第1章 第2讲 充分条件与必要条件（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学高考复习讲义围绕充分条件与必要条件核心考点，按定义理解、集合关联、题型应用逻辑架构知识体系，通过激活思维基础题、聚焦知识梳理、题型突破（判断、参数、证明）、随堂内化及配套精练环节，系统构建复习路径，针对性突破难点。 资料创新采用集合包含关系判断条件关系，强调参数问题区间端点检验，设计充要条件证明双思路（直接法、集合思想），培养学生数学思维与推理能力。分层练习覆盖选择、填空、解答，配合即时反馈，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第2讲　充分条件与必要条件 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的(　C　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(教材经典题改编)“x∈A”是“x∈A∩B”的(　B　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．(多选)若“x2－x－2<0”是“－2<x<a”的充分不必要条件，则实数a的值可以是(　BCD　) A．1　 B．2　 C．3 D．4 【解析】 由x2－x－2<0，解得－1<x<2，所以(－1，2) (－2，a)，所以a≥2，所以实数a的值可以是2，3，4. 4．已知f(x)是R上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的__充分不必要__条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 【解析】 因为函数f(x)是奇函数，且x1＋x2＝0，所以x1＝－x2，则f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＝0成立，即充分性成立；取f(x)＝sin x，当x1＝π，x2＝2π时，f(x1)＝f(x2)＝0，此时满足f(x1)＋f(x2)＝0，但x1＋x2＝3π≠0，即必要性不成立．故“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充分不必要条件． 5．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么r是q的__充要__条件，p是q的__必要__条件． 【解析】 因为q⇒s⇒r⇒q，所以r是q的充要条件．又q⇒s⇒r⇒p，所以p是q的必要条件． 聚焦知识 1．充分条件、必要条件与充要条件 如果“p⇒q”，那么称p是q的__充分__条件，也称q是p的__必要__条件 p是q的__充分不必要__条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 __pq且q⇒p__ p是q的__充要__条件 p⇔q p是q的__既不充分又不必要__条件 pq且qp 2．命题 能够判断真假的语句 原命题： 若p，则q 逆命题： 若q，则p 否命题： 若¬p，则¬q 逆否命题： 若¬q，则¬p 3．从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则： (1) 若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2) 若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； (3) 若A＝B，则p是q的充要条件． 题型突破　能力进阶 举题说法 充要条件的判断 例1　(1) (2025·九江二模)“m>2”是“|m|>log23”的(　A　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 (2) (2025·苏锡常镇一模)“>>0”是“2a>2b”的(　D　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 (3) (多选)已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋a2－3＝0}，B＝{x|x<0}，则“A∩B＝∅是真命题”的一个充分不必要条件是(　BCD　) A．a<－2或a≥ B．a<－2 C．a> D．a<－2或a>2 【解析】 当A＝∅时，则Δ＝a2－4(a2－3)<0，解得a<－2或a>2.当A≠∅时，则由题意可得方程x2－ax＋a2－3＝0有两个非负实数根，所以解得≤a≤2.综上，a的取值范围是{a|a<－2或a≥}，即A∩B＝∅是真命题的充要条件为a<－2或a≥，故其充分不必要条件为它的真子集． 判断充要条件的三种方法 (1) 定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2) 集合法：利用集合的包含关系判断．小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． (3) 传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 1．(2025·泰州一模)已知a，b为实数，“a≠0”是“ab≠0”的(　B　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx－2＝0}，则“B是A的真子集”的一个充分不必要条件是(　B　) A．m∈　　　　 B．m∈ C．m∈　　　　 D．m∈ 【解析】 A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}．若m＝0，则B＝∅，BA；若m＝1，则B＝{2}，BA；若m＝－，则B＝{－3}，BA.所以BA的一个充分不必要条件是m∈. 3．(2026·荆州期初)已知集合A＝{1，m}，B＝{0，1，2，3}，则“A⊆B”是“m＝2”的(　C　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 4．(多选)下列命题正确的是(　ABD　) A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B．“m<0”是“二次方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件 C．“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充要条件 D．“x≠1”是“x2－4x＋3≠0”的必要不充分条件 【解析】 对于A，由a>1可得0<<1，所以<1成立，所以“a>1”是“<1”的充分条件；由<1可得a<0或a>1，所以“a>1”不是“<1”的必要条件．综上，“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确．对于B，“二次方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根一负根”等价于“x1x2＝m<0”，故B正确．对于C，由“x≤1且y≤1”可得“x＋y≤2”，但“x＋y≤2”时，如x＝－3，y＝4，此时“x≤1且y≤1”不成立，故C错误．对于D，因为x≠1推不出x2－4x＋3≠0，但x2－4x＋3≠0能推出x≠1，所以“x≠1”是“x2－4x＋3≠0”的必要不充分条件，故D正确． 结合充要条件确定参数 例2　(1) 已知p：x2＋2x－3>0，q：x>a，且q的一个必要不充分条件是p，则实数a的取值范围是(　A　) A．[1，＋∞)　　　　 B．(－∞，1] C．[－1，＋∞)　　　　 D．(－∞，－3] 【解析】 p：由x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1.因为q：x>a，且q的一个必要不充分条件是p，所以a≥1，即a的取值范围是[1，＋∞). (2) 已知集合A＝{x|x2<1}，B＝{x|2a<x<2a＋1}，若“t∈B”是“t∈A”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为(　A　) A．　　　　 B． C．　　　　 D． 【解析】 由x2<1，解得－1<x<1，故A＝(－1，1).因为“t∈B”是“t∈A”的充分不必要条件，所以BA，所以解得－≤a≤0. (1) p：x∈M是q：x∈N的充分不必要条件⇔MN；p：x∈M是q：x∈N的必要不充分条件⇔NM. (2) 在解求参数的取值范围的题目时，一定要注意区间端点值的检验．在利用集合关系列不等式时，不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解． 变式2　已知p：|x－1|>2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a>0)，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___(0，2]__． 【解析】 由题可得p：x>3或x<－1，q：x2－2x＋1－a2≥0⇔[x－(1－a)][x－(1＋a)]≥0，因为a＞0，所以1－a＜1＋a，解得x≥1＋a或x≤1－a.因为q是p的必要不充分条件，所以解得0＜a≤2. 充要条件的证明 例3　求证：“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件． 【解答】 充分性：若m<0，则关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，证明如下：当m<0时，Δ＝(－2)2－4m＝4－4m>0，所以方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实根．设两根分别为x1，x2，则x1x2＝m<0，所以方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，故充分性成立． 必要性：若关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，则m<0，证明如下：设方程x2－2x＋m＝0的一正一负根分别为x1，x2，则解得m<0，所以若关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根，则m<0，故必要性成立．所以“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件． 充要条件证明的两个思路 (1) 直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2) 集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 变式3　求证：“方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根(含两相等负根)”的充要条件为“a≤0或a＝1”． 【解答】 必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根，则a≤0或a＝1，证明如下：当a＝0时，方程为2x＋1＝0，解得x＝－，符合题意；当a<0时，Δ＝4－4a>0，设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1x2＝<0，此时方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根；当a>0时，由Δ＝4－4a>0，可得0<a<1，设方程ax2＋2x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则所以x1，x2均为负数，不合题意；当a＝1时，Δ＝0，可得方程有两个相等的负数根，必要性成立．充分性：若a≤0或a＝1，则方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根．证明如下：当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，解得x＝－，原方程只有一个负数根；当a＝1时，方程为x2＋2x＋1＝0，解得x＝－1，原方程有两个相等的负数根；当a<0时，Δ＝4－4a>0，此时方程ax2＋2x＋1＝0有两根，设为x1，x2，则x1x2＝<0，此时方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根，充分性成立．综上所述，“方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根”的充要条件为“a≤0或a＝1”． 随堂内化 1．(2025·阳泉期末)已知集合A＝{x|x2＋2x<3}，B＝{x|2x＋x<3}，则“x∈A”是“x∈B”的(　A　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】 由x2＋2x<3，可得－3<x<1，所以A＝{x|－3<x<1}．因为f(x)＝2x＋x在R上单调递增，且f(1)＝3，所以由2x＋x<3，可得x<1，所以B＝{x|x<1}，所以AB，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件． 2．(2025·青岛一模)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的(　C　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】 由B⊆∁UC，得B∩C＝∅，而A⊆C，则A∩B＝∅，故“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充分条件；由A∩B＝∅，知存在集合C＝A，使得A⊆C，B⊆∁UC，如图，所以“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的必要条件． (第2题答) 3．已知p：(x－m)(x－m－2)>0，q：x2－x－6≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　B　) A．(－∞，－4]∪[3，＋∞) B．(－∞，－4)∪(3，＋∞) C．[－4，3) D．[－4，3] 【解析】 由(x－m)(x－m－2)>0，解得x>m＋2或x<m，即p：x>m＋2或x<m.由x2－x－6≤0，即(x－3)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤3，所以q：－2≤x≤3.因为p是q的必要不充分条件，所以m＋2<－2或m>3，解得m<－4或m>3，即实数m的取值范围为(－∞，－4)∪(3，＋∞). 4．已知集合A＝，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__(－∞，0]__． 【解析】 由-x-6≤1，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，则A＝{x|x≤－2或x≥3}．由log3(x＋a)≥1，得x＋a≥3，即x≥3－a，则B＝{x|x≥3－a}．由题意知BA，所以3－a≥3，解得a≤0. 配套精练 一、 单项选择题 1．(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　A　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．使不等式0<<1成立的一个充分不必要条件是(　C　) A．0<x< B．x>1 C．x>2 D．x<0 3．已知集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|x>m}．若“x∈∁RA”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　C　) A．(－∞，1)　　B．[1，3] 　　C．[3，＋∞)　　　D．[2，3] 【解析】 由x2－4x＋3≤0，得(x－1)(x－3)≤0，即A＝[1，3]，故∁RA＝(－∞，1)∪(3，＋∞).因为“x∈∁RA”是“x∈B”的必要不充分条件，所以B∁RA，故m≥3. 4．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[0]＝0，[－0.3]＝－1，那么“|x－y|<1”是“[x]＝[y]”的(　B　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】 如果[x]＝[y]，那么x和y的整数部分是相同的，所以|x－y|<1，即“|x－y|<1”是“[x]＝[y]”的必要条件．如果|x－y|<1，那么x和y的整数部分不一定相同，例如x＝1.2，y＝2.1，所以“|x－y|<1”不是“[x]＝[y]”的充分条件．综上，“|x－y|<1”是“[x]＝[y]”的必要不充分条件． 5．若1<x<2是不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　C　) A．[1，2) B．(1，2] C．[1，2] D．(1，2) 【解析】 由(x－a)2<1，得a－1<x<a＋1.因为1<x<2是不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件，所以且等号不能同时取得，即解得1≤a≤2. 二、 多项选择题 6．下列说法正确的是(　ABD　) A．“∃x∈N*，x2－4<0”是真命题 B．“x∈N”是“x∈Q”的充分不必要条件 C．在△ABC中，“∠C＝90°”是“△ABC是直角三角形”的充要条件 D．已知a>0，则“－1>0”是“a－b>0”的充分不必要条件 7．(2025·威海期末)设向量a＝(x＋4，x)，b＝(x，2)，则(　AC　) A．x＝0是a⊥b的充分条件 B．x＝－6是a⊥b的必要条件 C．a∥b是x＝4的必要条件 D．a∥b是x＝－2的充分条件 【解析】 对于A，B，a⊥b⇔a·b＝(x＋4，x)·(x，2)＝x2＋4x＋2x＝0，解得x＝0或－6，故x＝0和x＝－6都是a⊥b的充分条件，A正确，B错误；对于C，D，a∥b⇔x2－2(x＋4)＝0，解得x＝4或－2，故a∥b是x＝4的必要条件，也是x＝－2的必要条件，故C正确，D错误． 8．已知p：|2x－1|<3，q：2x2－ax－a2≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围可以是(　AC　) A．(－1，0)　　　　 B．(－2，0] C．(－1，1)　　　　 D．(－1，2] 【解析】 对于p：|2x－1|<3，解得－1<x<2，设A＝{x|－1<x<2}．对于q：2x2－ax－a2≤0，即(2x＋a)(x－a)≤0，当a≥0时，解得－≤x≤a，设B＝；当a<0时，解得a≤x≤－，设B＝.因为p是q的必要不充分条件，所以BA.当a≥0时，解得0≤a<2；当a<0时，解得－1<a<0.综上，－1<a<2.故只要实数a的取值集合是集合{a|－1<a<2}的子集即可． 三、 填空题 9．(2025·泰安模拟)写出“x≥0”的一个必要不充分条件为__x>－1(答案不唯一)__． 10．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个异号实根的充要条件是__ac<0__． 【解析】 ac<0是该方程有两个异号实根的充要条件，证明必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根，设两根为x1，x2，所以Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝<0，所以ac<0.充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0，从而一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，设为x1，x2，则x1x2＝，由ac<0知x1x2<0，即两根异号，所以方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正一负两实根．因此ac<0是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个异号实根的充要条件． 11．甲同学写出三个不等式，p：<0，q：x2－ax＋3a≤0，r：2x>，然后将a的值告诉了乙、丙、丁三位同学，要求他们各用一句话来描述，以下是甲、乙、丙、丁四位同学的描述． 乙：a为整数； 丙：p是q成立的充分不必要条件； 丁：r是q成立的必要不充分条件； 甲：三位同学说得都对． 则a的值为__－1__． 【解析】 p：<0等价于x(x－1)<0，解得0<x<1.因为p是q成立的充分不必要条件，所以解得a≤－.r：由2x>，解得x>－3.因为r是q成立的必要不充分条件，所以q的解集是r的解集的真子集，在a≤－的前提下，结合二次函数的性质得x＝≤－，函数y＝x2－ax＋3a与y轴的交点为(0，3a)，3a<0，二次函数的大致图象如图所示，只需要在x＝－3处的函数值大于0即可，即9＋3a＋3a>0，解得a>－.综上，－<a≤－.又因为a是整数，所以a＝－1. (第11题答) 四、 解答题 12．已知p：q：x≥3m＋1或x≤3m－3. (1) 若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； 【解答】 由题知p：2<x<8.因为p是q的充分条件，所以3m＋1≤2或3m－3≥8，解得m≤或m≥，即实数m的取值范围是. (2) 若p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【解答】 依题意，¬q：3m－3<x<3m＋1，由(1)知p：2<x<8，因为p是¬q的必要不充分条件，所以且等号不能同时取得，解得≤m≤，即实数m的取值范围是. 13．已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 【解答】 ①必要性：因为a＋b＝1，所以a＋b－1＝0，所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.②充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，又ab≠0，所以a≠0且b≠0.因为a2－ab＋b2＝＋b2>0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.综上可得，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 14．已知p：|4x－3|≤1，q：x2－4ax＋3a－1≤0. (1) 是否存在实数a，使得p是q的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【解答】 不存在．理由如下：由|4x－3|≤1，得－1≤4x－3≤1，解得≤x≤1，即p：≤x≤1.假设存在实数a，使得p是q的充要条件，则不等式x2－4ax＋3a－1≤0的解集为，所以x1＝，x2＝1是方程x2－4ax＋3a－1＝0的两个根，故此方程组无解，故假设不成立，所以不存在实数a，使得p是q的充要条件． (2) 若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解答】 若p是q的充分不必要条件，则集合为不等式x2－4ax＋3a－1≤0的解集的真子集．令f(x)＝x2－4ax＋3a－1，则由二次函数的图象性质可得即解得0≤a≤.当a＝0时，x2－4ax＋3a－1≤0⇔x2－1≤0，解得－1≤x≤1，满足题意；当a＝时，x2－4ax＋3a－1≤0⇔x2－3x＋≤0，解得≤x≤，满足题意．所以实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲　充分条件与必要条件 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”是“b2－4ac≥0(a≠0)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(教材经典题改编)“x∈A”是“x∈A∩B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．(多选)若“x2－x－2<0”是“－2<x<a”的充分不必要条件，则实数a的值可以是(　　) A．1　 B．2　 C．3 D．4 4．已知f(x)是R上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的____条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 5．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么r是q的____条件，p是q的____条件． 聚焦知识 1．充分条件、必要条件与充要条件 如果“p⇒q”，那么称p是q的____条件，也称q是p的____条件 p是q的____条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 ____ p是q的____条件 p⇔q p是q的____条件 pq且qp 2．命题 能够判断真假的语句 原命题： 若p，则q 逆命题： 若q，则p 否命题： 若¬p，则¬q 逆否命题： 若¬q，则¬p 3．从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则： (1) 若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2) 若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； (3) 若A＝B，则p是q的充要条件． 题型突破　能力进阶 举题说法 充要条件的判断 例1　(1) (2025·九江二模)“m>2”是“|m|>log23”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 (2) (2025·苏锡常镇一模)“>>0”是“2a>2b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 (3) (多选)已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋a2－3＝0}，B＝{x|x<0}，则“A∩B＝∅是真命题”的一个充分不必要条件是(　　) A．a<－2或a≥ B．a<－2 C．a> D．a<－2或a>2 判断充要条件的三种方法 (1) 定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2) 集合法：利用集合的包含关系判断．小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． (3) 传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 1．(2025·泰州一模)已知a，b为实数，“a≠0”是“ab≠0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx－2＝0}，则“B是A的真子集”的一个充分不必要条件是(　　) A．m∈　　　　 B．m∈ C．m∈　　　　 D．m∈ 3．(2026·荆州期初)已知集合A＝{1，m}，B＝{0，1，2，3}，则“A⊆B”是“m＝2”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 4．(多选)下列命题正确的是(　　) A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B．“m<0”是“二次方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件 C．“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充要条件 D．“x≠1”是“x2－4x＋3≠0”的必要不充分条件 结合充要条件确定参数 例2　(1) 已知p：x2＋2x－3>0，q：x>a，且q的一个必要不充分条件是p，则实数a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞)　　　　 B．(－∞，1] C．[－1，＋∞)　　　　 D．(－∞，－3] (2) 已知集合A＝{x|x2<1}，B＝{x|2a<x<2a＋1}，若“t∈B”是“t∈A”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为(　　) A．　　　　 B． C．　　　　 D． (1) p：x∈M是q：x∈N的充分不必要条件⇔MN；p：x∈M是q：x∈N的必要不充分条件⇔NM. (2) 在解求参数的取值范围的题目时，一定要注意区间端点值的检验．在利用集合关系列不等式时，不等式是否能取到等号直接决定着端点值的取舍，在这里容易增解或漏解． 变式2　已知p：|x－1|>2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a>0)，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_____． 充要条件的证明 例3　求证：“m<0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件． 充要条件证明的两个思路 (1) 直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2) 集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 变式3　求证：“方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根(含两相等负根)”的充要条件为“a≤0或a＝1”． 随堂内化 1．(2025·阳泉期末)已知集合A＝{x|x2＋2x<3}，B＝{x|2x＋x<3}，则“x∈A”是“x∈B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(2025·青岛一模)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知p：(x－m)(x－m－2)>0，q：x2－x－6≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，－4]∪[3，＋∞) B．(－∞，－4)∪(3，＋∞) C．[－4，3) D．[－4，3] 4．已知集合A＝，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是____． 配套精练 一、 单项选择题 1．(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．使不等式0<<1成立的一个充分不必要条件是(　　) A．0<x< B．x>1 C．x>2 D．x<0 3．已知集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|x>m}．若“x∈∁RA”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，1)　　B．[1，3] 　　C．[3，＋∞)　　　D．[2，3] 4．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[0]＝0，[－0.3]＝－1，那么“|x－y|<1”是“[x]＝[y]”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．若1<x<2是不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　) A．[1，2) B．(1，2] C．[1，2] D．(1，2) 二、 多项选择题 6．下列说法正确的是(　　) A．“∃x∈N*，x2－4<0”是真命题 B．“x∈N”是“x∈Q”的充分不必要条件 C．在△ABC中，“∠C＝90°”是“△ABC是直角三角形”的充要条件 D．已知a>0，则“－1>0”是“a－b>0”的充分不必要条件 7．(2025·威海期末)设向量a＝(x＋4，x)，b＝(x，2)，则(　　) A．x＝0是a⊥b的充分条件 B．x＝－6是a⊥b的必要条件 C．a∥b是x＝4的必要条件 D．a∥b是x＝－2的充分条件 8．已知p：|2x－1|<3，q：2x2－ax－a2≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围可以是(　　) A．(－1，0)　　　　 B．(－2，0] C．(－1，1)　　　　 D．(－1，2] 三、 填空题 9．(2025·泰安模拟)写出“x≥0”的一个必要不充分条件为____． 10．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个异号实根的充要条件是___． 11．甲同学写出三个不等式，p：<0，q：x2－ax＋3a≤0，r：2x>，然后将a的值告诉了乙、丙、丁三位同学，要求他们各用一句话来描述，以下是甲、乙、丙、丁四位同学的描述． 乙：a为整数； 丙：p是q成立的充分不必要条件； 丁：r是q成立的必要不充分条件； 甲：三位同学说得都对． 则a的值为____． 四、 解答题 12．已知p：q：x≥3m＋1或x≤3m－3. (1) 若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； (2) 若p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 13．已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 14．已知p：|4x－3|≤1，q：x2－4ax＋3a－1≤0. (1) 是否存在实数a，使得p是q的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． (2) 若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $