2026年福建省南平建瓯市6月中考模拟数学试题

**基本信息** 建瓯市2025-2026学年初中毕业年级数学质量检测，以传统文化（如第8题名著阅读、第15题《九章算术》更相减损术）和生活实践（如第24题地砖拼接探究）为情境，覆盖初中数学核心知识，梯度设计兼顾基础与创新，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相反数、对称图形、科学记数法等|第3题以人口数据考查科学记数法，培养数据意识| |填空题|6/24|多边形内角和、概率、更相减损术等|第15题结合古代数学方法，渗透文化传承| |解答题|7/86|方程、几何证明、函数综合、探究活动等|第24题地砖拼接探究，发展几何直观与创新意识；第25题正方形综合题，考查推理能力|

建瓯市2025-2026学年初中毕业年级质量检测 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题卡上!请不要错位、越界答题!! 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1．2026的相反数是（　） A． B． C．2026 D．﹣2026 2．如所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A． B． C． D． 3．国家统计局5月22日发布的2025年国民经济和社会发展统计公报显示，2025年年末全国人口140545万人，比上年末减少283万人，数据140545万用科学记数法表示为（　　） A．140545×104 B．140545×105 C．1.40545×109 D．0.140545×1010 4．图1所示的正五棱柱，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 5．下列为某班级研究性学习小组学员出勤次数如表所示，小组学员出勤次数的众数和中位数分别是（　） 出勤次数 4 5 6 7 8 学员人数 2 6 5 4 3 A．5，6 B．5，5 C．6，5 D．8，6 6．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，则一元一次不等式﹣kx+b＞0的解集为（　 ） A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2 7．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 8．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（　　） A．4 B．4 C．0 D．4 9．如图，AB是⊙O直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且∠APQ＝115°，则点Q所在的弧是（ ） A． B． C． D． 10．如图，已知点是正方形内的一点，连接、、，且，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 第6题图 第7题图 第9题图 第10题图 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11．. 12．一个正多边形的每一个外角都等于，则该正多边形的内角和为 . 13．若实数a,b满足. 14．在一个不透明的袋子中装有4个红球、2个白球和1个黑球，每个球除颜色外完全相同。 从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球颜色不同的概率为 . 15．用《九章算术》中记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下: 第一步:；第二步:； 第三步:；第四步:. 如果继续操作，可得，因此，经过上述四步运算，求得的结果24是168和72的最大公约数.若两个正整数经过“更相减损术”的三步运算，所求得的最大公约数为a，且这两个数中的一个大于另一个的2倍，则这两个正整数分别为________.（用含a的代数式表示） 16．如图，直线y=-x+b(b>0)与双曲线 交于 A，B两点，且 连接OA,OB, 轴于点 M， 轴于点N，则 三、解答题（本大题共7小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答） 17．解不等式组： 18．已知，如图，，，， 求证：．    19、 （8 分）解分式方程： 20. （8 分）下表是某连锁奶茶店所有员工月收入的资料： 岗位类别 店长A 副店长 B 资深店员C 店员D 学徒 E 兼职F 保洁G 实习生 H 人数 1 1 1 4 8 1 13 1 月收入 /元 42000 16000 9000 5200 4800 4250 3500 2800 （1）由上表可知，该奶茶店所有员工月收入的平均数是 6200 元，中位数是 ，众数是 ； （2）若要反映该奶茶店员工月收入水平的情况，（1）中的三个统计量（平均数，中位数，众数）中，不合适的是 ； （3）该奶茶店因业务调整，将一名员工由原岗位调整至另一岗位，该员工的月收入也随岗位发生相应变化，其他员工的月收入保持不变。调整完成后，奶茶店所有员工的平均月收入比原来减少了 25 元。请判断该员工是从哪个岗位调整至哪个岗位，并说明理由。 21.（8 分）抛物线 （）与轴交于点，其对称轴与轴交于点。 (1) 求的值； (2) 如图，为原点，矩形与矩形关于点成中心对称。若抛物线与边相交，矩形与抛物线的交点所连线段将该矩形分为面积比为的两部分，求抛物线的解析式。 22.（10 分）已知关于的方程 ，其中，。 (1) 当方程有两个相等的实数根时，求与的数量关系； (2) 在平行四边形中，是边上一点，连接、交于点，，，的长是该方程的一个根，且。当时，确定点在线段上的位置并说明理由。 23．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，tanA，求BH的长． 24．探究活动：巧拼地砖外边． 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中），如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2—图9的操作解决了问题，完成了拼接． 图1 图2 图3 图4 图5 【操作说明】 将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】 画出的延长线，交于点． 【操作说明】 连接OC． 【操作说明】 沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形． 【操作说明】 画出的延长线，交小条形边角料的边于D． 图6 图7 图8 图9 【操作说明】 连接BD． 【操作说明】 沿着切割． 【操作说明】 拼接切割后的两根条形边角料． (1)（4分）请根据图2-图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母； (2)（4分）如果大条形边角料为MOBP的宽度为，小条形边角料为NOAQ的宽度为，大条形边角料MOBP裁剪后的锐角是∠OCP，那么tan∠OCP___________； (3)（4分）请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由． 25．如图，在正方形中，点、是正方形内两点，，，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程： （1）在图1中，连接，且 ①求证：与互相平分； ②求证：； （2）在图2中，当，其它条件不变时，是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由. （3）在图3中，当，，时，求之长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年建瓯市初中毕业班教学质量检测 数学参考答案 说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 D D C A A D B B D C 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分） 11. 12. 13. 14.. 15.4a,a或5a,2a . 16.. 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17.由①得，...................................1分 ， ......................................2分 ． .......................................3分 由②得，.............................4分 ，..................................5分 ． ........................................6分 ∴原不等式组的解集是 .................................................8分 18. 证明： ∵BE=CF..........................................................1分 ∴BE+EC=CF+EC即BC=EF............................................3分 在和中 ........................................................6分 ∴≌（SSS）..........................................7分 ∴∠A=∠D........................................................8分 19.（本题满分8分） 解答：方程两边同乘 ，得： 展开并整理： 检验：当 时，， 所以是原分式方程的解。 20.（本题满分8分） 解：（1）中位数： 4525元，众数为：3500 元。 （2）平均数。 （3）答：该员工是从兼职F调整至保洁G。 理由：全体员工总收入一共减少750元，说明该员工收入减少750元，只有兼职F与保洁G的月收入差值为750元，因此是从兼职F调整到保洁G。 21.（本题满分8分） 解：(1) 抛物线对称轴为 ， 由题意，对称轴为，故： (2)边为、从到的线段，抛物线对称轴为，顶点为，与交于和顶点。 矩形的面积为 ，被线段分为，即两部分面积为和。 顶点到的距离为 1，该线段为高为 1、底为 1 的矩形，面积为，对应，故： 抛物线解析式为：。 22.（本题满分10分） 解答： (1) 方程有两个相等的实数根，故判别式： (2) 解方程 ，因式分解得： 因为是上的线段，，故， 而，，故。 则 。 验证条件 ，此时成立。 在平行四边形中，，故， 相似比为： 因此，，即点分为。 答：点在线段上，且。 23.（本题满分10分） （1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠ABC，……………………………………1分 ∵OF⊥BC， ∴∠BFD＝90°， ∴∠ODB+∠DBF＝90°， ∴∠ABC+∠DBF＝90°，……………………………………2分 即∠OBD＝90°，……………………………………3分 ∴BD⊥OB， ∴BD是⊙O的切线；……………………………………4分 （2） 解：由题意得，半径为5， 连接， ∵ 为直径 ∴ 在中，…………………………………………5分 设，， 由勾股定理得： ，解得，（舍去负根） ∴ ，…………………………………………………………………………6分 ∵ ，过圆心 ∴ ∴ …………………………………………………7分 ∵ ∴ 又∵ ， ∴ ∴ …………………………………………………8分 ∴ 代入，， 得： ……………………………………………………………………9分 解得 综上，的长为. …………………………………………………………10分 24.（本题满分12分） （1）解：根据提示的基本操作，按照顺序依次作图，标注字母画图如下： 则画图即为所求，根据操作步骤依次作图： 1 画出指定线段的延长线，标出交点O；（1分） 2 连接线段OC；（1分） 3 按要求平移小条形边角料，画出四边形CB(A)；（1分） ④ 依次画出后续线段、延长线BD ，所有字母标注规范、图形线条清晰。（1分） （扣分说明：线条杂乱、字母标注错误酌情扣 1~2 分；未作图得0分） （2）解：延长，交于点T， 根据题意，∵， ∴， ∵， ∴，……………………………5分 ∴， ∵大条形边角料为的宽度为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵小条形边角料为的宽度为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形……………………………7分 ∴， ∴，故答案为：．……………………………8分 （3）解：如图所示延长，交于点E，连接， 过点A作，交于点F， 故沿着切割，然后拼接到位置上即可符合要求，理由如下：……………10分 ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴，……………11分 故沿着OE切割，然后拼接到AF位置上，此时，符合要求．……………12分 （1. 正确画出辅助线、切割线、作图规范得2分 2.推理过程逻辑完整、理由书写规范（平行四边形或平行线性质运用正确得2分3.作图正确但说理不完整，扣 1分 4.作图错误，无论说理如何最多得 1 分）. 25.（本题满分14分） 【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由详见解析；（3） 【分析】（1）①连接ED、BF，证明四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；②根据正方形的性质、勾股定理证明； （2）过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD，证明四边形EFDM是矩形，得到EM=DF，DM=EF，∠BMD=90°，根据勾股定理计算； （3）过P作PE⊥PD，过B作BELPE于E，根据（2）的结论求出PE，结合图形解答. 【详解】（1）证明：①连接ED、BF， ∵BE∥DF，BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴BD、EF互相平分； ②设BD交EF于点O，则OB＝OD＝BD，OE＝OF＝EF． ∵EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°． 在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2． ∴（BE+DF）2+EF2＝（2BE）2+（2OE）2＝4（BE2+OE2）＝4OB2＝（2OB）2＝BD2． 在正方形ABCD中，AB＝AD，BD2＝AB2+AD2＝2AB2． ∴（BE+DF）2+EF2＝2AB2； （2）解：当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立， 理由如下：如图2，过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD． ∵BE∥DF，EF⊥BE， ∴EF⊥DF， ∴四边形EFDM是矩形， ∴EM＝DF，DM＝EF，∠BMD＝90°， 在Rt△BDM中，BM2+DM2＝BD2， ∴（BE+EM）2+DM2＝BD2． 即（BE+DF）2+EF2＝2AB2； （3）解：过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE于E， 则由上述结论知，（BE+PD）2+PE2＝2AB2． ∵∠DPB＝135°， ∴∠BPE＝45°， ∴∠PBE＝45°， ∴BE＝PE． ∴△PBE是等腰直角三角形， ∴BP＝BE， ∵BP+2PD＝4 ， ∴2BE+2PD＝4，即BE+PD＝2， ∵AB＝4， ∴（2）2+PE2＝2×42， 解得，PE＝2， ∴BE＝2， ∴PD＝2﹣2． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，正确作出辅助性、掌握正方形的性质是解题的关键. 4 学科网（北京）股份有限公司 $