期末复习基础巩固试卷（范围：七下第1～6章）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 融合书法、黎侯虎等传统文化与机器人、防汛等科技情境，梯度设计覆盖七下第1~6章核心知识，通过数学眼光观察现实、思维分析问题、语言表达规律。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/30|轴对称（书法字体）、概率（蜻蜓事件）、一次函数（蟋蟀鸣叫）|文化传承与自然现象结合| |填空|6/18|科学记数法（长征数据）、角度计算（机器人姿态）、整式运算|社会热点与科技情境融入| |解答|8/72|几何证明（中线性质）、概率应用（紫花试验）、代数图形结合（正方形面积）、动态几何（探照灯旋转）|综合考查推理能力与模型意识，动态问题体现创新思维|

期末复习基础巩固试卷（范围：七下第1~6章） （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版七年级下册第1~6章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．“书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一．下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2．古诗“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是（     ） A．必然事件 B．确定事件 C．随机事件 D．不可能事件 【答案】C 【分析】必然事件是一定条件下一定发生的事件，不可能事件是一定条件下一定不发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件，确定事件包含必然事件和不可能事件，根据定义求解即可. 【详解】解：∵“小荷才露尖尖角”时，蜻蜓可能立在上头，也可能不立在上头，事件发生具有不确定性， ∴该描述对应的事件是随机事件. 3．大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切、项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温（） … 11 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 56 70 84 98 112 … 根据表格规律，若该地当时的气温为，则这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为（     ） A．98次 B．112次 C．126次 D．140次 【答案】C 【分析】由表格中的数据可知，气温每上升，蟋蟀每分钟的鸣叫次数增加14次，据此列式计算即可． 【详解】解：由表格中的数据可知，气温每上升，蟋蟀每分钟的鸣叫次数增加14次， ∴若该地当时的气温为，则这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为次． 4．观察如图所示的图形，从图1到图2可用式子表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察可知图1可以拼成图2，即图1和图2面积相等． 【详解】解：图1的面积等于一个长方形的面积，为， 图2的面积等于一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积，为， 由题意可得，． 5．如图，在中，若，平行于，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，根据平行公理的推论可得，利用两直线平行内错角相等建立角之间的关系即可求解． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等得出全等三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：，，， ， ， ， ． 7．黎侯虎是发祥于山西省黎城县的传统手工艺品，因黎城古称黎侯古国而得名，是国家级非物质文化遗产代表性项目．现在有一款“枕头虎”，每个“枕头虎”的成本是元，每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元，设一个“枕头虎”的利润为元，则与的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元列关系式即可. 【详解】解：∵每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元， ∴． 8．如图，把等腰Rt和等腰Rt放在一起，三点在一条直线上，其中，点在上，连接交于点．若，则的面积为（   ） A．27.9 B．28.7 C． D． 【答案】A 【分析】证明，得到，推出，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵等腰直角和等腰直角，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为. 9．观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干给出的式子总结规律，将所求式子变形后匹配规律计算，根据题干规律得，变形所求式子后代入公式计算即可． 【详解】解： ； ； ； ……， 由此可得， 当时，， ∴， ∴， ∴ ． 10．如图，，F为上一点，，且平分．过点F作于点M．且，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义，角的和差关系逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵，且平分， ∴，， ∵于点M，， ∴， ∴，故④正确； ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； 无法确定的度数，故无法确定平分以及； 综上，正确的个数有2个. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若等式恒成立，则______ ． 【答案】 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算，再根据已知条件列出关于，的方程，解方程求出，，然后求出答案即可． 【详解】解： ， ∵恒成立， 即恒成立， ∴，， 解得：，， ∴． 12．“红军不怕远征难，万水千山只等闲”．数据看长征，从1934年10月至1936年10月，历时735天，中央红军行程二万五千里，主力红军总行程超六万五千里．数据用科学记数法表示为_______． 【答案】 【详解】解：． 13．不透明袋子中装有个球，其中有 个红球、 个黄球、个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 个球，则它是红球的概率为________． 【答案】 【分析】根据概率计算公式，求出事件所有可能的结果数，取出红球的可能结果数，即可求解． 【详解】解：所有可能的结果数为，取出红球的可能结果数为 ，则取出红球的概率为． 14．2026年春晚机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则______ 度． 【答案】 【分析】过点作，结合平行线的性质得，，代入数值得，，再运算角的和差以及根据列式计算即可解答． 【详解】解：过点作，如图2所示： ，， ， ， ，， ，， ， ， ． 15．若关于x的多项式的结果中不含项，则m的值为_____． 【答案】 【分析】先计算，再根据“结果中不含项”列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含项， ∴， 解得：． 16．已知：如图，，直线交、于点，，与的平分线交于点，以下结论正确的是______①  ②若，则  ③若与的平分线交于点，则  ④若，，，则点到的最短距离为 【答案】 ①②④ 【分析】利用平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理对①进行判断；利用垂直的定义、余角的性质、角平分线的定义对②进行判断；利用平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理计算 的度数，进而判断③；利用勾股定理的逆定理判断 的形状，再利用面积法求斜边上的高，进而判断④ 【详解】解：① 平分，平分 ， 故①正确； ② 平分 平分 故②正确 ③平分，平分 ， 过点 作 ， ， 的度数不确定 不一定等于 故③错误； ④ ，，, 是直角三角形， 设点到的距离为 故④正确 综上所述，正确的结论是①②④ 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．先化简，再求值：．其中是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数． 【答案】 ， 【分析】先根据平方差公式、完全平方公式进行化简，再根据倒数及绝对值定义求出，然后代入化简后的代数式中求解即可. 【详解】解：原式 ， ∵是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数， ∴， ∴上式 . 19．如图， 是 的中线，交 的延长线于点E，于点F，G是 上一点，连接 ． (1)试说明． (2)若，，求 的长． 【答案】(1)证明：∵ 是 的中线， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）结合中线的定义得，再根据，，以及对顶角相等，证明，即可作答． （2）结合，，证明，结合线段的和差关系得，代入数值整理得即． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 20．某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开紫色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究． 【试验设计】由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 试验的植株总数 255 229 20 300 287 开紫花的植株数量 74 71 1 91 86 出现紫花的频率（保留两位小数） 0.29 0.31 a b 0.30 (1)表中_____，______； (2)【理论分析】我们知道，在大量重复的试验中，可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第______组的数据不适合用频率估计概率，理由是____________．经过对数据的分析，你认为一株该植物开出紫花的概率是___________．（结果保留两位小数） (3)【实际应用】某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开紫花的该植株有1080棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 【答案】(1), (2)三, 试验的植株数量太少, (3)估计该公园此植物植株的总数量为3600棵. 【分析】（1）根据频数除以数据总数得频率即可求解； （2）根据大量重复试验中，频率趋向于概率的特点进行解答即可； （3）根据用样本估计总体的思想即可求解． 【详解】（1）解：表中，； （2）解：第三组的数据不适合用频率估计概率，理由是试验的植株数量太少； 利用频率估计概率可知一株该植物开出紫花的概率是0.30； （3）解：（棵）， 答：估计该公园此植物植株的总数量为3600棵． 21．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)的面积为______． (2)画出关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1) (2)如图，即为所求： (3)如图，点P即为所求： 【分析】（1）根据割补法即可求的面积； （2）根据轴对称的性质即可画出关于直线l的轴对称图形； （3）结合，连接交直线l于点P，根据两点之间线段最短得值最小． 【详解】（1）解：的面积． （2）解：略； （3）解：略； 22．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 和等高三角形的性质可求得； （3）根据 ，和等高三角形的性质可求得，然后根据 ，和等高三角形的性质可求得． 【详解】（1）解：如图，过点A作， 则 ， ， ∴； （2）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴； （3）解：∵和 是等高三角形， ∴ ， ∴； ∵和是等高三角形， ∴ ， ∴． 23．根据以下素材，探索完成任务 探索“用代数思想解决图形问题” 素材1 我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题 素材2 琪琪用如图①所示的大小不同的正方形与长方形纸片拼成了一个如图②所示的正方形    问题解决 (1)数学思考：用不同的代数式表示图②中阴影部分的面积和，写出你能得到的等式，并用乘法公式说明这个等式成立； (2)解决问题：琪琪想到利用“数学思考”中得到的等式可以完成下面这道题目：如果满足，求的值．琪琪想：如果设，，那么要求的式子就可以写成了，请你按照琪琪的思路完成这道题目； (3)拓展应用：如图③，在长方形中，，，、是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，直接写出图中阴影部分的面积．    【答案】(1)由题意得，． 右边， 左边， ∴右边＝左边， ∴． (2)解：设，，则， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据题意得出，利用完全平方公式证明右边＝左边即可； （2）利用完全平方公式，结合（1）中结论即可得出答案； （3）根据四边形是长方形得出，，设，，得出，，利用完全平方公式得出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵长方形中，，， ∴， ∵， ∴，， ∵两个正方形的面积分别为和，且， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∴阴影部分的面积为． 24．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤情况．灯 射线自 顺时针旋转至 便立即原速返回至原位置，灯 射线自 顺时针旋转至 便立即原速返回至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯 转动的速度是 /秒，灯 转动的速度是 /秒，且 满足 ．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即 ，且 ． (1)求 的值． (2)如图 ，若两灯同时转动，在灯 射线第一次转到 之前，两灯射出的光线交于点 ，若 ，求 的度数． (3)若灯 射线先转动 秒，灯 射线才开始转动，在灯 射线第一次转到 之前， 灯转动几秒，两灯的光线互相平行？ 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】（1）根据绝对值、平方数都是非负数，两个非负数相加等于，则各自都等于，继而得到，求解即可. （2）过点 作，设两灯转动时间为 秒，则，根据平行线的性质得到关于的一元一次方程，解方程得到，即可得出答案． （3）设灯转动秒, 两灯的光束互相平行，分情况讨论，根据平行线的性质即可列出关于的方程，并解方程得到答案． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：如图，过点 作， ， ， 设两灯转动时间为 秒，则， ， ， ， ， 解得， ， ； （3）解：设灯转动秒, 两灯的光束互相平行， 由（1）可知，灯，转动的速度分别是/秒，/秒， ①如图，在灯的射线到达之前时，即当时， ， ， ， ， 又，， ， 由题意可列方程：， 解得：， ②如图，在灯的射线到达之后时，即当时， ， ， ， ， 又，， ， 由题意可列方程：， 解得， ③如图，在灯的射线到达之后时，即当时， ， ， ， ， 又，， ， ， 由题意可列方程：， 解得，，（不合题意，舍去）， 综上所述， 灯转动秒或秒时，两灯的光束互相平行． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习基础巩固试卷（范围：七下第1~6章） （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版七年级下册第1~6章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．“书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一．下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（     ） A． B． C． D． 2．古诗“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是（     ） A．必然事件 B．确定事件 C．随机事件 D．不可能事件 3．大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种．据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切、项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表： 气温（） … 11 13 15 17 19 … 蟋蟀鸣叫次数（次/分钟） … 56 70 84 98 112 … 根据表格规律，若该地当时的气温为，则这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为（     ） A．98次 B．112次 C．126次 D．140次 4．观察如图所示的图形，从图1到图2可用式子表示为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，若，平行于，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．黎侯虎是发祥于山西省黎城县的传统手工艺品，因黎城古称黎侯古国而得名，是国家级非物质文化遗产代表性项目．现在有一款“枕头虎”，每个“枕头虎”的成本是元，每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元，设一个“枕头虎”的利润为元，则与的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 8．如图，把等腰Rt和等腰Rt放在一起，三点在一条直线上，其中，点在上，连接交于点．若，则的面积为（   ） A．27.9 B．28.7 C． D． 9．观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，，F为上一点，，且平分．过点F作于点M．且，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若等式恒成立，则______ ． 12．“红军不怕远征难，万水千山只等闲”．数据看长征，从1934年10月至1936年10月，历时735天，中央红军行程二万五千里，主力红军总行程超六万五千里．数据用科学记数法表示为_______． 13．不透明袋子中装有个球，其中有 个红球、 个黄球、个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 个球，则它是红球的概率为________． 14．2026年春晚机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大．如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则______ 度． 15．若关于x的多项式的结果中不含项，则m的值为_____． 16．已知：如图，，直线交、于点，，与的平分线交于点，以下结论正确的是______①  ②若，则  ③若与的平分线交于点，则  ④若，，，则点到的最短距离为 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．计算： (1) (2) 18．先化简，再求值：．其中是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数． 19．如图， 是 的中线，交 的延长线于点E，于点F，G是 上一点，连接 ． (1)试说明． (2)若，，求 的长． 20．某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开紫色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究． 【试验设计】由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 试验的植株总数 255 229 20 300 287 开紫花的植株数量 74 71 1 91 86 出现紫花的频率（保留两位小数） 0.29 0.31 a b 0.30 (1)表中_____，______； (2)【理论分析】我们知道，在大量重复的试验中，可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第______组的数据不适合用频率估计概率，理由是____________．经过对数据的分析，你认为一株该植物开出紫花的概率是___________．（结果保留两位小数） (3)【实际应用】某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开紫花的该植株有1080棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 21．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上． (1)的面积为______． (2)画出关于直线l的轴对称图形； (3)在直线l上求作一点P，使值最小（保留作图痕迹，不写作法）． 22．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点．若 ， ，，则__________，_________； (3)如图③，在 中，D，E分别是和边上的点，若 ， ，，则__________． 23．根据以下素材，探索完成任务 探索“用代数思想解决图形问题” 素材1 我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题 素材2 琪琪用如图①所示的大小不同的正方形与长方形纸片拼成了一个如图②所示的正方形    问题解决 (1)数学思考：用不同的代数式表示图②中阴影部分的面积和，写出你能得到的等式，并用乘法公式说明这个等式成立； (2)解决问题：琪琪想到利用“数学思考”中得到的等式可以完成下面这道题目：如果满足，求的值．琪琪想：如果设，，那么要求的式子就可以写成了，请你按照琪琪的思路完成这道题目； (3)拓展应用：如图③，在长方形中，，，、是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，直接写出图中阴影部分的面积．    24．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤情况．灯 射线自 顺时针旋转至 便立即原速返回至原位置，灯 射线自 顺时针旋转至 便立即原速返回至原位置，两灯不停交叉照射巡视．若灯 转动的速度是 /秒，灯 转动的速度是 /秒，且 满足 ．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即 ，且 ． (1)求 的值． (2)如图 ，若两灯同时转动，在灯 射线第一次转到 之前，两灯射出的光线交于点 ，若 ，求 的度数． (3)若灯 射线先转动 秒，灯 射线才开始转动，在灯 射线第一次转到 之前， 灯转动几秒，两灯的光线互相平行？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $