第1章 第4讲 不等式的性质（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习讲义聚焦不等式的性质核心考点，涵盖比较大小的方法、不等式性质及常用结论，按“知识梳理-激活思维-题型突破-随堂内化”逻辑架构知识体系。通过考点梳理构建知识网络，方法指导总结判断与比较技巧，真题训练（含教材改编题与模拟题）帮助学生突破性质应用难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义特色在于融合数学思维与数学语言培养，采用“问题情境-推理证明-应用拓展”教学法，如例3-2从糖水变甜现象抽象不等式并证明，发展学生抽象能力与推理意识。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第4讲　不等式的性质 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b>0，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则a2>b2 C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若a<b<0，则< 2．(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　) A．a＋b<ab B．|a|>|b| C．a3>b3 D．2a>2b 3．(教材经典题改编)已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．ln a<ln b B．> C．a2<b2 D．a3<b3 4．(教材经典题改编)已知2<a<3，－2<b<－1，则a＋2b的取值范围为____． 5．(教材经典题改编)火车站有某公司待运的甲种货物1 530 t，乙种货物1 150 t．现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物．已知35 t甲种货物和15 t乙种货物可装满一节A型货厢，25 t甲种货物和35 t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有____种方案；若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，选用最节约成本的方案，运费为____万元． 聚焦知识 1．两个实数比较大小的方法 (1) 作差法： (2) 作商法： 2．不等式性质 性质1　对称性：a>b⇔____； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒____； 性质3　可加性：a>b⇔____； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒____；a>b，c<0⇒____； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒____； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒____； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)； 性质8　同正可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 3．常用结论 (1) |x－a|＋|x－b|≥|b－a|. (2) 取倒法则：①a>b，ab>0⇒<；②a<b<0⇒>；③a>b>0，0<c<d⇒>；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. (3) 分式不等式：若a>b>0，m>0，则： ①真分数的性质：<，>(a－m>0)；②假分数的性质：>，<(b－m>0). 题型突破　能力进阶 举题说法 不等式的性质 例1　(1) (2025·三门峡期末)(多选)下列命题中真命题有(　　) A．若a<b<0，c∈N，则ac2<bc2 B．若a<b，则a3<b3 C．若c>a>b>0，则> D．若ln (a＋2)<ln (b＋2)，则< (2) (2025·黄冈期初调研)(多选)已知c<0<b<a，则(　　) A．ac＋b<bc＋a　　　　 B．b3＋c3<a3 C．<　　　　 D．> 判断不等式的常用方法 (1) 利用不等式的性质逐个验证； (2) 利用特殊值法排除错误选项； (3) 作差(商)法； (4) 构造函数，利用函数的单调性． 变式1　(1) (2026·淮安一调)(多选)下列选项正确的有(　　) A．若a>b，且>，则ab<0 B．若ab＝1，则a＋b≥2 C．若a＋b>0，则a2＋b2>0 D．13(a2＋b2)≥(2a＋3b)2 (2) (2026·无锡期中)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　) A．|a|>|b| B．< C．a＋b>ab D．a2－a<b2－b 数(式)的大小比较 例2　(1) 设x>1，M＝－，N＝－，比较M，N的大小． (2) 设a，b均为正实数，M＝a3＋b3，N＝a2b＋ab2，比较M，N的大小． (3) 设a>b>0，M＝，N＝，比较M，N的大小． 比较大小的常用方法：差值比较、商值比较和利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．另外，介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，则a＜c，其中b是介于a与c之间的值．此种方法的关键是通过恰当地放缩，找出一个比较合适的中介值． 变式2　(1) 已知a＝2，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a (2) (2025·洛阳期末)今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a元/kg、b元/kg(a≠b)，王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8 kg白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为m1，m2，则m1与m2的大小关系为(　　) A．m1＝m2 B．m1>m2 C．m1<m2 D．无法确定 不等式性质的综合应用 视角1　求代数式的取值范围 例 3-1　已知实数x，y满足1≤x＋y≤4，－1≤x－y≤2，则4x－2y的取值范围是(　　) A．[－4，10]　　B．[－3，6] 　　C．[－5，13]　　D．[－2，10] 求代数式的取值范围时应注意的事项 (1) 必须依照不等式的性质； (2) 在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体的范围． 变式 3-1　(1) 已知π<α＋β<，－π<α－β<－，那么2α－β的取值范围是____． (2) 已知－6<a<8，2<b<3，那么的取值范围是____． 视角2　证明不等式 例 3-2　已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，往糖水中加入m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水更甜了． (1) 请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2) 利用(1)的结论比较M＝，N＝的大小； (3) 设x>0，y>0，z>0，求证：1<＋＋<2. 随堂内化 1．(2025·徐州期中)已知a，b，c∈R，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．若a>b，则|a|>|b| B．若＞，则a<b C．若a>b>0，则< D．若a>b，则c2(a－b)>0 2．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(　　) A．x＞y　　　　　　　　 B．x＝y　　　　 C．x＜y　　　　　　　　 D．x，y的关系随c而定 3．(2025·苏州期中)(多选)若非零实数x，y满足|x|>|y|，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．x>y B．> C．x2>y2 D．< 4．已知－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，则x－2y的取值范围是____． 配套精练 一、 单项选择题 1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　) A．< B．a2<b2 C．> D．a|c|>b|c| 2．(2025·常州期中)“a>b”的一个必要不充分条件是(　　) A．<1 B．ab>b2 C．a＋1>b D．|a|>|b| 3．已知m＝x2＋y2＋19，n＝4(2y－x)－1，则(　　) A．m>n B．m<n C．m≤n D．m≥n 4．已知1<a<3，3<b<6，则的取值范围为(　　) A． B．(2，6) C．(1，6) D． 5．已知实数x，y满足1≤x－y≤5，3≤3x＋y≤11，则下列说法不正确的是(　　) A．x的取值范围是[1，4] B．y的取值范围是[－4，3] C．x＋y的取值范围是[－1，5] D．2x＋y的取值范围是[1，8] 二、 多项选择题 6．已知a>b>c>0，则(　　) A．<　　　　 B．ac>b2 C．>　　　　 D．a(c2－1)>b(c2－1) 7．(2026·保定期中)下列命题为真命题的是(　　) A．若ac2>bc2，则a>b B．若0<a<b<1，则a2＋b2<a＋b C．若a<b<0，则> D．若>，c<0，则a>b>0 8．(2025·茂名一模)下列命题正确的是(　　) A．若a>b，则a2>b2 B．若a<b<0，则b2<ab<a2 C．若a>b>0，>，则m<0 D．若2<a＋b<3，－1<a－b<2，则3<3a＋b<8 三、 填空题 9．比较大小：＋____4(填“<”“>”或“＝”). 10．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是____． 11．已知x>y>z且x＋y＋z＝0，则的取值范围是____． 四、 解答题 12．(1) 设M＝(x＋8)(x＋11)，N＝(x＋9)(x＋10)，比较M，N的大小； (2) 当a≠0时，比较(a2＋1)2与a4＋a2＋1的大小． 13．为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比(房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值)作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a m2，b m2. (1) 若这所住宅的地面面积为100 m2，求这所住宅的窗洞口面积的取值范围； (2) 若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x m2，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由． 14．(1) 已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. (2) 已知a>1，b>1，M＝＋，N＝＋，试比较M与N的大小，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲　不等式的性质 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)下列命题为真命题的是(　B　) A．若a>b>0，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则a2>b2 C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若a<b<0，则< 【解析】 对于A，当c2＝0时不成立，故A错误；对于B，因为a＞b＞0，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0，所以a2＞b2，故B正确；对于C，因为a＜b＜0，所以a2＞ab＞b2，故C不正确；对于D，因为a＜b＜0，所以>，故D错误． 2．(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　ACD　) A．a＋b<ab B．|a|>|b| C．a3>b3 D．2a>2b 【解析】 由<<0，得a<0，b<0且a>b，所以a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab，A正确；|a|<|b|，B错误；a3>b3，C正确；因为函数y＝2x在R上单调递增，所以2a>2b，D正确． 3．(教材经典题改编)已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(　D　) A．ln a<ln b B．> C．a2<b2 D．a3<b3 【解析】 对于A，当a<b<0时，不等式无意义，故A错误；对于B，当a<0<b时，<，故B错误；对于C，当a<b<0时，a2>b2，故C错误；对于D，当a<b时，a3<b3恒成立，故D正确． 4．(教材经典题改编)已知2<a<3，－2<b<－1，则a＋2b的取值范围为__(－2，1)__． 【解析】 因为－2<b<－1，所以－4<2b<－2.又2<a<3，所以－2<a＋2b<1. 5．(教材经典题改编)火车站有某公司待运的甲种货物1 530 t，乙种货物1 150 t．现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物．已知35 t甲种货物和15 t乙种货物可装满一节A型货厢，25 t甲种货物和35 t乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有__3__种方案；若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货厢的运费是0.8万元，选用最节约成本的方案，运费为__31__万元． 【解析】 设安排A型货厢x节，B型货厢y节，总运费为z，所以所以解得x≥28且x≤30.又因为x∈N*，所以或或所以共有3种方案，方案一：安排A型货厢28节，B型货厢22节；方案二：安排A型货厢29节，B型货厢21节；方案三：安排A型货厢30节，B型货厢20节．因为z＝0.5x＋0.8y＝40－0.3x，所以当x＝30时，总运费最少，此时z＝40－0.3×30＝31(万元). 聚焦知识 1．两个实数比较大小的方法 (1) 作差法： (2) 作商法： 2．不等式性质 性质1　对称性：a>b⇔__b<a__； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒__a>c__； 性质3　可加性：a>b⇔__a＋c>b＋c__； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒__ac>bc__；a>b，c<0⇒__ac<bc__； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒__a＋c>b＋d__； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒__ac>bd__； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)； 性质8　同正可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 3．常用结论 (1) |x－a|＋|x－b|≥|b－a|. (2) 取倒法则：①a>b，ab>0⇒<；②a<b<0⇒>；③a>b>0，0<c<d⇒>；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. (3) 分式不等式：若a>b>0，m>0，则： ①真分数的性质：<，>(a－m>0)；②假分数的性质：>，<(b－m>0). 题型突破　能力进阶 举题说法 不等式的性质 例1　(1) (2025·三门峡期末)(多选)下列命题中真命题有(　BC　) A．若a<b<0，c∈N，则ac2<bc2 B．若a<b，则a3<b3 C．若c>a>b>0，则> D．若ln (a＋2)<ln (b＋2)，则< 【解析】 对于A，若a<b<0，c∈N，当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；对于B，由于y＝x3在R上单调递增，a<b，所以a3<b3，故B正确；对于C，当c>a>b>0时，－＝＝＝>0，所以>>0，即>，故C正确；对于D，取a＝1，b＝2，满足0<a＋2<b＋2，但>，故D错误． (2) (2025·黄冈期初调研)(多选)已知c<0<b<a，则(　ABD　) A．ac＋b<bc＋a　　　　 B．b3＋c3<a3 C．<　　　　 D．> 【解析】 因为c<0<b<a，所以ac<bc⇒ac＋b<bc＋a，故A正确；因为c<0<b<a，所以b3<a3，c3<0⇒b3＋c3<a3，故B正确；不妨令a＝3，b＝2，c＝－1，满足c<0<b<a，则＝2，＝，此时>，故C错误；因为c<0<b<a，所以>>0⇒<⇒>，故D正确． 判断不等式的常用方法 (1) 利用不等式的性质逐个验证； (2) 利用特殊值法排除错误选项； (3) 作差(商)法； (4) 构造函数，利用函数的单调性． 变式1　(1) (2026·淮安一调)(多选)下列选项正确的有(　ACD　) A．若a>b，且>，则ab<0 B．若ab＝1，则a＋b≥2 C．若a＋b>0，则a2＋b2>0 D．13(a2＋b2)≥(2a＋3b)2 【解析】 对于A，因为a>b，－＝>0，所以ab<0，故A正确；对于B，若a＝－2，b＝－，满足ab＝1，但a＋b＝－，显然不满足a＋b≥2，故B错误；对于C，由a＋b>0可知a，b可以同为正数，一正一负，或者一个为正数一个为0，易得以上情况都能使a2＋b2>0成立，故C正确；对于D，因为13(a2＋b2)－(2a＋3b)2＝9a2－12ab＋4b2＝(3a－2b)2≥0，所以13(a2＋b2)≥(2a＋3b)2，故D正确． (2) (2026·无锡期中)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　BD　) A．|a|>|b| B．< C．a＋b>ab D．a2－a<b2－b 【解析】 由<<0可知，b<a<0，所以－b>－a>0，即|b|>|a|，故A错误；>，故B正确；a＋b<0，ab>0，所以a＋b<ab，故C错误；a2－a－b2＋b＝(a＋b)·(a－b)－(a－b)＝(a－b)·(a＋b－1)，由以上可知，a－b>0，a＋b－1<0，所以a2－a－b2＋b<0，即a2－a<b2－b，故D正确． 数(式)的大小比较 例2　(1) 设x>1，M＝－，N＝－，比较M，N的大小． 【解答】 M＝－＝＝，N＝－＝＝.由x>1，得(＋)－(＋)＝－>0，故>，即M>N. (2) 设a，b均为正实数，M＝a3＋b3，N＝a2b＋ab2，比较M，N的大小． 【解答】 M－N＝a3＋b3－a2b－ab2＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a2－b2)·(a－b)＝(a＋b)(a－b)2.由a，b均为正实数，得(a＋b)(a－b)2≥0，即M≥N. (3) 设a>b>0，M＝，N＝，比较M，N的大小． 【解答】 M－N＝－＝＝.由a>b>0，得a－b>0，a＋b>0，ab>0，a2＋b2>0，即M－N>0，故M>N. 比较大小的常用方法：差值比较、商值比较和利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．另外，介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，则a＜c，其中b是介于a与c之间的值．此种方法的关键是通过恰当地放缩，找出一个比较合适的中介值． 变式2　(1) 已知a＝2，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为(　B　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a 【解析】 因为a－b＝2＋－，且(2＋)2＝7＋4>7，所以a>b.因为a－c＝2＋－，且(2＋)2＝6＋4>6，所以a>c.因为b－c＝(＋)－(＋)，且(＋)2＝9＋2>9＋2＝(＋)2，所以c>b.综上，a>c>b. (2) (2025·洛阳期末)今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a元/kg、b元/kg(a≠b)，王大妈每周购买10元的白菜，李阿姨每周购买8 kg白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为m1，m2，则m1与m2的大小关系为(　C　) A．m1＝m2 B．m1>m2 C．m1<m2 D．无法确定 【解析】 由题意可得a>0，b>0，a≠b，m1＝＝，m2＝＝.因为m1－m2＝－＝＝<0，所以m1<m2. 不等式性质的综合应用 视角1　求代数式的取值范围 例 3-1　已知实数x，y满足1≤x＋y≤4，－1≤x－y≤2，则4x－2y的取值范围是(　D　) A．[－4，10]　　B．[－3，6] 　　C．[－5，13]　　D．[－2，10] 【解析】 设4x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则(m＋n)x＋(m－n)y＝4x－2y，所以解得即4x－2y＝(x＋y)＋3(x－y).因为所以因此4x－2y＝(x＋y)＋3(x－y)∈[－2，10]. 求代数式的取值范围时应注意的事项 (1) 必须依照不等式的性质； (2) 在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体的范围． 变式 3-1　(1) 已知π<α＋β<，－π<α－β<－，那么2α－β的取值范围是____． 【解析】 设2α－β＝m(α＋β)＋n(α－β)，则解得所以2α－β＝(α＋β)＋(α－β).因为π<α＋β<，－π<α－β<－，所以<(α＋β)<，－<(α－β)<－，所以－π<(α＋β)＋(α－β)<，即－π<2α－β<，所以2α－β的取值范围是. (2) 已知－6<a<8，2<b<3，那么的取值范围是__(－3，4)__． 【解析】 因为2<b<3，所以<<.当－6<a<0时，－3<<0；当0≤a<8时，0≤<4.综上，的取值范围是(－3，4). 视角2　证明不等式 例 3-2　已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，往糖水中加入m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水更甜了． (1) 请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； 【解答】 由题意可得不等式<(m>0).证明如下：－＝＝，由b>a>0，m>0，可得a－b<0，b＋m>0，所以－<0，即<. (2) 利用(1)的结论比较M＝，N＝的大小； 【解答】 由M＝＝，N＝，及(1)中的结论，可得>，即M>N. (3) 设x>0，y>0，z>0，求证：1<＋＋<2. 【解答】 因为x>0，y>0，z>0，所以由(1)中的结论，可得<，<，<，所以＋＋<＋＋＝2①.又＝＝1－，同理可得＝1－，＝1－，则＋＋＝3－.由①可推出＋＋<2，所以＋＋>1②.综合①②，得1<＋＋<2. 随堂内化 1．(2025·徐州期中)已知a，b，c∈R，则下列不等式中一定成立的是(　C　) A．若a>b，则|a|>|b| B．若＞，则a<b C．若a>b>0，则< D．若a>b，则c2(a－b)>0 【解析】 对于A，取a＝－1，b＝－3，满足a>b，但|a|<|b|，故A错误；对于B，取a＝1，b＝－1，满足>，但a>b，故B错误；对于C，－＝＝，因为a>b>0，所以<0，所以<，故C正确；对于D，取c＝0，则c2(a－b)＝0，故D错误． 2．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(　C　) A．x＞y　　　　　　　　 B．x＝y　　　　 C．x＜y　　　　　　　　 D．x，y的关系随c而定 【解析】 由题知x，y＞0，因为＝＝<1，所以x＜y. 3．(2025·苏州期中)(多选)若非零实数x，y满足|x|>|y|，则下列不等式中一定成立的是(　BC　) A．x>y B．> C．x2>y2 D．< 【解析】 对于A，不妨取x＝－2，y＝1，满足|x|>|y|，但x<y，故A错误；对于B，易知|x|>|y|>0，可知|x|>|y|>0，即>，故B正确；由选项B同理可得|x|2>|y|2，即x2>y2，故C正确；对于D，取x＝－2，y＝－1，满足|x|>|y|，但＝－>＝－1，故D错误． 4．已知－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，则x－2y的取值范围是__[－4，2]__． 【解析】 设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y，所以解得所以x－2y＝－(x＋y)＋(x－y).因为－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，所以－1≤－(x＋y)≤，－3≤(x－y)≤，所以－4≤－(x＋y)＋(x－y)≤2，即－4≤x－2y≤2. 配套精练 一、 单项选择题 1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　C　) A．< B．a2<b2 C．> D．a|c|>b|c| 【解析】 对于A，取a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足<，故A错误；对于B，取a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2<b2，故B错误；对于C，因为c2＋1≥1>0，则>0，又a>b，所以>，故C正确；对于D，取c＝0，则a|c|＝b|c|，故D错误． 2．(2025·常州期中)“a>b”的一个必要不充分条件是(　C　) A．<1 B．ab>b2 C．a＋1>b D．|a|>|b| 【解析】 对于A，当a>b时，取a＝0，此时无意义，由a>b不能得到<1，故A错误；对于B，当a>b时，取b＝0，则ab＝b2＝0，由a>b不能得到ab>b2，故B错误；对于C，由a>b，得a＋1>b＋1>b，则由a>b可得a＋1>b；取a＝－1，b＝－，满足a＋1>b，但是a<b，则a＋1>b为a>b的必要不充分条件，故C正确；对于D，当a>b时，取0>a>b，则|a|<|b|，由a>b不能得到|a|>|b|，故D错误． 3．已知m＝x2＋y2＋19，n＝4(2y－x)－1，则(　D　) A．m>n B．m<n C．m≤n D．m≥n 【解析】 m－n＝x2＋y2＋19－4(2y－x)＋1＝(x＋2)2＋(y－4)2≥0，当且仅当x＝－2，y＝4时取等号，所以m≥n. 4．已知1<a<3，3<b<6，则的取值范围为(　D　) A． B．(2，6) C．(1，6) D． 【解析】 因为1<a<3，所以2<2a<6，<<.又3<b<6，所以<<3. 5．已知实数x，y满足1≤x－y≤5，3≤3x＋y≤11，则下列说法不正确的是(　B　) A．x的取值范围是[1，4] B．y的取值范围是[－4，3] C．x＋y的取值范围是[－1，5] D．2x＋y的取值范围是[1，8] 【解析】 不等式1≤x－y≤5，3≤3x＋y≤11，对于A，1＋3≤(x－y)＋(3x＋y)≤5＋11，即4≤4x≤16，解得1≤x≤4，A正确；对于B，因为1≤x－y≤5，所以－5≤y－x≤－1，－15≤3(y－x)≤－3，又3≤3x＋y≤11，所以－15＋3≤3(y－x)＋(3x＋y)≤－3＋11，即－12≤4y≤8，解得－3≤y≤2，B错误；对于C，因为－5≤y－x≤－1，3≤3x＋y≤11，所以－5＋3≤(y－x)＋(3x＋y)≤－1＋11，即－2≤2x＋2y≤10，解得－1≤x＋y≤5，C正确；对于D，因为－≤－(x－y)≤－，≤(3x＋y)≤，又2x＋y＝－(x－y)＋(3x＋y)，所以－＋≤－(x－y)＋(3x＋y)≤－，即1≤2x＋y≤8，D正确． 二、 多项选择题 6．已知a>b>c>0，则(　AC　) A．<　　　　 B．ac>b2 C．>　　　　 D．a(c2－1)>b(c2－1) 【解析】 因为a>b>c>0，所以ab＋bc<ab＋ac，则<，故A正确；当a＝6，b＝4，c＝1时，满足a>b>c>0，此时ac＝6<16＝42＝b2，故B错误；由c>0，a>b>0，得a＋c>b＋c>0，则>，故C正确；当0<c<1时，c2－1<0，此时a(c2－1)<b(c2－1)，故D错误． 7．(2026·保定期中)下列命题为真命题的是(　ABC　) A．若ac2>bc2，则a>b B．若0<a<b<1，则a2＋b2<a＋b C．若a<b<0，则> D．若>，c<0，则a>b>0 【解析】 对于A，因为ac2>bc2，所以ac2－bc2＝c2(a－b)>0，因为c2>0，所以a－b>0，即a>b，故A正确；对于B，a2＋b2－a－b＝(a2－a)＋(b2－b)＝a(a－1)＋b(b－1)，因为0<a<b<1，所以a(a－1)<0，b(b－1)<0，所以a2＋b2－a－b＝a(a－1)＋b(b－1)<0，a2＋b2<a＋b，故B正确；对于C，因为a<b<0，所以ab>0，b－a>0，－＝>0，故C正确；对于D，因为－＝>0，且c<0，所以<0，即ab(a－b)>0，则a>b>0或0>a>b或a<0<b，故D错误． 8．(2025·茂名一模)下列命题正确的是(　BCD　) A．若a>b，则a2>b2 B．若a<b<0，则b2<ab<a2 C．若a>b>0，>，则m<0 D．若2<a＋b<3，－1<a－b<2，则3<3a＋b<8 【解析】 对于A，取a＝1，b＝－2，满足a>b，但是a2<b2，故A错误；对于B，因为a<b<0，不等式两边同时乘以负数a，不等式方向改变，所以a2>ab，不等式两边同时乘以负数b，不等式方向改变，所以ab>b2，所以b2<ab<a2，故B正确；对于C，因为a>b>0，－＝＝＝>0，所以>0，而a>b>0，即b－a<0，m(a＋m)<0，所以－a<m<0，故C正确；对于D，设3a＋b＝x(a＋b)＋y(a－b)，即3a＋b＝(x＋y)a＋(x－y)b，则解得x＝2，y＝1，所以3a＋b＝2(a＋b)＋(a－b)，又2<a＋b<3，则4<2(a＋b)<6，且－1<a－b<2，所以3<2(a＋b)＋(a－b)<8，即3<3a＋b<8，故D正确． 三、 填空题 9．比较大小：＋__<__4(填“<”“>”或“＝”). 10．已知实数a，b满足－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a－5b的取值范围是__[6，19]__． 【解析】 易得3a－5b＝－(a＋b)＋4(a－b)，由－3≤a＋b≤－2，得2≤－(a＋b)≤3；由1≤a－b≤4，得4≤4(a－b)≤16，所以6≤3a－5b≤19，即3a－5b的取值范围是[6，19]. 11．已知x>y>z且x＋y＋z＝0，则的取值范围是____． 【解析】 由得则1>>－1－，得－<<1. 四、 解答题 12．(1) 设M＝(x＋8)(x＋11)，N＝(x＋9)(x＋10)，比较M，N的大小； 【解答】 因为M－N＝(x＋8)(x＋11)－(x＋9)·(x＋10)＝(x2＋19x＋88)－(x2＋19x＋90)＝－2<0，所以M<N. (2) 当a≠0时，比较(a2＋1)2与a4＋a2＋1的大小． 【解答】 因为a≠0，所以(a2＋1)2－(a4＋a2＋1)＝(a4＋2a2＋1)－(a4＋a2＋1)＝a2>0，所以(a2＋1)2>a4＋a2＋1. 13．为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比(房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值)作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a m2，b m2. (1) 若这所住宅的地面面积为100 m2，求这所住宅的窗洞口面积的取值范围； 【解答】 因为b＝100，所以10%≤≤50%，解得10≤a≤50，所以这所住宅的窗洞口面积(单位：m2)的取值范围为[10，50]. (2) 若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x m2，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由． 【解答】 由题意得0<a<b，x>0，原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为，则－＝＝.因为0<a<b，x>0，所以b(b＋x)>0，x(b－a)>0，所以－>0，即>.所以这所住宅的采光效果变好了． 14．(1) 已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 【解答】 因为a>b>0，c<d<0，所以－c>－d>0，a－c>b－d>0，所以0<<.又e<0，所以>. (2) 已知a>1，b>1，M＝＋，N＝＋，试比较M与N的大小，并说明理由． 【解答】 由题知M－N＝＋－－＝－＝＝－.因为a>1，b>1，所以a－1>0，b－1>0，a＋b>0，(a－b)2≥0，所以M－N＝－≤0，即M≤N，当且仅当a＝b时，M＝N. 学科网（北京）股份有限公司 $