第1章 第3讲 全称量词和存在量词（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习讲义聚焦全称量词与存在量词核心考点，涵盖命题否定、真假判断及参数范围问题，按“知识梳理-题型突破-能力进阶”逻辑架构知识体系。通过激活思维题组、聚焦知识表格、举题说法典例及变式训练，系统帮助学生突破量词命题否定规则、双量词问题转化等难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，创新设计双量词问题“最值转化”策略，如例4中通过函数值域关系将“任意-存在”问题转化为最值比较。设置随堂内化与配套精练分层练习，结合真题改编题强化实战，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

第3讲　全称量词和存在量词 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)若命题p：∃x∈R，x＋1≥0，则命题p的否定是(　　) A．∀x∈R，x＋1＜0 B．∀x∈R，x＋1≥0 C．∃x∈R，x＋1<0 D．∃x∈R，x＋1≥0 2．(教材经典题改编)(多选)下列命题是全称量词命题且为真命题的有(　　) A．每一个末位是0的整数都是5的倍数 B．有些菱形是正方形 C．对任意负数x，x的平方是正数 D．梯形的对角线相等 3．已知命题p：∃x∈[0，＋∞)，a<＋1，若p为真命题，则实数a的取值范围为____． 4．(教材经典题改编)已知“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，则实数λ的取值范围是____. 5．设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0.若p，q都为真命题，则实数m的取值范围为____． 聚焦知识 1．全称量词命题与存在量词命题 全称量词命题 存在量词命题 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ____，是____量词命题 ____，是____量词命题 2．常见词语的否定 词语 是 都是 大于 小于 词语的 否定 ____ ____ ____ ____ 词语 且 至少有 n个 至多有 一个 所有x 都成立 词语的 否定 ____ ____ ____ ____ 题型突破　能力进阶 举题说法 含量词的命题的真假判断 例1　(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∃a≥3，a2＝3a－2 B．∃x0∈N，2x0>0 C．∀x∈∁RQ，x2∈Q D．∀x∈N*，∉N 判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可． 变式1　(2025·唐山一模)已知命题p：∀x∈R，x2>0；命题q：∃x>0，ln x<0，则(　　) A．p和q都是真命题 B．p是假命题，q是真命题 C．p是真命题，q是假命题 D．p和q都是假命题 含量词的命题的否定 例2　写出下列命题的否定，并判断其真假性． (1) ∀x∈Z，|x|∈N； (2) 每一个平行四边形都是中心对称图形； (3) 有些三角形是直角三角形； (4) ∃x∈R，x＋1≤0； (5) ∃x∈R，x2＋2x＋3＝0. 对于存在量词命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立；对于全称量词命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立． 变式2　(1) (2025·青岛二模)命题“∀x>y，x2>y2”的否定为(　　) A．∀x>y，x2≤y2　　　　 B．∀x<y，x2≤y2 C．∃x<y，x2≤y2　　　　　 D．∃x>y，x2≤y2 (2) (2025·漳州二模)命题“∀x>0，x＋1≤ex”的否定是(　　) A．∃x≤0，x＋1≤ex B．∃x≤0，x＋1>ex C．∃x>0，x＋1≤ex D．∃x>0，x＋1>ex 结合命题真假确定参数 例3　(1) 已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为____． (2) 若命题“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是假命题，则实数a的取值范围是____． 根据命题的真假求参数取值范围的策略 (1) 已知命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围； (2) 对于含有量词的命题求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． 变式3　(1) 已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0，命题q：∀x>0，x＋>a.若p假q真，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，＋∞)　　　　 B．(－∞，2] C．(1，2)　　　　 D．(－1，2] (2) (2025·徐州调研)已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0为真命题，则实数a的取值范围是____. 双量词成立问题 例4　(1) 已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝－m，若对任意的x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是___；若对任意的x1∈[0，3]，任意的x2∈[1，2]，有f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是____. (2) 已知函数g(x)＝ax＋1(a>0)，f(x)＝x2＋2x，若对任意的x1∈[－1，1]，存在x0∈[－2，1]，使得g(x1)＝f(x0)成立，则a的取值范围是____． 双量词成立问题转化的一般策略 (1) 相等问题：设f(x)在定义域I1上的值域为A，g(x)在定义域I2上的值域为B. ①∀x1∈I1，∃x2∈I2，使得f(x1)＝g(x2)，则A⊆B； ②∃x1∈I1，∃x2∈I2，使得f(x1)＝g(x2)，则A∩B≠∅. (2) 不等问题：设f(x)在定义域I1上有最值，g(x)在定义域I2上有最值． ①∀x1∈I1，∀x2∈I2，使得f(x1)≥g(x2)，则f(x)min≥g(x)max； ②∀x1∈I1，∃x2∈I2，使得f(x1)≥g(x2)，则f(x)min≥g(x)min； ③∃x1∈I1，∀x2∈I2，使得f(x1)≥g(x2)，则f(x)max≥g(x)max； ④∃x1∈I1，∃x2∈I2，使得f(x1)≥g(x2)，则f(x)max≥g(x)min. 1．已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果对于任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是____. 2．已知函数f(x)＝x2－2ax－3，g(x)＝，其中a>0.若对任意的x1∈[－2，－1]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)>g(x2)，则实数a的取值范围为___． 3．已知函数f(x)＝x2＋2x，g(x)＝ln (x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＞g(x2)，则实数a的取值范围是____． 随堂内化 1．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题　　　　 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题　　　　 D．¬p和¬q都是真命题 2．若命题“∃x∈[0，3]，x2－2x－a<0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．3 3．(2025·德州模拟)某次考试后，甲、乙、丙、丁四位同学讨论其中一道考题，各自陈述如下，甲说：我做错了；乙说：甲做对了；丙说：我做错了；丁说：我和乙中有人做对．已知四人中只有一位同学的解答是正确的，且只有一位同学的陈述是正确的，则解答正确的同学是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．已知函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln (x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是____ 配套精练 一、 单项选择题 1．(2025·芜湖二模)命题“∀x>0，10x>lg x”的否定是(　　) A．∀x>0，10x≤lg x　　　　 B．∀x≤0，10x≤lg x C．∃x≤0，10x≤lg x　　　　 D．∃x>0，10x≤lg x 2．下列命题中是假命题的是(　　) A．对任意实数x，均有x＋1>x B．不存在实数x，使x2＋x＋1<0 C．方程x2－2x＋3＝0至少有一个实数根 D．∃x∈R，|x|≤x 3．(2025·许昌二模)已知命题p：∀x∈R，<1，命题q：∃x>0，x3<x2，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 4．已知命题“∃x∈R，(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1≤0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪[3，＋∞)　　　 B．[－1，3] C．(－∞，0]∪[1，＋∞)　 D．(－1，3) 5．已知f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对任意的x1∈[－1，3]，存在x2∈[0，1]，使f(x1)≥g(x2)，则m的取值范围是(　　) A．　　　　 B．[－8，＋∞) C．[1，＋∞)　　　　 D． 二、 多项选择题 6．命题“存在x>0，使得mx2＋2x－1>0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．m>－2 B．m>－1 C．m>0 D．m>1 7．已知f(x)＝x2＋x＋m，下列说法正确的是(　　) A．命题“∀x>0，f(x)>0”的否定是“∃x≤0，f(x)≤0” B．若命题“∀x∈R，f(x)>0”为真命题，则m> C．“m<0”是“方程f(x)＝0有实数解”的充分不必要条件 D．若命题“∃x∈(－1，1)，f(x)>0”为真命题，则m>－2 三、 填空题 8．(2025·石家庄三模)若命题p：∀x>0，x2－7x＋6≤0，则命题p的否定为____． 9．若“∃x∈(0，＋∞)，x2－ax＋4<0”是假命题，则实数a的取值范围为____． 10．已知函数f(x)＝ax＋2(a>0)，g(x)＝，若∃x1∈[－1，2]，∀x2∈[2，3]，使f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是____． 四、 解答题 11．设命题p：∀x≥1，x2－x＋1－m>0，命题q：∀x∈R，4x2＋(4m－2)x＋1≠0. (1) 若q为真命题，求实数m的取值范围； (2) 若p为假命题，q为真命题，求实数m的取值范围． 12．已知m∈R，命题p：∀x∈[0，1]，2x－2≥m2－3m；命题q：∃x∈[－1，1]，m≤1－x2. (1) 若p为真命题，求m的取值范围； (2) 若p和q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 13．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax. (1) 若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最小值； (2) 若函数g(x)＝，∀x1∈，∃x2∈，使f′(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　全称量词和存在量词 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)若命题p：∃x∈R，x＋1≥0，则命题p的否定是(　A　) A．∀x∈R，x＋1＜0 B．∀x∈R，x＋1≥0 C．∃x∈R，x＋1<0 D．∃x∈R，x＋1≥0 2．(教材经典题改编)(多选)下列命题是全称量词命题且为真命题的有(　AC　) A．每一个末位是0的整数都是5的倍数 B．有些菱形是正方形 C．对任意负数x，x的平方是正数 D．梯形的对角线相等 3．已知命题p：∃x∈[0，＋∞)，a<＋1，若p为真命题，则实数a的取值范围为__(－∞，2)__． 【解析】 设f(x)＝＋1，x∈[0，＋∞)，若p为真命题，则a＜f(x)max＝f(0)＝2. 4．(教材经典题改编)已知“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，则实数λ的取值范围是__(3，＋∞)__. 【解析】 因为“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，所以“∃x＞1，2x＋1≤λ”是真命题．因为当x＞1时，2x＋1＞3，所以实数λ的取值范围是(3，＋∞). 5．设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0.若p，q都为真命题，则实数m的取值范围为____． 【解析】 若命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4.若命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0为真 命题，则Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)＜0，解得m>.又p，q都为真命题，所以实数m的取值范围是. 聚焦知识 1．全称量词命题与存在量词命题 全称量词命题 存在量词命题 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 __∃x∈M，¬p(x)__，是__存在__量词命题 __∀x∈M，¬p(x)__，是__全称__量词命题 2．常见词语的否定 词语 是 都是 大于 小于 词语的 否定 __不是__ __不都是__ __小于或等于__ __大于或等于__ 词语 且 至少有 n个 至多有 一个 所有x 都成立 词语的 否定 __或__ __至多有n－1个__ __至少有两个__ __存在一个x不成立__ 题型突破　能力进阶 举题说法 含量词的命题的真假判断 例1　(多选)下列命题是真命题的是(　BD　) A．∃a≥3，a2＝3a－2 B．∃x0∈N，2x0>0 C．∀x∈∁RQ，x2∈Q D．∀x∈N*，∉N 【解析】 对于A，由a2＝3a－2，得(a－2)(a－1)＝0，解得a＝2或a＝1，所以a<3，故A错误；对于B，当x0＝0时，2x0＝1>0，故B正确；对于C，若x＝＋1，则x2＝4＋2∉Q，故C错误；对于D，∀x∈N*，＝3－，因为∈，所以∉N，满足条件，故D正确． 判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可． 变式1　(2025·唐山一模)已知命题p：∀x∈R，x2>0；命题q：∃x>0，ln x<0，则(　B　) A．p和q都是真命题 B．p是假命题，q是真命题 C．p是真命题，q是假命题 D．p和q都是假命题 【解析】 对于命题p：∀x∈R，x2>0，当x＝0时，x2＝0，故命题p是假命题；对于命题q：∃x>0，ln x<0，当x＝时，ln ＝－1<0，故命题q是真命题． 含量词的命题的否定 例2　写出下列命题的否定，并判断其真假性． (1) ∀x∈Z，|x|∈N； 【解答】 ∃x∈Z，|x|∉N；假命题． (2) 每一个平行四边形都是中心对称图形； 【解答】 有些平行四边形不是中心对称图形；假命题． (3) 有些三角形是直角三角形； 【解答】 所有三角形都不是直角三角形；假命题． (4) ∃x∈R，x＋1≤0； 【解答】 ∀x∈R，x＋1>0；假命题． (5) ∃x∈R，x2＋2x＋3＝0. 【解答】 ∀x∈R，x2＋2x＋3≠0；真命题． 对于存在量词命题的判断，只要能找到符合要求的元素使命题成立，即可判断该命题成立；对于全称量词命题的判断，必须对任意元素证明这个命题为真，而只要找到一个特殊元素使命题为假，即可判断该命题不成立． 变式2　(1) (2025·青岛二模)命题“∀x>y，x2>y2”的否定为(　D　) A．∀x>y，x2≤y2　　　　 B．∀x<y，x2≤y2 C．∃x<y，x2≤y2　　　　　 D．∃x>y，x2≤y2 (2) (2025·漳州二模)命题“∀x>0，x＋1≤ex”的否定是(　D　) A．∃x≤0，x＋1≤ex B．∃x≤0，x＋1>ex C．∃x>0，x＋1≤ex D．∃x>0，x＋1>ex 结合命题真假确定参数 例3　(1) 已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为__(－∞，－2]__． 【解析】 由命题p为真，得a≤0.由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1.综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]. (2) 若命题“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是假命题，则实数a的取值范围是__(－∞，－1)∪(3，＋∞)__． 【解析】 若∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，则Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.因为命题“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是假命题，所以实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞). 根据命题的真假求参数取值范围的策略 (1) 已知命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围； (2) 对于含有量词的命题求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． 变式3　(1) 已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0，命题q：∀x>0，x＋>a.若p假q真，则实数a的取值范围为(　C　) A．(1，＋∞)　　　　 B．(－∞，2] C．(1，2)　　　　 D．(－1，2] 【解析】 因为命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0为假命题，所以∀x∈R，x2＋2x＋a>0为真命题，则满足Δ＝22－4a<0，解得a>1.因为命题q：∀x>0，x＋>a为真命题，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以a<2.综上，实数a的取值范围为(1，2). (2) (2025·徐州调研)已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0为真命题，则实数a的取值范围是____. 【解析】 因为命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3>0为真命题，所以不等式ax2＋2x＋3>0的解集为R.若a＝0，则不等式ax2＋2x＋3>0可化为2x＋3>0，解得x>－，不等式的解集不是R；若a≠0，则根据一元二次不等式解集的形式可知解得a>.综上可知，a>. 双量词成立问题 例4　(1) 已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝－m，若对任意的x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是____；若对任意的x1∈[0，3]，任意的x2∈[1，2]，有f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是____. 【解析】 当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0.当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，g(x)max＝g(1)＝－m.对任意的x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，等价于f(x1)min≥g(x2)min，即0≥－m，所以m≥.对任意的x1∈[0，3]，任意的x2∈[1，2]，有f(x1)≥g(x2)，等价于f(x1)min≥g(x2)max，即0≥－m，所以m≥. (2) 已知函数g(x)＝ax＋1(a>0)，f(x)＝x2＋2x，若对任意的x1∈[－1，1]，存在x0∈[－2，1]，使得g(x1)＝f(x0)成立，则a的取值范围是__(0，2]__． 【解析】 当x1∈[－1，1]时，g(x1)∈[－a＋1，a＋1].当x0∈[－2，1]时，f(x0)∈[－1，3].若对任意的x1∈[－1，1]，存在x0∈[－2，1]，使得g(x1)＝f(x0)成立，则有[－a＋1，a＋1]⊆[－1，3]，即又a>0，解得0<a≤2，因此a的取值范围是(0，2]. 双量词成立问题转化的一般策略 (1) 相等问题：设f(x)在定义域I1上的值域为A，g(x)在定义域I2上的值域为B. ①∀x1∈I1，∃x2∈I2，使得f(x1)＝g(x2)，则A⊆B； ②∃x1∈I1，∃x2∈I2，使得f(x1)＝g(x2)，则A∩B≠∅. (2) 不等问题：设f(x)在定义域I1上有最值，g(x)在定义域I2上有最值． ①∀x1∈I1，∀x2∈I2，使得f(x1)≥g(x2)，则f(x)min≥g(x)max； ②∀x1∈I1，∃x2∈I2，使得f(x1)≥g(x2)，则f(x)min≥g(x)min； ③∃x1∈I1，∀x2∈I2，使得f(x1)≥g(x2)，则f(x)max≥g(x)max； ④∃x1∈I1，∃x2∈I2，使得f(x1)≥g(x2)，则f(x)max≥g(x)min. 1．已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果对于任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是__[－5，－2]__. 【解析】 当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1为增函数，值域为(0，3].因为f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f(x)在[－2，2]上的值域为[－3，3].函数g(x)＝x2－2x＋m在[－2，2]上的值域为[m－1，m＋8].因为对任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，所以[－3，3]⊆[m－1，m＋8]，所以解得－5≤m≤－2，即实数m的取值范围是[－5，－2]. 2．已知函数f(x)＝x2－2ax－3，g(x)＝，其中a>0.若对任意的x1∈[－2，－1]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)>g(x2)，则实数a的取值范围为____． 【解析】 因为f(x)＝x2－2ax－3的对称轴为直线x＝a，且a>0，所以f(x)在[－2，－1]上单调递减，f(x)min＝f(－1)＝2a－2.因为g(x)＝在[1，2]上单调递减，所以g(x)min＝g(2)＝.由题意知f(x)min>g(x)min，所以2a－2>，解得a>.故实数a的取值范围是. 3．已知函数f(x)＝x2＋2x，g(x)＝ln (x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＞g(x2)，则实数a的取值范围是__(－8，＋∞)__． 【解析】 由题意知f(x1)max＞g(x2)min，x1，x2∈[0，2]，易得f(x1)max＝8，g(x2)min＝－a，则有8＞－a，所以a＞－8. 随堂内化 1．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　B　) A．p和q都是真命题　　　　 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题　　　　 D．¬p和¬q都是真命题 【解析】 对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题．对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题．综上，¬p和q都是真命题． 2．若命题“∃x∈[0，3]，x2－2x－a<0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是(　B　) A．－1 B．0 C．1 D．3 【解析】 由题意得a>x2－2x在[0，3]上有解，当x＝1时，x2－2x取最小值－1，则a>(x2－2x)min＝－1，故a可取的最小整数值为0. 3．(2025·德州模拟)某次考试后，甲、乙、丙、丁四位同学讨论其中一道考题，各自陈述如下，甲说：我做错了；乙说：甲做对了；丙说：我做错了；丁说：我和乙中有人做对．已知四人中只有一位同学的解答是正确的，且只有一位同学的陈述是正确的，则解答正确的同学是(　C　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解析】 若甲解答正确，则乙、丙陈述正确，不合题意；若乙解答正确，则甲、丙、丁陈述正确，不合题意；若丙解答正确，则只有甲陈述正确，符合题意；若丁解答正确，则甲、丙、丁陈述正确，不合题意．综上，解答正确的是丙． 4．已知函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln (x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是__[－4，ln 3]__ 【解析】 当x∈[0，2]时，f(x)的值域A＝[0，4]，g(x)的值域B＝[－a，ln 3－a].由存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝g(x2)，知A∩B≠∅.由A∩B＝∅，得4＜－a或ln 3－a＜0，解得a＜－4或a＞ln 3.故当A∩B≠∅时，－4≤a≤ln 3，所以a的取值范围是[－4，ln 3].． 配套精练 一、 单项选择题 1．(2025·芜湖二模)命题“∀x>0，10x>lg x”的否定是(　D　) A．∀x>0，10x≤lg x　　　　 B．∀x≤0，10x≤lg x C．∃x≤0，10x≤lg x　　　　 D．∃x>0，10x≤lg x 2．下列命题中是假命题的是(　C　) A．对任意实数x，均有x＋1>x B．不存在实数x，使x2＋x＋1<0 C．方程x2－2x＋3＝0至少有一个实数根 D．∃x∈R，|x|≤x 3．(2025·许昌二模)已知命题p：∀x∈R，<1，命题q：∃x>0，x3<x2，则(　A　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 【解析】 对于p：当x≤0时，≤0<1；当x>0时，＝<1，所以命题p是真命题．对于q：当x＝时，x3＝<x2＝，所以命题q是真命题． 4．已知命题“∃x∈R，(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1≤0”是真命题，则实数m的取值范围是(　A　) A．(－∞，－1)∪[3，＋∞)　　　 B．[－1，3] C．(－∞，0]∪[1，＋∞)　 D．(－1，3) 【解析】 若不等式(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1>0对任意x∈R恒成立，则有①当m＋1＝0，即m＝－1时，不等式显然成立；②当m＋1>0时，Δ＝(m＋1)2－4(m＋1)<0，解得－1<m<3；③当m＋1<0时，不等式(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1>0对任意x∈R显然不恒成立，舍去．综上，若不等式(m＋1)·x2＋(m＋1)x＋1>0对任意x∈R恒成立，则－1≤m<3，所以当“∀x∈R，(m＋1)x2＋(m＋1)x＋1>0”是假命题时，m∈(－∞，－1)∪[3，＋∞). 5．已知f(x)＝x2，g(x)＝x－m，若对任意的x1∈[－1，3]，存在x2∈[0，1]，使f(x1)≥g(x2)，则m的取值范围是(　D　) A．　　　　 B．[－8，＋∞) C．[1，＋∞)　　　　 D． 【解析】 由题意可知f(x1)min≥g(x2)min.当x1∈[－1，3]时，f(x1)min＝f(0)＝0.当x2∈[0，1]时，g(x2)min＝g(1)＝－m，故0≥－m，解得m≥. 二、 多项选择题 6．命题“存在x>0，使得mx2＋2x－1>0”为真命题的一个充分不必要条件是(　CD　) A．m>－2 B．m>－1 C．m>0 D．m>1 【解析】 由题意，存在x>0，使得mx2＋2x－1>0，即m>，x>0，而＝2－2×＝2－1，当－1＝0，即x＝1时，取得最小值－1，故m>－1.所以命题“存在x>0，使得mx2＋2x－1>0”为真命题的充分不必要条件是{m|m>－1}的真子集，结合选项可得，C和D项符合条件． 7．已知f(x)＝x2＋x＋m，下列说法正确的是(　BCD　) A．命题“∀x>0，f(x)>0”的否定是“∃x≤0，f(x)≤0” B．若命题“∀x∈R，f(x)>0”为真命题，则m> C．“m<0”是“方程f(x)＝0有实数解”的充分不必要条件 D．若命题“∃x∈(－1，1)，f(x)>0”为真命题，则m>－2 【解析】 对于A，命题“∀x>0，f(x)>0”的否定是“∃x>0，f(x)≤0”，故A错误．对于B，若命题“∀x∈R，f(x)>0”为真命题，则Δ＝1－4m<0，解得m>，故B正确．对于C，若m<0，则Δ＝1－4m>0，可知方程f(x)＝0有实数解，即充分性成立；取m＝0，方程f(x)＝x2＋x＝0有实数解－1，0，不满足m<0，即必要性不成立，所以“m<0”是“方程f(x)＝0有实数解”的充分不必要条件，故C正确．对于D，命题“∃x∈(－1，1)，f(x)>0”为真命题，由f(x)＝x2＋x＋m的图象开口向上，对称轴为x＝－，得当x∈(－1，1)时，f(x)max＝f(1)＝1＋1＋m>0，解得m>－2，故D正确． 三、 填空题 8．(2025·石家庄三模)若命题p：∀x>0，x2－7x＋6≤0，则命题p的否定为__∃x>0，x2－7x＋6>0__． 9．若“∃x∈(0，＋∞)，x2－ax＋4<0”是假命题，则实数a的取值范围为__(－∞，4]__． 【解析】 因为“∃x∈(0，＋∞)，x2－ax＋4<0”是假命题，所以“∀x∈(0，＋∞)，x2－ax＋4≥0”为真命题，其等价于a≤x＋在(0，＋∞)上恒成立．因为对勾函数f(x)＝x＋在(0，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(2)＝4，所以a≤4，即实数a的取值范围为(－∞，4]. 10．已知函数f(x)＝ax＋2(a>0)，g(x)＝，若∃x1∈[－1，2]，∀x2∈[2，3]，使f(x1)＝g(x2)成立，则实数a的取值范围是__[1，＋∞)__． 【解析】 由函数f(x)＝ax＋2(a>0)在区间[－1，2]上单调递增，可得－a＋2≤f(x)≤2a＋2，即函数f(x)的值域构成集合A＝[－a＋2，2a＋2].由函数g(x)＝在[2，3]上单调递减，可得1≤g(x)≤2，即函数g(x)的值域构成集合B＝[1，2].因为∃x1∈[－1，2]，∀x2∈[2，3]，使f(x1)＝g(x2)成立，所以B⊆A，则满足解得a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞). 四、 解答题 11．设命题p：∀x≥1，x2－x＋1－m>0，命题q：∀x∈R，4x2＋(4m－2)x＋1≠0. (1) 若q为真命题，求实数m的取值范围； 【解答】 由∀x∈R，4x2＋(4m－2)x＋1≠0，得关于x的方程4x2＋(4m－2)x＋1＝0无实根，因此Δ＝(4m－2)2－16<0，解得－<m<，所以实数m的取值范围是. (2) 若p为假命题，q为真命题，求实数m的取值范围． 【解答】 由p为假命题，得¬p：∃x≥1，x2－x＋1－m≤0为真命题，即∃x≥1，m≥x2－x＋1，而当x≥1时，x2－x＋1＝x(x－1)＋1≥1，当且仅当x＝1时取等号，因此m≥1.由(1)知，若q为真命题，则－<m<，所以1≤m<，故实数m的取值范围是. 12．已知m∈R，命题p：∀x∈[0，1]，2x－2≥m2－3m；命题q：∃x∈[－1，1]，m≤1－x2. (1) 若p为真命题，求m的取值范围； 【解答】 若命题p为真命题，则x∈[0，1]时，m2－3m≤(2x－2)min＝－2，可得m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2.因此，若p为真命题，则m的取值范围是[1，2]. (2) 若p和q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【解答】 若命题q为真命题，则x∈[－1，1]时，m≤(1－x2)max＝1.当p真q假时，则有即1<m≤2；当p假q真时，则有即m<1；当p，q都真时，则有即m＝1.因为p和q至少有一个为真命题，所以m≤2.因此，若p和q至少有一个为真，则实数m的取值范围是(－∞，2]. 13．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax. (1) 若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最小值； 【解答】 由题设知f′(x)＝x2＋2x＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立．因为函数y＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，则ymax＝－3，所以a≥－3，所以实数a的最小值为－3. (2) 若函数g(x)＝，∀x1∈，∃x2∈，使f′(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围． 【解答】 由题可知，当x∈时，f′(x)max≤g(x)max.因为f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在上单调递增，所以f′(x)max＝f′(2)＝8＋a.而g′(x)＝，由g′(x)＞0，得x＜1，由g′(x)＜0，得x＞1，所以g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当x∈时，g(x)max＝g(1)＝.由8＋a≤，得a≤－8，所以实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $