湖南省怀化市2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 涵盖复数、概率、立体几何等高二核心知识，通过基础题（如复数虚部求解）、综合题（如向量共线与最值）及创新题（如《九章算术》鳖臑情境）实现能力分层，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数运算、概率计算、向量模长|聚焦基础概念，强化数学抽象能力| |多选|3/18|统计直方图分析、立体几何判定|考查逻辑推理，体现思维严谨性| |填空|3/15|函数定点、文化情境（鳖臑）|融入数学文化，培养数学眼光| |解答|5/77|三角函数性质、向量应用、统计概率综合、新定义函数探究|突出综合应用，发展数学语言表达与创新意识，贴合高考命题趋势|

湖南省怀化市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数满足，其中是虛数单位，则的虚部为（    ） A． B．1 C．2 D．3i 2．某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 3．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（    ） A．3 B． C． D．12 4．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（    ）． A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 5．复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 6．在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 7．在中，点满足，点满足，点、满足，，，，若、、三点共线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为2，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ） A．的值为0.025 B．参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C．参加考核学生成绩在区间的学生有104人 D．估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 10．下列说法中正确的是（    ） A．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内 B．已知两直线平行于平面，那么直线一定平行 C．若直线不在平面内，则直线平行于平面 D．若直线平行，直线在平面内，则直线平行于平面内的无数条直线 11．如图，正八边形的边长为是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的取值范围 D．的最大值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．且的图象恒过定点_________． 13．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面，，且，则直线与平面所成角的大小为_________. 14．在中，角，，的对边分别为，，，且.则的值为____________；的最大值是____________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知，，函数． (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)若，且，，求的值． 16．如图，在梯形中，为线段中点，记 (1)用表示向量； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值. 17．某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值，并估计这次竞赛的平均成绩； (2)按照成绩从高到低选出样本中前的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分？ (3)在（2）的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干，再从这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在的概率． 18．某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么 (1)在树状图中填写样本点，并写出样本空间； (2)求李明第二次答题通过面试的概率； (3)求李明最终通过面试的概率． 19．若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． (1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； (2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． (3)运用第（2）问的结论，求的值，其中． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省怀化市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B A B A D ACD AD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】首先对复数进行化简，再根据复数虚部的定义即可得到答案. 【详解】由题意得，， 则的虚部为， 故选：. 2．B 【详解】设末位数字是奇数为事件，则末位数字可以为：，共10种情况，而末位数字为奇数的情况有：，共5种情况，所以末位数字是奇数的概率. 3．A 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则可知，，求得的坐标，然后利用坐标求模长建立关于的方程，解方程即可得解. 【详解】    设船实际航行的速度为，则， 又，所以，解得（负值舍去）. 故选：A 4．B 【分析】对立事件是指两个事件不能同时发生且必有一个发生；互斥事件是指两个事件不能同时发生；相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生没有影响，即. 【详解】对于A，，所以与不为对立事件． 对于B，，，，相互独立． 对于C，，，，不相互独立． 对于D，事件为，所以与不为互斥事件． 故选：B. 5．A 【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合复数的虚部的概念，即可求解. 【详解】由复数，所以复数的虚部为. 故选：A. 6．B 【分析】应用二倍角余弦公式及余弦边角关系得到，即可得. 【详解】由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形. 故选：B 7．A 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算可得出，设，利用平面向量的线性运算可得出，根据平面向量的基本定理可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】如下图所示： 因为，即，解得， 因为，即为的中点，所以， 因为、、三点共线，设，则， 所以， 因为、不共线，且， 所以，所以，，所以， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 8．D 【分析】根据已知找到侧棱与底面所成的角，依据正切值为2算出高的大小，然后求出斜高，从而可以求出侧面与底面的二面角正弦值. 【详解】如图，正四棱锥中，是底面中心，是中点，平面. 即是棱锥的高，是斜高，是侧棱与底面所成的角，是四棱锥侧面与底面所成的角， 设底面边长为，则， 因为正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，即， 又因为，所以. 所以， 所以，即该四棱锥侧面与底面所成角的正弦值为. 9．ACD 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，成绩在的频率分别为，则成绩的中位数， ，解得，B错误； 对于C，成绩在的频率为， 由，得成绩在区间的学生有104人，C正确； 对于D，成绩的平均数，D正确. 10．AD 【分析】根据线线、线面位置关系等有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案． 【详解】解：A选项，根据平面的性质可知，如果一条直线上有两个点在一个平面内， 则这条直线在这个平面内，所以A选项正确； B选项，直线平行于平面，可能平行、异面、相交，B选项错误； C选项，若直线不在平面内，则直线平行于平面或直线相交于平面，所以C选项错误； D选项，由于，所以在内与平行的直线（异于），都与平行，D选项正确． 11．ABD 【分析】对于AB，根据向量的线性运算即可判断；对于C，根据向量数量积的定义，易知当点在线段上时，取得最大值，当点在线段上时，取得最小值，求出最值即可判断；对于D，设中点为，由极化恒等式得，则当在点或点时，取得最大，据此计算出最值即可． 【详解】解：对于A，根据题意，，则，故A正确； 对于B，连接交于， 由题知，则， 由对称性可知，若为中点，则， ，则， ，故B正确； 对于C，过点作直线的垂线，垂足为， 易知正八边形内角， 因此， 易知当点在线段上时，，， 取得最大值， 当点在线段上时，取得最小值，故C错误； 对于D，设中点为， ， 记，则，所以， 所以， 由图可知，当在点或点时，取得最大， 此时， 所以的最大值为，故D正确． 12． 【分析】根据指数函数图象特征列式求解即可. 【详解】令，得，则， 即且的图象恒过定点. 故答案为：. 13．/ 【分析】取的中点，连接、，即可证明平面，从而得到直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、，因为，， 所以，且， 又平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以直线与平面所成角， 又平面，平面，所以，所以， 所以，则， 即直线与平面所成角的大小为. 故答案为： 14． 【分析】根据条件及正弦定理，求得角；然后利用三角形内角和转化为与的关系，利用两角和与差的正弦展开式和取值范围求得最大值． 【详解】∵，∴由正弦定理得， 又，故，∴， ∵，∴； ∴， ∴，. ∵，∴， ∴当，即时，取得最大值. ∴当时，取得最大值. 故答案为：；. 15．(1)， (2) 【分析】（1）先根据向量数量积运算求出的表达式，再利用三角函数公式化简，进而求出最小正周期和对称中心； （2）先根据已知条件求出和的值，再结合的值求出的值，最后利用两角差的正弦公式求出的值. 【详解】（1）已知，，函数． ∴ ，                         即，∴函数的最小正周期为，               令，得， ∴函数的对称中心为． （2）由（1）知， 则，得， ∵，∴．                      ∵，∴， ∵，∴．   ∴ ，                                        又，∴． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算可得结果； （2）由向量的数量积计算，即可得结果； （3）由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）； （2）由于，可得，又有， 所以； （3）由于，可得，又有， 所以. 由，可得， . 17．(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据频率分别直方图每组小矩形的面积之和为1，列出方程，求得，再由平均数的计算公式，即可求解； （2）根据题意，成绩从高到低选出样本中前的学生，即为分位数，结合百分位数的计算方法，即可求解； （3）根据题意，得到成绩在的学生有2人，在的学生有4人，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为频率分别直方图每组小矩形的面积之和为1， 可得，解得， 竞赛的平均成绩：. （2）解：由频率分别直方图的数据，可得： 成绩在内的频率为：， 成绩在内的频率为：， 所以成绩从高到低选出样本中前的学生，即为分位数，设为， 可得分，即估计进入宣传队的学生成绩至少需要分. （3）由题意得，样本中宣传队学生的人生为， 其中成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为， 从样本中按分层抽样的方法抽取6人，则成绩在的学生有2人，记为， 在的学生有4人，记为， 从中选2人担任正副队长的样本空间为： ,， 记事件“正副队长中至少有1名学生成绩在”，则： ， 由古典摡型的概率计算公式，可得. 18．(1)树状图见解析，样本空间为 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，列出树状图，并写出样本空间即可； （2）由第二次通过面试，即第一次没有通过，第二次通过，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解； （3）先求出未通过面试的概率，结合对立事件的概率求法，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，可得树状图及样本点，如图所示， 其样本空间为. （2）解：由题意知，， 所以第二次答题通过面试的概率. （3）解：由题意，李明未通过的概率为， 所以李明通过面试的概率为. 19．(1)，. (2)是中心对称函数，且对称中心为 (3) 【分析】（1）根据对称性，利用赋值法即可求出，的值； （2）由定义列，化简后令系数为0，求解m、n,，根据是否有解做出结论； （3）利用函数对称性的性质化简后利用基本不等式求解. 【详解】（1）由在R上的函数的图象关于点中心对称，得， 则，，， 当时，，， ， ，. （2）若为中心对称图形，则在定义域内有恒成立. ， 根据中心对称定义有， 整理得：， 为了使等式对所有 成立，系数必须分别等于零： ，解得： 是中心对称图形，且对称中心是. （3）由（2）知，；， 经检验，时，一致；时，一致， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $