第1章 第1讲 集合及其运算（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学讲义聚焦集合的概念、关系、运算及新定义问题等高考核心考点，按“知识梳理-体系构建-题型突破”逻辑组织，通过激活思维题巩固基础，举题说法环节结合例题与变式进行方法指导，配套随堂内化和精练题实现真题训练，帮助学生系统突破集合难点。 资料以数学思维和数学眼光为导向，创新采用“考点分类+策略总结”模式，如集合关系判断提炼列举法、结构法、数轴法，新定义问题培养创新意识。设置基础到综合的分层练习，确保高效复习，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第1讲　集合及其运算 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是(　　) A．1∈A 　　　B．{－1}⊆A 　　　C．∅⊆A 　　　D．{－1，1}∉A 2．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2<2x≤8}，则下列判断正确的是(　　) A．A∪B＝B　 B．(∁RB)∪A＝{x|x≤2或x>3}　　　　 C．A∩B＝{x|1<x≤2}　 D．(∁RB)∪(∁RA)＝R 3．(教材经典题改编)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝____. 4．(教材经典题改编)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为____． 聚焦知识 1．集合与元素 (1) 集合中元素的三个特性：____、____、____． (2) 元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3) 集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4) 常见集合的符号表示 数集 自然 数集 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集 复数 集 符号 N N*或N＋ Z Q R C 2.集合间的基本关系 关系 定义 记法 相等 集合A与B的所有元素都相同 A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B 或B⊇A 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB 注意：若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A有____个子集，____个真子集． 3．集合的基本运算 集合的并集 A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 ∁UA 图形 表示 意义 {x|x∈A 或x∈B} {x|x∈A 且x∈B} {x|x∈U 且x∉A} 4．常见结论与等价关系 (1) A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A. (2) (∁UA)∪A＝____；∁U(∁UA)＝____． (3) 摩根定律：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 题型突破　能力进阶 举题说法 集合中元素的性质 例1　(1) 若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是____． (2) (2025·宣城期末)已知集合A＝，B＝，若A＝B，则a＝(　　) A．1或2 B．－1或0 C．1 D．－1 集合中元素的最重要的性质是互异性，一方面，利用互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，当解答完毕时，检验集合中元素是否满足互异性可确保答案正确． 变式1　(1) (2025·沈阳期初联考)设集合A＝{2，3，4，5}，B＝{1，a＋2，2a＋1}．若A∪B＝{x∈N*|x<6}，则实数a＝____． (2) 已知集合A＝{x|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数a＝____． 集合间的关系 例2　(1) (2025·梅州质检)下列集合之间关系正确的是(　　) A．{x|x2＝1}＝{x|x3＝x} B．{x∈R|x2＋1＝0}⊆{x∈R|x2－1＝0} C．{1，2}⊆{(x，y)|x＋y＝3} D．{(x，y)|x＋y＝3}⊆ (2) (2026·武汉期初)设集合A＝{x∈N|－1<x<2}，则A的真子集的个数是(　　) A．8 B．7 C．4 D．3 (3) (2025·南京、盐城一模)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|x＋a≤0}．若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2)　　　　　　　　 B．(－∞，2] C．(－∞，－2)　　　　　　 D．(－∞，－2] 判断集合间关系的三种方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素列举出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系 变式2　 (1) (多选)若集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是(　　) (变式2(1)) A．M＝{0，2，4，6}，N＝{4} B．M＝{x|x2<1}，N＝{x|x>－1} C．M＝{x|y＝lg x}，N＝{y|y＝ex＋5} D．M＝{(x，y)|x2＝y2}，N＝{(x，y)|y＝x} (2) 已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是____. 集合间的运算 视角1　集合的基本运算 例 3-1　(1) (2024·全国甲卷理)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1，4，9}　　B．{3，4，9}　　C．{1，2，3}　　D．{2，3，5} (2) (2025·苏州期初)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝，则A∪B＝(　　) A．{x|0<x<1}　　　　　　　　 B．{x|x<2} C．{x|－1<x<2}　　　　　　　 D．{x|－1<x<1} (3) (2025·河南五市一联)已知全集U＝{x∈N*|－2<x<9}，M＝{3，4，5}，P＝{1，3，6}，则(∁UM)∩(∁UP)＝(　　) A．{2，7，8}　　　　 B．{2，3，4，5，7，8} C．{1，2，4，5，6，7，8}　　　　 D．{1，2，3，6，7，8} (1) 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2) 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3) 注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图． 变式 3-1　(2025·福州二模)已知全集U＝A∪B＝{1，2，3，4}，A∩(∁UB)＝{2，4}，B∩(∁UA)＝{1}，则A∩B＝(　　) A．{1，2，3，4}　　　　　　 B．{1，3} C．{2，3，4}　　　　　　　　 D．{3} 视角2　利用集合运算求参数 例 3-2　设集合S＝{x|x<－1或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，且S∪T＝R，则实数a的取值范围为____． 变式 3-2　(2025·徐州调研)已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的取值构成的集合是(　　) A．{－1，2}　　　　　　　　 B．{－2，1} C．{－2，0，1}　　　　　　　　 D．{－1，0，2} 集合新定义问题 例4　(2025·秦皇岛三模)已知全集U＝{－2，－1，3，7，9}，集合A，B，C是全集U的三个子集，定义：|A|表示集合A中元素的个数．若|A∩B|＝|B∩C|＝|C∩A|＝1，A∩B∩C＝∅，则所有的有序子集列(A，B，C)有(　　) A．360个 B．640个 C．960个 D．1 920个 变式4　(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab∈P，且若b≠0，∈P，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列命题正确的是(　　) A．数域必含有0，1两个数 B．整数集是数域 C．若有理数集Q⊆M，则数集M一定是数域 D．数域中有无限多个元素 随堂内化 1．(2025·南昌二模)已知集合A＝{x||x－1|<3}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝(　　) A．[2，4] B．[2，4) C．[－2，4) D．(－∞，4) 2．(2021·全国乙卷理)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　) A．∅ B．S C．T D．Z 3．(2025·漳州三模)已知集合A＝{x|2x－1<0}，B＝{x|ex<2}，则(　　) A．A∪B＝ B．A∩B＝{x|x<ln 2} C．A∪(∁RB)＝R D．B∪(∁RA)＝R 4．定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．若集合A＝{0，2}，B＝{－1，1}，则集合A⊗B中的所有元素之和为____． 5．某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5人，则同时参加数学和化学小组的有____人． 配套精练 一、 单项选择题 1．(2025·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　) A．{0，1，2}　　　　　　　　 B．{1，2，8} C．{2，8}　　　　　　　　 D．{0，1} 2．(2025·新高考Ⅰ卷)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1，3，5}，则∁UA中元素个数为(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 3．(2025·天津卷)已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1，2，3，4}　　　　　　　　 B．{2，3，4} C．{2，4}　　　　　　　　 D．{4} 4．(2025·广州一模)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x2－2x≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，2)　　　　　　　　 B．(0，2] C．(2，＋∞)　　　　　　　　 D．[2，＋∞) 5．(2025·苏北七市二调)设集合U＝R，M＝{x|x>1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≤－1}＝(　　) A．∁U(M∩N)　　　　　　　　 B．∁U(M∪N) C．M∪(∁UN)　　　　　　　　 D．N∪(∁UM) 6．(2025·九江三模)已知集合M＝，N＝{x|y＝}，则M∩N＝(　　) A．{x|－2≤x≤1}　　　　 B．{x|－2≤x<1} C．{x|－3≤x≤－2}　　　　 D．{x|－3<x≤2} 7．(2025·保定期末)如图，已知全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{1，2，3}，B＝{x∈Z|(x＋2)(x－1)≤0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) (第7题) A．{2} B．{3} C．{2，3} D．[2，3] 8．(2026·南通期初)已知集合A＝{1，4，a2}，B＝{4，2a}，A∩B＝B，则实数a的取值集合为(　　) A．　　　　 B． C．{0，2}　　　　 D． 9．(2025·漳州二模)已知集合A＝{x|log2x<2}，B＝{x|1＋a<x<2a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　　) A．[3，＋∞)　　　　　　　　 B． C．(－∞，2]∪[3，＋∞)　　 D．∪[3，＋∞) 10．某校田径运动会上共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目，其中有8人参加100米比赛，有7人参加400米比赛，有5人参加1 500米比赛，100米和400米都参加的有4人，100米和1 500米都参加的有3人，400米和1 500米都参加的有3人，则下列说法不正确的是(　　) A．三项比赛都参加的有2人　　　　 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人　　　　 D．只参加1 500米比赛的有1人 二、 多项选择题 11．(2025·开封二模)已知集合A＝{x|－3<2x－1<3}，∁RB⊆A，则(　　) A．－1∉B　　　　 B．2∈B C．－1∈A∪B　　　　 D．2∈A∩B 12．已知a∈R，集合M＝{x|a<x<a＋2}，N＝{x|x<0或x>1}，则下列结论正确的是(　　) A．若a＝0，则M∩N＝{x|1<x<2} B．若a≥1，则M⊆N C．若M∪N＝R，则－1≤a≤0 D．不存在实数a，使得M∩N＝∅ 13．(2025·萍乡二模)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A⊆U，B⊆U，且满足A∩B＝{3，5}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2，4}，则下列说法正确的为(　　) A．4∈A B．6∈A∪B C．集合A可能是{1，3，5，6} D．(∁UA)∪(∁UB)＝{1，2，4，6} 14．(2025·安阳三模)已知非空数集M具有如下性质：①若x，y∈M，则∈M；②若x，y∈M，则x＋y∈M.下列说法中正确的有(　　) A．－1∈M B．2 025∈M C．若x，y∈M，则xy∈M D．若x，y∈M，则x－y∈M 三、 填空题 15．(2025·秦皇岛一模)已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x2<1}，则A∩B＝____． 16．(2025·焦作三模)已知集合A＝{x|0≤x≤1}，非空集合B＝{x|b<x<1－b}，若A∩B＝B，则b的取值范围是____． 17．(2025·潍坊模拟)已知集合A＝{0，1，a＋2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝A，则实数a＝____． 18．已知集合A＝{x|ax2－2x＋a＝0}中至多含有一个元素，则实数a的取值范围是____． 19．已知集合A＝{x|x2＋mx≤0}，B＝，且A∩B有4个子集，则实数m的最小值是____. 20．若x∈A，∈A，则称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为____． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第1讲　集合及其运算 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是(　D　) A．1∈A 　　　B．{－1}⊆A 　　　C．∅⊆A 　　　D．{－1，1}∉A 2．(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2<2x≤8}，则下列判断正确的是(　BC　) A．A∪B＝B　 B．(∁RB)∪A＝{x|x≤2或x>3}　　　　 C．A∩B＝{x|1<x≤2}　 D．(∁RB)∪(∁RA)＝R 【解析】 因为x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}．因为2<2x≤8，所以1<x≤3，所以B＝{x|1<x≤3}，所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝{x|1<x≤2}，(∁RB)∪A＝{x|x≤2或x>3}，(∁RB)∪(∁RA)＝{x|x≤1或x>2}． 3．(教材经典题改编)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝__2__. 【解析】 因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即 a＝1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1或a＝2，经检验a＝－1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；a＝2时，A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意．综上，实数a＝2. 4．(教材经典题改编)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为__[2，＋∞)__． 【解析】 由B⊆A，利用数轴分析法(如图)，可知a≥2. (第4题答) 聚焦知识 1．集合与元素 (1) 集合中元素的三个特性：__确定性__、__互异性__、__无序性__． (2) 元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3) 集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4) 常见集合的符号表示 数集 自然 数集 正整 数集 整数 集 有理 数集 实数集 复数 集 符号 N N*或N＋ Z Q R C 2.集合间的基本关系 关系 定义 记法 相等 集合A与B的所有元素都相同 A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B 或B⊇A 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB 注意：若集合A中含有n(n≥1)个元素，则集合A有__2n__个子集，__2n－1__个真子集． 3．集合的基本运算 集合的并集 A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 ∁UA 图形 表示 意义 {x|x∈A 或x∈B} {x|x∈A 且x∈B} {x|x∈U 且x∉A} 4．常见结论与等价关系 (1) A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A. (2) (∁UA)∪A＝__U__；∁U(∁UA)＝__A__． (3) 摩根定律：∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 题型突破　能力进阶 举题说法 集合中元素的性质 例1　(1) 若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则满足条件的实数k的取值集合是__{1，－1}__． 【解析】 若集合{x|x2＋2kx＋1＝0}中有且仅有一个元素，则方程x2＋2kx＋1＝0有且只有两个相等的实数根，即Δ＝(2k)2－4＝0，解得k＝±1，所以k的取值集合是{1，－1}． (2) (2025·宣城期末)已知集合A＝，B＝，若A＝B，则a＝(　C　) A．1或2 B．－1或0 C．1 D．－1 【解析】 由题设知a2＝3a－2，即(a－1)(a－2)＝0，可得a＝1或a＝2.当a＝1时，a2＝3a－2＝1，满足题设；当a＝2时，a2＝3a－2＝4，不符合集合元素的互异性．所以a＝1. 集合中元素的最重要的性质是互异性，一方面，利用互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，当解答完毕时，检验集合中元素是否满足互异性可确保答案正确． 变式1　(1) (2025·沈阳期初联考)设集合A＝{2，3，4，5}，B＝{1，a＋2，2a＋1}．若A∪B＝{x∈N*|x<6}，则实数a＝__2__． 【解析】 因为A∪B＝{x∈N*|x<6}＝{1，2，3，4，5}，所以B⊆(A∪B)，即{1，a＋2，2a＋1}⊆{1，2，3，4，5}，所以解得a＝2.当a＝2时，A＝{2，3，4，5}，B＝{1，4，5}，满足条件． (2) 已知集合A＝{x|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数a＝__1或__． 【解析】 ①若a2－1＝0，则a＝±1.当a＝1时，x＝－，此时A＝，符合题意；当a＝－1时，A＝∅，不符合题意．②若a2－1≠0，则Δ＝0，即(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝，此时A＝，符合题意．综上所述，a＝1或. 集合间的关系 例2　(1) (2025·梅州质检)下列集合之间关系正确的是(　B　) A．{x|x2＝1}＝{x|x3＝x} B．{x∈R|x2＋1＝0}⊆{x∈R|x2－1＝0} C．{1，2}⊆{(x，y)|x＋y＝3} D．{(x，y)|x＋y＝3}⊆ (2) (2026·武汉期初)设集合A＝{x∈N|－1<x<2}，则A的真子集的个数是(　D　) A．8 B．7 C．4 D．3 (3) (2025·南京、盐城一模)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|x＋a≤0}．若A⊆B，则实数a的取值范围是(　D　) A．(－∞，2)　　　　　　　　 B．(－∞，2] C．(－∞，－2)　　　　　　 D．(－∞，－2] 判断集合间关系的三种方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素列举出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系 变式2　 (1) (多选)若集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是(　ACD　) (变式2(1)) A．M＝{0，2，4，6}，N＝{4} B．M＝{x|x2<1}，N＝{x|x>－1} C．M＝{x|y＝lg x}，N＝{y|y＝ex＋5} D．M＝{(x，y)|x2＝y2}，N＝{(x，y)|y＝x} 【解析】 根据Venn图可知NM.对于A，显然NM，故A正确；对于B，M＝{x|－1<x<1}，N＝{x|x>－1}，则M⊆N，故B错误；对于C，M＝{x|x>0}，N＝{y|y>5}，则NM，故C正确；对于D，M＝{(x，y)|y＝x或y＝－x}，N＝{(x，y)|y＝x}，则NM，故D正确． (2) 已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是____. 【解析】 因为B⊆A，所以①若B＝∅，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意．②若B≠∅，即ax＋1≤0有解，当a>0时，可得x≤－，要使B⊆A，则需解得0<a<1；当a<0时，可得x≥－，要使B⊆A，则需解得－≤a<0.综上，实数a的取值范围是. 集合间的运算 视角1　集合的基本运算 例 3-1　(1) (2024·全国甲卷理)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　D　) A．{1，4，9}　　B．{3，4，9}　　C．{1，2，3}　　D．{2，3，5} 【解析】 因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，则A∩B＝{1，4，9}，∁A(A∩B)＝{2，3，5}． (2) (2025·苏州期初)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝，则A∪B＝(　C　) A．{x|0<x<1}　　　　　　　　 B．{x|x<2} C．{x|－1<x<2}　　　　　　　 D．{x|－1<x<1} 【解析】 易知A＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}，B＝＝{x|－1<x<1}，所以A∪B＝{x|－1<x<2}． (3) (2025·河南五市一联)已知全集U＝{x∈N*|－2<x<9}，M＝{3，4，5}，P＝{1，3，6}，则(∁UM)∩(∁UP)＝(　A　) A．{2，7，8}　　　　 B．{2，3，4，5，7，8} C．{1，2，4，5，6，7，8}　　　　 D．{1，2，3，6，7，8} 【解析】 因为全集U＝{x∈N*|－2<x<9}，M＝{3，4，5}，P＝{1，3，6}，则U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，∁UM＝{1，2，6，7，8}，∁UP＝{2，4，5，7，8}，所以(∁UM)∩(∁UP)＝{2，7，8}． (1) 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2) 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3) 注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图． 变式 3-1　(2025·福州二模)已知全集U＝A∪B＝{1，2，3，4}，A∩(∁UB)＝{2，4}，B∩(∁UA)＝{1}，则A∩B＝(　D　) A．{1，2，3，4}　　　　　　 B．{1，3} C．{2，3，4}　　　　　　　　 D．{3} 【解析】 因为A∩(∁UB)＝{2，4}，所以2∈A，4∈A，2∉B，4∉B.因为B∩(∁UA)＝{1}，所以1∈B，1∉A，所以1∉A∩B，2∉A∩B，4∉A∩B.因为U＝A∪B＝{1，2，3，4}，所以A∩B＝{3}． 视角2　利用集合运算求参数 例 3-2　设集合S＝{x|x<－1或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，且S∪T＝R，则实数a的取值范围为__(－3，－1)__． 【解析】 因为S＝{x|x<－1或x>5}，T＝{x|a<x<a＋8}，且S∪T＝R，所以解得－3<a<－1，即实数a的取值范围为(－3，－1). 变式 3-2　(2025·徐州调研)已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的取值构成的集合是(　C　) A．{－1，2}　　　　　　　　 B．{－2，1} C．{－2，0，1}　　　　　　　　 D．{－1，0，2} 【解析】 由A∩B＝B得B⊆A.当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；当a≠0时，B＝，因为B⊆A，所以－＝－1或－＝，解得a＝1或a＝－2.综上，a＝0或1或－2. 集合新定义问题 例4　(2025·秦皇岛三模)已知全集U＝{－2，－1，3，7，9}，集合A，B，C是全集U的三个子集，定义：|A|表示集合A中元素的个数．若|A∩B|＝|B∩C|＝|C∩A|＝1，A∩B∩C＝∅，则所有的有序子集列(A，B，C)有(　C　) A．360个 B．640个 C．960个 D．1 920个 【解析】 由|A∩B|＝|B∩C|＝|C∩A|＝1，得从全集U中选择3个元素分别作为A∩B，B∩C，C∩A中的元素，不同方法种数是A，余下的两个元素中的每一个元素只能是属于A，B，C中的一个或都不属于这3个集合，因此余下的两个元素中的每一个元素都有4种不同的选择方法，所以所有的有序子集列(A，B，C)有A×42＝960个． 变式4　(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab∈P，且若b≠0，∈P，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列命题正确的是(　AD　) A．数域必含有0，1两个数 B．整数集是数域 C．若有理数集Q⊆M，则数集M一定是数域 D．数域中有无限多个元素 【解析】 因为P是一个数集，且至少含有两个数，所以P中必有一个非零实数．对于A，当a＝b≠0时，a－b＝0∈P，＝1∈P，故A正确；对于B，例如a＝1，b＝2，但∉Z，不满足条件，故B错误；对于C，例如M＝Q∪{}，取a＝1，b＝，因为1＋∉M，所以数集M不是一个数域，故C错误；对于D，由A可知数域必含有0，1两个数，根据数域的性质可知，数域必含有－1，0，1，2，3，递推下去，必为无限集，故D正确． 随堂内化 1．(2025·南昌二模)已知集合A＝{x||x－1|<3}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝(　B　) A．[2，4] B．[2，4) C．[－2，4) D．(－∞，4) 2．(2021·全国乙卷理)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　C　) A．∅ B．S C．T D．Z 【解析】 任取t∈T，则t＝4n＋1＝2·(2n)＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故TS.因此，S∩T＝T. 3．(2025·漳州三模)已知集合A＝{x|2x－1<0}，B＝{x|ex<2}，则(　D　) A．A∪B＝ B．A∩B＝{x|x<ln 2} C．A∪(∁RB)＝R D．B∪(∁RA)＝R 【解析】 因为集合A＝{x|2x－1<0}＝，B＝{x|ex<2}＝{x|x<ln 2}，＝ln e＝ln e＝ln <ln ＝ln 2，所以A∪B＝{x|x<ln 2}，故A错误．A∩B＝，故B错误．A∪(∁RB)＝∪{x|x≥ln 2}≠R，故C错误．B∪(∁RA)＝{x|x<ln 2}∪＝R，故D正确． 4．定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．若集合A＝{0，2}，B＝{－1，1}，则集合A⊗B中的所有元素之和为__4__． 【解析】 因为A＝{0，2}，B＝{－1，1}，所以当x＝0，y＝±1时，z＝0；当x＝2，y＝－1时，z＝－2；当x＝2，y＝1时，z＝6，所以A⊗B＝{0，－2，6}，所以集合A⊗B中的所有元素之和为0＋(－2)＋6＝4. 5．某班有38名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知有27人参加数学小组，有16人参加物理小组，有14人参加化学小组，同时参加数学和物理小组的有7人，同时参加物理和化学小组的有5人，则同时参加数学和化学小组的有__7__人． 【解析】 设同时参加数学和化学小组的有x人．因为有16人参加物理小组，所以只参加物理小组的有16－7－5＝4(人).因为有27人参加数学小组，所以只参加数学小组的有27－7－x＝(20－x)人．因为有14人参加化学小组，所以只参加化学小组的有14－5－x＝(9－x)人．画出Venn图如图所示，因为总参加人数为38，所以27＋4＋5＋9－x＝38，解得x＝7，故同时参加数学和化学小组的有7人． (第5题答) 配套精练 一、 单项选择题 1．(2025·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　D　) A．{0，1，2}　　　　　　　　 B．{1，2，8} C．{2，8}　　　　　　　　 D．{0，1} 2．(2025·新高考Ⅰ卷)设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1，3，5}，则∁UA中元素个数为(　C　) A．0 B．3 C．5 D．8 3．(2025·天津卷)已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U(A∪B)＝(　D　) A．{1，2，3，4}　　　　　　　　 B．{2，3，4} C．{2，4}　　　　　　　　 D．{4} 4．(2025·广州一模)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|x2－2x≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　D　) A．(0，2)　　　　　　　　 B．(0，2] C．(2，＋∞)　　　　　　　　 D．[2，＋∞) 5．(2025·苏北七市二调)设集合U＝R，M＝{x|x>1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≤－1}＝(　B　) A．∁U(M∩N)　　　　　　　　 B．∁U(M∪N) C．M∪(∁UN)　　　　　　　　 D．N∪(∁UM) 6．(2025·九江三模)已知集合M＝，N＝{x|y＝}，则M∩N＝(　B　) A．{x|－2≤x≤1}　　　　 B．{x|－2≤x<1} C．{x|－3≤x≤－2}　　　　 D．{x|－3<x≤2} 7．(2025·保定期末)如图，已知全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{1，2，3}，B＝{x∈Z|(x＋2)(x－1)≤0}，则图中阴影部分表示的集合为(　C　) (第7题) A．{2} B．{3} C．{2，3} D．[2，3] 【解析】 由(x＋2)(x－1)≤0，解得－2≤x≤1，所以B＝{－2，－1，0，1}，所以A∩B＝{1}．又全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，所以图中阴影部分表示的集合为{2，3}． 8．(2026·南通期初)已知集合A＝{1，4，a2}，B＝{4，2a}，A∩B＝B，则实数a的取值集合为(　B　) A．　　　　 B． C．{0，2}　　　　 D． 【解析】 由A∩B＝B，得B⊆A.①当2a＝1时，a＝，此时A＝，B＝{4，1}，满足B⊆A，符合题意；②当2a＝4时，a＝2，集合B＝{4，4}，不满足互异性，舍去；③当2a＝a2时，则有a(a－2)＝0，解得a＝0或a＝2(舍去)，当a＝0时，A＝{1，4，0}，B＝{4，0}，满足B⊆A，符合题意．综上，a＝0或. 9．(2025·漳州二模)已知集合A＝{x|log2x<2}，B＝{x|1＋a<x<2a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　C　) A．[3，＋∞)　　　　　　　　 B． C．(－∞，2]∪[3，＋∞)　　 D．∪[3，＋∞) 【解析】 由log2x<2，解得0<x<4，所以A＝(0，4).当B＝∅时，即1＋a≥2a－1，解得a≤2，满足A∩B＝∅，符合题意；当B≠∅时，则或解得a≥3.所以实数a的取值范围是(－∞，2]∪[3，＋∞). 10．某校田径运动会上共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目，其中有8人参加100米比赛，有7人参加400米比赛，有5人参加1 500米比赛，100米和400米都参加的有4人，100米和1 500米都参加的有3人，400米和1 500米都参加的有3人，则下列说法不正确的是(　C　) A．三项比赛都参加的有2人　　　　 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人　　　　 D．只参加1 500米比赛的有1人 【解析】 设A＝{x|x是参加100米比赛的同学}，B＝{x|x是参加400米比赛的同学}，C＝{x|x是参加1 500米比赛的同学}，则card(A)＝8，card(B)＝7，card(C)＝5，且card(A∩B)＝4，card(A∩C)＝3，card(B∩C)＝3，则card(A∩B∩C)＝12－[(8＋7＋5)－(4＋3＋3)]＝2，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1 500米比赛的有1人． 二、 多项选择题 11．(2025·开封二模)已知集合A＝{x|－3<2x－1<3}，∁RB⊆A，则(　BC　) A．－1∉B　　　　 B．2∈B C．－1∈A∪B　　　　 D．2∈A∩B 【解析】 A＝{x|－3<2x－1<3}＝{x|－1<x<2}．对于A，若－1∉B，则－1∈∁RB，则根据∁RB⊆A有－1∈A，显然矛盾，故A错误；对于B，假设2∉B，则2∈∁RB，根据∁RB⊆A有2∈A，显然矛盾，则2∈B，故B正确；对于C，由A知－1∈B，则－1∈A∪B，故C正确；对于D，显然2∉A，必有2∉A∩B，故D错误． 12．已知a∈R，集合M＝{x|a<x<a＋2}，N＝{x|x<0或x>1}，则下列结论正确的是(　ABD　) A．若a＝0，则M∩N＝{x|1<x<2} B．若a≥1，则M⊆N C．若M∪N＝R，则－1≤a≤0 D．不存在实数a，使得M∩N＝∅ 【解析】 由题意得M≠∅.对于A，若a＝0，则M＝{x|0<x<2}，M∩N＝{x|1<x<2}，故A正确；对于B，M⊆N⇔a＋2≤0或a≥1⇔a≤－2或a≥1，故B正确；对于C，若M∪N＝R，则解得－1<a<0，故C错误；对于D，若M∩N＝∅，则无解，故D正确． 13．(2025·萍乡二模)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A⊆U，B⊆U，且满足A∩B＝{3，5}，(∁UA)∩(∁UB)＝{2，4}，则下列说法正确的为(　BCD　) A．4∈A B．6∈A∪B C．集合A可能是{1，3，5，6} D．(∁UA)∪(∁UB)＝{1，2，4，6} 【解析】 由题意知(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{2，4}，所以A∪B＝{1，3，5，6}．对于A，因为A∪B＝{1，3，5，6}，且4∉A∪B，所以4∉A，故A错误；对于B，因为A∪B＝{1，3，5，6}，所以6∈A∪B，故B正确；对于C，由A∩B＝{3，5}，知3，5既属于A又属于B，若A＝{1，3，5，6}，B＝{3，5}，则∁U(A∪B)＝{2，4}，∁UA＝{2，4}，∁UB＝{1，2，4，6}，此时满足所有已知条件，故C正确；对于D，因为(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)，又A∩B＝{3，5}，所以(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝{1，2，4，6}，故D正确． 14．(2025·安阳三模)已知非空数集M具有如下性质：①若x，y∈M，则∈M；②若x，y∈M，则x＋y∈M.下列说法中正确的有(　BC　) A．－1∈M B．2 025∈M C．若x，y∈M，则xy∈M D．若x，y∈M，则x－y∈M 【解析】 对于A，若－1∈M，令x＝y＝－1，则＝1∈M，x＋y＝－2∈M；令x＝－1，y＝1，则＝－1∈M，x＋y＝0∈M；令x＝1，y＝0，不存在，即y≠0，矛盾，所以－1∉M，故A错误．对于B，由于集合M非空，取任意元素x∈M，根据性质①，得＝1∈M，再根据性质②，得1＋1＝2∈M，进而1＋2＝3∈M，…，2 024∈M，2 025∈M，故B正确．对于C，因为1∈M，x∈M，所以∈M；因为y∈M，∈M，所以＝xy∈M，故C正确．对于D，若x＝1，y＝2，则x－y＝－1∉M，故D错误． 三、 填空题 15．(2025·秦皇岛一模)已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x2<1}，则A∩B＝__{x|0<x<1}__． 【解析】 因为B＝{x|x2<1}＝{x|－1<x<1}，A＝{x|0<x<2}，所以A∩B＝{x|0<x<1}． 16．(2025·焦作三模)已知集合A＝{x|0≤x≤1}，非空集合B＝{x|b<x<1－b}，若A∩B＝B，则b的取值范围是____． 【解析】 因为A∩B＝B，所以B⊆A.由题意得B≠∅，所以0≤b<1－b≤1，解得0≤b<. 17．(2025·潍坊模拟)已知集合A＝{0，1，a＋2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝A，则实数a＝__0或2__． 【解析】 因为A∪B＝A，所以B⊆A.根据集合中元素的互异性，可知a2≠1⇒a≠1且a≠－1.若a2＝0，即a＝0，此时A＝{0，1，2}，B＝{0，1}，满足B⊆A.若a2＝a＋2，即a2－a－2＝0，(a－2)(a＋1)＝0，可得a＝2或a＝－1(舍去)，此时A＝{0，1，4}，B＝{0，4}，满足B⊆A.综上，a＝0或2. 18．已知集合A＝{x|ax2－2x＋a＝0}中至多含有一个元素，则实数a的取值范围是__(－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0}__． 【解析】 由题意，原问题转化为方程ax2－2x＋a＝0没有根或有两个相等的根．当a＝0时，方程为－2x＝0，解得x＝0，此时方程有两个相等的实数根，符合题意；当a≠0时，方程ax2－2x＋a＝0为一元二次方程，所以Δ＝4－4a2≤0，解得a≤－1或a≥1.综上，实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0}． 19．已知集合A＝{x|x2＋mx≤0}，B＝，且A∩B有4个子集，则实数m的最小值是____. 【解析】 由A∩B有4个子集，得A∩B中有2个元素，所以A∩B＝B，所以A＝{x|x2＋mx≤0}＝{x|－m≤x≤0}，且满足或解得≤m<或<m≤1.综上，实数m的最小值为. 20．若x∈A，∈A，则称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为__15__． 【解析】 因为1∈A，＝1∈A；－1∈A，＝－1∈A；2∈A，∈A；3∈A，∈A，所以所求集合即为由1，－1，“3和”，“2和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集，所以满足条件的集合的个数为24－1＝15. 学科网（北京）股份有限公司 $