2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷8

**基本信息** 2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷，覆盖集合、函数、三角、几何等基础知识点，通过选择、填空、简答梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据处理能力，适配学业水平考试复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/72|集合子集、函数单调性、三角函数周期等|基础题为主，如集合子集个数（考查抽象能力）、函数平移（几何直观）| |填空题|6/36|极差、互斥事件概率、圆柱侧面积等|注重计算与应用，如互斥事件概率（数据意识）、平行四边形顶点坐标（空间观念）| |简答题|4/42|函数零点证明、频率分布直方图、解三角形、立体几何线面角|综合考查能力，如零点证明（逻辑推理）、线面角计算（空间想象），贴合学业考命题趋势|

2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷8 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.集合，则集合的子集的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.设，则（     ） A． B． C． D． 3.设命题：，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4.下列函数中，在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 5.函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 6.不等式的解集是（ ） A． B． C． D．R 7.化简+--等于(　　) A. B.0 C. D. 8.对数与互为相反数，则有（ ） A. B. C. D. 9.要得到函数的图象，只需将图象（ ） A.向左平移个单位   B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位    D. 向右平移个单位 10.已知，则=（ ） A. B. C. 1 D. 2 11.已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13.已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则该组数据的极差是 　　　　 14.若事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.5，P(B)=0.3，则P()=　　　　. 15. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为 . 16.设，则的最小值为 ． 17.已知平行四边形ABCD的顶点A(-1，-2)，B(3，-1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为　　　　　　.  18.如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是 三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.已知函数，求证：方程在内至少有两个实数解. 20. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值；（2）估计该年级学生成绩的中位数 21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin B=1+cos B. (1)求B；(2)若a=3c，求sin A. 22.如图，三棱锥O-ABC中，OA=OC=OB=1，OA⊥平面OBC，∠BOC=60°. （1）求直线AB与平面OBC所成的角的大小； （2）直线AB与平面OAC所成的角的正弦值. 2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷8解析 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.集合，则集合的子集的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【详解】集合的子集，所以个数是4. 2.设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】复数的共轭复数，因此，A错误，B正确. 复数的模，因此，C错误. ∵ ，∴ ，D错误. 3.设命题：，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【详解】改量词，否定结论，，. 4.下列函数中，在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 5.函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】函数最小正周期为. 6.不等式的解集是（ ） A． B． C． D．R 【答案】D 【详解】其相应方程的判别式为， 所以不等式的解集为R 7.化简+--等于(　　) A. B.0 C. D. 【答案】B 【详解】+--=-(+)=-=0. 8.对数与互为相反数，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】由已知得，即，则. 9.要得到函数的图象，只需将图象（ ） A.向左平移个单位   B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位    D. 向右平移个单位 【答案】B 【详解】，只需将图象向右平移个单位就得到函数的图象. 10.已知，则=（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【详解】原式 11.已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】， 所以= 12. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由得，， 由得，由得. 在同一平面直角坐标系中画出、、的图象， 由图象知，，. 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13.已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则该组数据的极差是 　　　　 【答案】4 【详解】　极差为5-1=4 14.若事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.5，P(B)=0.3，则P()=　　　　. 【答案】0.2 【详解】　因为事件A和B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A)+0.3=0.5，解得P(A)=0.2 15.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为 . 【答案】 【详解】侧面积为. 16.设，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 17.已知平行四边形ABCD的顶点A(-1，-2)，B(3，-1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为　　　　　　.  【答案】(1，5) 【详解】设D(x，y)，则=，得(3-(-1)，-1-(-2))=(4，1)=(5-x，6-y)， 即解得即D(1，5). 18.如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是 【答案】 【详解】设球半径为，则．故答案为． 三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.已知函数，求证：方程在内至少有两个实数解. 【详解】由得： 令 则，， ， 在内至少有一个零点，在内至少有一个零点 在内至少有两个零点，即方程在内至少有两个实数解 20. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值；（2）估计该年级学生成绩的中位数 【小问1详解】 在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，则(2a+3a+7a+6a+2a)×10=200a=1，解得a=0.005， 【小问2详解】 前两个矩形的面积之和为(2a+3a)×10=50a=0.25<0.5，前三个矩形的面积之和为(2a+3a+7a)×10=120a=0.6>0.5.设该年级学生成绩的中位数为m，则m∈(70，80)， 根据中位数的定义可得0.25+(m-70)×0.035=0.5，解得m≈77.14， 所以估计该年级学生成绩的中位数为77.14 21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin B=1+cos B. (1)求B； (2)若a=3c，求sin A. 【小问1详解】 由sin B=1+cos B，得sin Bcos B=1 ，得sin Bcos B =. 所以sin=. 因为0<B<π，所以<B<，所以B=，B=. 【小问2详解】 由余弦定理得，所以 所以a2+c2b2=ac. 又a=3c，所以b2=a2+c2ac=a2， 所以b=a，故由正弦定理得sin B=sin A， 所以sin A=. 22.如图，三棱锥O-ABC中，OA=OC=OB=1，OA⊥平面OBC，∠BOC=60°. （1）求直线AB与平面OBC所成的角的大小； （2）直线AB与平面OAC所成的角的正弦值. 【小问1详解】 因为OA⊥平面OBC，故∠ABO为直线AB与平面OBC所成的角， 又OA=OC=OB=1，所以tan∠ABO=1，所以∠ABO=45°， 所以直线AB与平面OBC所成的角为45° 【小问2详解】 取OC的中点E，连接AE，BE，因为△OBC为等边三角形，所以BE⊥OC， 因为OA⊥平面OBC，BE⊂平面OBC，所以BE⊥OA， 又OA∩OC=O，OA，OC⊂平面OAC，所以BE⊥平面OAC， 所以∠BAE为直线AB与平面OAC所成的角， sin∠BAE===， 所以直线AB与平面OAC所成的角的正弦值为 学科网（北京）股份有限公司 $