2.4 整数指数幂 学案 2026-2027学年湘教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“整数指数幂”，核心知识点涵盖正整数指数幂运算法则复习、零指数幂、负整数指数幂、运算法则推广及科学记数法表示绝对值小于1的数。课堂导入通过复习正整数指数幂法则，自然过渡到零指数和负整数指数幂，构建新旧知识衔接的学习支架。 资料特色在于知识点梳理系统且突出核心，典例与训练分层设计，覆盖基础计算、混合运算及科学记数法应用。通过跟踪训练和随堂演练，有效提升学生运算能力，培养应用意识，助力学生形成完整的指数幂知识体系，适合课堂教学与自主学习。

2.4　整数指数幂 【知识点梳理】 1．正整数指数幂运算法则（复习巩固） ① 同底数幂乘法： · ＝ （底数不变，指数相加）。 ② 同底数幂除法： ÷ ＝ （a ≠ 0，指数相减）。 ③ 幂的乘方：＝ （底数不变，指数相乘）。 ④ 积的乘方： ＝ · （每个因式分别乘方）。 ⑤ 商的乘方：＝ （b ≠ 0）。 2．零指数幂 规定： ＝ 1（a ≠ 0）。任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1。 注意：0⁰ 无意义！考试常在此设陷阱：问 (x−1)⁰＝1 的 x 范围，必答 x ≠ 1。 3．负整数指数幂（本节核心） 规定： ＝ （a ≠ 0，n 为正整数），即负指数等于同底正指数幂的倒数。 4．运算法则的推广 正整数指数幂的五条运算法则，对于零指数和负整数指数同样适用（底数均不为零）。 也就是说，做指数运算时零指数、负整数指数与正整数指数一视同仁，直接套公式即可。 5．科学记数法——表示绝对值小于 1 的数 形式：a × ，其中 1 ≤ |a| ＜ 10，n 为正整数。 规律：小数点后第一个非零数字前共有几个零（含个位前的零），n 就等于几。 例：0.00032 ＝ 3.2 × 　（3 前面共 4 个零） 0.000000501 ＝ 5.01 × 　（5 前面共 7 个零） 【典例精讲】 题型 1：零指数与负整数指数的基础计算 【典例1】计算： 。 解：原式=＝ ＝ 。 【典例 2】计算：。 解：原式＝ ＝ 8。 【典例 3】计算：＋ 。 解：原式 ＝1+＝1＋ ＝ 。 跟踪训练： 1．计算：。 解：原式= =。 2．计算： 。 解：原式=＝ ＝ 。 3．若 ＝ 1，则x的取值范围是 。 【答案】x ≠ 2 【解析】零指数幂有意义的条件：底数 ≠ 0 → x−2 ≠ 0 → x ≠ 2。 4．计算：· 。 解：原式=( )²·1=。 题型 2：整数指数幂的混合四则运算 【典例 1】计算：· 。 解：原式=。 【典例 2】计算：。 解：原式=··＝ · · ＝ 。 【典例 3】计算：( ＋ )÷( − )。 解：原式＝( ＋ )÷( − )=· ＝ 。 跟踪训练： 1．计算：÷ 。 解：原式=。 2．计算： 。 解：原式=· ＝ · ＝ 。 3．计算：· ·4。 解：原式＝ ×1×4＝ ＝ 。 4．化简：( b− a)÷( ＋ )。 解：原式=(− )÷(＋ )=÷=· ＝ ＝b−a。 题型 3：负指数与科学记数法 【典例 1】用科学记数法表示：0.000 025。 【答案】2.5× 【解析】第一个非零数字是 2，其前面共有 5 个零（个位的 0 ＋ 4 个小数位零）。故 0.000025＝2.5× 。 【典例 2】用科学记数法表示：−0.000 000 308。 【答案】−3.08× 【解析】3 前面共 7 个零。原数为负，结果带负号：−3.08× 。 【典例 3】将 1.5×10⁻⁴ 写成普通小数。 【答案】0.000 15 【解析】 表示小数点向左移 4 位：1.5 → 0.15 → 0.015 → 0.0015 → 0.00015。 跟踪训练： 1．0.000 71 用科学记数法表示为 。 【答案】7.1× 2．将 3.02× 写成普通小数 【答案】0.000 003 02 3．0.000 000 010 5 ＝ （科学记数法）。 【答案】1.05× 4．计算：(2× )·(3× )，用科学记数法表示结果为 。。 【答案】6× 【解析】2×3＝6， · ＝ 。 【随堂演练】 1．（4 分）计算 2⁻³ ＝ 。 【答案】 2．（4 分）若 (x＋1)⁰ ＝ 1，则 x 的取值范围是 。 【答案】x ≠ −1 3．（5 分）计算：( )³ ＝ 。 【答案】 （或 ） 【解析】幂的乘方，指数相乘：(−2)×3＝−6。 4．（5 分）用科学记数法表示 0.000 049 ＝ 。 【答案】4.9× 5．（6 分）下列计算正确的是（ ） A. ＝−9 B. ＝−1 C. ＝9 D. 【答案】C 【解析】A 错： ＝ ≠−9。B 错： ＝1≠−1。C 对：取倒数为 3²＝9。 6．（6 分）计算：(2× )² ＝ （用科学记数法表示）。 【答案】4× 【解析】2²＝4，()²＝ 。 【课后对点练】 一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A. ＝−a B. ＝0 C. ＝ D.＝−9 【答案】C 【解析】A：a⁻¹＝ ≠−a；B：a⁰＝1≠0（a≠0）；C：2⁻³＝ 正确。D:＝。 2． 等于（ ） A.x²　　 B.−x²　　 C. 　　 D. − 【答案】C 【解析】负指数等于正指数幂的倒数：x⁻²＝ 。注意不是− 。 3．若＝ ，则 x＝（ ） 　A. 2　　B. −2　　C. 3　　D. −3 【答案】B 【解析】 ＝3⁻²，故 3ˣ＝3⁻² → x＝−2。 4．计算·(−2)²的结果是（ ） 　A. 1　　B. −1　　C. 2　　D. 0 【答案】A 【解析】2⁻²＝ ，(−2)²＝4。积为 ×4＝1。 5．0.000 062 用科学记数法表示为（ ） A. 6.2× 　　B. 6.2×10⁵　　C. 62× D.0.62×104 【答案】A 【解析】非零数字 6 前共 5 个零，得 6.2× 。 6．下列各式中，计算结果为负数的是（ ） 　A. 　　B. − 　　C. (−3)²　　D. 【答案】B 【解析】A：(−3)⁻²＝ ＞0；B：−3⁻²＝− ＜0 ；C：(−3)²＝9＞0；D：( )⁻²＝9＞0。 7．不改变分式的值，将分式各项系数化为整数： ，化简后的最简形式为（ ） 　A. 　　B. 　　C. D. 【答案】B 【解析】分子分母同乘100得 。 8．计算的结果是（ ） 　A.　　 B.a⁴b⁻⁶　　C. D. 【答案】D 【解析】(a⁻²b³)⁻²＝a⁴·b⁻⁶＝ 。 二、填空题 9．＝ （a ≠ 0）。 【答案】 10． ＝ 。 【答案】 11． ＝ 。 【答案】−8 【解析】(− )⁻³＝ ＝−8。 12．0.000 010 2 用科学记数法表示为 。 【答案】1.02× 13． · ＝ 。 【答案】 （或 ） 14．若 ＝0.001，则 x＝ 。 【答案】−3 【解析】0.001＝10⁻³，故 10x＝10⁻³ → x＝−3。 三、解答大题 15．（6 分）计算： (1) ＋ ;　　(2)② − 。 解：（1）原式= +1＝ 。 （2）原式=3²-1=9-1=8。 16．（7 分）化简： ① ·( b)² ② ( − )÷( ＋ ) 解：（1）原式=a²b⁻³·a⁻²b²＝a⁰b⁻¹＝ 。 （2）解：原式= ( − )÷( ＋ )＝ · ＝ 。 17．（7 分）用科学记数法表示下列各数或计算结果： （1）0.000 003 06；　　 （2）(5× )·(4× )。 解：（1）0.000 003 06=3.06× 。 （2）(5× )·(4× )=20×=2×10⁻⁶。 18．（8 分）已知a＋ ＝3，求a²＋ 的值。 解：因为(a＋a⁻¹)²＝a²＋2·a·a⁻¹＋a⁻²＝a²＋2＋a⁻²。 又因为a＋ ＝3， 代入：3²＝a²＋2＋a⁻² ， ∴9＝a²＋a⁻²＋2 ， ∴ a²＋a⁻²＝7。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4　整数指数幂 【知识点梳理】 1．正整数指数幂运算法则（复习巩固） ① 同底数幂乘法： · ＝ （底数不变，指数相加）。 ② 同底数幂除法： ÷ ＝ （a ≠ 0，指数相减）。 ③ 幂的乘方：＝ （底数不变，指数相乘）。 ④ 积的乘方： ＝ · （每个因式分别乘方）。 ⑤ 商的乘方：＝ （b ≠ 0）。 2．零指数幂 规定： ＝ 1（a ≠ 0）。任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1。 注意：0⁰ 无意义！考试常在此设陷阱：问 (x−1)⁰＝1 的 x 范围，必答 x ≠ 1。 3．负整数指数幂（本节核心） 规定： ＝ （a ≠ 0，n 为正整数），即负指数等于同底正指数幂的倒数。 4．运算法则的推广 正整数指数幂的五条运算法则，对于零指数和负整数指数同样适用（底数均不为零）。 也就是说，做指数运算时零指数、负整数指数与正整数指数一视同仁，直接套公式即可。 5．科学记数法——表示绝对值小于 1 的数 形式：a × ，其中 1 ≤ |a| ＜ 10，n 为正整数。 规律：小数点后第一个非零数字前共有几个零（含个位前的零），n 就等于几。 例：0.00032 ＝ 3.2 × 　（3 前面共 4 个零） 0.000000501 ＝ 5.01 × 　（5 前面共 7 个零） 【典例精讲】 题型 1：零指数与负整数指数的基础计算 【典例1】计算： 。 【典例 2】计算：。 【典例 3】计算：＋ 。 跟踪训练： 1．计算：。 2．计算： 。 3．若 ＝ 1，则x的取值范围是 。 4．计算：· 。 题型 2：整数指数幂的混合四则运算 【典例 1】计算：· 。 【典例 2】计算：。 【典例 3】计算：( ＋ )÷( − )。 跟踪训练： 1．计算：÷ 。 2．计算： 。 3．计算：· ·4。 4．化简：( b− a)÷( ＋ )。 题型 3：负指数与科学记数法 【典例 1】用科学记数法表示：0.000 025。 【典例 2】用科学记数法表示：−0.000 000 308。 【典例 3】将 1.5×10⁻⁴ 写成普通小数。 跟踪训练： 1．0.000 71 用科学记数法表示为 。 2．将 3.02× 写成普通小数为 。 3．0.000 000 010 5 ＝ （科学记数法）。 4．计算：(2× )·(3× )，用科学记数法表示结果为 。。 【随堂演练】 1．（4 分）计算 2⁻³ ＝ 。 2．（4 分）若 (x＋1)⁰ ＝ 1，则 x 的取值范围是 。 3．（5 分）计算：( )³ ＝ 。 4．（5 分）用科学记数法表示 0.000 049 ＝ 。 5．（6 分）下列计算正确的是（ ） A. ＝−9 B. ＝−1 C. ＝9 D. 6．（6 分）计算：(2× )² ＝ （用科学记数法表示）。 【课后对点练】 一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A. ＝−a B. ＝0 C. ＝ D.＝−9 2． 等于（ ） A.x²　　 B.−x²　　 C. 　　 D. − 3．若＝ ，则 x＝（ ） 　A. 2　　B. −2　　C. 3　　D. −3 4．计算·(−2)²的结果是（ ） 　A. 1　　B. −1　　C. 2　　D. 0 5．0.000 062 用科学记数法表示为（ ） A. 6.2× 　　B. 6.2×10⁵　　C. 62× D.0.62×104 6．下列各式中，计算结果为负数的是（ ） 　A. 　　B. − 　　C. (−3)²　　D. 7．不改变分式的值，将分式各项系数化为整数： ，化简后的最简形式为（ ） 　A. 　　B. 　　C. D. 8．计算的结果是（ ） 　A.　　 B.a⁴b⁻⁶　　C. D. 二、填空题 9．＝ （a ≠ 0）。 10． ＝ 。 11． ＝ 。 12．0.000 010 2 用科学记数法表示为 。 13． · ＝ 。 14．若 ＝0.001，则 x＝ 。 三、解答大题 15．（6 分）计算： (1) ＋ ;　　(2) − 。 16．（7 分）化简： ① ·( b)² ② ( − )÷( ＋ ) 17．（7 分）用科学记数法表示下列各数或计算结果： （1）0.000 003 06；　　 （2）(5× )·(4× )。 18．（8 分）已知a＋ ＝3，求a²＋ 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $