2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷7

**基本信息** 2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷7，通过集合、函数、概率、立体几何等知识，考查数学抽象、逻辑推理、数据意识与空间观念，适配学业水平考试基础与能力要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/72|集合运算、复数象限、命题真假判断|第8题结合演讲比赛评分数据，考查中位数稳定性，体现数据意识| |填空题|6/36|幂函数、向量数量积、三角恒等变换|第17题独立事件概率计算，联系现实情境，培养应用意识| |简答题|4/42|函数单调性证明、概率应用、解三角形、立体几何|第22题直三棱柱中点面距离求解，综合空间观念与推理能力，契合学业考试命题趋势|

2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷7 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合，集合，则=（ ） A. B. C. D. 2.已知z＝(x＋1)＋(y－1)i在复平面所对应的点在第二象限，则x与y的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 3.下列命题是真命题的是（ ） A.有一个实数x，使； B.平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； C.，； D.对任意一个无理数x，也是无理数. B.由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线. 所以是假命题. C.，总有，因而.所以，全称量词命题“，”是真命题. D.是无理数，但是有理数.所以是假命题. 4.函数的定义域是 （ ） A． B． C． D． 5.已知函数是偶函数，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 6.，，，则=（ ） A． B．0 C．2 D．4 7. 的最小值为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 8.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是　　 A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 9.函数在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 10.下列函数中，在其定义域上是偶函数且周期为的是（    ） A． B． C． D． 11.在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 12. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13.已知幂函数过点，若，则________ 14.已知向量的夹角为，且，，则___________ 15.已知，则______． 16.若对数函数的图像经过点，则=_______． 17.假设，，且，相互独立，则______；______. 18.已知正三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，其侧棱长为，底面边长为4，则球O的半径是_________ 三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.已知函数是偶函数，而且在上单调递减，判断在上单调递增还是单调递减，并证明你的判断. 20. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，求； （1）两人都成功破译的概率；（2）密码被成功破译的概率． 21.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求C； (2)若是等腰三角形，且周长为，求BC边上中线的长． 22.如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷7解析 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合，集合，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】. 2.已知z＝(x＋1)＋(y－1)i在复平面所对应的点在第二象限，则x与y的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【详解】由题意得所以 3.下列命题是真命题的是（ ） A.有一个实数x，使； B.平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； C.，； D.对任意一个无理数x，也是无理数. 【答案】C 【详解】A.由于，因此一元二次方程无实根.所以是假命题 B.由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线. 所以是假命题. C.，总有，因而.所以，全称量词命题“，”是真命题. D.是无理数，但是有理数.所以是假命题. 4.函数的定义域是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，则，即，解得，故函数的定义域为． 5.已知函数是偶函数，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【详解】为偶函数，所以 ，， 6.，，，则=（ ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【详解】，，，解得 8. 的最小值为（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立. 所以当时，函数有最小值4. 8.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是　　 A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 【答案】A 【详解】根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分， 7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变 9.函数在上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵,∴, ∴,∴最小值为 10.下列函数中，在其定义域上是偶函数且周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，为奇函数，A错误； 对于B，定义域为，，为偶函数，且，所以周期为，B正确； 对于C，为奇函数，C错误； 对于D，为偶函数，，所以不是的周期，D错误. 故选：B. 11.在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是； 第三次所取的区间可能是. 12. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件． 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13.已知幂函数过点，若，则________ 【答案】 【详解】　因为幂函数过点，所以，得， 所以，因为，所以， 14.已知向量的夹角为，且，，则___________ 【答案】 【详解】 15.已知，则______． 【答案】 【详解】, 16.若对数函数的图像经过点，则=_______． 【答案】2 【详解】因为，， 所以，即，所以或（舍去） 17.假设，，且，相互独立，则______；______. 【答案】0.56；0.94． 【详解】（1）∵，，且与相互独立， ∴； （2） 18.已知正三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，其侧棱长为，底面边长为4，则球O的半径是_________ 【答案】 【详解】如图所示：设为正三角形的中心，连接， 则平面，球心在上， 设球的半径为，连接， ∵正三角形的边长为4，∴， 又∵， ∴在中，， 在中，，，， ∴，解得 三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.已知函数是偶函数，而且在上单调递减，判断在上单调递增还是单调递减，并证明你的判断. 【详解】在上单调递增，证明如下： 任取，则. 在上单调递减，. 是偶函数，. ，故在上单调递增. 20. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，求； （1）两人都成功破译的概率；（2）密码被成功破译的概率． 【小问1详解】 记“甲译出密码”的事件为，“乙译出密码”的事件为， 则，，所以. 则两人都成功破译的概率为. 【小问2详解】 记“甲译出密码”的事件为，“乙译出密码”的事件为，“密码被成功破译”的事件为，，， 则事件的对立事件的概率，事件的对立事件的概率， 则甲乙两人都没有成功破译密码的概率 所以. 则密码被成功破译的概率为. 21.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求C； (2)若是等腰三角形，且周长为，求BC边上中线的长． 【小问1详解】 因为，由余弦定理，得． 又，所以 【小问2详解】 由（1），且是等腰三角形，所以，， 因为，所以，所以 因为的周长为，所以，解得． 设BC的中点为D，则， 在中由余弦定理，得： ， 所以BC边上中线的长为． 22.如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【小问1详解】 证明：连接交于点， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 因为，则为的中点， 又因为为的中点，所以，， 平面，平面，平面. 【小问2详解】 解：连接、， 平面，、平面，，， ，，、平面，平面， 且，故四边形为矩形，则， 故， 由勾股定理可得，， 所以，，且， ，， 设点到平面的距离为，则，解得. 因此，点到平面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $