《第1章三角形的证明及其应用》期末复习优生辅导训练题2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以三角形证明为核心，整合特殊三角形性质、全等判定及动态几何应用，通过分类讨论、构造全等、轴对称等方法体系，构建“概念-推理-应用”的逻辑链条，培养推理意识与空间观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|单选1-7题|镶嵌判定（内角360°约数）、等腰三角形分类讨论|三角形内角和→正多边形性质→几何直观| |性质应用与计算|填空8-14题|反证法、角平分线性质、轴对称求最短路径|特殊三角形性质→图形变换→模型意识| |综合证明与探究|解答15-20题|构造全等、动态问题转化、倍长中线法|全等判定→动态几何→创新意识与推理能力|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明及其应用》 期末复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．以下是一些形状及大小完全相同的图形，如果仅用其中一种正多边形镶嵌，不能镶嵌成一个平面图形的是（    ）． A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 2．等腰三角形一个角等于，则它的底角的度数是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．如图是正n边形的一部分，点A，B，C，D是该正多边形相邻的四个顶点，连接，若，则n的值为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算（     ） A． B． C． D． 5．如图，在Rt中，，点在上，且是的中点，点在上运动，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 6．如图，在的正方形网格中，点均在各小正方形的顶点处，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：；；；；．一定成立的结论有（     ） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③⑤ 二、填空题 8．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“三角形的三个外角中至少有两个钝角”应先假设_____． 9．在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点，若直线垂直于的一边，写出的度数________． 10．如图，在中，，垂足为平分，交于点，交于点．若，则线段的长为 ___________________ ． 11．如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为__________ 12．如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为_________度． 13．如图，在等边中，于点是线段上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，若，则线段的最小值为______． 14．【发现问题】如图1，在和中，，，，连接，、延长交于点D．则________； 【类比探究】若，其余条件不变，则________． 三、解答题 15．如图，在中，为中点，为上的一点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 16．如图，在四边形中，，点、分别是边、上一点，连接、、．过点作于点，已知平分、，． (1)若，求的长度； (2)求证：点在的垂直平分线上． 17．如图，在中，垂直平分，于点D，E；垂直平分，于点M，N． (1)如图1，若，， ； (2)如图2，若，则 ； (3)通过以上的探索过程，直接写出与，的关系 ． 18．在中，，在的外部作等边三角形，为的中点，连接并延长交于点，连接． (1)如果，求的度数； (2)连接，交于点，如果是等腰三角形，求的度数．（直接写出度数） (3)在图中画出的平分线，交于点，交于点，连接．如果，求证：． 19．已知，在 中，，，点为边上的一个动点，连接，以为一边，作等边，交于点． (1)如图，当平分时． ① 求证：垂直平分； ② 若，求的长； (2)如图，点是的中点，的延长线交于点，求证 ． 20．如图，在等腰三角形中，，为平面内一点． (1)如图，当点在的延长线上时，连接，若，交于点． ①试说明； ②若，求的长； (2)如图，当点在的延长线上时，连接，若，在的右侧有一点，连接和，若，且，若为的中点，连接，请直接写出线段，，之间的数量关系． 参考答案 1．C 【分析】判断单一正多边形能否平面镶嵌，需验证其内角是否为的约数． 本题考查了镶嵌的基本条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：正多边形平面镶嵌的条件是：每个顶点周围的内角和为； 正n边形每个内角为，需满足为整数。 A：等边三角形内角为，（整数），可镶嵌； B：正方形内角为，（整数），可镶嵌； C：正五边形内角为，（非整数），不可镶嵌； D：正六边形内角为，（整数），可镶嵌； 综上，不能镶嵌的是正五边形， 故选：C． 2．C 【分析】分两种情况：①当的角是这个等腰三角形的顶角时，②当的角是这个等腰三角形的底角时，根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：①当的角是这个等腰三角形的顶角时， 则它的底角的度数是； ②当的角是这个等腰三角形的底角时， 则它的底角的度数是； 综上，它的底角的度数是或． 3．B 【分析】延长，交延长线于，根据正多边形的性质得出，，根据邻补角的定义得出，根据等角对等边得出，进而得出，根据等边对等角及四边形内角和得出，利用多边形内角和公式，列方程求出的值即可． 【详解】解：如图，延长，交延长线于， ∵点，，，是该正多边形相邻的四个顶点， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， 解得：． 4．C 【分析】根据三角形内角和定理得，由作法可知，是的平分线，得，由作法可知，是线段的垂直平分线，得，再由三角形外角定理即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 由作法可知，是的平分线， ∴， 由作法可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．B 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握最短路线模型是解题的关键． 延长至，使，连接，，作于点，根据等腰直角三角形的判定和性质求出的长度，再证得，最后根据两点之间线段最短确定最小值就是，据此求解即可． 【详解】延长至，使，连接，，作于点，如图所示， 在Rt中，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在Rt中，由勾股定理，得， 即， ， ∴，， 在Rt中，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小，最小值为． 6．A 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，等腰三角形的判定和性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，连接， 由勾股定理，得， ，， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由图可知：与不平行； 综上：只有选项A正确； 故选A． 7．D 【分析】①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；②由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③同②得：，即可得出结论；④根据，，可知，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是可知⑤正确． 【详解】解：①∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴，，，①正确； ②， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，②正确； ③与②的过程同理得：， ∴， ③正确； ④∵，且， ∴，故④错误； ⑤∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴⑤正确． ∴①②③⑤是正确的． 8．三角形的三个外角中至多有一个钝角 【分析】本题主要考查了反证法的应用．根据反证法的步骤：第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，应先假设三角形的三个外角中至多有一个钝角， 故答案为：三角形的三个外角中至多有一个钝角． 9．或或 【分析】分三种情况讨论：当时，当于时，当时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：如图，当时， ，， ， 平分， ， ； 如图，当于时， ， ； 如图，当时， ，， ． 综上所述，的度数为或或． 10． 【分析】过点作，垂足为，先在中，利用勾股定理求出，从而利用面积法求出的长，再利用角平分线的性质可得，从而利用面积法求出，然后利用角平分线的定义可得，再利用等角的余角相等可得，最后结合对顶角相等可得，从而可得，进而利用线段的和差关系，进行计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ，，， ， 的面积， ， ， ， 平分，，， ， 的面积的面积的面积， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ． 11． 【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，进而得出，根据即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于，交于， 则即为的周长最小值．作延长线， ∵ ∴共线，共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 即，当的周长最小时，的度数为． 12． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．连接，并延长至点，由内角和定理可得，由三角形外角的性质可得，求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接，并延长至点， 在中，，， ， ， ，， ， ，， ， ， 应调整为． 故答案为：． 13．6 【分析】连接，利用等边三角形的性质得到，，，进而证明，得到，再求出线段的最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得：，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴线段的最小值，即为线段的最小值， 又∵F为线段上一动点，， ∴点F与点D重合时，最小， ∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为，即线段的最小值为． 14． 或 【分析】【发现问题】证明，得到，结合三角形的内角和解题即可； 【类比探究】分类讨论当点在线段上和线段的延长线上时，证明，结合等腰三角形的性质解题即可． 【详解】解：【发现问题】∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， 如图，设与交于点，则有， ∴ ； 【类比探究】如图1，点在线段上时， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， 由【发现问题】可知； 如图2，点在线段的延长线上时， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ； ∴或． 15．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）可知，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．(1) (2)见解析 【分析】（1）证明，可得，即可求解； （2）连接，由（1）知，，易得，根据，求出，再根据，，推出，进而得到，结合，证明，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 17．(1) (2) (3)或 【分析】（1）因为是的垂直平分线，所以可得，进而推出；同理，可推出，利用三角形内角和定理，先计算的度数，结合和的度数，推导的度数； （2）根据的度数，可得的度数，进而得到的度数，即可求得的度数； （3）对前两小问的计算结果进行归纳，整理出与、的通用关系式． 【详解】（1）在中，，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ； （3）①当时，，理由如下， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴； ②当时，，理由如下， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述，它们的关系为或． 18．(1) (2)或 (3)见解析 【分析】（1）分别求出，根据计算即可； （2）设，根据三角形内角和求出，根据垂直平分线的性质得到，根据等边对等角求出，根据三角形内角和求出，根据三角形外角的性质得到，同（1）求出，则，根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的定义分三种情况作答即可； （3）根据要求画出图形即可；设，由推出，可得，，证明，推出，，，在中，根据，构建方程求出a，再证明，即可解答． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 设，则， 由垂直平分得， 则， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，分三种情况： 当时，，解得，不成立； 当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； （3）解：如图2，是的平分线； 证明：连接， ∵平分， 设， ∵， ∴． ∵是等边三角形，E为的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．(1)①见解析；② (2)见解析 【分析】（1）①利用角平分线和角的性质推出，结合等边三角形 的角，证明且平分； ②根据含角直角三角形的性质得到，结合 求出，再由等边三角形性质得出； （2）构造辅助线并截取，先证明为等边三角形，再通过两次全等证明，最终推导出． 【详解】（1）①证明：∵,， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴垂直平分； ②解：由①，知，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴． 答：． （2）证明：如图，连接，在上截取，连接， ，， ∴，， 点是的中点， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴， 是等边三角形， ，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查含角的直角三角形性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”性质，通过全等三角形的判定与性质，将等边三角形和含角的直角三角形的边角关系联系起来是解题关键． 20．(1)①证明： ， ， ， ， ， ． ② (2) 【分析】（1）①利用、，得到两个角与互余，根据同角的余角相等，证明两角相等；②借助①已证的等角，用证明，得到，再用减去算出长度； （2）倍长中线构造全等三角形，转移和角度，再通过证明，推出，，进而推出为等边三角形，得，再由是等边三角形可知，根据，代换得到三条线段关系式． 【详解】（1）①略 ②解：由①知， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）解：，理由如下： 如图，延长至点，使得，连接，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，即， 为等边三角形， ，即， ，， 为等边三角形， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $