期末复习优生辅导训练题《第2章不等式与不等式组》2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组综合应用，通过分层题型构建“概念理解-参数推理-实际建模”的方法体系，强化数学思维与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式组参数问题|单选1/4/8/10/12|“有解/无解”条件判断、整数解端点分析|从解集基本概念到含参分类讨论，形成参数取值推理链| |一次函数与不等式|单选5/13/20|函数图像与解集对应关系、交点坐标应用|以函数图像为载体，建立“形-数”转化逻辑，深化数形结合思想| |实际应用建模|单选6/7/18/19|行程/利润/方案问题不等关系提取|从实际情境抽象数量关系，构建不等式模型解决最值问题|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第2章不等式与不等式组》 期末复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．某班数学兴趣小组对不等式组进行讨论并得到以下结论，其中不正确的是（   ） A．若，则不等式组无解 B．若不等式组有解，则a的取值范围是 C．若不等式组无解，则a的取值范围为 D．若不等式组有且只有两个整数解，则 2．已知点关于轴的对称点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数且）的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．不等式的解集是 C．当时， D．当时， 6．甲、乙两人分别从相距的，两地沿着同一条公路相向而行，甲、乙同时出发，且甲的速度是乙速度的3倍，如果要保证二人在以内相遇，那么甲的速度满足的条件是（   ） A．小于等于 B．小于等于 C．大于等于 D．大于等于 7．某校举行知识竞赛，共有道抢答题，答对一题得分，答错或不答扣分，要使总得分不少于分，则至少应该答对（  ） A．19道 B．20道 C．21道 D．22道 二、填空题 8．已知一次函数（k为常数，），当时，．则k的取值范围是______． 9．不等式组的解为，，则不等式组的解是__________． 10．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 11．已知关于x，y的方程组．若方程组的解满足，则m的非正整数和为________． 12．如果关于的不等式组无解，那么的取值范围是_______． 13．如图，函数和的图像交于点，则不等式的解集是________． 14．一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操作，若输入x后经过第1次程序操作未能输出结果，则x的取值范围为_____． 三、解答题 15．按要求完成下列各题： (1)解不等式，并将其解集在数轴上表示出来； (2)解不等式组． 16．根据题意求取值范围： (1)如果关于的方程的解是不等式组的一个解，求的取值范围； (2)若关于，的方程组的解的值都在不等式组的解集内，求实数的取值范围． 17．关于的方程组的解满足为非正数，为正数． (1)求的取值范围； (2)已知关于的不等式的解集为，请求出所有满足条件的整数的值． 18．2026年5月1日，赣超在省会南昌打响了第一赛，各市也陆续推出了自己的吉祥物，某玩具公司根据吉祥物生产了“九都督”和“阿哒宝”两款手办．已知每个“九都督”手办的售价比每个“阿哒宝”手办的售价贵5元，按售价购买，购买20个“九都督”手办和20个“阿哒宝”手办需花费1180元． (1)求每个“九都督”和“阿哒宝”手办的售价分别是多少元？ (2)某班级6月准备爱心义卖，筹集资金帮扶“孤独症儿童”，于是准备从该玩具公司购进一批手办进行售卖，且将每个“九都督”手办的售价定为45元，每个“阿哒宝”手办的售价定为38元．若本次购进“阿哒宝”手办的数量比购进“九都督”手办的数量的3倍还少5个，两种手办全部售出后总获利不少于1325元，求该班级本次购进“九都督”手办的数量至少是多少个？ 19．“保护环境，人人有责”，为了更好地治理巴河，巴中市污水处理厂决定购买，两型污水处理设备，共10台，其信息如下表： 单价（万元/台） 每台处理污水量（吨/月） 型 12 240 型 10 200 (1)设购买型设备台，所需资金共为万元，每月处理污水总量为吨，试写出与，与的函数解析式； (2)经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过106万元，月处理污水量不低于2040吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案最省钱，需要多少资金？ 20．【活动回顾】 在一元一次不等式和一次函数中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，一次函数的图象经过点，且，则不等式的解集是__________； (2)如图2，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解集是__________； 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是__________； ②连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标，如不存在，说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了已知不等式组解的情况求值或参数范围，根据不等式组的解集条件判断各选项，有解需，无解需，两个整数解需． 【详解】解：∵ 不等式组为， A项：若，则且，无解，故A正确； B项：不等式组有解时，需，但B中包括（无解），故B错误； C项：不等式组无解时，，故C正确； D项：有且只有两个整数解时，整数解为3和4，需，故D正确， 故选：B． ∴ 不正确的是B. 2．D 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，第一象限内点的坐标符号特征，先根据关于轴对称的点的坐标特征求出点的对称点，再根据第一象限内的点横坐标和纵坐标是正数列出关于的不等式组，解不等式组即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点关于轴的对称点为，且该点在第一象限， ∴ ， 解得， 故选：． 3．C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的数轴表示，正确掌握解集表示法是解题的关键．先求出不等式组的解集，再根据大于方向向右，小于方向向左，有等号，数用实点覆盖，无等号，数用空心圆圈覆盖，解答即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 原不等式组的解集为． 故选C． 4．B 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先解不等式组得到解集为 ，由整数解恰有3个，可知整数解为0、1、2，进而推导出的取值范围． 【详解】解：解得：， 解得：， ∴不等式组的解集为； ∵整数解恰有3个，且， ∴ 整数解为0、1、2， ∴，解得：； 故选B． 5．B 【分析】本题考查了一次函数与不等式，一次函数与一元一次方程，看懂函数图象是解题的关键． 根据函数图象逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由函数图象可知，当时，， 所以方程的解是，原选项说法错误，不合题意； B、由函数图象可知，当时，， 所以不等式的解集是，该选项说法正确，符合题意； C、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意； D、由函数图象可知，当时，，该选项说法错误，不合题意． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查一元一次不等式在相遇问题中的应用，掌握相向而行时相对速度为速度之和，以及根据时间约束建立不等式的方法是解题的关键． 设乙的速度为，则甲的速度为，相对速度为，相遇时间，要求，解不等式得，故甲的速度． 【详解】解：∵甲、乙相向而行，相对速度为甲速+乙速， 设乙的速度为，则甲的速度为， ∴相对速度 相遇所需时间. 要求，即， ∴，解得 故甲的速度 ∴甲的速度大于等于． 故选：C． 7．D 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设答对题数为，则答错或不答题数为，根据得分规则列出不等式，求解的最小整数值． 【详解】解：设答对题数为，则答错或不答题数为，根据题意得： ， 解得， 为整数， ， 故至少答对道． 故选：D． 8． 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系．根据一次函数的性质，分和两种情况讨论，结合条件当时，通过不等式求解k的取值范围． 【详解】解：当时，一次函数随x增大而增大， 当时，， ， ， 当时，，不满足题意， 故不成立； 当时，一次函数随x增大而减小．欲使时，需保证时，即， 解得． 又 ， k的取值范围是． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，有理数的大小比较，比较的大小是解题的关键．由第一个不等式组的解集为 且 ，可推断出 ，进而求解第二个不等式组． 【详解】解：不等式组 的解集为 ，且 ， ， 不等式组的解是． 故答案为：． 10． 【分析】先解不等式②，结合不等式组的解集为，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：， 由②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 解得：． 11． 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程组两方程相加得到 ，即，代入条件 得 ，解得 ，非正整数包括负整数和零，满足条件的非正整数为 ，求和即可 【详解】解：∵ 方程组 ， ① + ② 得：   ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ 则m的非正整数为， ∴  ． 故答案为：． 12． 【分析】先化简不等式组，然后再根据不等式组无解确定m的取值范围即可． 【详解】解：关于的不等式组可化为， ∵该不等式组无解， ∴． 13． 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，根据两条直线的交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键．根据两条直线在交点两侧的位置回答即可． 【详解】解：函数和的图像交于点， 在直线右侧，直线在直线的上方，即， 不等式的解集为． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查一元一次不等式、程序图，根据程序图得到一元一次不等式是解题的关键． 根据运算程序首先得到第1次程序操作未能输出结果时的一元一次不等式，再对一元一次不等式进行求解即可． 【详解】解：由运算程序可得：要是经过第1次程序操作未能输出结果，应该满足， ∴解得：， 故答案为：． 15．(1)， 不等式的解集在数轴上表示如图： (2) 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得， 不等式的解集在数轴上表示如图： ； （2）解：， 解不等式①：得； 解不等式②：得； 不等式组的解集为． 16．(1) (2) 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为； 解方程， 得， ，即． （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 解关于，的方程组，得， 解得． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，求一元一次不等式的整数解，正确解二元一次方程组是解题的关键． （1）先解关于二元一次方程组，求出值，根据为非正数，为正数列不等式组进行求解； （2）将不等式变形为，根据不等式的解集为确定，结合（1）的结论最后求解即可． 【详解】（1）解：解方程组，得， 为非正数，为正数， ， 解，得 （2）整理不等式，得， 关于的不等式的解集为， ，即， 由（1）知， ， 取整数值为 18．(1)每个“九都督”手办的售价是32元，每个“阿哒宝”手办的售价是27元 (2)30个 【分析】（1）根据每个“九都督”手办的售价比每个“阿哒宝”手办的售价贵5元，按售价购买，购买20个“九都督”手办和20个“阿哒宝”手办需花费1180元，列出方程组进行求解即可； （2）根据两种手办全部售出后总获利不少于1325元，列出不等式进行求解即可. 【详解】（1）解：设每个“九都督”手办的售价是x元，每个“阿哒宝”手办的售价是y元， 由题意得 解得 答：每个“九都督”手办的售价是32元，每个“阿哒宝”手办的售价是27元．     （2）解：设该班级本次购进“九都督”手办的数量是m个，则购进“阿哒宝”手办的数量是个，由题意得， 解得； 答：该班级本次购进“九都督”手办的数量至少是30个． 19．(1)（x为不大于10的自然数），（x为不大于10的自然数） (2)有三种方案：①型1台，型9台；②型2台，型8台；③型3台，型7台；当型1台，型9台时费用最少，最少需要102万元 【分析】（1）根据题意列出解析式即可； （2）根据题意列出不等式组求出，然后写出所有购买方案，根据一次函数的性质求出最省钱方案． 【详解】（1）解：根据题意得，（x为不大于10的自然数）， （x为不大于10的自然数）； （2）解：根据题意得， 解得， ∴有三种方案：①型1台，型9台；②型2台，型8台；③型3台，型7台； ∵中 ∴W随x的增大而增大 ∴时，取得最小值，为（万元）， ∴当型1台，型9台时费用最少，最少需要102万元． 20．(1) (2) (3)①；②存在，点坐标为或 【分析】（1）不等式的解集即为直线在轴下方时对应的交点的横坐标取值范围； （2）不等式的解集即为直线在直线下方时，对应交点的横坐标的取值范围； （3）①不等式组的解集即为直线与直线在轴下方对应交点的取值范围； ②先由待定系数法求解两个函数的表达式，再求出交点坐标，然后设，再根据面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴不等式的解集是； （2）解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴ 解得 ∴， ∴不等式的解集是； （3）解：①∵一次函数与轴相交于点，与轴相交于点， ∴不等式组的解集为； ②存在， ∵直线与轴相交于点，一次函数与轴相交于点 ∴， 解得， ∴直线，， 联立两条直线的表达式得到， 解得， ∴ 设 ∵ ∴， 解得或， ∴点坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $