2.5 可化为一元一次方程的分式方程（1） 导学案 2025-2026学年湘教版（2024）数学八年级上册

第2章 分式 2.5 可化为一元一次方程的分式方程（1） ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.能够理解并掌握分式方程的概念及其解法。 2.能够熟练进行分式方程的解法，包括去分母、化简、检验等步骤。 3.能够正确处理增根问题，提高运算能力。 学习重点： 分式方程的概念及其解法。 学习难点： 正确理解增根的概念及其处理方法。 ► 教学过程 一、复习回顾 解方程：=. 解一元一次方程的基本步骤： 二、新知探究 探究一：分式方程的定义 教材第52页 【做一做】 某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动 . 现有两条线路可供选择：线路一全程25km，线路二全程30km. 若走线路二的平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10min， 设走线路一的平均车速为xkm/h，请用含x的等式表示问题中的等量关系. 【归纳】 分式方程：____________________________的方程叫作分式方程. 探究二：分式方程的解法 教材第52页 【思考】如何求解分式方程? 问题1：我们前面所学的解方程都有什么特征？ 问题2：有没有方法将分式方程转化为整式方程？ 例1解方程：=. 例2解方程：. 增根：如果使最简公分母的值等于0，那么它不是原分式方程的根，称它为原方程的增根. 三、合作交流 【议一议】为什么将求出的未知数的值代入最简公分母，若其值为0，就可判断它不是分式方程的解呢？ 例3解方程：=5. 【议一议】解分式方程的一般步骤是什么？ 四、课堂练习 【知识技能类作业】 必做题 1.下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2.若代数式和的值相等，则的值是（   ） A． B． C． D． 3.已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 选做题 4.有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号） 5.当 时，分式的值等于． 6.若，则 ． 【综合拓展类作业】 7.已知关于的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求的值． (2)当分式方程的解为正数时，求的取值范围． (3)当分式方程有整数解，且时，直接写出所有满足条件的整数的和． 五、课堂小结 这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么? 六、作业布置 1.已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 2.若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 3.若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 4.下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同乘________，约去分母， 得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，解得． (1)这位同学解题过程中横线处应填的最简公分母是_______，解题过程缺少的步骤是_______． (2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程. 答案解析 课堂练习： 1.【答案】D 【解析】A、是整式方程，不符合题意； B、是整式方程，不符合题意； C、是关于的整式方程，不符合题意； D、是分式方程，符合题意； 故选：D． 2.【答案】D 【解析】解：代数式和的值相等， 则， 去分母得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故选：D． 3.【答案】B 【解析】解： 去分母得到，， 移项合并同类项得到， ∵关于的方程的解是正整数， ∴或，且 解得或， 即方程的解为正整数的个数是2， 故选：B 4.【答案】①②⑥⑦，③④⑤⑨． 【解析】解：∵①为整式方程；②为整式方程；③为分式方程；④为分式方程；⑤为分式方程；⑥为整式方程；⑦为整式方程；⑧为不是方程；⑨为分式方程． ∴整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨． 故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨． 5.【答案】． 【解析】解：根据题意得：， ， 解得：， 经检验是分式方程的解； 故答案为：． 6.【答案】6． 【解析】， ， ， ， ． 故答案为：6． 7.【答案】（1）解：分式方程去分母得：， 整理可得：， 当分式方程有增根时，即， 则， 解得：； （2）解：根据题意可得：且， 即，且， 解得：且； （3）解：当时， ∵， ∴， 当分式方程有整数解时，， 由于当分式方程有增根时，即，故需要舍去， 当时，， 当时，， 经检验，都符合题意， ∴它们的和是． 作业布置： 1.【答案】C 【解析】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 2.【答案】D 【解析】解：， 方程两边同乘得， ， ， 由题意得，该分式方程有解，且解为正数， 即且， 且． 故选：． 3.【答案】6 【解析】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ， 解得， 方程可化为， 解得， 关于y的分式方程有非负整数解， 且，为负整数解 解得且， 且， 当； 当（舍去）； 当（舍去）； 当； 当（舍去）； 当； 当（舍去）； 当； 则所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：6． 4．【答案】（1）解：由题意可得：这位同学解题过程中横线处应填的最简公分母是，解题过程缺少的步骤是检验； （2）解：方程两边同乘以得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 检验：把代入， 所以是原方程的根． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $