　 B．[－3，－1] C．(－3，1]　　　　 D．[－3，1) 二、 多项选择题 5．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是(　　) A．f(x)＝·，g(x)＝ B．y＝，s＝()2 C．y＝，m＝n＋1 D．y＝|x|，u＝ 6．设f(x)＝，则下列结论一定正确的是(　　) A．f(－x)＝f(x)　　　　 B．f＝ C．f＝－f(x)　　　　 D．f(2x)＝2f(x) 三、 填空题 7．已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域为____． 8．已知函数f＝x2＋，则f＝____；若函数g(x)满足2g(x)＋g＝x，则g(2)＝____. 9．已知函数f(x)＝. (1) 若f(x)的定义域为[－1，2]，则实数m的值为____； (2) 若f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围为___． 四、 解答题 10．(1) 已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式； (2) 已知f(＋2)＝x＋4，求函数f(x)的解析式； (3) 已知函数f(x)满足f(2－x)＋2f＝x，求函数f(x)的解析式． 11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝3x2＋x＋3. (1) 求函数f(x)的解析式； (2) 解关于x的不等式：f(x)≤－(t＋3)x＋(1－2t)； (3) 若不等式f(x)≥2ax＋3在[1，3]上恒成立，求实数a的取值范围． B组　滚动小练 12．(2026·青岛期初)设p：x≥a，q：x2＋3x－10>0，且p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，2)　　　B．(2，＋∞) 　　　C．[2，＋∞)　　　D．(2，5] 13．已知a>0，b>0，若a＋＝1，则＋的最小值为(　　) A． B．2 C．4 D．4 14．解下列关于x的不等式： (1) x2＋ax＋1<0； (2) ax2－x＋1－a≤0(a≥0). 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　基本初等函数 第7讲　函数的概念及其表示方法 知识梳理　体系构建 激活思维 1．下列图象表示函数关系y＝f(x)的是(　D　) A B C D 2．(教材经典题改编)(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　AD　) A．f(x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝x－1与g(x)＝－1 C．f(x)＝x2与g(x)＝()4 D．f(x)＝x2与g(x)＝ 3．(教材经典题改编)函数y＝的定义域为__(－∞，1)∪(1，4]__. 4．(教材经典题改编)已知函数f(x)＝则f(1)＋f(－3)＝__26__． 【解析】 由题意得f(1)＝5，f(－3)＝21，所以f(1)＋f(－3)＝26. 5．(教材经典题改编)给定函数f(x)＝－x＋1，g(x)＝(x－1)2，x∈R，m(x)＝min{f(x)，g(x)}，则m(x)＝____． 【解析】 由－x＋1≤(x－1)2，得x2－x≥0，解得x≥1或x≤0.又m(x)＝min{f(x)，g(x)}，所以m(x)＝ 聚焦知识 1．函数的概念及表示 概念 设A，B是两个__非空__的实数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有__唯一__的元素y和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中将所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的__定义域__，将所有的输出值y组成的集合叫做函数的__值域__ 三要素 (1) 函数的三要素：__定义域__、__对应关系__、__值域__. (2) 如果两个函数的__定义域__相同，并且__对应关系__完全一致，那么这两个函数为同一个函数 表示 方法 (1) 解析法　(2) 列表法　(3) 图象法 注意： (1) 直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． (2) 在函数的定义中，有两个非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 2．定义域的求法 (1) 分母不为0；偶次根式被开方数非负； 零指数幂底数不为0；实际问题有意义；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. (2) 复合函数的定义域：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同． 题型突破　能力进阶 举题说法 对函数概念的理解 例1　(1) (2025·泉州期中)托马斯说：“函数是近代数学思想之花．”下列对应关系中，满足从集合M＝{－2，0，2}到集合N＝{0，2}的一个函数是(　B　) A．y＝x B．y＝|x| C．y＝ D．y＝x2 【解析】 对于A，当x＝－2时，y＝－2∉N，A不是；对于B，集合M中的每个值，按y＝|x|，在集合N中都有唯一值与之对应，B是；对于C，集合N中没有元素与集合M中的0，－2对应，C不是；对于D，当x＝±2时，y＝4∉N，D不是． (2) 已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是(　D　) A B C D 【解析】 对于A，存在点使一个x与两个y对应，不符合；对于B，当2<x≤4时，没有与之对应的y，不符合；对于C，y的范围超出了集合B的范围，不符合；对于D，满足函数关系的条件，故D正确． 变式1　(2026·潍坊期初)已知集合A＝，B＝{－1，0，1，2，4}，若x∈A，y∈B，则下列对应关系为A上的一个函数的是(　B　) A．y＝　　　　 B．y＝log2x C．y＝x2　　　　 D．y＝2x 【解析】 对于A，当x＝1时，y无意义，故A错误；对于B，当x＝时，y＝log2＝－1，－1∈B，当x＝1时，y＝log21＝0，0∈B，当x＝2时，y＝log22＝1，1∈B，故B正确；对于C，当x＝时，y＝2＝，∉B，故C错误；对于D，当x＝时，y＝2＝，∉B，故D错误． 函数的定义域 例2　(1) 函数f(x)＝＋(x－1)0的定义域为__∪(1，＋∞)__． 【解析】 要使函数f(x)＝＋(x－1)0有意义，则解得x>且x≠1，因此函数f(x)的定义域为∪(1，＋∞). (2) 若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是(　D　) A． B． C． D． 【解析】 由题意知，ax2－4ax＋2＞0的解集为R.当a＝0时，2＞0恒成立，满足题意；当a≠0时，则有解得0<a<.综上，实数a的取值范围是. (3) 已知函数f(x＋1)的定义域为(－5，0)，则f(2x－1)的定义域为(　B　) A．(－4，1)　　　B．　　　C．(－9，1)　　　D． 【解析】 因为函数f(x＋1)的定义域是(－5，0)，设t＝x＋1，所以t∈(－4，1)，则f(t)的定义域为(－4，1)，所以2x－1∈(－4，1)，解得x∈. 函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是使解析式有意义的实数x的取值集合．求定义域的方法(剥洋葱原理)：对解析式中限制x的条件，逐层分析，再取交集(同时成立)，最后转化成解不等式(组)来确定定义域． 变式2　(1) 若函数f(x)＝的定义域为M，则M＝(　D　) A．[2，＋∞)　　　　 B．(3，＋∞) C．[2，3)　　　　 D．[2，3)∪(3，＋∞) 【解析】 由已知得解得x≥2且x≠±3，即M＝[2，3)∪(3，＋∞). (2) 若函数f(x)的定义域为[－2，4]，则y＝的定义域为(　D　) A．(1，8]　　　　 B．[－4，1)∪(1，8] C．(1，2]　　　　 D．[－1，1)∪(1，2] 【解析】 由题意得解得－1≤x<1或1<x≤2. (3) (2025·许昌模拟)若函数f(x)＝lg (mx2＋mx＋1)的定义域为R，则实数m的取值范围是__[0，4)__． 【解析】 因为函数f(x)＝lg (mx2＋mx＋1)的定义域为R，所以对任意的x∈R，mx2＋mx＋1>0恒成立．当m＝0时，有1>0，符合题意；当m≠0时，则有解得0<m<4.综上所述，m的取值范围是[0，4). 函数的解析式 例3　(1) 已知f＝lg x，求f(x). 【解答】 (换元法)令＋1＝t(t>1)，则x＝，所以f(t)＝lg ，所以f(x)＝lg (x>1). (2) 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x). 【解答】 (待定系数法)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，所以a＝2，b＝7，所以f(x)＝2x＋7. (3) 已知f(x)＋2f(－x)＝3x2－x，求f(x). 【解答】 由f(x)＋2f(－x)＝3x2－x，得f(－x)＋2f(x)＝3x2＋x，所以解得f(x)＝x2＋x. 函数解析式的求法 (1) 凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后用x替代g(x)，便得f(x)的表达式． (2) 待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法． (3) 换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，即令t＝g(x)，反解出x，代入原式可得f(t)，改写即得f(x)，此时要注意新元的取值范围． (4) 方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). (5) 赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出函数解析式． 1．已知二次函数f(x)满足f(2x)＋f(x－1)＝10x2－7x＋5，求f(f(1)). 【解答】 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因为f(2x)＋f(x－1)＝10x2－7x＋5，所以4ax2＋2bx＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝5ax2＋(3b－2a)x＋a－b＋2c＝10x2－7x＋5，所以解得所以f(x)＝2x2－x＋1，所以f(1)＝2－1＋1＝2，所以f(f(1))＝f(2)＝2×4－2＋1＝7. 2．已知f(x)＋2f＝3x－2，求f(x). 【解答】 由题意得由①－2×②，得－3f(x)＝3x－2－＋4＝3x－＋2，所以f(x)＝－x－，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞). 3．已知f＝，那么f(x)的解析式为__f(x)＝x2－x＋1(x≠1)__． 【解析】 f＝1＋＋，令1＋＝t，t≠1，则＝t－1，所以f(t)＝t＋(t－1)2＝t2－t＋1(t≠1)，即f(x)＝x2－x＋1(x≠1). 分段函数 例4　(1) 已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝__－2__． 【解析】 因为f(x)＝所以f(f(－2))＝f(3-2)＝log33-2＝－2. (2) (2025·南昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＝5－a，则实数a的值为(　D　) A．或2 B．或1 C．1 D． 【解析】 当a>1时，由f(a)＝5－a，得2a＋2＝5－a⇒2a＋a＝3，解得a＝1，不合题意，舍去；当a≤1时，由f(a)＝5－a，得4a＋3＝5－a⇒5a＝2，解得a＝.综上，实数a的值为. (1) 根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2) 已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或取值范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 变式4　已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a＝(　D　) A．0或1　　　　 B．－1或1 C．0或－2　　　　 D．－2或－1 【解析】 令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1.当t＝0，即f(a)＝0时，显然a≤0，因此a＋2＝0，解得a＝－2；当t＝1，即f(a)＝1时，显然a≤0，因此a＋2＝1，解得a＝－1.综上所述，a＝－2或－1. 随堂内化 1．(2025·荆州期中)下列选项中表示同一函数的是(　D　) A．f(x)＝x0与g(x)＝1 B．f(x)＝x与g(x)＝ C．f(x)＝与g(x)＝x－2 027 D．f(x)＝与g(x)＝|x| 2．(2025·鞍山期末)已知f＝x2＋＋4，则f(x)＝(　D　) A．x2＋2　　　　 B．x2－2 C．x＋(|x|≥2)　　　　 D．x2＋2(|x|≥2) 【解析】 因为f＝x2＋＋4＝2＋2，且x＋≥2＝2(x>0)或x＋≤－2＝－2(x<0)，当且仅当x＝即x＝±1时取等号，所以f(x)＝x2＋2(|x|≥2). 3．已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝的定义域是__∪(－2，0]__． 【解析】 由题意得－8≤2x＋1≤1且x＋2≠0，解得－≤x≤0且x≠－2，故函数g(x)的定义域是∪(－2，0]. 4．已知f(x)＝若f(a)<3，则实数a的取值范围是__(－2，3)__． 【解析】 当a≥0时，由a2－2a<3，解得0≤a<3；当a<0时，由－2a－1<3，解得－2<a<0.综上，a的取值范围是(－2，3). 配套精练 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．已知集合A＝{－1，1，2}，B＝，若x∈A，y∈B，则下列对应关系为A上的一个函数的是(　D　) A．y＝x＋1 B．y＝－ C．y＝x2＋1 D．y＝2x 2．(2026·福州质检)已知函数f(x)＝则f(2 025)＝(　D　) A．－1 B．0 C． D．1 3．若函数f(2x－1)的定义域为[－3，1]，则y＝的定义域为(　D　) A． B． C． D． 【解析】 f(2x－1)的定义域为[－3，1]，即x∈[－3，1]，所以2x－1∈[－7，1].对于f(3－4x)，有－7≤3－4x≤1，所以≤x≤，又中5－2x>0，所以x<.综上，y＝的定义域为. 4．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围为(　C　) A．(－3，－1)　　　　 B．[－3，－1] C．(－3，1]　　　　 D．[－3，1) 【解析】 由题意可知，关于x的方程(a－1)x2＋(a－1)x－1＝0无解．①当a－1＝0，即a＝1时，－1＝0不成立，分母不为零，所以a＝1符合题意；②当a－1≠0，即a≠1时，则有Δ＝(a－1)2＋4(a－1)<0，解得－3<a<1.综上，实数a的取值范围为(－3，1]. 二、 多项选择题 5．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是(　AD　) A．f(x)＝·，g(x)＝ B．y＝，s＝()2 C．y＝，m＝n＋1 D．y＝|x|，u＝ 【解析】 对于A，由解得－1≤x≤1，故f(x)＝·的定义域为[－1，1]，由1－x2≥0，解得－1≤x≤1，故g(x)＝的定义域为[－1，1]，且f(x)＝·＝，故为同一个函数，A正确；对于B，函数s＝()2的定义域为[0，＋∞)，y＝的定义域为R，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误；对于C，函数y＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，m＝n＋1的定义域为R，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故C错误；对于D，函数y＝|x|的定义域为R，u＝的定义域为R，且u＝＝|v|，所以它们是同一个函数，故D正确． 6．设f(x)＝，则下列结论一定正确的是(　AC　) A．f(－x)＝f(x)　　　　 B．f＝ C．f＝－f(x)　　　　 D．f(2x)＝2f(x) 【解析】 对于A，用－x替代x，则f(－x)＝＝＝f(x)，故A正确；对于B，用替代x，则f＝＝·＝＝－＝－f(x)≠，故B错误；对于C，由B中分析知，f＝－f(x)，故C正确；对于D，用2x替代x，则f(2x)＝＝，因为2f(x)＝，所以f(2x)≠2f(x)，故D错误． 三、 填空题 7．已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域为__[－2，－1)__． 【解析】 因为f(x)的定义域为(－4，－2)，所以要使g(x)＝f(x－1)＋有意义，则解得－2≤x<－1，所以函数g(x)的定义域为[－2，－1). 8．已知函数f＝x2＋，则f＝____；若函数g(x)满足2g(x)＋g＝x，则g(2)＝____. 【解析】 因为f＝x2＋＝＋2，所以f(x)＝x2＋2，f＝＋2＝.由已知可得解得g(x)＝，其中x≠0，因此，g(2)＝. 9．已知函数f(x)＝. (1) 若f(x)的定义域为[－1，2]，则实数m的值为__2__； 【解析】 由于f(x)＝的定义域需要满足(m2－m－6)x2＋(m＋2)x＋8≥0，结合f(x)的定义域为[－1，2]，可知x＝－1和x＝2是一元二次方程(m2－m－6)x2＋(m＋2)x＋8＝0的两个不相等实根，因此解得m＝2. (2) 若f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围为__(－∞，－2]∪__． 【解析】 若f(x)的定义域为R，则(m2－m－6)x2＋(m＋2)x＋8≥0对任意的x∈R均成立，当m＝3时，m2－m－6＝0，此时不等式为5x＋8≥0，其解不是R，不符合题意，舍去；当m＝－2时，m2－m－6＝0，此时不等式为8≥0，其解是R，符合题意；当m≠3且m≠－2时，m2－m－6≠0，则解得m≥或m<－2.综上，m≥或m≤－2. 四、 解答题 10．(1) 已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式； 【解答】 因为f(x)为一次函数，可设f(x)＝kx＋b，所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋bk＋b.因为f(f(x))＝9x＋4，所以解得或综上，f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2. (2) 已知f(＋2)＝x＋4，求函数f(x)的解析式； 【解答】 设t＝＋2，则t≥2，＝t－2，即x＝(t－2)2，所以f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4，所以f(x)＝x2－4(x≥2). (3) 已知函数f(x)满足f(2－x)＋2f＝x，求函数f(x)的解析式． 【解答】 由f(2－x)＋2f＝x①，用－代替x，得f＋2f(2－x)＝－②，①－②×2得－3f(2－x)＝x＋，即f(2－x)＝－，x≠0.令2－x＝t，则2－t＝x，t≠2，则f(t)＝－＝，t≠2，所以f(x)＝，x≠2. 11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝3x2＋x＋3. (1) 求函数f(x)的解析式； 【解答】 由f(x)＋2f(－x)＝3x2＋x＋3，得f(－x)＋2f(x)＝3x2－x＋3，两式联立解得f(x)＝x2－x＋1. (2) 解关于x的不等式：f(x)≤－(t＋3)x＋(1－2t)； 【解答】 由(1)知f(x)＝x2－x＋1，则不等式f(x)≤－(t＋3)·x＋(1－2t)，即为x2－x＋1≤－(t＋3)x＋(1－2t)，整理得x2＋(t＋2)x＋2t≤0，即(x＋2)(x＋t)≤0.当t＝2时，不等式为(x＋2)2≤0，解得x＝－2；当t>2时，不等式的解为－t≤x≤－2；当t<2时，不等式的解为－2≤x≤－t.综上所述，当t<2时，不等式的解集为[－2，－t]；当t＝2时，不等式的解集为{－2}；当t>2时，不等式的解集为[－t，－2]. (3) 若不等式f(x)≥2ax＋3在[1，3]上恒成立，求实数a的取值范围． 【解答】 由(1)知，f(x)＝x2－x＋1，由不等式f(x)≥2ax＋3在[1，3]上恒成立，知x2－x＋1≥2ax＋3在[1，3]上恒成立，即x－≥2a＋1在[1，3]上恒成立，即min≥2a＋1.因为函数y＝x，y＝－在[1，3]上单调递增，所以函数y＝x－在[1，3]上单调递增，所以x＝1时，min＝－1，即2a＋1≤－1，解得a≤－1，所以实数a的取值范围为(－∞，－1]. B组　滚动小练 12．(2026·青岛期初)设p：x≥a，q：x2＋3x－10>0，且p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　B　) A．(0，2)　　　B．(2，＋∞) 　　　C．[2，＋∞)　　　D．(2，5] 【解析】 q：由x2＋3x－10>0，得x<－5或x>2，设B＝(－∞，－5)∪(2，＋∞).设满足p：x≥a的集合为A，则A＝[a，＋∞).由p是q成立的充分不必要条件，知集合A是集合B的真子集，所以a>2，即a的取值范围是(2，＋∞). 13．已知a>0，b>0，若a＋＝1，则＋的最小值为(　C　) A． B．2 C．4 D．4 【解析】 因为a＋＝1，a>0，b>0，所以＋＝＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当即a＝，b＝4时等号成立，所以＋的最小值为4. 14．解下列关于x的不等式： (1) x2＋ax＋1<0； 【解答】 对应函数y＝x2＋ax＋1的图象开口向上，且Δ＝a2－4，当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，x2＋ax＋1≥0恒成立，原不等式的解集为∅；当Δ＝a2－4>0，即a<－2或a>2时，由x2＋ax＋1＝0，可得x＝，所以原不等式的解集为.综上，若－2≤a≤2，则不等式的解集为∅；若a<－2或a>2，则不等式的解集为. (2) ax2－x＋1－a≤0(a≥0). 【解答】 不等式对应函数f(x)＝ax2－x＋1－a(a≥0)，当a＝0时，由f(x)＝－x＋1≤0，得x≥1.当a>0时，由f(x)＝0，得x＝1或.①当＝1，即a＝时，由f(x)≤0，得x＝1；②当<1，即a>时，由f(x)≤0，得≤x≤1；③当>1，即0<a<时，由f(x)≤0，得1≤x≤.综上，当a＝0时，不等式的解集为[1，＋∞)；当0<a<时，不等式的解集为；当a＝时，不等式的解集为{x|x＝1}；当a>时，不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $