第1章 第6讲 基本不等式（word教参）-【高考快车道】2027年高考数学大一轮总复习（基础版）

该高中数学讲义围绕基本不等式专题，涵盖概念、求最值（积定和最小、和定积最大、“1”的代换）及综合应用等高考核心考点，按知识梳理-题型突破-真题训练逻辑架构，通过激活思维、举题说法、配套精练环节，帮助学生系统构建解题体系。 资料以多视角题型突破为特色，如配凑法、消元法等策略，结合实际问题（如矩形菜园面积）培养数学思维与应用意识，设置分层练习保障效果，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供实用指导。

第6讲　基本不等式 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)已知x>1，则x＋的最小值为(　C　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 因为x>1，所以x－1>0，所以x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立，此时x＋取得最小值3. 2．(教材经典题改编)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取得最小值，则实数a＝(　C　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 【解析】 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，故a＝3. 3．(多选)已知a，b∈R，则下列不等式恒成立的是(　BD　) A．≥　　　　 B．≤ C．≤　　　　 D．ab≤ 【解析】 对于A，当a<0且b<0时，<0，>0，该不等式不成立，故A错误．对于B，当a＋b>0时，>0，则－＝＝≤0恒成立，即≤恒成立；当a＋b≤0时，显然原不等式恒成立，故B正确．对于C，当a＋b>0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，所以≤；当a＋b<0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≥，故C错误．对于D，对任意的a，b∈R，ab≤恒成立，故D正确． 4．(教材经典题改编)已知x>0，则2－3x－的最大值是__2－4__． 【解析】 因为x>0，所以2－3x－＝2－≤2－2＝2－4，当且仅当3x＝，即x＝时等号成立． 5．(教材经典题改编)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，当这个矩形与墙相对的一边长为__15__m时，菜园面积最大，最大面积是____m2. 【解析】 设矩形与墙相对的一边长为x m(0<x≤18)，另一边长为y m，菜园面积为S m2，则x＋2y＝30，S＝xy＝x·2y≤＝×＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时等号成立． 聚焦知识 1．基本不等式 基本不等式 基本不等式：≤(条件：一正二定三相等) (1) 基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2) 等号成立的条件：当且仅当__a＝b__时取等号． (3) 其中____叫做正数a，b的算术平均数，____叫做正数a，b的几何平均数 利用基本不等式求最值 (1) x，y＞0，由x＋y≥2，知若积xy＝P(定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值__2__； (2) x，y＞0，由x＋y≥2，知若和x＋y＝S(定值)，则当x＝y时，积xy有最大值____ “1”的代换 已知a，x，b，y∈R，若ax＋by＝1，则有： ＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2 2．常用不等式链 若a>0，b>0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时等号成立，其中是a，b的调和平均数，是a，b的平方平均数． 题型突破　能力进阶 举题说法 利用基本不等式求最值 视角1　直接求最值 例 1-1　(1) (2025·浙江期初)已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是__2__． 【解析】 因为a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b时等号成立，所以a2＋b2的最小值为2. (2) (2025·郑州期末)已知a>0，b>0，且3a＋7b＝10，则ab的最大值为____． 【解析】 由基本不等式可得3a＋7b＝10≥2，即ab≤，当且仅当b＝，a＝时等号成立，故ab的最大值为. 视角2　配凑法求最值 例 1-2　(1) (2025·重庆期末)已知x>1，则2－3x－的最大值是(　B　) A．－4＋1　　　　 B．－4－1 C．－1－2　　　　 D．1－2 【解析】 因为x>1，所以2－3x－＝－1－≤－1－2＝－1－4，当且仅当3(x－1)＝，即x＝1＋时等号成立，所以2－3x－的最大值是－4－1. (2) 已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则(1＋x)(2＋y)的最大值为(　B　) A．36 B．25 C．16 D．9 【解析】 由x＋y＝7，得(x＋1)＋(y＋2)＝10，则(1＋x)(2＋y)≤＝25，当且仅当1＋x＝2＋y，即x＝4，y＝3时取等号，所以(1＋x)(2＋y)的最大值为25. (3) 已知正实数a，b满足4a2＋b2＝2，则a·的最大值为____． 【解析】 a·＝·2a·≤·＝，当且仅当2a＝，即a＝，b＝时取等号． 视角3　常值代换法求最值 例 1-3　(1) (2025·武汉一模)若a>0，b>0，且a＋b＝1，则－－的最大值为(　A　) A．－9 B．－7 C．－5 D．－3 【解析】 因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，所以－－的最大值为－9. (2) (2025·上饶二模)(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则(　ABC　) A．＋的最大值是 B．＋的最小值是9 C．(1＋a)(1＋b)的最大值是 D．a2＋2b2的最小值是 【解析】 对于A，＋＝≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号，A正确；对于B，＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a＝时取等号，B正确；对于C，(1＋a)(1＋b)≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号，C正确；对于D，a＝1－b，0<b<1，则a2＋2b2＝(1－b)2＋2b2＝3b2－2b＋1＝3＋≥，当且仅当b＝时取等号，D错误． 变式 1-3　(1) 已知a>0，b>0，且a＋b＝3，则＋的最小值为____． 【解析】 因为a>0，b>0，且a＋b＝3，所以(a＋1)＋(b＋1)＝5，所以＋＝·[(a＋1)＋(b＋1)]＝≥＝，当且仅当＝，即b＝，a＝时取等号，所以＋的最小值为. (2) 已知正实数x，y满足x＋y＝2，则＋的最小值为__＋__． 【解析】 由题意得＋＝＋＝＋＋≥2＋＝＋，当且仅当＝，即x＝4－2，y＝2－2时等号成立，所以＋的最小值为＋. 视角4　消元法求最值 例 1-4　若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋1，则a＋8b的最小值为(　C　) A．15 B．8＋4 C．17 D．6＋4 【解析】 因为a>0，b>0，ab＝a＋b＋1，所以a(b－1)＝b＋1，其中b>1，所以a＝.因为a>0，b>0，b－1>0，所以a＋8b＝＋8b＝＋8b＋1＝＋8(b－1)＋9≥2＋9＝17，当且仅当＝8(b－1)，即b＝时等号成立，所以a＋8b的最小值为17. 视角5　因式分解双换元法 例 1-5　(1) 已知实数x，y满足x(x＋y)＝2＋2y2，则7x2－y2的最小值为____． 【解析】 x(x＋y)＝2＋2y2转化为(x＋2y)(x－y)＝2.令x＋2y＝m，x－y＝n，则mn＝2，可得x＝，y＝，则7x2－y2＝7×－＝≥＝，当且仅当2m2＝，即m2＝3，n2＝时取等号． (2) 若x>，且(4x－3)(y＋2)＝9，则x＋y的最小值为____． 【解析】 因为x>，所以4x－3>0，又(4x－3)(y＋2)＝9>0，所以y＋2>0.令m＝4x－3，n＝y＋2，则m>0，n>0，mn＝9，x＝＋，y＝n－2，所以x＋y＝＋＋n－2≥2＋－2＝2－＝，当且仅当＝n，即m＝6，n＝，即x＝，y＝－时等号成立，所以x＋y的最小值为. 基本不等式的综合应用 视角1　利用基本不等式解恒成立问题 例 2-1　设k＞0，若关于x的不等式kx＋≥12在(1，＋∞)上恒成立，则k的最小值为__4__． 【解析】 原不等式变形为k(x－1)＋＋k≥12，则原问题转化成不等式k(x－1)＋≥12－k在(1，＋∞)上恒成立，所以只需12－k≤min即可．由基本不等式可知k(x－1)＋≥2＝4，当且仅当k(x－1)＝时等号成立，所以只需12－k≤4成立，即(＋6)(－2)≥0，所以k≥4，即kmin＝4. 分离参数是解决此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或转化为求某个函数的最值问题． 变式 2-1　(1) 若两个正实数x，y满足x＋y＝3，且不等式＋>m恒成立，则实数m的取值范围为__(－∞，9)__． 【解析】 因为两个正实数x，y满足x＋y＝3，所以(x＋1)＋y＝4，故＋＝·[(x＋1)＋y]＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝，y＝时取等号．由不等式＋>m恒成立，得m<，故m<9. (2) 已知x>0，y>0，且＋＝1，若2x＋y<m2－8m有解，则实数m的取值范围为(　A　) A．(－∞，－1)∪(9，＋∞) B．(－9，1) C．[－9，1] D．(－1，9) 【解析】 因为x>0，y>0，且＋＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝y＝3时取等号，此时2x＋y的最小值为9.因为2x＋y<m2－8m有解，所以m2－8m>9，即m2－8m－9>0，解得m<－1或m>9. 视角2　利用基本不等式证明 例 2-2　(1) 已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 【解答】 因为x，y都是正数，所以x＋y≥2>0，x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0，所以(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，当且仅当x＝y时等号成立．得证． (2) 已知a>0，b>0，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 【解答】 因为a>0，b>0，c>0，所以＋≥2c，＋≥2b，＋≥2a，所以2≥2(a＋b＋c)，故＋＋≥a＋b＋c，当且仅当＝＝，即a＝b＝c时等号成立．得证． 视角3　实际应用问题 例 2-3　(2025·郑州一模)已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当△AEF的周长为4时，△AEF面积的最大值为__12－8__． 【解析】 如图，设AE＝x，AF＝y(0≤x≤2，0≤y≤2)，则EF＝.因为△AEF的周长为4，所以x＋y＋＝4.因为x＋y＋＝4≥2＋，当且仅当x＝y时取等号，所以≤＝4－2，则xy≤24－16，则S△AEF＝xy≤12－8.故△AEF面积的最大值为12－8. (例2-3答) 配套精练 练习1 一、 单项选择题 1．(2025·汕头一模)已知a>0，b>0，a＋b＝4，则ab的最大值为(　C　) A．1 B．2 C．4 D．不存在 【解析】 由基本不等式得ab≤2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号． 2．(2025·六安期末)已知A，B两地的距离是200 km.根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在50—100 km/h.假设油价是8元/L，以x km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为L/h，司机每小时的工资是56元，那么最经济的车速是(　C　) A．24 km/h　　　　 B．55 km/h C．60 km/h　　　　 D．80 km/h 【解析】 由题意可知，行车的总费用为f(x)＝·＝＋，其中50≤x≤100.由基本不等式可得f(x)＝160≥160×2＝，当且仅当＝(50≤x≤100)，即x＝60时等号成立，因此，最经济的车速是60 km/h. 3．已知x>0，y>0，且＋＝，若x＋y>m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是(　C　) A．(－4，6) 　　　　 B．(－3，0)　　　　 C．(－4，1) 　　　　 D．(1，3) 【解析】 因为x>0，y>0，且＋＝，所以x＋2＋y＝(x＋2＋y)＝≥＝6，当且仅当＝，即y＝3，x＝1时取等号，所以x＋y≥4.因为x＋y>m2＋3m恒成立，所以m2＋3m<4，即(m－1)(m＋4)<0，解得－4<m<1.所以实数m的取值范围是(－4，1). 4．(2025·泰安期末)若x>0，y>0，xy＝4x＋y＋5，则4x＋y的最小值为(　C　) A．12 B．16 C．20 D．25 【解析】 4xy＝4(4x＋y＋5)≤2，当且仅当4x＝y时取等号，即(4x＋y)2－16(4x＋y)－80≥0，即(4x＋y－20)(4x＋y＋4)≥0，因为x>0，y>0，所以4x＋y≥20，所以4x＋y的最小值为20. 二、 多项选择题 5．下列结论正确的是(　ABD　) A．当x>0时，＋≥2 B．若x≥0，则的最小值是2 C．当x<时，4x－2＋的最小值是5 D．设x>0，y>0，且x＋y＝2，则＋的最小值是 【解析】 对于A，因为x>0，所以＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，故A正确；对于B，令t＝≥，则＝＋＝t＋，由于y＝t＋在[，＋∞)上单调递增，故t＋≥＋＝2，故B正确；对于C，因为x<，所以5－4x>0，4x－2＋＝－＋3，因为(5－4x)＋≥2，所以4x－2＋≤1，当且仅当x＝1时等号成立，故C错误；对于D，因为x>0，y>0，所以＋＝(x＋y)＝，因为＋≥4，所以＋≥，当且仅当x＝，y＝时等号成立，故D正确． 6．(2026·开封期中)已知a，b均为正实数，且a＋2b＝ab，则(　AD　) A．ab≥8　　　　 B．2a＋b≥10 C．＋≥1　　　　 D．＋≥4 【解析】 对于A，因为a＋2b≥2，当且仅当a＝2b时取等号，又因为a＋2b＝ab，所以ab≥2，因为a，b均为正实数，所以(ab)2≥8ab，即ab≥8，当且仅当a＝4，b＝2时取等号，故A正确；对于B，因为a＋2b＝ab，所以＋＝1，所以2a＋b＝(2a＋b)·＝＋4＋1＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号，而9<10，故B错误；对于C，因为a＋2b＝ab，令a＝4，b＝2，则4＋2×2＝4×2，等式成立，此时＋＝＋＝<1，故C错误；对于D，因为＋＝1＋＋1＋＝2＋＋，由a＋2b＝ab，变形可得(a－2)(b－1)＝2，设m＝a－2，n＝b－1，则mn＝2，故m，n同号，当m>0，n>0时，＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝2，n＝1，即a＝4，b＝2时等号成立；当m<0，n<0时，因为a>0，b>0，所以0>a－2>－2，0>b－1>－1，则mn<2，与mn＝2矛盾，故m<0，n<0不符合题意．所以＋≥4，当且仅当a＝4，b＝2时等号成立，故D正确． 7．(2025·许昌二模)已知b>1，a＋2b－ab＝0，下列结论正确的是(　ACD　) A．a>2 B．＋＋1的最小值是 C．ab的最小值是8 D．＋的最小值是 【解析】 由a＋2b－ab＝0，得b＝1＋>1，解得a>2，故A正确；＋＋1＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝时等号成立，此时a＝0，不合题意，故B错误；由a＋2b－ab＝0，得ab＝a＋2b≥2＝2·，所以ab≥8，当且仅当a＝2b，即a＝4，b＝2时等号成立，故C正确；由a＋2b－ab＝0，得(a－2)(b－1)＝2，则＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝2＋，b＝1＋时等号成立，故D正确． 三、填空题 8．(2025·孝义二模)若正数x，y满足x＋y＝xy，则x＋9y的最小值是__16__． 【解析】 由正数x，y满足x＋y＝xy，得＋＝1，则x＋9y＝(x＋9y)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即x＝3y＝4时取等号，所以x＋9y的最小值是16. 9．若a>0，b>0，a＋b＝9，则＋的最小值为__8__. 【解析】 ＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当a＝6，b＝3时取等号，故＋的最小值为8. 10．若正实数x，y满足－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是__6＋4__． 【解析】 －y2＝＝1，设则ab＝1且所以3x2－2xy＝3(a＋b)2－2(a＋b)·＝2a2＋4b2＋6ab≥4ab＋6ab＝6＋4，当且仅当2a2＝4b2时取等号． 四、 解答题 11．已知a>0，b>0，a＋b＝1. (1) 求证：＋≥5； 【解答】 因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以＋＝＋＝1＋＋≥1＋2＝5，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立． (2) 求证：≥8＋4. 【解答】 因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以＝1＋＋＋＝1＋＋＋＝1＋＋＋＋＝1＋＋＝1＋(a＋b)＝1＋3＋4＋＋＝8＋＋≥8＋2＝8＋4，当且仅当＝，即a＝2－3，b＝4－2时等号成立． 配套精练 练习2 一、 单项选择题 1．(2025·蚌埠模拟)设a，b∈R，且a<b<0，则(　D　) A．< B．> C．> D．＋>2 【解析】 对于A，因为a<b<0，所以>，故A错误；对于B，因为a<b<0，所以<<0，所以－>－>0，又－a>－b>0，所以·(－a)>·(－b)>0，即>，故B错误；对于C，因为a<b<0，所以<0，>0，所以<，故C错误；对于D，因为a<b<0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝＝1，即a＝b时等号成立，又a<b，所以＋>2，故D正确． 2．某段时间内牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，a≠b，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为m1，m2，则下列结论正确的是(　C　) A．m1＝m2 B．m1>m2 C．m1<m2 D．m1，m2的大小无法确定 【解析】 由题意得m1＝＝≤＝，当且仅当a＝b时等号成立，m2＝＝≥，当且仅当a＝b时等号成立．又因为a≠b，所以m1<<m2，即m1<m2. 3．(2026·镇江期初)已知x>0，y>0，且2x＋y＝2xy，则x＋y的最小值为(　D　) A． B． C．2 D．＋ 【解析】 因为x>0，y>0，且2x＋y＝2xy，所以＋＝2，所以x＋y＝(x＋y)＝≥＝＋，当且仅当＝，即时等号成立，所以x＋y的最小值为＋. 4．设x>0，y>0，＋2y＝2，则x＋的最小值为(　C　) A． B．2 C．＋ D．3 【解析】 因为＋2y＝2，所以＋y＝1.因为x>0，y>0，所以x＋＝＝＋xy＋＋1＝＋xy＋≥＋2＝＋2×＝＋，当且仅当即时取等号． 5．已知关于t的实系数二次不等式t2＋(b－1)t＋a<0的解集为(－2，－1)，若ax－by＝1(x，y∈R)，则2x－y的最小值为(　C　) A． B． C．2 D．2 【解析】 由题知－2，－1是一元二次方程t2＋(b－1)·t＋a＝0的根，所以解得所以2x－4y＝1，所以2x＝4y＋1，所以2x－y＝＝2y＋≥2＝2，当且仅当y＝0，x＝1时取等号，所以2x－y的最小值为2. 二、 多项选择题 6．(2025·浙江联考)已知正数x，y满足2x＋y＝1，则(　BCD　) A．xy≤　　　　 B．＋≥8 C．＋≤　　　　 D．x2＋y2≥ 【解析】 对于A，由基本不等式得1＝2x＋y≥2，可得xy≤，当且仅当2x＝y＝时取等号，故A错误．对于B，＋＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝时取等号，故B正确．对于C，(＋)2＝2x＋y＋2＝1＋2，由A中分析知xy≤，所以(＋)2≤1＋2＝2，则＋≤，当且仅当2x＝y＝时取等号，故C正确．对于D，x2＋y2＝2＋y2＝y2－y＋，根据二次函数性质知，当y＝时，x2＋y2取得最小值，故D正确． 7．(2025·泰州一调)已知正数x，y满足＋＝1，则下列选项中正确的是(　ABD　) A．xy≤3 B．≥ C．(x＋4)y的最大值为12 D．8x＋16y的最小值为128 【解析】 1＝＋≥2，即xy≤3，当且仅当＝，即x＝2，y＝时取等号，故A正确；表示直线＋－1＝0上的点与原点的距离，则距离的最小值d＝＝，故B正确；由＋＝1，得x＝4－y，(x＋4)y＝y＝－y2＋8y＝－(y－3)2＋12，当y＝3时，(x＋4)y取最大值12，此时x＝0不合题意，故C错误；8x＋16y≥2＝2＝2＝128，当且仅当即时，等号成立，故D正确． 三、 填空题 8．(2025·泉州二模)若x≥0，y≥0，且＋＝1，则3x＋4y的最小值为__3__． 【解析】 因为x≥0，y≥0，所以x＋1≥1，2x＋4y≥0，由题意可知2x＋4y≠0，则2x＋4y>0，3x＋4y＝(3x＋4y＋1)－1＝[(x＋1)＋(2x＋4y)]－1＝2＋＋－1≥2＋2－1＝3，当且仅当即时等号成立，所以3x＋4y的最小值是3. 9．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是____． 【解析】 由基本不等式知xy≤2，所以x2＋y2＋2xy＝1＋xy≤1＋，即(x＋y)2－＝≤1，所以x＋y≤＝，当且仅当x＝y＝时等号成立，所以x＋y的最大值是. 10．设m，n为正数，且m＋n＝2，则＋的最小值为____． 【解析】 令a＝m＋1，b＝n＋2，则a＋b＝5，且1<a<3，2<b<4，则＋＝＋＋1，而＋＝×(a＋b)＝≥(2＋2)＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故＋的最小值为. 11．已知a>－1，且ab－2a＋b＝5，则(a＋2)(b＋1)的最小值为__12__． 【解析】 因为a>－1，所以a＋1>0.由ab－2a＋b＝5，得b＝，则(a＋2)(b＋1)＝(a＋2)·＝＝＝3(a＋1)＋＋6≥2＋6＝12，当且仅当3(a＋1)＝，即a＝0时等号成立，所以(a＋2)(b＋1)的最小值为12. 12．已知正实数a，b满足2a＋3b＝2，则的最大值为____． 【解析】 因为2a＋3b＝2，所以＝＝＝.又a>0，b>0，所以＋≥2＝12，当且仅当a＝，b＝时等号成立，则的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲　基本不等式 知识梳理　体系构建 激活思维 1．(教材经典题改编)已知x>1，则x＋的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．(教材经典题改编)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取得最小值，则实数a＝(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 3．(多选)已知a，b∈R，则下列不等式恒成立的是(　　) A．≥　　　　 B．≤ C．≤　　　　 D．ab≤ 4．(教材经典题改编)已知x>0，则2－3x－的最大值是____． 5．(教材经典题改编)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，当这个矩形与墙相对的一边长为____m时，菜园面积最大，最大面积是____m2. 聚焦知识 1．基本不等式 基本不等式 基本不等式：≤(条件：一正二定三相等) (1) 基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2) 等号成立的条件：当且仅当____时取等号． (3) 其中____叫做正数a，b的算术平均数，____叫做正数a，b的几何平均数 利用基本不等式求最值 (1) x，y＞0，由x＋y≥2，知若积xy＝P(定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值____； (2) x，y＞0，由x＋y≥2，知若和x＋y＝S(定值)，则当x＝y时，积xy有最大值____ “1”的代换 已知a，x，b，y∈R，若ax＋by＝1，则有： ＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2 2．常用不等式链 若a>0，b>0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时等号成立，其中是a，b的调和平均数，是a，b的平方平均数． 题型突破　能力进阶 举题说法 利用基本不等式求最值 视角1　直接求最值 例 1-1　(1) (2025·浙江期初)已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是____． (2) (2025·郑州期末)已知a>0，b>0，且3a＋7b＝10，则ab的最大值为____． 视角2　配凑法求最值 例 1-2　(1) (2025·重庆期末)已知x>1，则2－3x－的最大值是(　　) A．－4＋1　　　　 B．－4－1 C．－1－2　　　　 D．1－2 (2) 已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则(1＋x)(2＋y)的最大值为(　　) A．36 B．25 C．16 D．9 (3) 已知正实数a，b满足4a2＋b2＝2，则a·的最大值为___． 视角3　常值代换法求最值 例 1-3　(1) (2025·武汉一模)若a>0，b>0，且a＋b＝1，则－－的最大值为(　　) A．－9 B．－7 C．－5 D．－3 (2) (2025·上饶二模)(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．＋的最大值是 B．＋的最小值是9 C．(1＋a)(1＋b)的最大值是 D．a2＋2b2的最小值是 变式 1-3　(1) 已知a>0，b>0，且a＋b＝3，则＋的最小值为____． (2) 已知正实数x，y满足x＋y＝2，则＋的最小值为____． 视角4　消元法求最值 例 1-4　若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋1，则a＋8b的最小值为(　　) A．15 B．8＋4 C．17 D．6＋4 视角5　因式分解双换元法 例 1-5　(1) 已知实数x，y满足x(x＋y)＝2＋2y2，则7x2－y2的最小值为____． (2) 若x>，且(4x－3)(y＋2)＝9，则x＋y的最小值为___． 基本不等式的综合应用 视角1　利用基本不等式解恒成立问题 例 2-1　设k＞0，若关于x的不等式kx＋≥12在(1，＋∞)上恒成立，则k的最小值为____． 分离参数是解决此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或转化为求某个函数的最值问题． 变式 2-1　(1) 若两个正实数x，y满足x＋y＝3，且不等式＋>m恒成立，则实数m的取值范围为___． (2) 已知x>0，y>0，且＋＝1，若2x＋y<m2－8m有解，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)∪(9，＋∞) B．(－9，1) C．[－9，1] D．(－1，9) 视角2　利用基本不等式证明 例 2-2　(1) 已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. (2) 已知a>0，b>0，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 视角3　实际应用问题 例 2-3　(2025·郑州一模)已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当△AEF的周长为4时，△AEF面积的最大值为____． 配套精练 练习1 一、 单项选择题 1．(2025·汕头一模)已知a>0，b>0，a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．不存在 2．(2025·六安期末)已知A，B两地的距离是200 km.根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在50—100 km/h.假设油价是8元/L，以x km/h的速度行驶时，汽车的耗油率为L/h，司机每小时的工资是56元，那么最经济的车速是(　　) A．24 km/h　　　　 B．55 km/h C．60 km/h　　　　 D．80 km/h 3．已知x>0，y>0，且＋＝，若x＋y>m2＋3m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．(－4，6) 　　　　 B．(－3，0)　　　　 C．(－4，1) 　　　　 D．(1，3) 4．(2025·泰安期末)若x>0，y>0，xy＝4x＋y＋5，则4x＋y的最小值为(　　) A．12 B．16 C．20 D．25 二、 多项选择题 5．下列结论正确的是(　　) A．当x>0时，＋≥2 B．若x≥0，则的最小值是2 C．当x<时，4x－2＋的最小值是5 D．设x>0，y>0，且x＋y＝2，则＋的最小值是 6．(2026·开封期中)已知a，b均为正实数，且a＋2b＝ab，则(　　) A．ab≥8　　　　 B．2a＋b≥10 C．＋≥1　　　　 D．＋≥4 7．(2025·许昌二模)已知b>1，a＋2b－ab＝0，下列结论正确的是(　　) A．a>2 B．＋＋1的最小值是 C．ab的最小值是8 D．＋的最小值是 三、填空题 8．(2025·孝义二模)若正数x，y满足x＋y＝xy，则x＋9y的最小值是____． 9．若a>0，b>0，a＋b＝9，则＋的最小值为____. 10．若正实数x，y满足－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是____． 四、 解答题 11．已知a>0，b>0，a＋b＝1. (1) 求证：＋≥5； (2) 求证：≥8＋4. 配套精练 练习2 一、 单项选择题 1．(2025·蚌埠模拟)设a，b∈R，且a<b<0，则(　　) A．< B．> C．> D．＋>2 2．某段时间内牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，a≠b，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为m1，m2，则下列结论正确的是(　　) A．m1＝m2 B．m1>m2 C．m1<m2 D．m1，m2的大小无法确定 3．(2026·镇江期初)已知x>0，y>0，且2x＋y＝2xy，则x＋y的最小值为(　　) A． B． C．2 D．＋ 4．设x>0，y>0，＋2y＝2，则x＋的最小值为(　　) A． B．2 C．＋ D．3 5．已知关于t的实系数二次不等式t2＋(b－1)t＋a<0的解集为(－2，－1)，若ax－by＝1(x，y∈R)，则2x－y的最小值为(　　) A． B． C．2 D．2 二、 多项选择题 6．(2025·浙江联考)已知正数x，y满足2x＋y＝1，则(　　) A．xy≤　　　　 B．＋≥8 C．＋≤　　　　 D．x2＋y2≥ 7．(2025·泰州一调)已知正数x，y满足＋＝1，则下列选项中正确的是(　　) A．xy≤3 B．≥ C．(x＋4)y的最大值为12 D．8x＋16y的最小值为128 三、 填空题 8．(2025·泉州二模)若x≥0，y≥0，且＋＝1，则3x＋4y的最小值为____． 9．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是____． 10．设m，n为正数，且m＋n＝2，则＋的最小值为____． 11．已知a>－1，且ab－2a＋b＝5，则(a＋2)(b＋1)的最小值为____． 12．已知正实数a，b满足2a＋3b＝2，则的最大值为____． 学科网（北京）股份有限公司 $