精品解析：北京市朝阳区人大附中朝阳分校东坝校区2025—2026学年八年级下学期阶段测试数学试题（6月）

人朝分东坝学校2025-2026学年度第二学期初二年级数学 一、选择题（共24分，每题3分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式．熟练掌握最简二次根式的定义，是解题的关键．根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】解：A：，被开方数，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意； B：，被开方数，无平方数因数，且不含分母，符合最简二次根式条件，符合题意； C：，被开方数含分母，需化为才满足最简形式，不符合题意； D：，化为分数，被开方数含分母，需有理化为，不符合题意； 故选：B． 2. 下列各组数中，属于“勾股数”的是（ ） A. B. 4，6，8 C. 12，16，20 D. 8，10，12 【答案】C 【解析】 【分析】勾股数是满足较小两个数的平方和等于最大数的平方的一组正整数，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A，，，不是正整数，不符合勾股数定义，不符合题意； 选项B，，，， 不是勾股数，故不符合题意； 选项C，，，且三个数都是正整数， ，，是勾股数，故符合题意； 选项D，，，， 不是勾股数，故不符合题意． 3. 有一组被墨水污染的数据（均为整数）：4，17，7，14，★，★，★，15，10，4，4，11，其箱线图如图，下列说法错误的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 C. 墨水污染的数据有一个是15 D. 这组数据的平均数是10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图，上四分位数，下四分位数，平均数，根据箱线图的定义可直接判断选项A和B，再根据上四分位数是15可判断选项C，再利用平均数的定义判断选项D． 【详解】解：A．由图可知这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； B．由箱线图可知最小值是3，最大值是18，∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，说法正确，故该选项不符合题意； C．由B可知其中两个★分别为3和18，将最后一个未知的★外的数据进行排列，得3，4，4，4，7，10，11，14，15，17，18， 由上四分位数是15，共12个数据，则从小到大排列后的第9和第10个数据的平均数为15，只有当最后个未知的★时，从小到大排列后的第9和第10个数据的平均数为15，则被墨水污染的数据有一个是15，说法正确，故该选项不符合题意； D．这组数据的平均数是，说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的概念，将正多边形补齐即可解答，熟知正多边形的概念是解题的关键． 【详解】解：根据正多边形的意义将图形补充完整如图． ， 由图形可得这个正多边形是八边形． 故选：D． 5. 如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，连接，若菱形的周长为48，则的长是（ ） A. 4.8 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质．根据菱形的性质得到，是直角三角形，由E是的中点得到． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点O，菱形的周长为48， ∴，垂足为点O， ∴是直角三角形， ∵E是的中点， ∴， 故选：B 6. 如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长为8，宽为4，则折痕的长度为（　　） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过F点作于H． 设，则．在中，利用勾股定理可列出关于x的等式，解出x为5，即可求出，．又易证，从而可求，最后再次利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过F点作于H， 由折叠的性质可知，． 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能大致表示y与x的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点，先求出，，，则可得，再得出，则，进而可得，根据一次函数的图象特征解答即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点的坐标为，点是轴正半轴上的一动点，且点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴，，， ∴， ∵轴，轴轴， ∴， ∴， ∵在等腰直角中，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的函数关系的图象是一条射线（不含端点），且经过点， 观察四个选项可知，只有选项D符合． 8. 如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤；⑥若，，则．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，，利用全等三角形判定推出，可判断①；由全等三角形的性质可得，，可判断②；由和得出，可判断③；由得到，可判断④；利用勾股定理可判断⑤，根据，可判定⑥，即可得出结论． 【详解】解：正方形， ，，，， ， ， ，即， ，故①正确； ， ，， ，即，故②正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 若需证，则需证， 而题目条件无法证明，故③不正确； ， ， ， 正方形， ， 四边形的面积为正方形面积的，故④正确； ， ， ∴，故⑤正确； ∵，， ∴， ∴，， ， ∴， ∴，即， ∴．故⑥正确． 综上所述，其中正确的有①②④⑤⑥，正确的个数是5． 故选D． 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，确定被开方数需大于0，解不等式即可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 10. 现有一批螺丝帽，从中抽选个测得它们的直径尺寸（单位：）依次是，，，，，，现要将这个螺丝帽按直径大小分成两组，每组至少个，且两组的组内离差平方和之和最小，你认为应该如何分______． 【答案】分为两组， 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，列举所有有序分组的情况，计算每种分组的组内离差平方和，选择组内离差平方和最小的分组作为结果即可． 【详解】解：将个数据从小到大排列，得到， ∴有序数据分成前后两组共有种不同分法，分别计算每种分法的组内离差平方和： 第种分法（第个间隔分割）： 第一组为，离差平方和为， 第二组平均数为，组内离差平方和为， 总离差平方和为； 第种分法（第个间隔分割）： 第一组为，平均数为，组内离差平方和为， 第二组平均数为，组内离差平方和约为，总离差平方和为； 第种分法（第3个间隔分割）： 第一组为，离差平方和约为， 第二组离差平方和为，总离差平方和为 第种分法（第个间隔分割）： 第一组离差平方和约为， 第二组离差平方和为，总离差平方和为； 第种分法（第个间隔分割）： 第一组离差平方和为，第二组离差平方和为，总离差平方和为 ∴对比所有总离差平方和，最小， 因此得到最终分组为和． 11. 如果机器人在平地上按如图所示的程序设定路线行走，那么机器人回到点A处时行走的路程是______． 【答案】 米 【解析】 【分析】任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数直接让除以一个外角即可．利用多边形的外角和等于，可知机器人回到点时，恰好沿着边形的边走了一圈，即可求得路程． 【详解】解：根据多边形外角和定理，该正多边形的边数为  则机器人行走的路程为米 ． 12. 在一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三方面为选手打分，并分别按4∶4∶2的比例计入总评成绩，某同学的三项成绩分别是91分，94分，90分，则他的总评成绩是________分． 【答案】92 【解析】 【分析】利用加权平均数的定义计算即可解题． 【详解】总成绩为：分， 故答案为：92． 【点睛】本题考查加权平均数，掌握权的重要性是解题的关键． 13. 已知是关于的正比例函数，且图象在第一、三象限，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数的概念、图象与性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． 根据正比例函数的形式为，且当时，图象经过第一、三象限，则函数中x的指数必须为1，且比例系数． 【详解】解：由正比例函数的定义，得，即， 解得， 又因图象在第一、三象限， 故比例系数， 因此． 故答案为：2． 14. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由在矩形中，于E，，易证得是等边三角形，继而可求出的度数，又由，即可求得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，． ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， 即是等边三角形． ∴． ∴． ∴． 15. 平面直角坐标系中，直线与相交于点，有下列结论： ①关于x，y的方程组的解是； ②关于x的不等式的解集是； ③关于x的方程的解是； ④． 其中，正确的是______________（填写序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据图像的交点同时满足函数的解析式，可以判定①③；利用数形结合思想可以判定②，④． 【详解】∵直线与相交于点， ∴关于x，y的方程组的解是，关于x的方程的解是，关于x的不等式的解集是， 当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵ ∴ 故， 故①②③正确；④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了图像交点的意义，一次函数与方程组的关系，一次函数与不等式的关系，数形结合思想，熟练掌握一次函数与方程组的关系，一次函数与不等式的关系是解题的关键． 16. 如图，正方形的边长为1，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】延长交的延长线于H，连接，，证明，可得，再由直角三角形的性质可得，从而得到，即当点A，P，C三点共线时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于H，连接，， ∵正方形的边长为1， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即当点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ， 代入，， 得，， ∴原式． 19. 如图，中，，为上一点，，交于点，求证： 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】根据已知条件可知四边形是平行四边形，得到，再证明，即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴（）， ∴． 20. 2025年是中国共产党建党104周年，在7月1日党的生日来临之际，某校七年级和八年级开展党史知识竞赛．现从两个年级中各随机抽查10名学生的竞赛成绩，统计如下（满分100分）： 七年级：72，80，80，82，82，84，87，88，90，95； 八年级：76，78，79，82，85，85，85，88，90，92． 老师现将两个年级的成绩整理成下表，并将85分及以上（含85分）的成绩评定为优秀，请根据统计数据回答以下问题： 统计量 七年级组 八年级组 平均数 84 84 中位数 85 众数 80，82 （1）___________；___________； （2）八年级随后又补查了3名同学的成绩，与之前的数据合并后，发现中位数没变，那么这3名同学中至少有___________名同学达到优秀； （3）如果七年级有700名学生参加了此次竞赛，请你估计优秀的学生的人数． 【答案】（1）83，85 （2）1 （3）估计优秀的学生的人数为人 【解析】 【分析】本题考查求中位数和众数，利用样本估计总体，熟练掌握中位数和众数的确定方法，是解题的关键： （1）根据中位数和众数的确定方法进行求解即可； （2）根据中位数的确定方法，进行判断即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级的数据排序后第5个和第6个数据分别为：， ∴， 八年级数据中出现次数最多的是：85， ∴； 【小问2详解】 补录三位同学，数据变为13个，其中中位数为排序后的第7个数据，且为85， 又∵原来的第5到第7个数均为85， ∴补录的三位同学的成绩至少有1个数据大于等于85， 即：这3名同学中至少有1名同学达到优秀； 【小问3详解】 （人）； 答：估计优秀的学生的人数为人． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求该函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解以及函数值大小比较相关知识，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数解析式，并结合函数性质分析函数值大小关系． （1）利用图象经过点和，求一次函数的解析式，再根据直线位置求点坐标； （2）根据函数值大小关系确定的取值． 【小问1详解】 解：把代入中， 得到方程组， 将代入，解得， 该函数表达式为． 过点且平行于轴的直线方程为． 点在直线上，同时也在上， 把代入，得， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：当时，需满足， 左边不等式： 整理得：， ， ， ，则， ，即， 右边不等式：， 整理得：， ，需保证，即时成立）． 综合条件：且，故． 22. 如图，在中，于点E，延长至点F，使得，连接，，与相交于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，的面积为20，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，证明，得出四边形为平行四边形，根据，得出四边形为矩形； （2）根据平行线的面积公式求出，证明，根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵，的面积为20， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． 23. 阅读理解： 例：若是多项式的一个因式，求的值． 解：设， 若时，则有， 将代入，得 ， 解得． 仿照上例的解法，解答下列的问题． （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若可化为整式，求化简后的整式； （3）若和是多项式的两个因式，且直线不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目所介绍的方法得到，再将代入，即可求解； （2）根据题意可知是多项式的一个因式，根据题目所介绍的方法得到，将代入，即可求得，将代入原式即可求解； （3）根据题目所介绍的方法得到，分别将，代入，联立得到二元一次方程组，求解得到，，得到直线的解析式为，根据函数图象经过的象限进行求解即可． 【小问1详解】 解：设， 若时，则有， 将代入得， 解得． 【小问2详解】 解：∵可化为整式， ∴是多项式的一个因式． 设， 若时，则有，得． ∴， ∴原式． 【小问3详解】 解：∵和是多项式的两个因式， 设， ∴若时，则有，得：． 若时，则有，得：． 解得，． ∴直线的解析式为：． ①当，即时，直线不经过第二象限，得 ∴，解得：． ②当，即时，，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 24. 为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：）下的百公里能耗（单位：）数据，部分数据如下： 行驶速度 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容． （1）在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象； （2）当A款车的行驶速度约为______（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为______（结果保留小数点后一位）； （3）小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则______（填“A”或“B”）款车行驶这的能耗更低． 【答案】（1） 如图，与的函数图象即为所求； （2）50，9.7 （3）B 【解析】 【分析】（1）根据描点、连线即可作图； （2）根据函数图象即可求解； （3）根据函数图象分别计算两款车的总能耗，再进行比较即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由函数图象可得，当A款车的行驶速度约为时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为； 【小问3详解】 解：由图象可得，A款车前百公里能耗约为，后百公里能耗约为， 则总能耗为； 由图象可得，B款车前百公里能耗约为，后百公里能耗约为， 则总能耗为； 因为 所以B款车行驶这的能耗更低． 25. 如图，菱形中，，E为边上一点，点F在的延长线上，，作点F关于直线的对称点G，连接． （1）依题意补全图形，并证明； （2）用等式表示之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析； （2），证明见进解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形，根据菱形的性质结合可推出，从而推出结论； （2）方法1：连接，根据菱形的性质结合推出为等边三角形，得出，由点F关于的对称点G在线段上，推出为等边三角形，根据证明得出，从而得出结果； 方法2：延长到H，使，根据菱形的性质易证，再根据全等三角形的性质及等边三角形的判定证明为等边三角形，然后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可得证． 【小问1详解】 补全的图形如图所示； 证明：∵菱形， ∴， ∴， ， ∴， ． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 之间的数量关系：． 证明：方法1 如图，连接． ∵菱形，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 点F关于的对称点G在线段上， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 证明：方法2 如图，延长到H，使， ∴． ∵菱形， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵菱形，，点F关于直线的对称点为G， ∴点G在线段上，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质定理是解题的关键. 26. 在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“相随点”． （1）已知，点，． ①在点，，，中，线段的“相随点”是______； ②若点为线段的“相随点”，连接，直接写出的最小值：______． （2）已知点，点，正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，；②； （2）或 【解析】 【分析】（1）①首先求出，然后根据平行四边形的性质得到，，然后设，然后分别验证求解即可； ②首先判断出点Q在直线上运动，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，，得到，当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后求出，最后利用勾股定理求解即可； （2）首先得出正方形左上角的顶点坐标为，右下角的顶点坐标为，设，然后分情况讨论，分别根据平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 ①∵点，． ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴， ∵点P在直线上 ∴设 ∴若，且 ∴， ∴ ∴符合题意， ∴是线段的“相随点”； ∴若，且 ∴， ∴ ∴，此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意； ∴若，且 ∴， ∴ ∴符合题意， ∴是线段的“相随点”； ∴若，且 ∴， ∴，，矛盾，不符合题意； 综上所述，线段的“相随点”是，； ②∵点Q为线段的“相随点”， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴设， ∴ ∴ ∴点Q在直线上运动 如图所示，连接，，作点O关于直线的对称点，连接， ∴ ∴ ∴当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度 ∵点O和点关于直线对称 ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为； 【小问2详解】 ∵正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行， ∴正方形左上角的顶点坐标，右上角的顶点坐标，左下角的顶点坐标，右下角的顶点坐标， ∵点，点，设 设所在直线表达式为， ∴，解得 ∴所在直线表达式为， 若与等长，如图所示，当正方形左上角的顶点为线段的“相随点”时， ∴， ∴，解得 当点F在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”， ∴点在上 ∴ 解得 ∴； 若与等长，如图所示，当正方形右下角的顶点为线段的“相随点”时， ∴，解得 当点C在上时，不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”， ∴点在上 ∴ 解得 ∴； 综上所述，t的取值范围或． 【点睛】此题考查了一次函数与四边形综合题，新定义问题，平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确分析题目，掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人朝分东坝学校2025-2026学年度第二学期初二年级数学 一、选择题（共24分，每题3分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，属于“勾股数”的是（ ） A. B. 4，6，8 C. 12，16，20 D. 8，10，12 3. 有一组被墨水污染的数据（均为整数）：4，17，7，14，★，★，★，15，10，4，4，11，其箱线图如图，下列说法错误的是（ ） A. 这组数据的下四分位数是4 B. 被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 C. 墨水污染的数据有一个是15 D. 这组数据的平均数是10 4. 用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，连接，若菱形的周长为48，则的长是（ ） A. 4.8 B. 6 C. 8 D. 12 6. 如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长为8，宽为4，则折痕的长度为（　　） A. 5 B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能大致表示y与x的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 8. 如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤；⑥若，，则．其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 现有一批螺丝帽，从中抽选个测得它们的直径尺寸（单位：）依次是，，，，，，现要将这个螺丝帽按直径大小分成两组，每组至少个，且两组的组内离差平方和之和最小，你认为应该如何分______． 11. 如果机器人在平地上按如图所示的程序设定路线行走，那么机器人回到点A处时行走的路程是______． 12. 在一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三方面为选手打分，并分别按4∶4∶2的比例计入总评成绩，某同学的三项成绩分别是91分，94分，90分，则他的总评成绩是________分． 13. 已知是关于的正比例函数，且图象在第一、三象限，则的值为___________． 14. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为______． 15. 平面直角坐标系中，直线与相交于点，有下列结论： ①关于x，y的方程组的解是； ②关于x的不等式的解集是； ③关于x的方程的解是； ④． 其中，正确的是______________（填写序号）． 16. 如图，正方形的边长为1，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是_______________． 三、解答题（共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分） 17. 计算：． 18. 已知，，求代数式的值． 19. 如图，中，，为上一点，，交于点，求证： 20. 2025年是中国共产党建党104周年，在7月1日党的生日来临之际，某校七年级和八年级开展党史知识竞赛．现从两个年级中各随机抽查10名学生的竞赛成绩，统计如下（满分100分）： 七年级：72，80，80，82，82，84，87，88，90，95； 八年级：76，78，79，82，85，85，85，88，90，92． 老师现将两个年级的成绩整理成下表，并将85分及以上（含85分）的成绩评定为优秀，请根据统计数据回答以下问题： 统计量 七年级组 八年级组 平均数 84 84 中位数 85 众数 80，82 （1）___________；___________； （2）八年级随后又补查了3名同学的成绩，与之前的数据合并后，发现中位数没变，那么这3名同学中至少有___________名同学达到优秀； （3）如果七年级有700名学生参加了此次竞赛，请你估计优秀的学生的人数． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求该函数的表达式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值． 22. 如图，在中，于点E，延长至点F，使得，连接，，与相交于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，的面积为20，求线段的长． 23. 阅读理解： 例：若是多项式的一个因式，求的值． 解：设， 若时，则有， 将代入，得 ， 解得． 仿照上例的解法，解答下列的问题． （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若可化为整式，求化简后的整式； （3）若和是多项式的两个因式，且直线不经过第二象限，求的取值范围． 24. 为研究新能源汽车的能耗表现，某科技小组探究不同行驶速度对两款纯电动汽车的百公里能耗的影响．该科技小组选取A，B两款纯电动汽车，记录了不同行驶速度（单位：）下的百公里能耗（单位：）数据，部分数据如下： 行驶速度 20 40 60 80 100 120 A款车百公里能耗 10.2 8.6 8.7 10.4 13.6 18.5 B款车百公里能耗 10.7 9.5 9.4 10.3 12.2 15.2 对以上数据进行分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，补充完成以下内容． （1）在平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，在同一坐标系中画出与的函数图象； （2）当A款车的行驶速度约为______（精确到个位）时，其百公里能耗最低；当B款车以的速度行驶时，其百公里能耗约为______（结果保留小数点后一位）； （3）小石和小京分别驾驶A，B两款车从甲地前往乙地，两地相距．两车都先以的速度行驶，随后立即切换至的速度继续行驶，直至到达乙地，则______（填“A”或“B”）款车行驶这的能耗更低． 25. 如图，菱形中，，E为边上一点，点F在的延长线上，，作点F关于直线的对称点G，连接． （1）依题意补全图形，并证明； （2）用等式表示之间的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“相随点”． （1）已知，点，． ①在点，，，中，线段的“相随点”是______； ②若点为线段的“相随点”，连接，直接写出的最小值：______． （2）已知点，点，正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $