精品解析：上海市莘庄中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025-2026学年上海市闵行区莘庄中学高二下学期 数学期末考试 一、填空题（满分54分，其中第1-6题，每题4分；第7-12题，每题5分）： 1. 抛物线的准线方程是__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为 准线方程是 ,所以抛物线的准线方程是 2. 若随机变量 服从正态分布， ，则 ________. 【答案】0.15 【解析】 【详解】由,可知， 则． 3. 函数在处的切线斜率为________. 【答案】## 【解析】 【详解】，当时，， 所以函数在处的切线斜率为. 4. 已知两个具有线性相关关系的变量，的一组数据，，，，根据上述数据可得关于的回归直线方程，则实数______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意， 根据线性回归方程的基本性质可知，回归直线必经过样本中心点， 则，所以，解得 5. 二项式，则该展开式中的常数项是______. 【答案】180 【解析】 【分析】 求得二项展开式的通项，令，即可求解展开式的常数项，得到答案. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为， 令，可得，即展开式的常数项是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了二项式定量的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. 设实数，圆的面积为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将一般方程化成标准方程后可得圆的半径，结合已知面积可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为， 故，故（负解舍去）， 故答案为：. 7. 小莘操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4.小莘一周跑11圈的概率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】小莘一周跑11圈对应的两种互斥事件：第一种为第一次跑5圈，第二次跑6圈；第二种为第一次跑6圈，第二次跑5圈，使用全概率公式即可求解. 【详解】设事件 为“第一次跑 5 圈”，事件 为“第一次跑 6 圈”， 事件为“第二次跑6圈”，为“第二次跑5圈”,事件 为“小莘一周跑 11 圈”， 那么 . 8. 设双曲线的左右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于，两点，若，，则双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】 【详解】过 平行于轴的直线，代入双曲线方程得，，因此弦长， 而，所以， 不妨取,，则， 所以，故，即， 而，所以，而，所以， 所以. 9. 某校要求每日综合体育不少于2小时，其中上午2个15分钟的课间、下午2个15分钟的课间可算入综合体育时间（共1小时），其余从五项运动中不可重复选择若干项使得综合体育总时长达标，如下表所示，则有(_________)种运动方式组合. A运动 B运动 C运动 D运动 E运动 上午大课间广播操 室内操 专项体育课 下午大课间自由活动 八段锦 30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 20分钟 【答案】 【解析】 【详解】依题意，上午2个15分钟的课间、下午2个15分钟的课间共1个小时算入综合体育时间， 故只需从五项运动中选择不少于1个小时的综合体育运动，可分为2类情况： ① 任选三项运动及三项以上，共有种组合， ② 任选两项运动符合题意的有共5种组合， 综上，由分类加法计数原理，共有种运动方式组合． 10. 已知圆锥曲线的方程：.当为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点满足，则满足题意的有序实数对共有__________对. 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义，易得到，，是椭圆，，，，是双曲线，从而根据题意可得，.再结合椭圆与双曲线的定义与即可得，从而得到答案. 【详解】由题意得，，是椭圆，，，，是双曲线， 结合椭圆与双曲线的几何性质可知本题中的任意两椭圆与两双曲线均无公共点， 从而时，存在两条曲线、有交点， 必然有，. 设，，则由椭圆与双曲线的定义可得 ，， 且，，故， 即， 所以存在两条曲线、，且，，. 故答案为：3. 11. 小申同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点.若当点到的距离为4时，，则等腰梯形的面积最小值为________（结果保留2位小数）. 【答案】 【解析】 【分析】如图建系，设抛物线方程为，根据题意得到，将其代入抛物线得到，根据抛物线设，利用导数求出，设直线的方程为，利用直线的方程求出和，求出，利用基本不等式求最小值即可得解. 【详解】 如图建系，设抛物线方程为，则抛物线的对称轴为轴. 因为腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，且梯形为等腰梯形， 则关于轴对称. 若关于轴对称，则无法平行，则与题意矛盾. 当点到的距离为4时，，则， 代入抛物线，解得，则， 即，设，则， 设， ， 则直线的方程为， 令，解得，令，解得， 故， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，取最小值. 12. 设 ，第一象限内有两个动点 、 ，其中点 在曲线上，点 在曲线上，已知，，记，，若“”当且仅当“存在实数 ，使得”，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设点 、 的坐标，将条件“”与“存在实数 ，使得”分别将 、 的坐标表示出来，根据当且仅当的关系结合三角换元，得到实数 的取值范围． 【详解】设点，，， 则，，，，， 则，； 由可得，整理得（1）； 而，故， 因为，故， 故. 又根据可知，，即， 整理得（2），联合（1）（2）即为， 由题设“”当且仅当“存在实数 ，使得”， 即为“”当且仅当. 设，，其中， 故， 若，则， 若，则， 故，， 若，则，即，这与矛盾； 若，则由可得， 故且，此关于的不等式组无解， 若，则同理可得， 因为“”当且仅当，故时，无解； 故. 综上 的取值范围为． 二、选择题（满分18分，其中第13-14题，每题4分；第15-16题，每题5分）： 13. 已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）． A. 事件和事件独立 B. 事件和事件互斥 C. 事件和事件对立 D. 事件和事件互斥 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义判断即可. 【详解】因为事件和事件满足，则一定可以得到事件和事件互斥，但不一定对立，故B正确，C错误； 因为，当，不为时，事件和事件不独立，故A错误； 抛掷一枚骰子，记出现点为事件，出现点为事件， 则，，显然事件和事件不互斥，故D错误. 故选：B 14. 在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量的值为.已知，则（ ） A. 的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” B. 的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” C. 的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小 D. 的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立性检验判断各个选项即可. 【详解】因为，则的值大于3.841， 就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”，A选项错误，B选项正确； 的值的大小不能说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差，C，D选项错误. 故选：B. 15. 已知，，，C在函数，图像上，则下列判断错误的是（ ） A. 存在，使得的点C有且只有一个 B. 任意，使得的点C至少一个 C. 存在，使得的点C有且仅有两个 D. 任意，使得的点C最多两个 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，函数为双曲线的一部分（如图），求出直线，再求出与函数，图象相切的直线，过点与直线平行的直线为，分别求出特殊情况下的值，即可判断. 【详解】根据题意，，，则，， 函数为双曲线的一部分（如图）， 因为双曲线的渐近线为，所以直线与函数图象交于一点， 设直线与函数，图象相切， 联立方程组，得， 令，得， 由图可知，， 此时直线与间的距离为，又， 当点C为切点时，， 又过点与直线平行的直线为，其与直线的距离为， 所以当点C为或时，， 所以当时，使得的点C有且只有一个，A正确； 由于函数，图象向右向上无限延伸， 所以点C到直线的距离可以无限大， 从而任意，使得的点C至少一个，B正确； 当，或时，使得的点C有且仅有两个，C正确； 而当时，使得的点C有三个，故D错误. 故选：D 16. 定义在上的函数，集合对任意的，有.对于所有使得的函数，以下说法正确的个数是（ ）. ①存在，使得是偶函数； ②存在，使得在处取极小值； ③存在，使得在R上严格减； ④存在，使得在处取得最大值. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】先理解集合的意义，即右侧的函数值都不超过，且表示所有满足这个性质的构成的集合恰好是，对于①②④，分别构造满足题意的函数即可说明存在；对于③根据减函数性质可判断集合应为. 【详解】对于①，构造函数， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，对任意，，即是偶函数， 如图，作函数的图象， 结合图象可知，当时，对任意，有； 当时，都存在，使得； 因此存在是偶函数，满足题意，故①正确； 对于②，构造函数， 如图，作函数的图象， 由图可知，在处取到极小值，极小值为， 且， 因此存在，使得在处取极小值，满足题意，故②正确； 对于③，若在上是减函数，则对任意， 当时，，即，矛盾，故③错误； 对于④，构造函数， 如图，作函数的图象， 由图可知，在处取到最大值，最大值为， 且， 因此存在，使得在处取得最大值，满足题意，故④正确. 所以，正确的序号为①②④，个数为，故D正确. 三、简答题（满分78分，14分+14分+14分+18分+18分）： 17. 如图，在圆柱中，是底面圆的一条直径，和是两条母线，是底面圆上异于的一点，是线段的中点． （1）求证：直线平面； （2）若，求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线构建平行关系，在平面找到一条线和平行，结合线面平行的判定证明； （2）过作，交的延长线于，连接，可得二面角的平面角，进而得解. 【小问1详解】 连接，令，连接，则是、的中点， 在中是线段中点，是的中点， ∴，又平面，平面， ∴直线平面； 【小问2详解】 如图，作出符合题意的图形， 过作，交的延长线于，连接， 由题知，，则，则， 显然平面，平面，则， 又，平面，，则平面， 由平面，则， 结合可知，二面角的平面角为， 而，，在直角三角形中，， 则，故二面角的大小是. 18. 设且，，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个不同的驻点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式可得切线方程； （2）对求导，令导函数为0，然后用根的判别式计算的取值范围. 【小问1详解】 因为，求导得， 令代入，曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为且，， 求导得， 且因为定义域为，函数有两个不同的驻点， 故在有两个不同正解，令，故， 设两个不同正解分别为和， 即，解得，即. 19. 闵行区2026年3月31日至4月13日的天气预报如图所示. （1）从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率； （2）根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9℃，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17℃，最低温度为9℃，当天的温差为8℃.记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温（整数）； （3）从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用表示一天温差不高于9℃的天数，求的分布列及期望. 【答案】（1） （2）18℃ （3） X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）根据给定表格信息，利用古典概型概率公式列式求解. （2）利用方差公式列出关于求解. （3）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 设“从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，这三天中至少有两天是阵雨”为事件A， 连续统计三天共有12个样本点，事件A共有4个样本点， 所以. 【小问2详解】 4月1日至4日这4天温差分别为9℃、8℃、9℃、9℃，平均数为， 因此，设4月14日的温差为x℃， 而4月11日至13日这3天温差分别为8℃、9℃、8℃，则平均数 ， 方差，而为整数，则， 所以4月14日这天最高气温是18℃. 【小问3详解】 从3月31日至4月13日，一天温差不超过9℃的共有11天，高于9℃的共有3天， 的可能取值为0，1，2， ，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 随机变量X的期望. 20. 已知椭圆的左、右顶点分别为、，过点的直线交椭圆于、两点. （1）若，椭圆的离心率为，求的值； （2）若，为等腰三角形且在第一象限，求的面积； （3）设直线交椭圆于另一点，若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据离心率与之间的关系列出等式即可求解； （2）分别讨论等腰三角形的腰，计算点的坐标，从而得到面积； （3）根据对称性得到与的坐标关系，利用韦达定理，将向量点乘转化为关于k，b的等式，利用判别式得到b的取值范围． 【小问1详解】 中， 由离心率为，则，因为，故； 【小问2详解】 因为，则， 因为，可得； 设，其中，为等腰三角形，分三种情况讨论： ①，则P为以为圆心，3为半径的圆与椭圆在第一象限的交点； 圆方程为，联立与椭圆的方程： ，可得， 整理得，，可知方程无实数解； ②，则P为以为圆心，3为半径的圆与椭圆在第一象限的交点； 圆方程为，联立与椭圆的方程： ，可得， 整理得，解得，（与重合，故舍去）， 则，此时； ③，则P在线段的垂直平分线上， 则，不符合题意，故舍去； 综上，的面积为； 【小问3详解】 当斜率不存在时，直线与椭圆没有交点，不合题意； 设直线方程为，设，； 由题意知，与关于原点对称，则； 联立方程可得； 则，即； ，； 由，，则； 则； 因， 代入， 整理得，即； 因为，故，解得， 因为，解得； 的取值范围为． 21. 设函数的极小值点组成集合. （1）若，求集合； （2）若，，求实数的取值范围； （3）若定义域为R的函数的图像是一条连续曲线，且处处可导，记其导函数为，且在R上为严格增函数.求证：若存在，使得对任意恒成立，则必有. 【答案】（1） （2） （3） 解法一：若，则在上有解，设为， 由于在上为严格增函数，所以当时，， 为严格减函数， 当时，，为严格增函数，所以为极小值点， 当，则结合在上为严格减函数，即在也为严格减函数， 所以存在，使得，与题意矛盾， 当，由于存在，使得对任意恒成立， 所以存在实数，使得对任意恒成立， 且满足随着从连续减小趋近于负无穷，函数的函数值从逐渐连续减小趋近于， 所以为的渐近线，则有时，，时，， 由于的定义域为，在上为严格减函数，在上为严格增函数， 所以当时，有 ， 和， 与不等式的传递性矛盾， 所以不存在这样的使得在上有解，故. 解法二：先证明：当在上为严格增函数时， 任取、，均有，等号当且仅当时成立， 设，则， 所以当，即时，，即函数在单调递增， 当，即时，，即函数在单调递减， 所以 即，等号当且仅当时成立； 再证明：， 若，则在上有解，设为， 由于在上为严格增函数， 所以当时，为严格减函数， 当时，，为严格增函数，所以为极小值点， 当，则结合在上为严格减函数， 即在也为严格减函数， 所以存在，使得，与题意矛盾， 当，令 ， 则，由于的任意性，取， 则，故 ， 再取实数满足且， 有 ， 与“”对任意恒成立矛盾， 所以不存在这样的使得在上有解，故. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，对求导，得到函数的单调性即可求解； （2）对求导，得到，分情况讨论和的大小，得到函数单调性即可求解； （3）解法一：若，则在上有解，设为，结合函数的单调性得到为极小值点．分和两种情况，结合函数的走势，得到矛盾；解法二：先证明：当在上为严格增函数时， 任取、，均有，等号当且仅当时成立，再反证法证明. 【小问1详解】 已知，定义域为， 对求导得，，令，解得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 故为的极小值点，由题意可得，集合. 【小问2详解】 已知，定义域为，由于， 所以为的极小值点， 对求导得， ， ①当时，令，解得，，且， 则令，可得；令，可得， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 此时为的极大值点，不符合题意，舍去； ②当时，，令，可得；令，可得， 因此在上单调递增，在上单调递减， 此时为的极大值点，不符合题意，舍去； ③当时，令，解得，， 当时，则，令，可得，令，可得， 因此在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时为的极小值点，符合题意； 当时，则，则恒成立，因此在上单调递增，不符合题意； 当时，则，令，可得，令，可得， 因此在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时为的极大值点，不符合题意，舍去； 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市闵行区莘庄中学高二下学期 数学期末考试 一、填空题（满分54分，其中第1-6题，每题4分；第7-12题，每题5分）： 1. 抛物线的准线方程是__________． 2. 若随机变量 服从正态分布， ，则 ________. 3. 函数在处的切线斜率为________. 4. 已知两个具有线性相关关系的变量，的一组数据，，，，根据上述数据可得关于的回归直线方程，则实数______. 5. 二项式，则该展开式中的常数项是______. 6. 设实数，圆的面积为，则________． 7. 小莘操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4.小莘一周跑11圈的概率为________. 8. 设双曲线的左右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交双曲线于，两点，若，，则双曲线的离心率为________. 9. 某校要求每日综合体育不少于2小时，其中上午2个15分钟的课间、下午2个15分钟的课间可算入综合体育时间（共1小时），其余从五项运动中不可重复选择若干项使得综合体育总时长达标，如下表所示，则有(_________)种运动方式组合. A运动 B运动 C运动 D运动 E运动 上午大课间广播操 室内操 专项体育课 下午大课间自由活动 八段锦 30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 20分钟 10. 已知圆锥曲线的方程：.当为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点满足，则满足题意的有序实数对共有__________对. 11. 小申同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点.若当点到的距离为4时，，则等腰梯形的面积最小值为________（结果保留2位小数）. 12. 设 ，第一象限内有两个动点 、 ，其中点 在曲线上，点 在曲线上，已知，，记，，若“”当且仅当“存在实数 ，使得”，则实数 的取值范围是________． 二、选择题（满分18分，其中第13-14题，每题4分；第15-16题，每题5分）： 13. 已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（ ）． A. 事件和事件独立 B. 事件和事件互斥 C. 事件和事件对立 D. 事件和事件互斥 14. 在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量的值为.已知，则（ ） A. 的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” B. 的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长” C. 的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小 D. 的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大 15. 已知，，，C在函数，图像上，则下列判断错误的是（ ） A. 存在，使得的点C有且只有一个 B. 任意，使得的点C至少一个 C. 存在，使得的点C有且仅有两个 D. 任意，使得的点C最多两个 16. 定义在上的函数，集合对任意的，有.对于所有使得的函数，以下说法正确的个数是（ ）. ①存在，使得是偶函数； ②存在，使得在处取极小值； ③存在，使得在R上严格减； ④存在，使得在处取得最大值. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 三、简答题（满分78分，14分+14分+14分+18分+18分）： 17. 如图，在圆柱中，是底面圆的一条直径，和是两条母线，是底面圆上异于的一点，是线段的中点． （1）求证：直线平面； （2）若，求二面角的大小． 18. 设且，，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个不同的驻点，求的取值范围. 19. 闵行区2026年3月31日至4月13日的天气预报如图所示. （1）从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率； （2）根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9℃，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17℃，最低温度为9℃，当天的温差为8℃.记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温（整数）； （3）从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用表示一天温差不高于9℃的天数，求的分布列及期望. 20. 已知椭圆的左、右顶点分别为、，过点的直线交椭圆于、两点. （1）若，椭圆的离心率为，求的值； （2）若，为等腰三角形且在第一象限，求的面积； （3）设直线交椭圆于另一点，若，求的取值范围． 21. 设函数的极小值点组成集合. （1）若，求集合； （2）若，，求实数的取值范围； （3）若定义域为R的函数的图像是一条连续曲线，且处处可导，记其导函数为，且在R上为严格增函数.求证：若存在，使得对任意恒成立，则必有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $