第1章 第5讲 一元二次不等式（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习讲义聚焦一元二次不等式核心考点，涵盖解集判定、恒成立问题、分式与绝对值不等式转化及含参不等式分类讨论，通过知识梳理构建“三个二次”内在联系，结合激活思维、题型突破、真题训练环节，形成从基础到综合的系统复习路径。 讲义突出“三个二次”关系深度剖析与恒成立问题多策略解法，如例2结合二次函数图象与方程根的关系培养数学思维，设置分层练习与即时反馈，助力学生高效突破难点，为教师提供清晰复习节奏指导，提升学生应考能力。

第5讲　一元二次不等式 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)不等式3x2－7x≤10的解集为____． 2．(教材经典题改编)不等式－3x2＋5x－4>0的解集为____． 3．已知不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|3<x<4}，则a＝____，b＝____． 4．(教材经典题改编)若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为___． 5．(教材经典题改编)如图，在长为8 m、宽为 6 m 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度的取值范围是____(单位：m)． (第5题) 聚焦知识 1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集 设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解集的各种情况如下表： Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实数根x1＝x2＝－ 无实 数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ____ {x|x≠－} ____ ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ____ ____ ____ 2．与一元二次不等式有关的恒成立问题 (1) 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R的条件是 (2) 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为R的条件是 注意：对于不等式ax2＋bx＋c>0(<0)，求解时不要忘记a＝0时的情形． 3．分式不等式与整式不等式 (1) >0(<0)⇔____； (2) ≥0(≤0)⇔____． 4．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为____，|x|<a(a>0)的解集为____． 题型突破　能力进阶 举题说法 解不等式 视角1　不含参的不等式 例 1-1　解下列关于x的不等式． (1) －6x2－5x＋1<0； (2) ≤1； (3) <0. (1) 可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集． (2) 分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组． (3) 解高次不等式，先分解成若干个因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正，然后将每一个一次因式的根标在数轴上，最后从最大根的右上方依次通过每一点画曲线，并注意奇穿过偶弹回． 视角2　含参的一元二次不等式 例 1-2　解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R). 　　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1) 二次项中若含有参数应讨论是等于0、小于0还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2) 当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3) 确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式． 变式1　解下列关于x的不等式： (1) x2－(3m＋1)x＋2m2＋3m－2<0. (2) ax2－x＋a<0(a<0). 三个二次之间的关系 例2　(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪ 　　一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系： (1) 若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系． (2) 若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围． 1．已知不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1或x>3}，则下列结论正确的是(　　) A．a>0 B．c<0 C．a＋b＋c>0 D．cx2－bx＋a<0的解集为 2．(2025·武汉期中)已知关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0恰有四个整数解，则实数a的取值范围是____． 3．已知二次函数y＝x2－2ax＋b2的最小值为0，若关于x的不等式x2－2ax＋b2＜c的解集为(t，t＋4)，则实数c的值为____． 一元二次不等式恒成立问题 例3　(1) 如果关于x的不等式ax2－ax＋1≥0恒成立，那么实数a的取值范围为____． (2) 若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则实数a的最小值为____． (3) (变更主元)若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则实数x的取值范围为____． (1) 解决恒成立问题时，可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数． (2) 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方． (3) 解决不等式在给定区间上的恒成立问题，也可先求出相应函数在这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题． 变式3　设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1) 若对一切实数x，f(x)<0恒成立，则m的取值范围是____； (2) 若当x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5恒成立，则m的取值范围是____． 随堂内化 1．(2025·新高考Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1}　　　　 B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1}　　　　 D．{x|x>1} 2．(2025·南昌模拟)若关于x的不等式x2－4x>a2－5a在区间[0，4]内有解，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，5) B．(1，4) C．(－∞，0)∪(5，＋∞) D．(－∞，1)∪(4，＋∞) 3．(多选)若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则下列结论成立的是(　　) A．a<0 B．a2＋b2＝5 C．关于x的一元二次不等式bx2＋ax－1≥0的解集为∅ D．函数f(x)＝xa为其定义域上的减函数 4．已知关于x的不等式x2－2x<0的解集中恰有1个整数，则正整数a＝____． 配套精练 一、 单项选择题 1．不等式≥0的解集为(　　) A．[－3，1)∪[2，＋∞) B．(－∞，－3]∪(1，2] C．[－3，1)∪(1，2] D．(－∞，－3]∪[2，＋∞) 2．(2025·金华模拟)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)，则对函数f(x)＝ax2＋bx＋c，下列不等式成立的是(　　) A．f(4)>f(0)>f(1)　　　　 B．f(4)>f(1)>f(0) C．f(0)>f(1)>f(4)　　　　 D．f(0)>f(4)>f(1) 3．(2025·广东模拟)若对任意的x∈[－1，1]，不等式x2－x＋≥m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．　　　　 B． C．　　　　 D． 4．已知二次不等式x2－bx＋2b－3<0的解集为(x1，x2)，＋<2，则b的取值范围是(　　) A． B．∪(6，＋∞) C．∪(2，＋∞) D．(2，6) 5．若关于x的不等式x2－(m＋3)x＋3m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为(　　) A．(6，7]　　　　 B．[－1，0) C．[－1，0)∪(6，7]　　　　 D．[－1，7] 二、 多项选择题 6．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　　) A．a>0　　　　 B．c<0 C．a＋b>0 D．关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为(－3，－1) 7．已知ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，3)，则下列说法正确的是(　　) A．a>0 B．不等式cx2＋bx＋a<0的解集是 C．＋b的最小值是 D．当c＝2时，f(x)＝3ax2＋6bx，x∈[n1，n2]的值域是[－3，1]，则n2－n1的取值范围是[2，4] 三、 填空题 8．不等式>x的解集是____． 9．已知f(x)＝x2－x＋1，当x∈[－1，2]时，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围为____. 10．某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和汽车刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s＝0.21v＋0.006v2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于39 m，则这辆汽车刹车前的车速至少为____km/h. 四、 解答题 11．解关于x的不等式：ax2＋2x＋1>0(a∈R). 12．设函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2. (1) 若不等式f(x)≥－2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2) 解关于x的不等式：f(x)<a－1(a∈R). 13．已知关于x的不等式kx2－(2k＋1)x＋2<0的解集为A，其中k∈R. (1) 若A＝{x|1<x<2}，求k的值． (2) 求不等式的解集A. (3) 是否存在实数k，使上述不等式的解集A中恰有3个整数？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲　一元二次不等式 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)不等式3x2－7x≤10的解集为____． 2．(教材经典题改编)不等式－3x2＋5x－4>0的解集为__∅__． 3．已知不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|3<x<4}，则a＝__－__，b＝____． 4．(教材经典题改编)若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为__(－3，0]__． 【解析】 当k＝0时，满足题意；当k≠0时，解得－3<k<0.综上，－3<k≤0. 5．(教材经典题改编)如图，在长为8 m、宽为 6 m 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度的取值范围是__[1，3)__(单位：m)． (第5题) 【解析】 设花卉带的宽度为 x m，则草坪面积为(8－2x)(6－2x).由题意得(8－2x)(6－2x)≤24，即x2－7x＋6≤0，解得1≤x≤6.又因为所以x<3.综上，x∈[1，3). 聚焦知识 1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集 设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为x1，x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解集的各种情况如下表： Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实数根x1＝x2＝－ 无实 数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 __{x|x<x1或x>x2}__ {x|x≠－} __R__ ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 __{x|x1<x<x2}__ __∅__ __∅__ 2．与一元二次不等式有关的恒成立问题 (1) 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R的条件是 (2) 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为R的条件是 注意：对于不等式ax2＋bx＋c>0(<0)，求解时不要忘记a＝0时的情形． 3．分式不等式与整式不等式 (1) >0(<0)⇔__f(x)g(x)>0(<0)__； (2) ≥0(≤0)⇔__f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0__． 4．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为__(－∞，－a)∪(a，＋∞)__，|x|<a(a>0)的解集为__(－a，a)__． 题型突破　能力进阶 举题说法 解不等式 视角1　不含参的不等式 例 1-1　解下列关于x的不等式． (1) －6x2－5x＋1<0； 【解答】 原不等式转化为6x2＋5x－1>0，因为方程6x2＋5x－1＝0的解为x1＝，x2＝－1，所以根据二次函数y＝6x2＋5x－1的图象可得原不等式的解集为. (2) ≤1； 【解答】 由不等式≤1，可得－1＝≤0，结合分式不等式的解法，可得－2<x≤3，即不等式≤1的解集为(－2，3]. (3) <0. 【解答】 由<0，得<0，等价于(x－1)(x－2)(x－3)(x＋1)<0，如图，由穿根法可得不等式的解集为(－1，1)∪(2，3). (例1-1(3)答) (1) 可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集． (2) 分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组． (3) 解高次不等式，先分解成若干个因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正，然后将每一个一次因式的根标在数轴上，最后从最大根的右上方依次通过每一点画曲线，并注意奇穿过偶弹回． 视角2　含参的一元二次不等式 例 1-2　解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R). 【解答】 若a＝0，则原不等式转化为－x＋1<0，解得x>1.若a<0，则原不等式转化为(x－1)>0，此时对应方程(x－1)＝0的两个根为x1＝，x2＝1，所以原不等式的解集为.若a>0，则原不等式转化为(x－1)<0，此时对应方程(x－1)＝0的两个根为x1＝，x2＝1.当＝1，即a＝1时，原不等式的解集为∅；当>1，即0<a<1时，原不等式的解集为；当<1，即a>1时，原不等式的解集为.综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当a<0时，原不等式的解集为；当0<a<1时，原不等式的解集为；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为. 　　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1) 二次项中若含有参数应讨论是等于0、小于0还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2) 当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3) 确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式． 变式1　解下列关于x的不等式： (1) x2－(3m＋1)x＋2m2＋3m－2<0. 【解答】 由题意得x2－(3m＋1)x＋2m2＋3m－2＝x2－(3m＋1)x＋(2m－1)(m＋2)<0，得(x－2m＋1)(x－m－2)<0.当2m－1<m＋2，即m<3时，由(x－2m＋1)(x－m－2)<0，得2m－1<x<m＋2；当2m－1＝m＋2，即m＝3时，(x－2m＋1)(x－m－2)<0无解；当2m－1>m＋2，即m>3时，由(x－2m＋1)(x－m－2)<0，得m＋2<x<2m－1.综上，当m<3时，该不等式的解集为{x|2m－1<x<m＋2}；当m＝3时，该不等式的解集为∅；当m>3时，该不等式的解集为{x|m＋2<x<2m－1}． (2) ax2－x＋a<0(a<0). 【解答】 对于一元二次方程ax2－x＋a＝0，a<0，判别式Δ＝1－4a2.当a＝－时，Δ＝0，－x2－x－<0等价于(x＋1)2>0，解得x≠－1，故不等式的解集为{x|x≠－1}；当－<a<0时，Δ>0，方程ax2－x＋a＝0的两根分别为x1＝，x2＝，且x1>x2，则ax2－x＋a<0的解集为；当a<－时，Δ<0，不等式的解集为R.综上，当a<－时，不等式的解集为R；当－<a<0时，不等式的解集为；当a＝－时，不等式的解集为{x|x≠－1}． 三个二次之间的关系 例2　(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则(　AB　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为∪ 【解析】 令f(x)＝ax2＋bx＋c，因为ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，所以f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，a>0，故A正确；由题意得ax2＋bx＋c＝0的两个根为－2与3，由韦达定理得－2＋3＝－，－2×3＝，所以b＝－a，c＝－6a，所以不等式bx＋c>0可化为－ax－6a>0，解得{x|x<－6}，故B正确；因为a>0，所以c＝－6a<0，由b＝－a得a＋b＋c＝c<0，故C错误；cx2－bx＋a<0即－6ax2＋ax＋a<0，同除以a得－6x2＋x＋1<0，解得x∈∪，故D错误． 　　一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系： (1) 若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系． (2) 若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围． 1．已知不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1或x>3}，则下列结论正确的是(　C　) A．a>0 B．c<0 C．a＋b＋c>0 D．cx2－bx＋a<0的解集为 【解析】 由题意知，－1和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0，则有－1＋3＝－，－1×3＝，所以b＝－2a，c＝－3a.对于A，B，由a<0和b＝－2a，c＝－3a，可得b>0，c>0，故A，B均错误；对于C，a＋b＋c＝－4a>0，故C正确；对于D，不等式cx2－bx＋a<0可化为－3ax2＋2ax＋a<0，即a(3x＋1)(x－1)>0，而a<0，解得－<x<1，即cx2－bx＋a<0的解集为，故D错误． 2．(2025·武汉期中)已知关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0恰有四个整数解，则实数a的取值范围是__[－4，－3)∪(5，6]__． 【解析】 不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－a)(x－1)<0.当a＝1时，不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集为∅，不合题意；当a>1时，不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集为(1，a)，要使不等式x2－(a＋1)x＋a<0恰有四个整数解，则5<a≤6；当a<1时，不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集为(a，1)，要使不等式x2－(a＋1)x＋a<0恰有四个整数解，则－4≤a<－3.综上可得，实数a的取值范围是[－4，－3)∪(5，6]. 3．已知二次函数y＝x2－2ax＋b2的最小值为0，若关于x的不等式x2－2ax＋b2＜c的解集为(t，t＋4)，则实数c的值为__4__． 【解析】 y＝(x－a)2＋b2－a2，则b2－a2＝0，所以x2－2ax＋b2＝(x－a)2.由x2－2ax＋b2＜c，得(x－a)2＜c，所以解集为(a－，a＋).由题意知2＝4，解得c＝4. 一元二次不等式恒成立问题 例3　(1) 如果关于x的不等式ax2－ax＋1≥0恒成立，那么实数a的取值范围为__[0，4]__． 【解析】 当a＝0时，原不等式变为1≥0，恒成立，符合题意；当a≠0时，由ax2－ax＋1≥0恒成立，得解得0<a≤4.综上，实数a的取值范围为[0，4]. (2) 若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则实数a的最小值为__－4__． 【解析】 因为当x∈[1，3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，所以a≥－在[1，3]上恒成立．当x∈[1，3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号，所以－≤－4，所以a≥－4，故a的最小值为－4. (3) (变更主元)若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则实数x的取值范围为__[－1，0]∪__． 【解析】 命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则其否定为真命题，即“∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题．令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，则即解得－1≤x≤0或≤x≤4，所以实数x的取值范围为[－1，0]∪. (1) 解决恒成立问题时，可以利用分离参数法，一定要弄清楚谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数． (2) 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方． (3) 解决不等式在给定区间上的恒成立问题，也可先求出相应函数在这个区间上的最值，再转化为与最值有关的不等式问题． 变式3　设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1) 若对一切实数x，f(x)<0恒成立，则m的取值范围是__(－4，0]__； 【解析】 若m＝0，f(x)＝－1<0恒成立．若m≠0，则有解得－4<m<0.综上，m的取值范围是(－4，0]. (2) 若当x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5恒成立，则m的取值范围是____． 【解析】 方法一：f(x)<－m＋5在[1，3]上恒成立，即m2＋m－6<0在[1，3]上恒成立．令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1，3].当m>0时，g(x)在[1，3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，可得0<m<；当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1，3]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝m－6<0，可得m<0.综上所述，m的取值范围是. 方法二：当1≤x≤3时，f(x)<－m＋5恒成立，即当1≤x≤3时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立．因为x2－x＋1＝＋>0，所以m<.因为y＝＝在[1，3]上单调递减，所以当x＝3时，y取得最小值，所以m的取值范围是. 随堂内化 1．(2025·新高考Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　C　) A．{x|－2≤x≤1}　　　　 B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1}　　　　 D．{x|x>1} 【解析】 ≥2⇔≤0，即解得－2≤x<1，故不等式的解集为[－2，1). 2．(2025·南昌模拟)若关于x的不等式x2－4x>a2－5a在区间[0，4]内有解，则实数a的取值范围是(　A　) A．(0，5) B．(1，4) C．(－∞，0)∪(5，＋∞) D．(－∞，1)∪(4，＋∞) 【解析】 因为x2－4x＝(x－2)2－4，x∈[0，4]，所以当x＝0或x＝4时，x2－4x取得最大值0.因为关于x的不等式x2－4x>a2－5a在区间[0，4]内有解，所以a2－5a<0，即a(a－5)<0，解得0<a<5. 3．(多选)若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则下列结论成立的是(　AB　) A．a<0 B．a2＋b2＝5 C．关于x的一元二次不等式bx2＋ax－1≥0的解集为∅ D．函数f(x)＝xa为其定义域上的减函数 【解析】 因为一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，所以－1和是方程ax2＋bx＋1＝0的两个根，且a<0，所以解得则a2＋b2＝5，故A正确，B正确．bx2＋ax－1≥0即为－x2－2x－1≥0，即x2＋2x＋1≤0，解得x＝－1，故C错误．f(x)＝xa＝x-2，则函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，且在定义域上不单调，故D错误． 4．已知关于x的不等式x2－2x<0的解集中恰有1个整数，则正整数a＝__1__． 【解析】 因为a为正整数，所以不等式x2－2x<0可转化为x(x－2a)<0，所以不等式的解集为{x|0<x<2a}．因为解集中恰有1个整数，所以0<x<2a中只含一个整数1，所以1<2a≤2，即<a≤1，所以正整数a＝1. 配套精练 一、 单项选择题 1．不等式≥0的解集为(　A　) A．[－3，1)∪[2，＋∞) B．(－∞，－3]∪(1，2] C．[－3，1)∪(1，2] D．(－∞，－3]∪[2，＋∞) 【解析】 ≥0等价于或解得x≥2或－3≤x<1，即不等式≥0的解集为[－3，1)∪[2，＋∞). 2．(2025·金华模拟)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，－1)∪(3，＋∞)，则对函数f(x)＝ax2＋bx＋c，下列不等式成立的是(　A　) A．f(4)>f(0)>f(1)　　　　 B．f(4)>f(1)>f(0) C．f(0)>f(1)>f(4)　　　　 D．f(0)>f(4)>f(1) 【解析】 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，得a>0，－1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，则－1＋3＝－，－1×3＝，即b＝－2a，c＝－3a，则f(x)＝ax2＋bx＋c，a>0，其图象开口向上，且对称轴为直线x＝－，即x＝1，所以f(4)>f(0)>f(1). 3．(2025·广东模拟)若对任意的x∈[－1，1]，不等式x2－x＋≥m恒成立，则实数m的取值范围是(　B　) A．　　　　 B． C．　　　　 D． 【解析】 因为对任意的x∈[－1，1]，不等式x2－x＋≥m恒成立，所以min≥m，其中x∈[－1，1].设y＝x2－x＋，x∈[－1，1]，因为y＝x2－x＋＝＋，所以当x＝时，y取得最小值，所以m≤. 4．已知二次不等式x2－bx＋2b－3<0的解集为(x1，x2)，＋<2，则b的取值范围是(　B　) A． B．∪(6，＋∞) C．∪(2，＋∞) D．(2，6) 【解析】 因为x1＋x2＝b，x1x2＝2b－3，所以＋＝＝<2，所以－2＝＝<0，即－3(b－2)(2b－3)<0，解得b>2或b<.因为x2－bx＋2b－3＝0有两个不等实根x1，x2，所以Δ＝b2－4(2b－3)>0，解得b>6或b<2.综上，b的取值范围是∪(6，＋∞). 5．若关于x的不等式x2－(m＋3)x＋3m<0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为(　C　) A．(6，7]　　　　 B．[－1，0) C．[－1，0)∪(6，7]　　　　 D．[－1，7] 【解析】 不等式x2－(m＋3)x＋3m<0可化为(x－3)(x－m)<0.当m>3时，不等式的解集为(3，m)，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以6<m≤7；当m＝3时，不等式的解集为∅，此时不符合题意；当m<3时，不等式的解集为(m，3)，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以－1≤m<0.综上可知，实数m的取值范围是[－1，0)∪(6，7]. 二、 多项选择题 6．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　BC　) A．a>0　　　　 B．c<0 C．a＋b>0 D．关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为(－3，－1) 【解析】 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，可知a<0，且和1是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．由根与系数的关系可得解得a＝3c，b＝－4c.又a<0，所以c<0，a＋b＝－c>0，故A错误，B正确，C正确．不等式cx2＋bx＋a>0即为cx2－4cx＋3c>0，x2－4x＋3<0，解得1<x<3，故D错误． 7．已知ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，3)，则下列说法正确的是(　BCD　) A．a>0 B．不等式cx2＋bx＋a<0的解集是 C．＋b的最小值是 D．当c＝2时，f(x)＝3ax2＋6bx，x∈[n1，n2]的值域是[－3，1]，则n2－n1的取值范围是[2，4] 【解析】 对于A，由题意可知－2，3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a<0，故A错误．对于B，由题意可知可得b＝－a，c＝－6a，a<0.不等式cx2＋bx＋a<0化为－6ax2－ax＋a<0，由a<0可得6x2＋x－1<0，解得－<x<，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为，故B正确．对于C，因为b＝－a，所以b>0，可得＋b＝＋(3b＋4)－≥2－＝，当且仅当＝(3b＋4)，即b＝时等号成立，所以＋b的最小值是，故C正确．对于D，当c＝2时，a＝－，b＝，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x＝1时，f(x)取最大值f(1)＝1，由f(x)＝－3，得x＝－1或x＝3.因为f(x)＝3ax2＋6bx，x∈[n1，n2]的值域是[－3，1]，所以f(x)在[n1，n2]上的最小值为－3，最大值为1，从而n1＝－1，1≤n2≤3，或－1≤n1≤1，n2＝3，因此2≤n2－n1≤4，故D正确． 三、 填空题 8．不等式>x的解集是__(－∞，－1)∪(1，5)__． 【解析】 由题得－x>0，即>0，即－>0，则(x－1)(x＋1)·(x－5)<0，根据穿根法解得x∈(－∞，－1)∪(1，5). 9．已知f(x)＝x2－x＋1，当x∈[－1，2]时，不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围为____. 【解析】 由题意可得x2－x＋1>2x＋m对任意的x∈[－1，2]恒成立，即m<x2－3x＋1对任意的x∈[－1，2]恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1＝－，x∈[－1，2]，则g(x)min＝g＝－，所以m<－. 10．某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和汽车刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s＝0.21v＋0.006v2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于39 m，则这辆汽车刹车前的车速至少为__65__km/h. 【解析】 根据题意，有s＝0.21v＋0.006v2≥39，整理得6v2＋210v－39×1 000≥0，解得v≥65或v≤－100(舍去)，所以这辆汽车刹车前的车速至少为65 km/h. 四、 解答题 11．解关于x的不等式：ax2＋2x＋1>0(a∈R). 【解答】 当a＝0时，不等式为2x＋1>0，解得x>－，则不等式的解集为. 当a≠0时，Δ＝4－4a. ①当Δ>0时，a<1且a≠0.令ax2＋2x＋1＝0，解得x1＝，x2＝.若a<0，则x2<x1，所以ax2＋2x＋1>0的解为<x<，即不等式的解集为；若0<a<1，则x1<x2，所以ax2＋2x＋1>0的解为x<或x>，即不等式的解集为∪； ②当Δ＝0，即a＝1时，不等式为x2＋2x＋1＝(x＋1)2>0，解得x≠－1，即不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)； ③当Δ<0，即a>1时，ax2＋2x＋1>0恒成立，即不等式的解集为R. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为；当a<0时，不等式的解集为；当0<a≤1时，不等式的解集为∪；当a>1时，不等式的解集为R. 12．设函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2. (1) 若不等式f(x)≥－2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； 【解答】 ∀x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0.当a＝0时，x≥0，不满足题意，则a≠0，此时必有即解得a≥，所以实数a的取值范围是. (2) 解关于x的不等式：f(x)<a－1(a∈R). 【解答】 依题意，f(x)<a－1可化为ax2＋(1－a)x－1<0.①若a＝0，可得x<1；②若a>0，可得(x－1)<0，又－<1，解得－<x<1；③若a<0，可得(x－1)>0，当a＝－1时，－＝1，解得x≠1，当－1<a<0时，－>1，解得x<1或x>－，当a<－1时，0<－<1，解得x<－或x>1.综上，当a>0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x<1}；当－1<a<0时，原不等式的解集为；当a＝－1时，原不等式的解集为{x∈R|x≠1}；当a<－1时，原不等式的解集为. 13．已知关于x的不等式kx2－(2k＋1)x＋2<0的解集为A，其中k∈R. (1) 若A＝{x|1<x<2}，求k的值． 【解答】 若A＝{x|1<x<2}，则关于x的方程kx2－(2k＋1)x＋2＝0的两根分别为1，2，由韦达定理可得解得k＝1，经检验符合题意． (2) 求不等式的解集A. 【解答】 原不等式即为(kx－1)(x－2)<0.当k＝0时，原不等式即为x－2>0，解得x>2，此时A＝{x|x>2}；当k≠0时，方程(kx－1)(x－2)＝0的解为x1＝，x2＝2；若k<0，由(kx－1)·(x－2)<0，可得x<或x>2，此时A＝；若＝2，即k＝，则原不等式即为(x－2)2<0，此时A＝∅；若0<<2，即k>，由(kx－1)(x－2)<0，解得<x<2，此时A＝；若>2，即0<k<，由(kx－1)(x－2)<0，解得2<x<，此时A＝.综上所述，当k<0时，A＝；当k＝0时，A＝{x|x>2}；当0<k<时，A＝；当k＝时，A＝∅；当k>时，A＝. (3) 是否存在实数k，使上述不等式的解集A中恰有3个整数？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】 由(2)可知，若集合A恰有三个整数，则0<k<或k>.当0<k<时，A＝，则集合A中的三个整数分别为3，4，5，所以5<≤6，解得≤k<；当k>时，0<<2，A＝，此时，集合A中至多有一个整数，不合题意．综上，实数k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $