23.4 解直角三角形 课件 2026-2027学年数学华东师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”核心内容，涵盖勾股定理、锐角互余及三角函数应用，分3课时系统讲解。新课导入通过提问直角三角形元素关系，回顾三边、锐角、边角关系，搭建新旧知识桥梁，为后续学习提供支架。 其亮点在于以典例精析（如大树折断、敌舰探测问题）和分层随堂练习，培养学生数学眼光（抽象实际问题为数学模型）、数学思维（推理计算）和数学语言（规范表达解题过程）。课堂总结分类梳理知识，助力学生掌握方法，教师可直接用于教学提升效率。

23.4 解直角三角形 23.4 解直角三角形 第1课时 解直角三角形 1.会运用勾股定理解直角三角形；（重点） 2.会运用直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角 形；（重点） 3.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.（难点） 学 习 目 标 新 课 导 入 B A C c b a (1) 三边之间的关系:a2+b2=_____； (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； (3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____. 在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？ c2 90° 合 作 探 究 例1 如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5m处折断倒 下，树顶落在离树根12m处，这棵大树在折断前的高多少？ 解：利用勾股定理可以求出折断后 倒下部分的长度为 13+5=18(m) 答：大树在折断之前高18m. 本题是已知两直角边，求斜边. 典 例 精 析 在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出另外两个锐角.像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知的过程，叫做解直角三角形. 新 知 小 结 例2 如图,在相距2 000m的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方.试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1m） 解：在Rt△ABC中， ∵ ∠CAB＝90°- ∠DAC=50°, =tan∠CAB, ∴BC=AB·tan∠CAB =2000·tan50°≈2384(m)， ∵=cos50°， ∴AC==≈3111(m). 答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111m和2384m. 本题是已知一边、一锐角，求其他两边. 典 例 精 析 分层设计 数学 HS 九年级 全 1.解直角三角形的两种情况 （1）已知两边； （2）已知一边和一锐角. 2.解题思想与方法 数形结合、转化（化归）思想、方程思想. 根据三角形全等的判定，由于已知一个角是直角 ,所以在这两种情况下 ,对应的直角三角形唯 一确定.因此，可以求出其他元素. 新 知 小 结 1、如图，△ABC中，AC＝5，cos B＝ ，sin C＝ ，则△ABC的 面积是(　　) A. B．12 C．14 D．21 2、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是(　　) A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 第1题 第2题 D A 随 堂 练 习 3.如下图，某人想沿着梯子爬上高 4 m的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子 的长至少为多少米? 解：如图所示，依题意可知，当∠B=60°时， 答：梯子的长至少4.62m. C A B 随 堂 练 习 4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a =30 , b = 20 ; (2) ∠B＝72°，c = 14. 解:（1）根据勾股定理 A B C b=20 a=30 c 随 堂 练 习 分层设计 数学 HS 九年级 全 解：(2) A B C b a c=14 随 堂 练 习 分层设计 数学 HS 九年级 全 三边之间的关系 解直角三角形 勾股定理 ∠A＋∠B＝90° 两锐角之间的关系 边角之间的关系 课 堂 总 结 23.4 解直角三角形 第2课时 解直角三角形的应用 (方位角、仰角、俯角) 1.了解方位角、仰角、俯角的概念；（重点） 2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.（难点） 学 习 目 标 方位角 表示 正东方向 正南方向 正西方向 正北方向 西北方向 西南方向 东南方向 东北方向 射线OA 射线OB 射线OF 射线OG 射线OH 射线OC 射线OD 射线OE 思 考 例1 如图，一艘渔船以30 n mile/h的速度由西向东航线.在A处看见小岛C在船北偏东60°方向上，40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°方向上.已知以小岛C为中心，10 n mile为半 径的范围是多暗礁的危险区.如 果这艘渔船继续向东航线，有没 有进入危险区的可能. B C A 30° 60° 典 例 精 析 B C A 30° 60° 解：由题意，得AB=30×=20. 你还有其他解法吗？ D 如图，过点C作CD⊥AB的延长线于点D. 则∠CBD=60°.设BD=x. 在Rt△BCD中，tan∠CBD=, ∴CD=BD·tan∠CBD=x. 在Rt△ACD中，tan∠CAD==, 即 = ,解得x=10. ∴CD=10. ∵10＞10， ∴渔船不会进入危险区. 典 例 精 析 1．方位角是以观测点为中心(方位角的顶点)，以正北或正南方向为始边，以旋转到观测目标所在的方向为终边所形成的锐角． 2．利用方位角解决简单的实际问题的方法： (1)弄清题意，画出示意图； (2)构造直角三角形，进行有关锐角三角函数的计算． 新 知 小 结 如图，在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫作仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫作俯角. 思 考 例2 如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10 m的A处，用高1.50 m的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α= 52°.求旗杆BC的高.（精确到0. 1 m） 解：在 Rt△CDE中， ∵ CE=DE×tan α =AB×tan α =10×tan 52°≈12.80, ∴BC=BE+CE=DA+CE ≈1.50+12.80 = 14.3(m). 答：旗杆BC的高度约为14.3 m.  典 例 精 析 1.如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图,自动扶梯AB的倾斜角为37°,大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（ ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 D 随 堂 练 习 2.如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°,已知CD=200 m，点C在BD上，则树高AB等于 (结果保留根号)． 随 堂 练 习 3. 国产大型客机C919于2023年5月28日迎来商业首飞，实现了中国人的大飞机之梦.如图，如果执行商业首飞任务的C919大飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞行高度AC=1 200m，从飞机上看地面控制点B的俯角α=16°31′.求A处到控制点B的距离.(精确到1m) C A B α 随 堂 练 习 C A B α 解：由题意，得∠C=90°， ∠ABC=α=16°31′. 在Rt△ABC中，sin∠ABC==sin16°31′. ∵AC=1200，sin16°31′≈0.28，∴AB=≈≈4 286. 随 堂 练 习 4.如图所示，A、B两城市相距200 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心100 km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据： ≈1.732, ≈1.414)． 随 堂 练 习 C 解：如图，过点P作PC⊥AB，C是垂足． 则∠APC＝30°，∠BPC＝45°， AC＝PC·tan 30°，BC＝PC·tan 45°. ∵AC＋BC＝AB， ∴PC · tan 30°＋PC · tan 45°＝200， 解得 PC≈126.8 km＞100 km. 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 随 堂 练 习 方位角 解直角三角形的应用 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角 从下向上看，视线与水平线的夹角 仰角 俯角 从上往下看，视线与水平线的夹角 课 堂 总 结 23.4 解直角三角形 第3课时 解直角三角形的应用（坡度、坡角及其他） 1.了解坡度（坡比）、坡角的概念，掌握坡度与坡角的关系；（重点） 2.能够根据解直角三角形的知识解决实际问题.（难点） 学 习 目 标 新 课 导 入 如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，哪一条路比较陡？ 你是怎么判断的？能不能用数量来刻画哪条路陡呢？ 合 作 探 究 坡度通常写成1∶m 的形式，如 i =1∶6. 如图，坡面的竖直高度(h)和水平长度(l)的比叫作坡面的坡度 (或坡比)，记作i，即i = α l h i=h:l 坡面 水平面 合 作 探 究 坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作，有 . 显然， 坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡. α l h i=h:l 坡面 水平面 合 作 探 究 例 如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2 m，上底宽为12.51 m，其坡面的坡角分别是32°和28°. 求路基下底的宽.(精确到0.1 m) 32° 28° 4.2 m 12.51 m A B C D 典 例 精 析 E F 解：如图，作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E、F． 32° 28° 4.2 m 12.51 m A B C D 由题意可知　 DE＝CF＝4.2， CD＝EF＝12 .51． 在 Rt△ADE 中， ∵==tan32°， ∴AE= ≈6.72. 在 Rt△BCF 中，同理可得 BF= ≈7.90. ∴ AB＝AE＋EF＋BF ≈ 6.72＋12.51＋7.90 ≈ 27.1 ( m)． 答： 路基下底的宽约为 27.1 m． 典 例 精 析 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是 : (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型) ; (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数,运用直角三角形的有关性质,解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)检验，得到实际问题的答案. 新 知 小 结 1.拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡比是1∶,坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是(　　) A．15m　 　B．20m　 C．10m 　D．20m D 随 堂 练 习 2.老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置.档案盒CD与竖直放置的档案盒的夹角∠DCB=37°，DF=71cm，档案盒长CD=35cm．我们用学过的数学知识可以计算出档案盒的厚度是(    )（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm C 随 堂 练 习 3.某小区大门口有一段斜坡，原坡面是矩形ABCD，如图1，其中AB=4 m，AD=3 m，斜坡AB的坡角为 30∘． 为方便居民出入小区，小区业委会决定对该斜坡进行改造，将斜坡AB改造成坡比为1∶2.5的斜坡AE，如图2所示，原坡面的宽度AD不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（BE）的长度； (2)改造这段斜坡需要多少立方米的 混凝土材料？ 随 堂 练 习 解：（1）如图，过点A作AH⊥EB交EB的延长线于点H. 在Rt△AEH中，=， ∴EH=2.5AH=2.5×2=5. ∵∠ABH=30° ，AB=4， ∴AH=AB=2，BH=AB=2. 答：改造后斜面底部延伸出来的部分（BE）的长度为(5−2) m. H ∴BE=EH−BE=5−2. 随 堂 练 习 （2）∵S△ABE=BE⋅AH=×(5−2)×2=5−2，∴S△ABE×AD=(5−2)×3=15−6. 答：改建这条斜坡需要(15−6)m³的混凝土材料． H 随 堂 练 习 坡角 解直角三角形的应用 坡面与水平面的夹角叫作坡角， 记作α 坡面的竖直高度(h)和水平长度(l)的比叫作坡面的坡度 (或坡比)，记作i，即i = h ∶ l 坡度 (坡比) 坡度与坡角的关系 课 堂 总 结 $