专题06勾股定理及逆定理 （暑假预习讲义）-2026-2027学年苏科版数学八年级上册.

专题06勾股定理及逆定理 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺知识框架 1.定理板块：勾股定理（直角三角形边长关系）、勾股定理逆定理（直角三角形判定）； 2.应用板块：已知直角三角形两边求第三边、判断三角形形状、解决简单实际几何问题。 ✅勾股定理是直角三角形的核心性质定理，实现了几何图形与代数计算的结合，是初中几何计算、解三角形、网格求值的基础。其逆定理是判定直角三角形的重要依据，二者相辅相成。 ✺学习目标： 1.基础认知：理解勾股定理与逆定理的推导含义，熟记定理标准表达式，明确两个定理的适用条件与核心区别。 2.实际应用：熟练运用勾股定理求解直角三角形未知边长；能利用逆定理判定三角形是否为直角三角形，掌握常见勾股数。 3.综合应用：能结合定理解决基础几何计算与简单实际问题，规范书写解题步骤，规避定理混用、条件遗漏等易错问题。 ✺题型归纳： 题型1.用勾股定理解三角形 题型2.求以直角三角形三边为边长的图形面积 题型3.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型4.利用勾股定理证明线段平方关系 题型5.勾股定理的证明方法 题型6.以弦图为背景的计算题 题型7.用勾股定理构造图形解决问题 题型8.勾股定理与无理数 题型9.勾股树（数）问题 题型10.判断三边能否构成直角三角形 题型11.在网格中判断直角三角形 题型12.利用勾股定理的逆定理求解 题型13.勾股定理逆定理的拓展问题 题型14.巩固测试 ✺知识◆清单 一、勾股定理（正定理） 1.定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 若在Rt△ABC中,∠C=90°，a、b为直角边，c为斜边。 公式表达：若直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则=。 适用条件：仅限直角三角形使用，锐角三角形、钝角三角形均不满足此边长平方关系。 核心用途：已知直角三角形任意两边长，可求解第三边长。 完整变形公式：a2=c2-b2，b2=c2-a2； 开方求值：c=，a=，b=。 二.勾股定理逆定理 定理内容：若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，即a2+b2=，则该三角形为直角三角形，最长边c所对的内角为直角。 适用条件：适用于任意已知三边长的三角形，是判定直角三角形的代数方法。 核心用途：根据三角形三边长，判断该三角形是否为直角三角形，是几何判定直角的重要方法。 三.勾股定理与逆定理对比（必考辨析） 对比维度 勾股定理（正定理） 勾股定理逆定理 已知条件 三角形是直角三角形 三角形三边满足平方关系 推导结论 三边满足a2+b2=c2 三角形为直角三角形 定理作用 边长计算、求未知边 判定直角、判断三角形形状 推理方向 由“形”推“数” 由“数”推“形” 四.常见勾股数（课内熟记） 能够构成直角三角形三边长的一组正整数，称为勾股数。 勾股数具有倍数性质：一组勾股数的正整数倍，仍然是勾股数。 常用基础勾股数：(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)。 最简勾股数：三边数值互质（最大公因数为1）的勾股数，如(3,4,5)、(5,12,13)，最简勾股数的正整数倍为普通勾股数。 五、三角形形状判定（课内必考） 已知三角形三边长，设c为最长边，可通过三边平方关系判定三角形类型，适用于任意三角形： 三边平方关系（c为最长边） 三角形形状 a2+b2= 直角三角形 a2+b2＞ 锐角三角形 +< 钝角三角形 六.标准解题步骤 （1）勾股定理求边长 标准步骤 解：∵ 该三角形为直角三角形，且∠C=90°，根据勾股定理可得：a2+b2=，代入已知边长计算，化简求出未知边即可。 （2）勾股逆定理判定直角三角形 标准步骤 解：设三角形三边长为a、b、c，确定最长边c，分别计算a2+b2与。若a2+b2=，则该三角形为直角三角形，最长边c所对的角为直角。 七、本节预习核心注意事项（课本规范） 1.勾股定理是直角三角形的专属性质，使用前必须先确定三角形为直角三角形。 2.运用勾股定理计算时，需严格区分直角边与斜边，斜边一定是三角形的最长边。 3.使用逆定理判定三角形形状时，必须以最长边作为平方对比对象，判定逻辑才成立。 4.勾股数定义要求边长为正整数，小数、分数组合不构成勾股数。 5.已知直角三角形两边求第三边，若无图形限定，需区分斜边、直角边两种情况讨论。 ✺题型◆精讲 题型1.用勾股定理解三角形 1．中，，，，则（     ） A．10 B．14 C．12 D．5 【答案】A 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接利用勾股定理计算斜边长度即可． 【详解】解：在中，，， 为斜边，由勾股定理得， ，， ， 边长为正数， ． 2．在中，，，点是边上一点，连接，点是边的中点，连接，若为直角三角形，则的长为_____． 【答案】或 【分析】根据题意，分类讨论：当时，得到为的中点，由勾股定理得到，根据线段中点即可求解；当时，垂直平分，结合图形，由勾股定理，线段中点的含义即可求解． 【详解】解：由题意知，，当时，如图， ∵，， ∴为的中点， ∴， ∴在中，， ∵E是的中点， ∴； 当时，如图， 过点作于点，同理可得，， ∵E是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 综上所述，的长为或． 3．在中，，若，，求的周长． 【答案】的周长为 【分析】先利用勾股定理求出的长度，再将三边长度相加得到三角形的周长． 【详解】解：，，， ， 的周长为． 题型2.求以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，分别以的两条直角边为边作正方形，面积分别记为．若 ，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理得，计算即可求的长． 【详解】解：在中，， 以的两条直角边为边作正方形，面积分别记为， ， （负值舍去）， 故选：B． 2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，，，． 在直角和中，， 即， ，， ． ∴． 3．如图，在四边形中，，以边向外作正方形，若，，，求正方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 先利用勾股定理计算，再求解即可得答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， 正方形的面积为． 题型3.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1．在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵是直角三角形，是斜边，且， ∴． 2．中，斜边，则的值是______． 【答案】2 【分析】先画图，再利用勾股定理可求的值，从而易求的值． 【详解】解：如图所示， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 故答案是∶2． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 3．综合与实践． 【项目主题】特殊三角形的再探究 【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中． 勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方的和是否等于最大边的平方． 勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想． ②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍（k为正整数），那么这个三角形叫做k倍“平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”． 例如：三边长分别为3，4，时，，是5倍平方和三角形，方和倍等于5． 又的正整数倍，的正整数倍，仅仅是5倍平方和三角形． 【项目实施】 (1)已知三角形三边长分别为2，3，，试说明该三角形是1倍平方和三角形； (2)在平方和中，，，的对边分别为a，b，c，，，，求方和倍的值； (3)在4倍平方和中，，设，，的对边分别为a，b，c，且，求的值． 【答案】(1)说明见解析 (2)平方和的方和倍的值是1或7 (3) 【分析】（1）根据k倍“平方和”三角形的定义说明即可； （2）先求出，再分情况讨论即可； （3）根据勾股定理可知，进而分当时，当时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：，，，且， ∴该三角形是1倍平方和三角形； （2）解：根据勾股定理，得，即， ①， 方和倍； ②， 方和倍； ③，不等于60的正整数倍； ∴平方和的方和倍的值是1或7； （3）解：在中，， ； 根据“是4倍平方和三角形”，再分两种情况考虑： ①当时， 将代入，得， ； 又， 不合题意，舍去； ②当时， 将代入，得， ， ， ， ． 题型4.利用勾股定理证明线段平方关系 1．在中，，，的对边分别是，，．若，则下列等式中成立的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定直角三角形的斜边，再根据勾股定理写出三边关系，变形后即可得到正确结果． 【详解】解：∵在中，，的对边为， ∴是直角三角形的斜边，，为两条直角边，根据勾股定理可得， 移项变形得． 2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．    【答案】64 【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可. 【详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴. ∴. ∴.    故答案为：64． 【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键． 3．【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）700米 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求得斜边的长，再利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求得，根据计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】解：（1），，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），，， ， ， ，， ， 点D为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长度为700米． 题型5.勾股定理的证明方法 1．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（     ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；C选项中的图形不能证明勾股定理；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则，据此可判断D． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ， ， ， 故该选项能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； C、选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； D、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意． 2．你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有______．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可． 【详解】解：由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 故答案为：． 3．图1和图2都是用四个直角边长分别为a和b，斜边长为c的直角三角形围成的正方形，请在图1或图2中任选一个，结合图形利用等面积法证明勾股定理． 【答案】见解析 【分析】大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，由此列式即可． 【详解】证明：选择图1： 四个完全相同的直角三角形的直角边为a和b， ∴直角三角形的面积为， 小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为． 大正方形由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形组成， ∴大正方形的面积为． 大正方形的边长为c， ∴大正方形的面积也可以表示为． ∴． 选择图2： 四个完全相同的直角三角形的直角边为a和b， ∴直角三角形的面积为， 小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为． 大正方形由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形组成， ∴大正方形的面积为． 大正方形的边长为， ∴大正方形的面积也可以表示为． ∴， ∴． 题型6.以弦图为背景的计算题 1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为94．则小正方形的边长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据题意可得，再根据小正方形的面积，可得答案． 【详解】解：根据勾股定理，得大正方形的面积，由， ∴小正方形的面积， 则， ∴小正方形的边长为8． 2．如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代的“赵爽弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为10，的长为6，则小正方形的面积为_____． 【答案】 4 【详解】勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用正方形的面积公式进行求解即可. 【点睛】解：由题意，， ∴， ∴， ∴小正方形的面积为. 3．某校七年级（2）班数学学习小组开展了以算术平方根为主题的综合与实践学习． (1)如图1，把两个面积为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形重新拼接在一起，就得到一个大正方形，则这个大正方形的边长是 ． (2)如图2，已知直角三角形的两条直角边分别为，用四个这样完全相同的直角三角形重新摆放，拼成图2所示的大正方形，其中间恰好形成一个空白小正方形， ①中间空白小正方形的面积是__________；大正方形的边长__________； ②在①问的条件下，若在大正方形内沿边的方向裁剪出一个长宽比为的长方形，其面积为，请问能否裁出符合要求的长方形，请说明理由．（参考数据： (3)若一个直角三角形的两条直角边分别为，请你根据前面的知识探究回答：这个直角三角形的第三条边（斜边）的长是__________． 【答案】(1) (2)①1，5；②不能裁出符合要求的长方形，理由见解析 (3)13 【分析】（1）先算出两个小正方形的总面积为，即大正方形的面积为；根据“正方形面积 = 边长的平方”，由面积求算术平方根，得到大正方形的边长为． （2）①沿用（1）的面积探究方法，结合“赵爽弦图”的结构特征：空白小正方形的边长=直角三角形长直角边 - 短直角边，即，因此面积为；大正方形的面积 = 4个直角三角形的面积 + 空白小正方形的面积，计算得；再对面积求算术平方根，得到大正方形边长．②设长方形长为、宽为，根据面积列方程，解得；算出长方形的长，宽；对比大正方形边长，长方形的长超过了正方形边长，因此无法裁出． （3）用4个直角边为、的直角三角形拼成“赵爽弦图”，计算出空白小正方形边长，面积为；计算4个直角三角形的总面积，得出大正方形的总面积；对面积求算术平方根，得到斜边长． 【详解】（1）解：两个小正方形的面积和为： 拼接前后面积不变，因此大正方形的面积为． 设大正方形的边长为，根据正方形面积公式： 因为边长为正数， 所以 故大正方形的边长为． （2）①解：中间空白小正方形的边长：， 因此空白小正方形的面积：， 大正方形的面积： 设大正方形的边长为，面积为：， 因为边长为正数， 所以： 故空白小正方形的面积为，大正方形的边长为． ②不能裁出符合要求的长方形，理由如下： 设长方形的长为，宽为，根据题意： 因为， 所以： 因此长方形的长为，宽为． 由参考数据，得： 因为大正方形的边长为，且， 所以长方形的长超过了大正方形的边长，无法裁出符合要求的长方形． （3）解：沿用（2）的拼图探究方法，用4个直角边为、的直角三角形拼成“赵爽弦图”： 中间空白小正方形的边长： 空白小正方形的面积： 4个直角三角形的总面积： 大正方形（以斜边为边长）的面积： 设斜边长为，根据正方形面积公式： 因为边长为正数， 所以： 故这个直角三角形的斜边长为． 题型7.用勾股定理构造图形解决问题 1．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ， 设的长为，则， ， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴绳索的长是． 2．如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 【答案】6 【分析】根据折叠的性质可得，，由的周长及的长可求出的长，设，则，在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点， ， ， 的周长为12， ， ， ， ，即， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得 ∴，解得：， ． 3．如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 【答案】 【分析】连接，根据勾股定理，可求，再求两个直角三角形的面积，相加即可． 【详解】解：连接， 由题可知，和是直角三角形， 根据勾股定理，可得， ，，， ，解得， 则四边形的面积为：（）， 则这块草地的面积为． 题型8.勾股定理与无理数 1．如图，根据作图痕迹，图中标注的点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出点到数表示的点的距离，进而求出点所表示的数即可. 【详解】解：由图可知：点到数表示的点的距离为， ∴点所表示的数为. 2．如图，数轴上点A，点O分别表示和0，，且，以点A为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴相交于点C，则点C表示的数为______________． 【答案】/ 【分析】根据已知条件求出和，再利用勾股定理求出，从而求出，然后设点表示的数为，根据两点间的距离求出即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 点，点分别表示和0， ， 由勾股定理得：， ， 设点表示的数为， ， 点表示的数为， 故答案为：． 3．勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． (1)若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． (2)请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据勾股定理进行计算，即可求解； （2）过原点作数轴的垂线，截取线段，连接，以为圆心为半径在点的右侧作弧，交数轴于点，则点表示的数为． 【详解】（1）解：直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为； 直角三角形有两条边分别是3和4， 当4直角边时，则第三条边长为， 当4斜边时，则第三条边长为， （2） 略 题型9.勾股树（数）问题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是勾股数的为（     ） A．1，1， B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【分析】勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：∵勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方， 选项A中不是正整数，故不满足勾股数的定义，故不符合题意； 选项B中1.5和2.5不是正整数，故不满足勾股数的定义，故不符合题意； 选项C中最大数为6，且，，，故不满足勾股数的定义，故不符合题意； 选项D中5，12，13都是正整数，且，故满足勾股数的定义，故符合题意． 2．如图是一株美丽的勾股树，图中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是________． 【答案】 5 【分析】设正方形，，的边长分别为，，，根据勾股定理可知，结合正方形面积公式即可求解． 【详解】解：设正方形，，的边长分别为，，． 由题意得：，． 由勾股定理得：， ∴正方形的面积是5． 3．阅读理解并解答问题 如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数． (1)请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数； (2)如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接利用勾股数的定义去验证即可； （2）得到即可得到这是一组勾股数． 【详解】（1）解：∵都是正整数， 且，， ∴， ∴是一组勾股数； （2）解：∵表示大于1的整数， ∴，，都是正整数， ∵，， ∴， ∴、、是一组勾股数． 题型10.判断三边能否构成直角三角形 1．以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股定理逆定理验证：各选项计算两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否组成直角三角形． 【详解】A、，，，不能组成直角三角形； B、，，，不能组成直角三角形； C、，，，不能组成直角三角形； D、，，，能组成直角三角形． 2．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 【答案】 【分析】先利用平方差公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理判断的形状，即可得到的度数． 【详解】解：对已知等式利用平方差公式展开得：， 移项得：， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，为斜边，是所对的角， 因此． 3．直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中为斜边，为斜边上的高． (1)求证：以，，的长为边，构成的三角形是直角三角形； (2)求证： 【答案】(1)证明：∵，，h这三个数中一定最大，， 又∵ ，， ∴ ， ∴， 根据勾股定理的逆定理， 即以，，h的长为边的三条线段能组成直角三角形； (2)证明：∵直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中为斜边，为斜边上的高， ∴即，， ∵左边右边 ∴． 【分析】（1）分别计算，，的平方，根据面积公式可得，再根据勾股定理逆定理判定所求的三角形是直角三角形． （2）根据面积公式可得，则，结合代入等式的左边，进行计算即可得证． 【详解】（1）略 （3） 略 题型11.在网格中判断直角三角形 1．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2)5 (3)直角 (4)10 【分析】（1）根据题意结合网格的特点作图即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）利用勾股定理求出对应三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （4）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理和网格的特点可得； （3）解：由勾股定理和网格的特点可得，，， ∴， ∴是直角三角形； （4） 解：． 题型12.利用勾股定理的逆定理求解 1．如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据草坪的面积，即可求解． 【详解】解：，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块草坪的面积为平方米， 故选：B． 2．已知，，，，，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】先使用勾股定理计算出，再根据勾股定理的逆定理判断出． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 3．已知如图，在四边形中，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴． 题型13.勾股定理逆定理的拓展问题 1．在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 【答案】C 【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项B中如果 a2＝b2+c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项C中如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝45°，∠B=60°，∠C =75°，没有直角，不是直角三角形，故选项C错误， 选项D中如果 a：b：c＝3：4：5，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 故选：C 【点睛】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题． 2．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 3．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列各组数中，不是勾股数的一组是（    ） A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，17 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义，满足两较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数是勾股数，逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：A、，是勾股数，不符合要求； B、，，，不满足条件，不是勾股数，符合要求； C、，是勾股数，不符合要求； D、，是勾股数，不符合要求． 2．以4，5为直角边的直角三角形斜边长为（    ） A．3 B． C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据勾股定理可直接求解． 【详解】解：以4，5为直角边的直角三角形斜边长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形，的面积分别是，，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形A、B、C的边长为、、，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：设正方形A、B、C的边长为、、， 由题意可得，，， 由勾股定理可得，， ∴正方形C的面积为． 4．如图，中，，于点，是边的中点，连结．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理先求出，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵中，，于点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴ 又∵是边的中点， ∴． 二、填空题 5．若三角形的三边分别为1，，，则该三角形最大边上的高长为：________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再用面积法求出最大边上的高． 【详解】解：∵， ∴该三角形的最大边为， ∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，直角边为和， 设最大边上的高为，根据三角形面积相等可得： ， 化简得 ， 解得：． 6．如图，在中，是的中线．若，，，则______． 【答案】 【分析】先通过勾股定理逆定理得出，又是的中线，则，然后通过三角形内角和定理，等边对等角即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴． 7．如图，点表示的数是2，与数轴垂直，垂足为点，且，以点为圆心， 长为半径作弧，交数轴负半轴于点 ，则点 表示的数是______. 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，得，结合图形得点表示的数． 【详解】解：由题意得，在中，，， ， 以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点， ， 点表示的数是． 8．勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确得出是解题的关键． 【详解】解：如图， 在直角中，由勾股定理得， ， ， 将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 9． 一架快递无人机自仓库地面处垂直起飞到点，沿水平正东方向匀速飞行一段距离到点，随后再次垂直上升90米到点并悬停执行配送任务．此时，地面操控者发现点与无人机之间的直线距离恰好比无人机水平飞行的距离多30米．求该无人机水平飞行的距离为多少米？ 【答案】120米 【分析】该无人机水平飞行的距离为x米，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：该无人机水平飞行的距离为x米，则， 在中，，， ∴， 解得；， 答：该无人机水平飞行的距离为120米． 10．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点．顶点都在格点上的三角形就叫格点三角形，现有，两个格点，请以为边分别画出符合下列要求的格点三角形． (1)在图甲中画一个面积为6的直角三角形： (2)在图乙中画一个等腰（非直角）三角形，并写出这个等腰三角形的腰长为___________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析，腰长为或． 【分析】本题考查了作图，直角三角形性质，等腰三角形的性质以及勾股定理． （1）根据勾股定理求得，此时只需要作一个直角边为的直角三角形即可; （2）根据等腰三角形定义作出图形即可． 【详解】（1）如图甲所示，即为所求： （2）如图乙所示，即为所求（或画成或均可，注：本题画一种即可）腰长为：（或）： 11．如图，在中， (1)求证： (2)作，D为垂足，求的长． 【答案】(1)证明：∵ ∴， ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据等面积法得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵ ∴． 12． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06勾股定理及逆定理 暑假预习讲义 （苏科版◆新教材） ✺知识框架 1.定理板块：勾股定理（直角三角形边长关系）、勾股定理逆定理（直角三角形判定）； 2.应用板块：已知直角三角形两边求第三边、判断三角形形状、解决简单实际几何问题。 ✅勾股定理是直角三角形的核心性质定理，实现了几何图形与代数计算的结合，是初中几何计算、解三角形、网格求值的基础。其逆定理是判定直角三角形的重要依据，二者相辅相成。 ✺学习目标： 1.基础认知：理解勾股定理与逆定理的推导含义，熟记定理标准表达式，明确两个定理的适用条件与核心区别。 2.实际应用：熟练运用勾股定理求解直角三角形未知边长；能利用逆定理判定三角形是否为直角三角形，掌握常见勾股数。 3.综合应用：能结合定理解决基础几何计算与简单实际问题，规范书写解题步骤，规避定理混用、条件遗漏等易错问题。 ✺题型归纳： 题型1.用勾股定理解三角形 题型2.求以直角三角形三边为边长的图形面积 题型3.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型4.利用勾股定理证明线段平方关系 题型5.勾股定理的证明方法 题型6.以弦图为背景的计算题 题型7.用勾股定理构造图形解决问题 题型8.勾股定理与无理数 题型9.勾股树（数）问题 题型10.判断三边能否构成直角三角形 题型11.在网格中判断直角三角形 题型12.利用勾股定理的逆定理求解 题型13.勾股定理逆定理的拓展问题 题型14.巩固测试 ✺知识◆清单 一、勾股定理（正定理） 1.定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 若在Rt△ABC中,∠C=90°，a、b为直角边，c为斜边。 公式表达：若直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则=。 适用条件：仅限直角三角形使用，锐角三角形、钝角三角形均不满足此边长平方关系。 核心用途：已知直角三角形任意两边长，可求解第三边长。 完整变形公式：a2=c2-b2，b2=c2-a2； 开方求值：c=，a=，b=。 二.勾股定理逆定理 定理内容：若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，即a2+b2=，则该三角形为直角三角形，最长边c所对的内角为直角。 适用条件：适用于任意已知三边长的三角形，是判定直角三角形的代数方法。 核心用途：根据三角形三边长，判断该三角形是否为直角三角形，是几何判定直角的重要方法。 三.勾股定理与逆定理对比（必考辨析） 对比维度 勾股定理（正定理） 勾股定理逆定理 已知条件 三角形是直角三角形 三角形三边满足平方关系 推导结论 三边满足a2+b2=c2 三角形为直角三角形 定理作用 边长计算、求未知边 判定直角、判断三角形形状 推理方向 由“形”推“数” 由“数”推“形” 四.常见勾股数（课内熟记） 能够构成直角三角形三边长的一组正整数，称为勾股数。 勾股数具有倍数性质：一组勾股数的正整数倍，仍然是勾股数。 常用基础勾股数：(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)。 最简勾股数：三边数值互质（最大公因数为1）的勾股数，如(3,4,5)、(5,12,13)，最简勾股数的正整数倍为普通勾股数。 五、三角形形状判定（课内必考） 已知三角形三边长，设c为最长边，可通过三边平方关系判定三角形类型，适用于任意三角形： 三边平方关系（c为最长边） 三角形形状 a2+b2= 直角三角形 a2+b2＞ 锐角三角形 +< 钝角三角形 六.标准解题步骤 （1）勾股定理求边长 标准步骤 解：∵ 该三角形为直角三角形，且∠C=90°，根据勾股定理可得：a2+b2=，代入已知边长计算，化简求出未知边即可。 （2）勾股逆定理判定直角三角形 标准步骤 解：设三角形三边长为a、b、c，确定最长边c，分别计算a2+b2与。若a2+b2=，则该三角形为直角三角形，最长边c所对的角为直角。 七、本节预习核心注意事项（课本规范） 1.勾股定理是直角三角形的专属性质，使用前必须先确定三角形为直角三角形。 2.运用勾股定理计算时，需严格区分直角边与斜边，斜边一定是三角形的最长边。 3.使用逆定理判定三角形形状时，必须以最长边作为平方对比对象，判定逻辑才成立。 4.勾股数定义要求边长为正整数，小数、分数组合不构成勾股数。 5.已知直角三角形两边求第三边，若无图形限定，需区分斜边、直角边两种情况讨论。 ✺题型◆精讲 题型1.用勾股定理解三角形 1．中，，，，则（     ） A．10 B．14 C．12 D．5 2．在中，，，点是边上一点，连接，点是边的中点，连接，若为直角三角形，则的长为_____． 3．在中，，若，，求的周长． 题型2.求以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，分别以的两条直角边为边作正方形，面积分别记为．若 ，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则______． 3．如图，在四边形中，，以边向外作正方形，若，，，求正方形的面积． 题型3.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1．在直角三角形中，斜边，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．中，斜边，则的值是______． 3．综合与实践． 【项目主题】特殊三角形的再探究 【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中． 勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方的和是否等于最大边的平方． 勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想． ②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍（k为正整数），那么这个三角形叫做k倍“平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”． 例如：三边长分别为3，4，时，，是5倍平方和三角形，方和倍等于5． 又的正整数倍，的正整数倍，仅仅是5倍平方和三角形． 【项目实施】 (1)已知三角形三边长分别为2，3，，试说明该三角形是1倍平方和三角形； (2)在平方和中，，，的对边分别为a，b，c，，，，求方和倍的值； (3)在4倍平方和中，，设，，的对边分别为a，b，c，且，求的值． 题型4.利用勾股定理证明线段平方关系 1．在中，，，的对边分别是，，．若，则下列等式中成立的是（    ） A．B． C． D． 2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．    3．【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 题型5.勾股定理的证明方法 1．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（     ） A．B．C．D． 2．你认为以下四种图形能用来证明勾股定理的图形有______．（填序号） 3．图1和图2都是用四个直角边长分别为a和b，斜边长为c的直角三角形围成的正方形，请在图1或图2中任选一个，结合图形利用等面积法证明勾股定理． 题型6.以弦图为背景的计算题 1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为94．则小正方形的边长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代的“赵爽弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为10，的长为6，则小正方形的面积为_____． 3．某校七年级（2）班数学学习小组开展了以算术平方根为主题的综合与实践学习． (1)如图1，把两个面积为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形重新拼接在一起，就得到一个大正方形，则这个大正方形的边长是 ． (2)如图2，已知直角三角形的两条直角边分别为，用四个这样完全相同的直角三角形重新摆放，拼成图2所示的大正方形，其中间恰好形成一个空白小正方形， ①中间空白小正方形的面积是__________；大正方形的边长__________； ②在①问的条件下，若在大正方形内沿边的方向裁剪出一个长宽比为的长方形，其面积为，请问能否裁出符合要求的长方形，请说明理由．（参考数据： (3)若一个直角三角形的两条直角边分别为，请你根据前面的知识探究回答：这个直角三角形的第三条边（斜边）的长是__________． 题型7.用勾股定理构造图形解决问题 1．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 3．如图，有一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 题型8.勾股定理与无理数 1．如图，根据作图痕迹，图中标注的点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点A，点O分别表示和0，，且，以点A为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴相交于点C，则点C表示的数为______________． 3．勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．若设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则满足． (1)若直角三角形两条直角边均为1，则斜边长为__________；若直角三角形有两条边分别是3和4，则第三条边长为__________． (2)请你以直角板和圆规为工具，在数轴上找到表示数字的点P． 题型9.勾股树（数）问题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是勾股数的为（     ） A．1，1， B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13 2．如图是一株美丽的勾股树，图中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是________． 3．阅读理解并解答问题 如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数． (1)请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数； (2)如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数． 题型10.判断三边能否构成直角三角形 1．以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则______． 3．直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中为斜边，为斜边上的高． (1)求证：以，，的长为边，构成的三角形是直角三角形； (2)求证： 题型11.在网格中判断直角三角形 1．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 题型12.利用勾股定理的逆定理求解 1．如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 2．已知，，，，，连接，则的度数为______． 3．已知如图，在四边形中，，求四边形的面积． 题型13.勾股定理逆定理的拓展问题 1．在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 2．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 3．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列各组数中，不是勾股数的一组是（    ） A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，17 2．以4，5为直角边的直角三角形斜边长为（    ） A．3 B． C．6 D．7 3．如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形，的面积分别是，，则最大正方形的面积是（     ） A． B． C． D． 4．如图，中，，于点，是边的中点，连结．若，，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．若三角形的三边分别为1，，，则该三角形最大边上的高长为：________． 6．如图，在中，是的中线．若，，，则______． 7．如图，点表示的数是2，与数轴垂直，垂足为点，且，以点为圆心， 长为半径作弧，交数轴负半轴于点 ，则点 表示的数是______. 8．勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为______． 三、解答题 9． 一架快递无人机自仓库地面处垂直起飞到点，沿水平正东方向匀速飞行一段距离到点，随后再次垂直上升90米到点并悬停执行配送任务．此时，地面操控者发现点与无人机之间的直线距离恰好比无人机水平飞行的距离多30米．求该无人机水平飞行的距离为多少米？ 10．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点．顶点都在格点上的三角形就叫格点三角形，现有，两个格点，请以为边分别画出符合下列要求的格点三角形． (1)在图甲中画一个面积为6的直角三角形： (2)在图乙中画一个等腰（非直角）三角形，并写出这个等腰三角形的腰长为___________． 11．如图，在中， (1)求证： (2)作，D为垂足，求的长． 12． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $