第5期 2.5 可化为一元一次方程的分式方程-【数理报】2025-2026学年新教材八年级上册数学学案（湘教版2024）

八年级数学湘教第1~5期 线理橘 答案详解 2025~2026学年八年级数学湘教 第1~5期 1期2版 =4x2+4x+1 1.1多项式的因式分解 =(2x+1)2; 1.C;2.D;3.-2,2. (3)原式=-ab(1-2a2+a4) 4.解：(1)因为3x(x-2)=3x2-6x, =-ab(a2-1)2 所以因式分解3x2-6x=3x(x-2)正确； =-ab(a+1)2(a-1)2 (2)因为(x+1)(x-2)=x2-x-2≠x2-3x+2, 5.解：x2-9y2+4z2+4xz 所以因式分解x2-3x+2=(x+1)(x-2)不正确； =(x2+4z2+4z）-9y2 (3)因为(3+2x)(3-2x)=9-4x2, =(x+2z)2-(3y)2 所以因式分解9-42=(3+2x)(3-2x)正确. =(x+2z+3y)(x+2z-3y). 1.2提公因式法 因为x+2z=3y, 1.B; 所以x+2z-3y=0. 2.x(y-2);3.-5. 所以原式=6y·0=0,其值为定值. 4.解：(1)原式=3(a-7)； 1期3,4版 (2)原式=3x(x-2+4y); 一、选择题 (3)原式=(3a+b)(2a-3b+4a) 题号123456789 10 =(3a+b)(6a-3b) 答案CAD DBDAA CC =3(3a+b)(2a-b). 提示： 1.3.1公式法（平方差公式） 5.解：因为M=x2+y2,N=2, 1.A;2.D;3.D; 所以M-N=x2+y2-2xy=(x-y)2. 4.(x+1)2(x-1) 因为(x-y)2≥0， 5.解：(1)原式=(x+5y)(x-5y); 所以M≥N. (2)原式=(x-y)(a2-b2) 6.解：因为关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全 =(x-y)(a+b)(a-b); 平方公式分解因式， (3)原式=(x2+9)(x2-9) 所以ax=±2×6x,所以a=±12. =(x2+9)(x+3)(x-3) 7.解：无盖的长方体纸盒的底面积为(b-2a)2, 6.解：(1)小禾的解答是从第①步开始出错的，错误的原 侧面积为4a(b-2a), 因是：去括号时，+3y未改变符号. 所以M=(b-2a)2-4a(b-2a) (2)(3x+y)2-(x+3y)2 =(b-2a)(b-2a-4a) =(3x+y+x+3y)(3x+y-x-3y) =(b-2a)(b-6a). =(4x+4y)(2x-2y) 8.解：因为a-b=3, =8(x+y)(x-y). 所以a2-b2=(a-b)(a+b)=3(a+b), 1.3.2公式法（完全平方公式） 所以a2-62-6b+2 1.C;2.-8; =3(a+b)-6b+2 3.(2m-1+2n)(2m-1-2n). =3a+3b-6b+2 4.解：(1)原式=(2a+3b)2: =3a-3b+2 (2)原式=4(x2+x-6)+25 =3(a-b)+2 八年级数学湘教第1~5期 =3×3+2 所以b2+4b+4+2-6c+9=0, =11. 所以(b+2)2+(c-3)2=0, 9.解：因为2x3+x2-13x+6 所以b+2=0,c-3=0, =2x3+x2-10x-3x+6 解得b=-2,c=3, =x(2a2+x-10)-3(x-2) 所以a=-2+4=2, =x(2x+5)(x-2)-3(x-2) 所以a+b+c =(x-2)(2x2+5x-3) =2+(-2)+3 =(x-2)(2x-1)(x+3), =3. 所以2x3+x2-13x+6的因式有(x-2),(2x-1),(x+ 三、解答题 3) 19.解：(1)原式=[a+2b+(2a-b)][a+2b-(2a-b)] 10.解：因为a2(b+c)=b2(a+c)=2024, =(3a+b)(3b-a); 所以2(b+c）-b2(a+c)=0, (2)原式=ab2(62-4b+4) 即a2b+a2c-ab2-b2c=0, =ab2(b-2)2. 整理，得ab(a-b)+c(a+b)(a-b)=0, 20.解：(a+b)2+a(a+b)+b(a+b)+(b+a)2 所以(a-b)(ab+ac+bc）=0. =(a+b)(a+b+a+b+a+b) 因为a≠b,所以a-b≠0， =3(a+b)2. 所以ab+ac+bc=0,即ab+bc=-ac. 因为a+b=10, 因为6(a+c)=2024, 所以原式=3×102=300（种）. 所以b(ab+bc)=2024, 答：这座商贸大楼共有商品300种. 所以abc=-2024. 21.解：因为20242024-202422 二、填空题 =202422×(20242-1) 11.3(m+1)(m-1);12.9,3;13.(x-3); =20242×(2024+1)×(2024-1) 142+2x+1,(+1;15.-6:169 =202420m×2025×2023 =2023×2024"×2025, 17.(x+2)(x+8);18.3. 所以n=2022. 提示： 22.解：(1)原式=(m-2)(4x-3x) 16解：了方y =x(m-2）. 1 当x=1.5,m=6时，原式1.5×(6-2)=6. =-3x+y) (2)原式=(x-1)2+(2x+1)(x-1)+3(x+1)(x-1) =-3[(x+)2-2] =(x-1)(x-1+2x+1+3x+3) =3(x-1)(2x+1). =-号×(-5)×[2-2×(-5] 当x=-分时，原式=3×(-方-(-方×2+)=0 =亨x4=9 23.解：B-A=a2+a-7-a-2 17.解：因为(x+4)2=x2+8x+16, =a2-9=(a+3)(a-3). 所以b=16. 因为a>2,所以a+3>0. 因为(x+1)(x+9)=x2+10x+9, 当2<a<3时，a-3<0,此时A>B; 所以a=10, 当a=3时，a-3=0,此时A=B; 则x2+10x+16 当a>3时，a-3>0,此时A<B. =x2+(2+8)x+2×8 24.解：(1)图中的面积可以表示为 =(x+2)(x+8). (2a+b)(a+b)或2a2+3ab+b2: 18.解：因为a-b=4, 表示因式分解的等式为 所以a=b+4. 2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b) 因为ab+c2-6c+13=0, (2)图略.2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b). 所以b(b+4)+c2-6c+13=0, 所以这个长方形的长和宽分别为2a+b和a+2b. -2 八年级数学湘教第1~5期 所以此长方形的周长为2(2a+b+a+2b)=6a+6b. 所以b+ac=11-30=-19. 25.解：(1)①25x2+10x-y2+1 8.解：因为边长为a,b的长方形周长为12，面积为5， =(25x2+10x+1)-y月 所以a+b=6,ab=5, =(5x+1)2-y2 所以(a+b)2=36, =(5x+1+y)(5x+1-y); 即a2+2ab+b2=36, ②x2-4y2+2x+4y 所以a2+62=36-2×5=26. =(x2-4y2）+(2x+4y) 则a3b+ab3=ab(a2+b) =(x+2y)(x-2y)+2(x+2y) =5×26 =(x+2y)(x-2y+2). =130. (2)因为a2+5b2+c2-4ab-6b-10c+34=0, 9.解：将m2=4n+a与n2=4m+a相减，得 所以(a2-4ab+462)+(62-6b+9)+(2-10c+25)=0, m2-n2=4n-4m, 所以(a-2b)2+(b-3)2+(c-5)2=0, 即(m+n)(m-n)=-4(m-n), 所以a-2b=0,b-3=0,c-5=0, 移项，合并同类项，得(m-n)(m+n+4)=0. 所以a=6,b=3,c=5. 因为m≠n,所以m-n≠0，所以m+n+4=0, 所以三角形ABC的周长为6+3+5=14. 即m+n=-4, 26.解：(1)提公因式法，2； 所以m2+2mn+n2=(m+n)2=(-4)2=16. (2)(1+x)225; 10.解：因为mn-2m-3n-20=0, (3)1+x+x(x+1）+x(x+1)2+…+x(x+1)9 所以m(n-2)-3n+6-6-20=0, =(1+x)[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)-1] 所以m(n-2)-3(n-2)-26=0, =(1+x)2[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)"-2] 所以(m-3)(n-2)=26. =…=(1+x)" 因为m,n均为正整数， 2期检测卷 所以m-3为不小于-2的整数， 一、选择题 n-2为不小于-1的整数. 题号12345678910 因为26=1×26或26=-1×(-26)或26=2×13或 答案AAC CCDD CA A 26=-2×(-13), 提示： 所以m-3=1或m-3=26。 5.解：3a(x2-1)-36(x2-1) ln-2=26ln-2=1 =(3a-3b)(x2-1) 或m-3=2或m-3=1B, =3(a-b)(x+1)(x-1), ln-2=13ln-2=2, 因为x-1,a-b,3,x2+1,a,x+1分别对应六个字：青，学， 所以m+n=32或m+n=20, 我，数，爱，高， 所以m+n的最小值是20. 所以将3a(x2-1)-36(x2-1)因式分解，结果呈现的密 二、填空题 码信息可能是：我学高青。 11.x(x+y)(x-y);12.4;13.72;14.6: 6.解：对于A.x2+2x+1=(x+1)2,可以； 15令；16,4或-4：17.6：18-1012. 对于B.x2-2x+1=（x-1)2,可以； 提示： 对于C+2+1=(分+)，可以： 16.解：将题目中的两个式子相加，得 a2-ab+b2-ab=16, 对于D.2+1加上-子，无法构成完全平方式，故选D 即(a-b)2=16, 7.解：因为77x2-13x-30 所以a-b=±4. =(7x+a)(bx+c) 17.解：因为a2+2ab+b2=c2+24, =7bx2 abx +7cx ac, 所以(a+b)2=c2+24, 7bx2+(ab +7c)x+ac, 所以(a+b)2-c2=24, 所以7b=77,ab+7c=-13,ac=-30, 所以(a+b+c)(a+b-c)=24. 解得b=11, 因为a+b-c=4, 一3 八年级数学湘教第1~5期 所以a+b+c=24÷4=6, 23.解：(1)(2m+n)(m+2n); 即△ABC的周长为6. (2)由题意，得m+n=20÷2=10, 18解：由题意，得m2-7=之， 1 m2-n2=(m+n)(m-n)=40, 所以m-n=4, 即(m+(m-)=-方(m-. 所以m=7,n=3, 所以2m+n=17,m+2n=13, 因为m≠，所以m-≠0，所以m+2=一分 所以这张长方形纸板的面积为 所以m3-mn+n3=m·m2-mn+n·n (2m+n)(m+2n)=17×13=221(cm2). =m(+2024)-m+n(2m+202个 24.解：设另一个因式为(2x+n. 根据题意，得2x2+3x+k=（x-1)(2x+n). =2nn+2024m-m+2n+2024n 展开，得2x2+3x+k=2x2+(n-2)x-n. =2024(m+n) 所以-2=3解得=5， lk =-n, lk=-5. =2024×(-7)=-1012 所以另一个因式为(2x+5),k的值为-5. 三、解答题 25.解：(1)原式=x2-4x+4-1 19.解：(1)原式=(x-3)(x+2); =(x-2)2-1 (2)原式=9a2-6a+1-462 =(x-2+1)(x-2-1) =(3a-1)2-(2b)2 =(x-1)(x-3). =(3a-1+2b)(3a-1-2b). (2)原式=(x2+2x)2-2(x2+2x)+1-4 20.解：(n+7)2-(n-5)2 =(x2+2x-1)2-4 =(n+7+n-5)(n+7-n+5) =(x2+2x-1+2)(x2+2x-1-2) =(2n+2)×12 =(x2+2x+1)(x2+2x-3) =24(n+1). =(x+1)2(x-1)(x+3). 因为n为正整数，所以n+1为正整数， (3)原式=x+4x2+4-4x2 所以24(n+1)能被24整除， =(x2+2)2-(2x)2 即(n+7)2-(n-5)2能被24整除. =(x2+2+2x)(x2+2-2x). 21.解：(1)原式=40×(31.52-2×31.5×18.5+18.52) 26.解：(1)52+22. =40×(31.5-18.5)2 (2)k=13.理由如下： N=x2-6x+4y2+8y+k =40×169 =6760. =x2-6x+9-9+4y2+8y+4-4+ =(x-3)2+(2y+2)2+k-13. (2)原式=号×[(27)-(52] 因为N是“和数”， =寸×(2分+5号27分-5) 所以k-13=0, 解得k=13. =分×3x2 (3)因为m,n都是“和数”，设m=a2+2,n=2+d, 所以mn=(a2+b2)(c2+） =242. =a2c2+a2+b2c2+b 22.解：(1)(x-2); a c2+bd 2abed -2abed a'd +b2c2 (2)设x2+6x=y =(ac +bd)2+(ad-be)2, 原式=y(y+10)+25 所以mn也是“和数”. =y2+10y+25 3期2版 =(y+5)2 2.1.1分式的概念 =(x2+6x+5)2 1.D;2.D;3.4;4.-2. =[(x+1)(x+5)]2 =(x+1)2(x+5)2. 5.(0,252)300 a 一4 八年级数学湘教第1~5期 6解：(1)要使-±的值存在， 62-2 2a-b 4.解：a-b)(a-c)+(a-b)(a二 则2a-b≠0，即2a≠b, a2-c2 a+b =(a-b)(a-c) 所以当2a≠6时，-2a-2的值存在 =(a+c)(a-c) (a-b)(a-c) (2)要使+的值存在， =atc 则21x1+1≠0. a-b 因为21x1+1≥1， 当a=36-2e-1时碧光=+号=号 所以x为任意数21+的值都存在。 5解：根超题在，得兰日-地二=。 -U 2.1.2分式的基本性质 40 1.A;2.②④； 3.(1)2a2+2ab,(2)-a-b. 答：飞机比船舰先到390h 4解：(1)24a2:-4ah:60=-6a 2.2.2异分母分式的加减 -4ab 4ab 1.B;2.73.1. (2)2a3-6 2a2-ab 1 2a2b-ab2 6(2a2-ab)=b 4.解：(1)1-1 xx+2 5.解：(1)m+5m+6 m2-4 龙+2 x(x+2)x(x+2) =(m+2)(m+3) (m+2)(m-2) =龙+2-x x(x+2) =m+3 2 m-2 =2+2 当m=-3时只号=号=0 m-2 2子+ x2-2xy (2)y-4y+4 2(x-1) 2x =(x+1(x-1)+x+i =x(x-2y) xy(x-2y)2 2 2x = +i+x+ 1 -y(x-2y） =2(x+1) x+1 1 xy-2y2 =2. 当x=4,y=1时，1。 1 1 1 y-27=4x1-2×1下=2 ()+a++6(。++ 2.2.1同分母分式的加减 =1+6+1+a-a(1+b)+b(1+m) (1+a)(1+b)(1+a)(1+b) 1.D;2.1. 2+a+b a +b+2ab 3解：)22 1 =(1+a)(1+b)(1+a)(1+b 1 1 =2+a+6-a-b-2ab =2x-+2x- (1+a)(1+b) 2-2ab 2 =2x-T =I+a+b+ab (2)a-1-1 3期3,4版 a2-2aa2-2a 一、选择题 a-2 = 题号12345678910 a2-2a 答案BA CCCDBC AA a-2 =a(a-2) 提示： 1 3 =d 9.解：因为x2+x-3 A 5 八年级数学湘教第1~5期 A(x-3) 3(x-2) 1 =x-2)(x-3)+(x=2)(x-3) y3= 1 1 =2-x, =4(x-3)+3(x-2) x-2x-2 （x-2)(x-3) 1 1 =A+3)x-(3A+6) 4=1-(2-0=x-五 (x-2)(x-3) 所以这列式子的结果以十产二2-×为-个循环，反 2+3- 6x+B 复出现. 所以4±324=g-- 6x+B 因为2026÷3=675…1， (x-2)(x-3) 1 所以A+3=6, 所以y2s=1=x- 1-(3A+6)=B, 三、解答题 解得A3, LB=-15. 19解：1)要使号的值存在。 0因为+=1山， 则2x-3≠0，解得x≠之， 3 所以1+，+1+。+1+=14， 'x+y 所以当大子时，号的值在在 x+y+2++y+2+x+y+区=14， (2)要使6(x+3》的值存在， x+y y+z z+x 1x|-12 所以a+++,+4, 则1x1-12≠0，解得x≠±12， 所以1+11 14 (x+3的值存在 所以当x≠±12时，x-12 以x+y+y+:+z+xx+y+云 a-4ab2 而1+ 1+ 7 20.解。-4a6+4ab “x+yy+zz+x6 a(a2-4b2) 所以石 7 a(a2-4ab+4b2) =a(a+2b)(a-2b) 所以x+y+z=12. a(a-2b)2 二、填空题 =4+26 a-2b l212a≠6：13.2：4-6：5-4 当a=-2.6=宁时， 16. n0 17.12；18.1 m mn .x-1 1 1 提示： a+26 a-26 -2+2×立-2出 1 以解3+与己+8 -2-2×2 =-21=3 x2-9 4y 5x 2(x-3) 2(x+3) 2x+18 (x+3(x-3）-(x+3)(x-3)+(x+3)(x-3) = 21.解：(Dx+x-刀+7+- 4y 5x 2x+6 =(x+3)(x-3) =(x+y)(x-y)+(x+y)(x-)(x+)(x-) 4y+4x =x-3 =(x+y)(x-y） 由于x为整数，且原式为整数， 、4 x-Y 所以x-3=±1或±2， a-32a+4 所以x=4或2或5或1， 2+2。+8+2n+14+2 所以4+2+5+1=12. a(a-3) 2aa++a0+22a+2 = a+2 18解：因为=1 =2a品+-2 a-3 所以归= 1 1 1- =(a-3)(a+1)+2(a-3)-4(a+1)2 x-1x-1 2(a+1)2 —6 八年级数学湘教第1~5期 =-302-8a-13 2(a+1)2 所以原式=3×(，2)=5=-1 -2+6 4 22.解：因为abc=1, 26.解：(1)将等号右边通分，得 1 所以b+b+=ab+b+abe=a++e ac A B x+6+4-3x 1 A(4-3x)+B(x+6) be+c+l=a(be+e+1)=abe+ac+a=I+ac+a (x+6)(4-3x) 23.解：)-2×-4与2 2-4与，一2是一对整合分式.理由如 =-3A+B)x+(4A+6B) -3x2-14x+24 下： 11x 因为2-4+ -3x2-14x+24 2-4+x-2 所以3A+B=11, =-2-4x+2(x+2) l4A+6B=0, x2-4 x3-4x 解得1=-3， lB=2. x2-4 (2)在已知等式中取x=3,有C+D=6. =x, 所以2x-4与2 取x=1,有-C+D=4. 2-4与一2是一对整合分式 解6+D=6,得C= ②)答案不惟一如N=的后牛+尝 l-C+D=4,lD=5. a +b 4期2版 2解+若亚明如下 2.3.1分式的乘除 a3+63 1.A;2.D;3.20-36 2ab a3+(a-b) a2-16 2a (a+b)(a2-ab+b2)】 =[a+(a-b)][a2-a(a-b)+(a-b)] 4.解：0。-80+16+4a (a+b)(a2-ab+b2) =a+4)(a-4).2a =a+(a-b)](a2-ab+6) (a-4)2a(a+4) a +b =（a+4)(a-4).2a (a-4)2·a(a+4) a+(a-b) 25.解：(1)“方法二”中运用的分式的基本性质是分式的 2 a-4 分子与分母同时除以一个不等于0的整式，分式的值不变. x2-92 故答案为：分式的分子与分母同时除以一个不等于0的整 2+2+二3 x+y 式，分式的值不变 =x+3y)(x-3y.x+y (2)因为xy≠0， (x+y)2 x-3y 所以原式=(3x-5xy-3y)÷y =(x+3y)(x-3y）·(x+2 (x+6xy-y）÷y (x+y)2·(x-3y) =+3y x+y 1+6-工 y u-2 =(x+2)(x-2).1,1 x-2x-2 11+6 (x+2) y x (x+2)(x-2) 因为二”=2， =(x+2)(x-2)(x-2 xy 1 =x-2 所以-↓=2， x y 2.3.2分式的乘方及乘除混合运算 所以人、1 y元=-2， 1B:2宁 -7 八年级数学湘教第1~5期 3解：(2.g 2.4.3整数指数幂的基本性质 -8· 1D2-435 4.解：(1)m3÷(m4)2 =m3÷m8 8y3·x 三m3-(-8) =m3. (2)a262·（a2b-2)3 2()+() =a262·a66 =8y 器( =a2(-6).b2+6 =a8·b =8y.9x2(-2 16y·x2y 、93 (3)(2x3y2)2÷(x2y)3 3 1 1 2.4.1同底数幂的除法 =2x7)‘x) 1 1.C;2.D;3.2. =4y·xy 4.解：(1)(m4)2÷m 1 =m3÷m3 =4x y 三m8-3 =m. 4r7 4期3,4版 (2)(-ab)6÷(-ab)2÷(-ab) =ab÷a2b2÷(-ab) 一、选择题 =-a6-2-1·66-2-1 题号12345678910 =-a3b3 答案BDBDBBDB D C 5.解：因为43×8m1÷2m+7 提示： =22(m+3)×23(m+0÷24m+7 10.解：原式= 2a .(a-1)2(a+1)2 a-1(a+1)(a-1) 4a2 =22m+6X23咖3÷24m+7 2a2 .(a-1)2(a+1)2 =2m+2=16=24, =(a-1)产(a+1) 4a2 所以m+2=4, =a+1 2 解得m=2. 2.4.2零次幂和负整数指数幂 由于户生是正整数.(a-1a+)≠0，a≠0. 1B:2:3-琴：47 所以a为大于1的奇数描述最准确。 二、填空题 5.解：(1)3+(-2)°-17 1.<；122.8×10m;13.±(g+0；140 1 =9+1-17 =-7. 154,16-7.2:1814 2()+22 提示： =士+ 17.解：最后甲、乙、丙三个袋子中的球数分别为29-2+ 2',29+2-(2+2）=29-2,5+(2+2)-2'=5+2. 2 因为一共有29+29+5=63（个）球，且最后三个袋子中 =2+4 的球的个数相同， 9 所以最后三个袋子中的球都是21个， 二4 所以29-2=21,5+2=21， —8 八年级数学湘教第1~5期 所以2=8,2=16， =x.+1 所以2-y=2÷2=16÷8=2. x-1x 18.解：因为大正方形的面积为49， +1 x-1 所以(a+b)2=49. 又因为a>b>0,所以a+b=7. 当=10时出8出号 因为中间小正方形的面积为1， 23.解：(1)因为(a")”=a, 所以(a-b)2=1, 所以am“=a, 所以(a+b)2-(a-b)2=48, 所以mn=6. 所以a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=48, 因为(a)2÷a=a3, 所以ab=12, 所以a2m=a23, 所以(0-6)s“÷(6a-6) 所以2m-n=3. (2)因为33·9m4÷272m-1=729, =(a2+b)(a-b)(a+b)·d+B‘6(a- ab 1 所以33·32m+8÷36m-3=36, =ab(a+b) 所以33+2+8-6m3=36, 6 所以3+2m+8-6m+3=6, =2×7 解得m=2. 6 24.解：原武=(a-合(a+(+子(d+)(a+) =14. 三、解答题 =a(a-a(a2+(c+(a+) 19.解：他的计算不对.正确过程如下： =a(a-c+(+) 64m÷16"×4 =(43)m÷(42)”×4 =a(a-(+） =43m÷42×4 =a(a6-) =43m-2n+1 20.解：依题意，得(3.6×104)÷(6×101)=(3.6÷6) =a-六 ×104-1=600(滴)， 25解：(1)根据题意，得(p+z)=a, 所以需要这种杀菌剂600÷15=40（毫升）. b(v甲-Uz)=a. 21解：1（会）÷(-) 所以仰=a+b, 26 =品() (2)因为里=4+b=7 为2=6-=3, =-62.64 9a6 所以a+6=子6-子， 2 =-3a26 所以号=， 2 所以号=号 2 -2x+32x-3》.(4-2)‘2x-3 1 a 2x-1 26 2×6 =2(2x+3) ab =4x+6. 2ab Fa+b÷6-a =2ab.b-4 atb ab -【别奇 =26-2a a +b =( 1 1 26.解：(1)因为x+3x+2=(x+2)(x+3 9 八年级数学湘教第1~5期 1 x+3×x+2=（x+2)（x3 检验：把x=头代入原方程，得左边=-4=右边， 4 1 1 1 x+3-x+2子x+2X、 因此x=号是原方程的解 所以分式，十2不是分式+3的“可存异分式” (2)方程两边同乘最简公分母x(x+1)(x-1),得 4(x-1)-3(x+1)=0. 故答案为：不是 解得x=7. (2)设4的可存异分式”为N, 4 3 检验：把x=7代人原方程，得左边=7+77之一70 则，4-N=产4×N, =右边， 所以（产4+xN=产4 因此x=7是原方程的解。 (3)方程两边同乘最简公分母3x-6,得 所以N=x之4(4+ 3(5x-4)=4x+10-(3x-6). 解得x=2. 4 2x-4 检验：把x=2代人原方程，方程两边的分式的分母都为0， =.x-4 这样的分式没有意义， x-42x-4 因此，x=2不是原分式方程的根，从而原分式方程无解 x =2x-4 2.5.2分式方程与实际问题 1.D;2.C;3.B;4.200;5.甲. 故答案为：2x-4 6.解：设从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁列车所需 (3D因为分式号是分式A的可作异分式， 时间为x小时 根据题意，得30=2.8×530 所以4-号=A×牛号 x+3 3x+3 5 所以A1-)-0+号 2x+3 解得x=子 经检验，x=弓是原分式方程的解，且符合题意。 5 所以A= 号(1-别 答：从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁列车所需时间 2x+3.3x+3-2x-3 -3x+5 3x+3 为号小时 2x+3,3x+3 7.解：(1)设甲加工服装x件，乙加工服装y件， 3x+3 =2x+3 根据题意，得：+y=280, ly=2x-80, ②分式A的值为1,3,5. 解得120， 因为整数使得分式A的值是正整数，A=2红+3=2+ y=160. 所以甲加工服装120件，乙加工服装160件. 故答案为：120,160. (2)设乙每天加工服装m件， 所以x=1时，A=5;x=3时，A=3;x=-3时，A=1, 则甲每天加工服装(m-5)件 所以分式A的值是1,3,5. 5期2版 根据题意，得120=160 m-5=m 2.5.1分式方程及其解法 解得m=20. 1.B;2.C;3.4;4.2y2-3y+1=0: 经检验，m=20是原分式方程的解，且符合题意. 5.m≥3且m≠6. 答：乙每天加工服装20件 6.解：(1)方程两边同乘最简公分母(x-3)(x-2),得 8.解：(1)设乙图书每本价格为x元， x-2=-3(x-3). 则甲图书每本价格为2.5x元. 解得x=号 根据题意，得00-0=24 x2.5x -1021.(8分)小丽解分式方程1-3 24.(9分)一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行 2x+2x+时，出现了错误 26.(10分)八年级甲、乙两个班全体同学踊跃参与“携手抗洪， 驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为8km/h,平时逆 共渡难关”捐款活动，甲班共捐款882元，乙班共捐款1092元.下面 她的解题过程如下： 水航行与顺水航行所用的时间比为2：1，某天恰逢暴雨，水流速度是 是甲、乙两班同学的一段对话： 解：去分母得1-(x-3)=6x 第一步 原来的2倍，这条船往返共用了9h.求甲、乙两港之间的距离。 我们班的人数比你 我们班的人均捐款数是 解得x= 4 第二步 们班的人数少3人. 你们班的名 所以原分式方程的解是x=7 4 甲班同学 乙班同学 第三步 图2 (1)小丽的解答过程从第 步开始出错，这一步应为 (1)甲、乙班各有多少人？ ,这一步的依据是 (2)现甲、乙两班共同使用这笔捐款用于购买A,B两种不同型 (2)小丽解答过程缺少的步骤是 号的手套（两种手套都有购买），购买信息如下表： (3)请写出正确的解题过程 名称单价（整数元/包）数量（包） 金额（元） A ■ B m+18 总计 5 两个班全部捐款额 求符合条件的整数m的值 却 擊 25.(10分)阅读下列材料： 方程1，-= +1元-2x-3的解为x=1; 1 湘 22.(8分)抗洪工作中，某区有甲、乙两组志愿者分装蔬菜各 教八年级 方程片=4的解为x2: 1 210吨，乙组分装的速度是甲组分装速度的2倍，甲组所需的时间比 规定时间多1小时，乙组所需的时间比规定时间少2小时，求规定的 1 筒 时间. 方程，--2=x-4x-5的解为x=3: 达标检测卷 ①）消直搜写出方程，45=7一8的解为 1 1 初中数学·湘教八年级同步达标检测卷 (2)观察上述方程与解的特征，写出一个解为x=-5的分式方 程： (3)观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律 的方程，并直接写出这个方程的解. 28.(9分)若分式方程3+号=写士无解，求长的值 参考答案见7期 本版责任编辑：郭晓红 报纸编辑质量反馈电话， 数评橘 2025年7月30日·星期三 初中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话 5 期总第1149期 (湘教八年级) 0351-5271248 4期2版参考答案 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707(F 2.3.1分式的乘除 1.A:2.D3.2a-3 方法 分子化 专题销导 2x 2ab 相等 2-x =0有增根，所以x=2,所以-m+1 2 2 4.(1) a-4 如果分式方程的 合参数分式方程 2,解得m=-5. (2)x+y x+31 模型三、已知分式方程无解，求参数的值 1 (3)x-2 法 分子都是常数，也可 四模型 以选择利用分式的基 ©湖南马志刚 例3若关于x的方程 =2x+1无解，则 2.3.2分式的乘方及 本性质把各分子化为 我们在解分式方程时，经常会遇到含有参 m的值为 乘除混合运算 巧 它们的最小公倍数 .B; 2 分式方 河南 即完成分子通分，由 数的分式方程，现针对这类题型归纳总结如下， 解：2 于各分式的分子相 供同学们参考学习， =2x十两边乘x(2x+1),得4+2 3x3 模型一、已知分式方程的解，求参数的值 =mx整理，得(4-m)=-2因为 m 3.(1) (2)、9x2 武苏苏 同，要使分式左、右两 =2x+1 边相等，其分母也必 例1 x=2是分式方程2+a 相等，从而得出一个 7=2的 无解，所以4-m=0或x=-2,解得m=4或 2.4.1同底数幂的除法 程 元一次方程，解方 解，则a的值为 ( 1.C;2.D3.2. m=0. 4.(1)m;(2) -a33 程即可. A.1 C.3 D.4 模型四、已知分式方程有解，求参数满足的 5.2 2.4.2零次幂和负整数指数幂 例1 方程 解：把x=2代入2 x-1=2,得1+a=条件 L.B;2.A 2,解得a=1. 例4若关于x的分式方 1 的解是 x-2+x+2 2 3x- 模型二、已知分式方程有增根，求参数的值 x+2m 有解，则m满足的条件是 5(-7(2￥ 解：由分式的基本性质，将左边分式的分子 若关于x的方程m+1_2x x2-4 变为2，原方程变形为2=3x-3 2 例2 x-2 2.4.3整数指数幂的基本性质 2x=0有 解： 2 x+2m两边乘(x+ x2-4 1D2-4:33 增根，则m的值为 -2+ x+2 所以2x=3x-3,解得x=3 2)(x-2),得x+2+2x-4=x+2m,解得x= 4(1)m:2) 2x =0两边乘(x-2),得m 8; 检验：把x=3代入原方程，得左边= 解：±1 x-2 2-x 2 m+1.因为 +子2有解，所以 右边，所以原分式方程的解为x=3. +1+2x=0,解得x=-m+1因为方程m+ 2 x-2 +1≠2且m+1 -2,解得m≠1且m≠-3 4期3,4版参考答案 方法二、换元 -、1.B;2.D:3.B: 把某个式子看成一个整体，用一个变量去 列分式方程解决实际问题是一类常考题 数眼看世界 4.D;5.B;6.B;7.D 代替它，从而使问题得到简化，这种方法叫作换 ☆ 这种考题形式活泼多样，背景千变万化，下面举 8.B;9.D;10.C. 元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设 二、11.<； 例说明两种常见问题， 分式程 12.2.8×10-8m: 元，理论依据是等量代换，目的是使复杂问题简 一、工程问题 13.±(y+1)3; 单化，变得容易处理.若分式方程中总是有相同 例1为了解决雨季时城市内涝的难题，我 走进实际生活 14.a8:15.4; 的式子，可把它们用 个字母代替，即应用换元 市决定对部分老街道的地下管网进行改造.在 ©青海王琪莹 法求解方程 改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的 (1)绳子和实心球的单价各是多少元？ x2+xy 例2 解方程： (2)如果本次购买的总费用为510元，且购 、+2= 一 施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度 17.2;18.14. 2-x 可以比原计划提前10天完成任务 买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳 三、19.不对.正确程略 20.40. 解：原方程变形 x2+2= x-1 x-2 设y (1)求实际施工时，每天改造管网的长度； 子和实心球的数量各是多少？ (2)施工进行20天后，为了减少对交通的 解：(1)设绳子的单价是x元 21.(1)-3a2b3 x-2,则x-1=y+1.原方程可化为 +2二 影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保 根据题意，得84=360 (2)4x+6. 总工期为40天，那么以后每天改造管网还要增 元t+23,解得x=7. 2原式= y+1 ,化简，得0=-1，显然不成立 加多少米？ 经检验，x=7是原分式方程的解，且符合 当x=10时，原式= 11 所以原分式方程无解 解：(1)设原计划每天改造管网x米. 题意 方法三、特殊套用法 根据题意，得3600 3600 所以x+23=30. ,(1)mn=6,2m =10 有的分式方程可逆用法则域公式求解 (1+20%)x 答：绳子的单价是7元，实心球的单价是30元 (2)设购买实心球的数量是m个. (2)m=2. 1 解得x=60 例3 解分式方程： 24.略 x+10 经检验，x=60是原分式方程的解，且符合 根据题意，得7×3m+30m=510 解得m=10.所以3m=30. (1)= 2 1 1 题意 × … (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) 所以(1+20%)x=72. 答：购买绳子30条，实心球10个 答：实际施工时，每天安改造管网的长度是2米 温馨提示：列分式方程解决实际问题的一 =10 (x+9)(x+10) (2)设以后每天改造管网还要增加m米 般步骤： (3)26-2a 解：原分式方程变形为x+10 根据题意，得(40-20)(72+m)=3600 (1)审：审清题意，弄清已知量和未知量之间 12 ×20. 的关系； 26.(1)不是 解得m=36. (2)找：找出题目中的等量关系； (2)2x-4 答：以后每天改造管网还要增加36米， (3)设：根据题意设出未知数； 3)①2x+3:②1,3,5. 1）=10 x+9x+10 二、销售问题 (4)列：列出分式方程； 例2为了加强学生的体育锻炼，某班计划 (5)解：解这个分式方程； 即+=10，解得x=-号 购买部分绳子和实心球.已知每条绳子的价格 (6)验：检验，既要检验所得的解是否是原 10是原分式方程的解 9 比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子 分式方程的解，又要检验解是否符合题意； 经检验，x= 的数量与360元购买实心球的数量相同！ (7)答：写出答案 2 素养专练 数理极 1.5.1分式方程及其解法 任务，列出方程6000-6000 7.随着高考、中考的到来，某服装店老板预测 1.25x =3,则6000 表示 1已知方程：01,9x=0:②-5 t 有关“势在必得”“逢考必过”之类的短袖T恤衫 x2 ( 能畅销，委托某服装车间加工280件此类服装，现 A.原计划每天种植树木的数量 +2=2+2 1;③x+2 +220(x+专x-6)= 分配给甲、乙两人加工，已知乙加工的件数比甲的 B.志愿者加入后实际每天种植树木的数量 2倍少80件. -1,其中分式方程的个数是 C.原计划完成树木种植的天数 (1)甲、乙加工服装的件数分别是 A.4 B.3 C.2 D.1 D.志愿者加入后实际完成树木种植的天数 件和 件； 2把分式方程、3， 。1去分母后化 3.在“脱贫攻坚”检查验收期间，甲、乙两个 2=12- (2)若乙每天比甲多加工5件，且两人所用时 检查组到某县开展检查验收工作，已知乙组单独间相同，求乙每天加工服装的件数 为整式方程为 ( 完成比甲组单独完成多用6天：若两个组同时进 A.-3=x-2-1 B.-3=x-2+1 行工作4天后，再由乙组单独完成，那么乙组一共 C.3=x-2+1 D.3=x-2-1 所用的时间刚好和甲组单独完成所用的时间相 3.若关于x的方程，=2的解是x=3,则 同，则乙组单独完成该县检查验收工作所需的时 间是 a的值为 A.12天 B.18天 4用换元法解方程，2+“2=3时，如果 C.24天 D.30天 4.某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅 设，本2y,那么原方程可化为关于y的整式方 销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后 程是 很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运 动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套 5.已知关于x的分式方程x-”=1的解是 x-3 进价多了10元若这两批运动服每套的售价相 非负数，则m的取值范围是■ 同，且全部售完后总利润率为20%，那么每套售 6.解方程： 价是 元（利润率=成本 利润 ×100%). 0=2 3 5.如下图，快递员甲和乙同时从配送点A和 D出发，分别沿不同路线前往仓库C甲从A经过 8.在“双减”背景下，某中学为让学生们扔下 繁重的作业负担，置身于丰富多彩的阅读中，计划 中转站B再到C,乙从D直接前往C,且乙的速度 与甲从B到C的速度相同.两人在各路段均保持 开展以“我阅读，我快乐”为主题的阅读分享活 动，学校图书室计划选购甲、乙两种图书.已知甲 匀速行驶，各点间距如下图所示.若甲从A到B的 图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800 速度比从B到C的速度慢l0m/min,且从A到B 元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要 4 3 的时间为从B到C时间的一半，则 (填 (2)2+x- =0; 少24本. “甲”或“乙”)先到达仓库C. (1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ C(仓库) (2)如果学校图书室计划购买乙图书的本数 240m 720m 比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲 0 乙两种图书的总经费为1060元，那么该图书室可 以购买多少本乙图书？ 6.王鹏家住成都，今年暑假，他们全家计划到 (3)5x-4=4+10-1. 贵州旅游，第一站到遵义参观遵义会议遗址.王鹏 x-2 3x-6 在做旅游攻略时发现成都火车东站距离遵义火车 站530km,乘坐高铁列车从成都火车东站到遵义 火车站比乘坐特快列车少用3小时，高铁列车的 平均行驶速度是特快列车的2.8倍.请你帮王鹏 计算一下从成都火车东站到遵义火车站乘坐高铁 列车所需时间. 2.5.2分式方程与实际问题 1.某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要 耕作.每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩 数多4亩.该农户耕作完旱地所用的时间是耕作 完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的 亩数.设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方 程为 ( A36 t-4=230 t+4=2×30 B.36 c36=2×30 x x-4 D.36=2×30 x+4 2.某地为了响应习总书记提出的“绿水青山 就是金山银山”的发展理念，计划在山坡上种植 树木6000棵由于志愿者的加入，实际每天植树 数理报社试题研究中心 的数量比原计划增加了25%，结果提前3天完成 参考答案见7期 2.5同步达标检测卷 等式右边是有理数运算例如13'3令，则方程 2的解为 3-x x※(-2)=5 x-4 -2的解是 18.已知分式方程，产1=(-x+2有增根，则m的 ◆数理报社试题研究中心 A.x=4 B.x=5 值为 (答题时长120分钟，满分120分) C.x=6 D.x=7 三、解答题（本题共8小题，共66分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）】 9.甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做350个零件的时间是乙 19.(6分)解方程： 1.下列关于x的方程中，不是分式方程的是 做240个零件所用时间的？倍，两人每天共做130个零件.八(1)班 4)8=12 A1=2 x+2 x 同学根据条件提出了不同的问题，设出相应的未知数x,并列出如下 c D.t2-1 方程，数学老师批阅后，发现一个不正确，这个不正确的方程一定是 x+12 ( ) 2分式方程十=1的解为 A.350 5 240 350 4×130- B.5×130-x =4×240 A.x=-1 B.x=0 c.350+240 =130 D.350+240-130 C.x=1 D.x=2 5 5x+4x 3小明版书解方程二子+1=。 1.5的过程如下：方程两边都 1-2x 8 初 10.若关于x的分式方程，+3=2的解是正整数，则时 中数学 乘以2x-1,得x-2+(2:-1）=-1.5,解这个方程，得x=分所 有符合条件的整数a的和为 ( ) 5 10 A.6 B.8 C.10 D.12 2)1+3 以原方程的根为x=2同学们都认为小明的解法不对，他错误的原 初中数学· 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 因是 A.去分母时，常数项没有乘以公分母 山解分试式方程号十-0去分母时，为两边同乘的品简 年 级 B.去括号移项时，没有变号 公分母是」 C.求出整式方程的根没有检验 步 12.关于x的分式方程2 ,=3的解是x=3,则a的值为 x -a 达 D.解整式方程得到的根不正确 标 4使分式，3和分式，'相等的x值是 13.点A,B在数轴上的位置如图1所示，它们A 湘教八年级同步达标检测卷 20 A.0 B.1 C.3 D.-1 对应的数分别为-2，？本若点A,B到原点的距 图1 5已知方程2。 20(6分)先化简，再求值：1-子)+其中 -3的解为x= 3,则方程122 2 离相等，则x= 14.位于今陕西省西安市的秦始皇兵马俑，作为“世界第八大奇 2y 2y-1-3的解为y= ( 迹”和首批中国世界遗产，成为了中华文明对外传播的核心符号.某 文创商店计划购进甲、乙两种兵马俑摆件，已知每件甲种摆件的单 A.5 B C. D.5 4 价与每件乙种摆件的单价的和为40元，用900元购得甲种摆件的件 6,若关于x的分式方程，4+普2=0无解，则m的值为 数与用1500元购得乙种摆件的件数相同.求甲、乙两种摆件的单价 各是多少元/件.若设甲种摆件的单价为每件x元，可列出关于x的 ( 方程为 A.6 B.5 C.4 D.3 15.如果关于x的分式方程+m =1的解为非负数，那么实数 7关于x的分式方程，46=1，下列说法正确的是 m的取值范围为 A.方程的解是x=m-6 16.某校有210名学生参加课后延时服务，原计划平均分成若干 B.当m<6时，方程的解是负数 组，实际分组时每组人数是原计划的1.5倍，最终组数比原计划少7 C.当m>6时，方程的解是正数 组，则实际分组时每组的人数为， 名 D.以上说法均不正确 17.对于两个不相等的实数a,b,规定：maxa,b表示a,b中的 8.对于有理数a,b,定义一种新运算“※”：a※b= a-2,这里 较大值，如mx2,4=4.按照这个规定，方程ma{-士，}