《第4章因式分解》期末复习优生辅导训练题2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以因式分解为核心，通过概念辨析、方法应用及跨情境综合，系统构建“概念-方法-应用”逻辑链，渗透抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题（如第1题）|因式分解定义及正确性判断|从整式乘法逆向抽象出因式分解概念| |方法应用|8题（如15题因式分解、16题计算）|提公因式法、公式法（平方差/完全平方）|基本方法→多步骤组合→简便计算应用| |综合拓展|9题（如7题“豫数”、20题拼图）|整体思想、分组/拆项法、数形结合|代数推理（如第4题）→几何直观（第14题）→跨学科应用（第20题）|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》 期末复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（     ） A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 3．点在第二象限，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知a，b，c均为正数，且满足，则下列关系式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知a、b满足等式，，，则x，y的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．已知a，b，c分别是的三边长，若，则c的长是（   ） A．20 B．16 C．8 D．4 7．定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　） A．28是“豫数” B．32是“豫数” C．所有“豫数”都是6的倍数 D．最小的“豫数”是2 二、填空题 8．有下列代数式：①；②；③；④．其中，含有因式的是________ （填序号）． 9．已知，，则______． 10．因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果______． 11．若，则________． 12．已知，则代数式的值为________． 13．计算：__________． 14．如图所示的四个长方形正好拼成一个面积为的大长方形，由此可得出因式分解后的结果是______． 三、解答题 15．因式分解： (1) (2) (3) (4)先因式分解再求值：，其中，． 16．利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 17．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是______，共应用了______次； (2)若分解，则需应用上述方法______次，结果是______； (3)分解因式：（n为正整数），结果是______． (4)请利用以上规律计算：． 18．阅读以下材料： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原， 得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)利用上述方法先因式分解：，再当时，求代数式的值． 19．初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）： ②（拆项法）： (2)因式分解的综合运用 ①已知：a、b、c为的三条边，，则的周长为____； ②已知：a、b、c为的三条边，满足，试确定的形状，并说明理由． 20．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形卡片若干张． (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________． (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要2号卡片______张，3号卡片______张； (3)当他拼成如图③所示的长方形时，根据6张小卡片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是________． (4)请你依照该同学的方法，画出拼图并利用拼图将分解因式． 参考答案 1．B 【分析】先根据因式分解的定义排除不符合选项，再验证剩余选项分解是否正确即可 【详解】解：因式分解要求将多项式化为几个整式的乘积，且结果必须分解彻底，据此逐项判断： A、结果为，不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； B、对左边变形：，结果是整式乘积，且分解正确，故该选项符合题意； C、，还可以继续分解，分解不彻底，故该选项不符合题意； D、展开等式右边得 ，和左边不相等，分解错误，故该选项不符合题意 2．B 【分析】根据平方差公式，将进行因式分解，即可得出结论． 【详解】解： ， ∴能被65和63整除， ∴这两个整数是63和65． 3．C 【分析】先根据第二象限内点的坐标特征求出的取值范围，再对原式因式分解后结合二次根式的性质化简为绝对值形式，最后根据的范围去掉绝对值计算结果． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得， ， ∵， ∴，， ∴原式． 4．A 【分析】通过对等式移项分解因式，结合a，b，c为正数的条件，推导出正确结论． 【详解】解：将已知等式移项整理得：， 利用平方差公式分解前两项，提取后两项公因式得：， 提取公因式得：， ∵，，均为正数， ∴， ∴， 即， 因此一定正确的关系式是． 5．D 【分析】本题采用作差法比较大小，对差因式分解后，利用平方数的非负性判断x与y的大小关系，用到了完全平方公式因式分解的知识． 【详解】解： ， ∵任何实数的平方都满足， ∴， 即． 6．C 【分析】本题考查因式分解的应用．将已知等式移项后因式分解是求解本题的关键． 先把因式分解可得，已知①，从而得到②，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵①， ∴， ∴②， ∴②－①得，， 解得， 故选：C 7．A 【分析】先设两个连续偶数，利用平方差公式推导出“豫数”的一般形式，再结合各选项判断正误． 【详解】解：设两个连续偶数分别为和（为整数，）， ∵ “豫数”可表示为两个连续偶数的平方差， ∴ 豫数 豫数是乘以奇数． 对选项逐一判断： A、，是奇数，且，符合“豫数”定义，选项正确； B、，是偶数，不符合“豫数”定义，选项错误； C、当时，得到最小豫数为，不是的倍数，选项错误； D、最小豫数为，选项错误． 8．①②③ 【分析】对每个代数式进行因式分解，判断分解结果中是否含有因式即可得到答案． 【详解】解：① ，结果含有因式，符合要求； ② ，结果含有因式，符合要求； ③ ，结果含有因式，符合要求； ④ ， 无法分解因式，结果不含有因式，不符合要求． ∴①②③符合题意． 9． 【分析】先将因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：，， ． 10． 【分析】根据看错的分解结果，分别提取出正确的的值代入，再分解即可． 【详解】解：甲分解结果，甲看错，故； 乙分解结果，乙看错，故． 则原式为，分解为． 11． 【分析】先将移项为，再运用提公因式的方法求代数式的值即可． 【详解】∵， ∴，， ∴ ． 12． 【分析】先利用平方差公式将因式分解，再将代入求值即可． 【详解】解：． 13． 【分析】利用平方差公式将每个因式分解，分解后式子可通过约分简化计算，最终得到结果． 【详解】解： 14． 【分析】根据题意画出图形，然后通过面积的两种求法即可求解． 【详解】解：如图， 大长方形的面积可以表示为一个正方形和五个长方形的面积之和：， 还可以表示为：长宽， ∴可得到因式分解的式子为． 15．(1) (2) (3) (4)因式分解结果为，值为 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 当，时，原式． 16．(1) (2)4 (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．(1)提公因式法，2； (2)，； (3) (4) 【分析】（1）根据阅读因式分解的过程即可得结论； （2）结合（1）和阅读材料即可得结论； （3）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； （4）利用规律进而得出答案即可． 【详解】（1）阅读因式分解的过程可知： 上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， （2）原式，则需应用上述方法次，结果是， 故答案为：，； （3） ． （4） 18．(1) (2) 因式分解结果为，当时，代数式的值为 【分析】（1）把看作整体，利用完全平方公式分解因式； （2）首先把看作整体，利用多项式乘多项式的法则把展开，再利用完全平方公式进行因式分解，把代入化简后的结果计算求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时， 可得：原式． 19．(1)①；② (2)①7；②是等边三角形，理由见详解 【分析】（1）①读懂题意，利用分组法分解因式； ②读懂题意，利用拆项法分解因式； （2）①把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出a、b、c的值，再求和即可． ②把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质得出，即可解答． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解：①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∵，∴三边能构成三角形， 因此三角形周长为． ②是等边三角形，理由如下： ∵， 将等式两边同乘2得：， 分组配方得：， 根据平方的非负性，得， 即， 因此是等边三角形． 20．(1) (2)4张，5张 (3) (4)图见解析， 【分析】（1）等积法作答即可； （2）求出多项式乘以多项式的积，即可得出结果； （3）等积法作答即可； （4）按要求画图后，即可得出结果. 【详解】（1）解：由题意，这个乘法公式是； （2）解：， 故需要2号卡片4张，3号卡片5张； （3）解：由图可知，； （4）解：由题意，画图如下： 由图可知：. 学科网（北京）股份有限公司 $