上海市建平世纪中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题

**基本信息** 上海市建平世纪中学高二数学期末试卷，通过填空、选择及解答题，融合函数、解析几何等知识，以企业盈利应用题、“锐曲线”新定义题等设计，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/36|直线倾斜角、抛物线焦点、幂函数性质等|基础巩固，含“锐曲线”新定义题| |选择题|4/12|充要条件、函数奇偶性与周期性|概念辨析，考查推理意识| |解答题|5/52|圆的切线、企业盈利函数、双曲线与圆综合|分层设计，企业盈利题体现应用意识，双曲线题综合几何与代数|

上海市建平世纪中学2025学年度第二学期期末考试 高二数学 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。 1. 直线 的倾斜角的大小是 ______。 1. 抛物线 的焦点坐标为 ______。 1. 集合 ，集合 ，则 ______。 1. 指数函数 的图像经过点 ，那么 ______。 1. 若方程 表示椭圆，则实数 的取值范围为 ______。 1. 已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______。 1. 已知直线 与直线 平行，则 ______。 1. 已知 。若幂函数 为奇函数，且在 上递减，则 ______。 1. 已知 ，点 为抛物线 的焦点，点 在抛物线上移动，为使 取得最小值，则点 的坐标为 ______。 1. 设 ，，若函数 存在两个不同的极值点，则 的取值范围为 ______。 1. 已知函数 ，其中 为实数，且 ，则不等式 的解集为 ______。 1. 若一条曲线上的任意两点 满足 为锐角（ 为坐标原点），则称这条曲线为“锐曲线”。已知曲线 是函数的图像，且 。若 是“锐曲线”，则正数 的最小值为 ______。 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分。 1. 已知线段 中点为 ，且 ，则线段 的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D. 1. 已知实数 ，那么“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 1. 函数 在 上的最大值和最小值分别为（ ） A. 5, -15 B. 5, -4 C. -4, -15 D. 5, -16 1. 设 为定义在 上的奇函数，判断以下两个结论（ ） ① 若 可导，则 必为偶函数； ② 若 的最小正周期为 ，则 在区间 上必存在零点。 A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤，在试卷或草稿纸上答题无效。 17. （本题满分9分，第1小题满分4分，第2小题满分5分） 已知圆 ，直线 过定点 。 （1）若 与圆 相切，求 的方程； （2）若 与圆 相交于 两点，且 ，求此时直线 的方程。 18. （本题满分9分，第1小题满分4分，第2小题满分5分） 某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用。该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 （）年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为 万元。 （1）求 关于 的函数关系式； （2）求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 19. （本题满分9分，第1小题满分4分，第2小题满分5分） 已知曲线 上动点 到两点 ， 的距离之和为4，直线 和曲线 相交于 两点， 为坐标原点。 （1）写出曲线 的方程； （2）若以 为直径的圆经过原点，求实数 的值。 20. （本题满分12分，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分） 已知双曲线 的标准方程：，如图所示，过双曲线 的右焦点 作与坐标轴都不垂直的直线 交 的右支于 两点。 （1）求双曲线 的离心率和渐近线方程； （2）已知点 ，求证：； （3）若以 为直径的圆被直线 截得的劣弧为 ，则 所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。 21. （本题满分13分，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分5分） 已知函数 ，，其中 （1）求函数 在点 处的切线方程； （2）函数 ，， 是否存在极值点？若存在，求出极值点；若不存在，请说明理由； （3）若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围。 1 学科网（北京）股份有限公司 $