精品解析：湖南省湘西自治州2024-2025学年高二下学期期末数学试题

2024～2025学年第二学期高二期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试题卷共6页.如缺页，考生须声明，否则后果自负. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合，结合集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，所以， 又由不等式，可得，所以， 则． 故选：C． 2. 若，其中i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，化简复数，结合复数的运算法则，即可求解. 【详解】由复数，所以． 故选：D． 3. 设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立； 当且时，设存在直线，且， 因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可得，所以，即必要性成立， 故“”是“且”的必要不充分条件． 故选：A． 4. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示． 零件数个 10 20 30 40 50 加工时间 50 60 70 80 100 由上表的数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由表格中的数据求得样本数据的样本中心，代入回归方程，求得，得到经验回归方程为，结合残差的计算方法，即可求解. 【详解】由表格中的数据，可得，， 因为经验回归直线必过点，即点， 可得，解得，所以经验回归方程为， 所以样本点处的残差为． 故选：C． 5. 在一次投篮比赛中，小明同学连续投篮3次，若前一次投中，则后一次投中的概率为前一次投中概率的2倍；若前一次未投中，则后一次投中的概率与第一次投中的概率相同．已知他第一次投中的概率为，则在第二次投中的条件下，第三次投中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设“第二次投中”为事件，“第三次投中”为事件，结合独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，设“第二次投中”为事件，“第三次投中”为事件， 则，， 所以， 即在第二次投中条件下，第三次投中的概率为． 故选：A． 6. 若存在实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，转化为，当时，显然成立；当时，化简得到，令，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意知：， 当时，，显然成立； 当时，由， 令，因为，在上单调递增， 可得函数在上单调递增， 又因为，所以，可得， 综上可得或，所以实数的取值范围为． 故选：D． 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合指数函数与对数函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，且当时，单调递增， 则满足，解得，即实数的取值范围是． 故选：B． 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，的右支上存在点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，得到，再由，且，求得的值，方法1：在中，由余弦定理得到，求得，进而求得双曲线的离心率；方法2：由，求得，得到，求得，得到双曲线的离心率. 【详解】设，由双曲线的定义，可得， 由，且， 可得，且，解得． 方法1：在中，由余弦定理得， 即，整理得，解得，所以， 所以双曲线的离心率． 方法2：由，可得，即， 解得，所以，可得， 所以，双曲线的离心率． 故选：B． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 当或时， C. D. 在上投影向量的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB利用向量平行和垂直的坐标表示；C计算的坐标，再利用数量积的坐标表示计算；D利用公式计算. 【详解】对于A，因为，若，则，故A正确； 对于B，若，则，此时； 若，则，此时不垂直，故B错； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，由题意得， 所以在上的投影向量的坐标为，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 函数在区间上单调递增 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 【答案】BD 【解析】 【分析】A先求最小正周期，再计算；B计算即可；C整体代换求的范围，再结合正弦函数的性质即可；D利用平移变换的规律可得. 【详解】因为函数的最小正周期， 所以函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，故A错误； 因为，所以点是函数图象一个对称中心，故B正确； 由，得，所以函数在区间上不单调，故C错误； 因为， 所以将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，故D正确． 故选：BD． 11. 已知直线（不同时为0），圆，则（ ） A. 当时，直线与圆不可能有交点 B. 当时，直线与圆相切 C. 当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点，使得的面积为 D. 当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 【答案】BCD 【解析】 【分析】求得圆心到直线距离，当时，，可判定A错误；求得圆心到直线的距离，可判定B正确；求得直线与坐标轴相交于两点坐标，结合圆的性质，得到，可判定C正确；求得圆心到直线的距离，结合抛物线的定义，可判定D正确． 【详解】对于A中，圆C的标准方程为，则圆心为，半径， 当时，圆心到直线的距离， 当时，，所以直线与圆可能相交，所以A错误； 对于B中，当时，可得， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切，所以B正确； 对于C中，当时，直线的方程为， 可得直线与坐标轴相交于两点， 如图所示，直线的方程为，与直线垂直， 又因为，，可得， 因为，可得，满足题意， 所以圆上存在点，使得的面积为，所以C正确； 对于D中，当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离，此时直线与圆相离， 由抛物线的定义，可得与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线，所以D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，项的系数为60，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，结合项的系数为60，列出方程，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 令，可得，即，解得或（舍）． 故答案为：. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性关系及垂直关系结合椭圆的定义及边长关系计算求参得出椭圆方程即可. 【详解】因为，所以， 设，则，，所以，． 因为，所以， 在中，，即，解得， 所以为等腰直角三角形，所以为椭圆的上顶点，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为． 故答案为： 14. 勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体．如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】设是底面的中心，是正四面体的中心，也是正四面体的外接球球心，设正四面体外接球的半径为是高，根据正四面体的性质，求得的长，在直角中，列出方程求得，进而求得勒洛四面体的内切球半径. 【详解】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体4个弧面都相切，即为勒洛四面体的内切球， 由对称性知，勒洛四面体的内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心， 设是底面的中心，是正四面体的中心，也是正四面体的外接球球心，正四面体外接球的半径为是高，如图1所示， 由正四面体的棱长为，可得， 则，所以， 在直角中，由，得，解得， 因此，如图2所示，勒洛四面体的内切球半径． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了本校120名男生和120名女生，通过调查得到以下信息：120名女生中有30人课间经常进行体育活动，120名男生中有50人课间经常进行体育活动． （1）完成如下的列联表，并判断能否有的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关； 单位：人 性别 课间进行体育活动情况 合计 不经常 经常 男 女 合计 （2）以样本的频率作为概率，在全校学生中任取3人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式及数据：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析，没有的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关联． （2）分布列见解析，1 【解析】 【分析】（1）根据已知补全列联表，根据独立性检验，计算的值，与对比即可得出答案； （2）根据已知得出在全校学生中随机抽取1人，其课间经常进行体育活动的概率为，则随机变量的所有可能取值为，所以，计算出对应的概率，再结合期望公式求解即可. 【小问1详解】 根据题意完成列联表如下： 单位：人 性别 课间进行体育活动情况 合计 不经常 经常 男 70 50 120 女 90 30 120 合计 160 80 240 零假设为：学生课间是否经常进行体育活动与性别无关． 经计算，得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此认为成立，所以没有的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关联． 【小问2详解】 由题意得，学生课间经常进行体育活动的频率为， 所以在全校学生中随机抽取1人，其课间经常进行体育活动的概率为， 又随机变量的所有可能取值为，所以， 则，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 故随机变量的数学期望． 16. 已知数列各项都为正数，其前项和为，且． （1）证明：是等差数列，并求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，当时，求得，当时，，两式相减求得，结合得出数列的定义和通项公式，即可求解； （2）由（1）得，利用乘公比错位相减法求和，即可求解. 【小问1详解】 证明：由，且，可得， 所以当时，，解得或（舍）； 当时，， 两式相减， 因为，可得， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 解：由（1）知，可得， 则， ， 两式相减，得 ． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，求证，再结合线面平行的判定定理即可； （2）利用线面垂直的判定定理求证平面即可； （3）求平面的法向量为，平面的法向量为，再计算，最后计算. 【小问1详解】 如图1，连接交于点，连接， 因为的中点，为的中点，所以为的中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理得， ， 所以，所以， 又平面，平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 因为平面，所以． 【小问3详解】 如图2，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取，得，所以． 设平面的法向量为，则， 取，得，所以． 设二面角的平面角大小为， 则， 所以， 则二面角的正弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． （1）求曲线的方程； （2）若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； （3）设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．证明：点的纵坐标之积为定值2304． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）方法一：利用抛物线定义结合题设条件即可求出曲线的方程. 方法二：利用距离公式列出等式，化简等式即可求出曲线的方程. （2）先建立四边形面积与的关系，再求的最小值，的值最小时，四边形的面积最小，代入即可求出四边形的最小面积. （3）设出点的坐标，列出过点且与圆相切的切线方程，结合切线条件整理得关于斜率的二次方程，根据定理得两切线斜率关系；联立切线与，用韦达定理表示交点纵坐标关系，化简相乘可得定值. 【小问1详解】 方法一： 由题意， ∵到直线的距离比点到点的距离小1， ∴上任意一点到直线的距离等于点到点的距离， 因此，曲线的是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故曲线的方程为． 方法二：由题意， 设点的坐标为， 由题意得， 易知点位于直线的右侧， ∴，∴， 化简得， 曲线的方程为． 【小问2详解】 由题意得， 的圆心为，半径， 又∵四边形的面积， ∴当的值最小时，四边形的面积最小， 又的最小值为：， ∴四边形面积的最小值． 【小问3详解】 由题意及（1）（2）证明如下， 当点在直线上运动时， 设点的坐标为. 又， ∴过点且与圆相切得直线的斜率存在且不为0， 每条切线都与有两个交点， 则切线方程为， 即， 所以，整理得．① 设过点所作的两条切线的斜率分别为， 则是方程①的两个实数根， ∴．② 联立得．③ 设点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实数根， ∴．④ 同理可得，．⑤ 联立②，④，⑤三式，得 ， ∴当在直线上运动时，点的纵坐标之积为定值2304． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调递增区间； （3）若且，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间； （3）要证，只需证，即证，构造函数，即证，利用导数分析函数的单调性，结合单调性证明即可. 【小问1详解】 由题意得，， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 整理得，即． 【小问2详解】 令，，则， 令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 又，所以当时，， 当时，， 所以的单调递增区间为． 【小问3详解】 要证，只需证， 即证， 设函数，即证． 又， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以． 令，则， 所以在上单调递增，故， 而，所以， 故，即且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第二学期高二期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试题卷共6页.如缺页，考生须声明，否则后果自负. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，其中i虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示． 零件数个 10 20 30 40 50 加工时间 50 60 70 80 100 由上表的数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（ ） A. 2 B. C. D. 4 5. 在一次投篮比赛中，小明同学连续投篮3次，若前一次投中，则后一次投中的概率为前一次投中概率的2倍；若前一次未投中，则后一次投中的概率与第一次投中的概率相同．已知他第一次投中的概率为，则在第二次投中的条件下，第三次投中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若存在实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，的右支上存在点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 当或时， C D. 在上的投影向量的坐标为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 函数在区间上单调递增 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 11. 已知直线（不同时为0），圆，则（ ） A. 当时，直线与圆不可能有交点 B 当时，直线与圆相切 C. 当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点，使得的面积为 D. 当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，项的系数为60，则实数的值为______． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为______． 14. 勒洛四面体是以正四面体四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体．如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了本校120名男生和120名女生，通过调查得到以下信息：120名女生中有30人课间经常进行体育活动，120名男生中有50人课间经常进行体育活动． （1）完成如下的列联表，并判断能否有的把握认为学生课间经常进行体育活动与性别有关； 单位：人 性别 课间进行体育活动情况 合计 不经常 经常 男 女 合计 （2）以样本的频率作为概率，在全校学生中任取3人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式及数据：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知数列的各项都为正数，其前项和为，且． （1）证明：是等差数列，并求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求二面角的正弦值． 18. 在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． （1）求曲线的方程； （2）若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； （3）设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．证明：点的纵坐标之积为定值2304． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调递增区间； （3）若且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $