上海市进才中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

上海市进才中学2025-2026学年第二学期期末考试 (时间120分钟，满分150分) 高二年级数学试卷 命题教师孙猛 审题教师姚红 一、填空题（本大题共12题，满分54分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果， 16题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.) 1.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={x>3},则A∩B= 2.不等式二>1的解集为。 3.已知幂函数f(x)=(m2-7m+7)xm-3在(0，+∞)上严格增，则实数m=一 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若4=1，a4=7,则So=_ 5.在(- 展开式中，常数项是 6.已知正实数a、b满足a+4b=1,则ab的最大值为 7.将一个底面半径为1，高为4的圆柱形铁块熔俦成一个实心铁球，则该实心铁球的表 面积为 8.已知m>0,对于所有满足2=2的复数z,都有z-的最小值与z-的最小值相同， 则m= 9.已知甲盒中有4个红球和3个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球.现从甲盒中随机抽取1 个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1个球，此球恰为红球的概率是 10.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD(与地面垂直)的顶端C对于 山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=40 米，山坡对于地平面的坡度为日，则日= (精确到0.1°) 459 D 159 1.已知，5分别是柄圆G等+长=1e>6>0的左、右焦点过的直线与C相交 于点小，D与y轴交于点B,AB=0,，B驱=4风A,则C的离心率为 1 12.在以0为原点的空间直角坐标系中，设7=(，0,0)，j=(01,0),A和B是两个点集，设 A=P1Oj=1,(@俪，}-}，对任意的2∈B,总存在Pe4,使得丽.02=2.若TeB, O7=xi+(x、yeR)且7-=2，则o7.i的取值范围是 二、选择题（本大题共4题，满分18分，考生必须在答题纸的相应编号上将代表答案的小 方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.) 13.已知抛物线x2=4y上的一点M(o,%)到其焦点F的距离为3，则%的值为( A.1 B.2 c.23 8 铝 14.一组不全相等的数据，去掉仁个最大值，则下列数字特征一定改变的是( A.极差 B.中位数 C.平均数 D.众数 15.已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足PM=(1-y-z)PA+yPB+zPC,则PM 的最小值为（ ) A.5 B.√6 C.2 D.3 16.设y=f(x)和y=g(x)是两个不同的函数，且定义域和值域均为R，设 M={(a,b)川f(a)>g(b),a,b∈R，则对于以下两个结论，说法正确的是（ 结论①：若当(a,b)eM,恒有(-a,b)eM,则函数y=f(x)一定是偶函数； 结论②：若当(a,b)eM,恒有(-a,-b)eM,则函数y=g(x)一定是偶函数. A.①和②都正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①和②都错误 三、解答题（本大题共5题，满分78分，解答要有详细的论证过程与运算步骠，请将解答 过程写在答题纸对应位置.) 17.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分.) 已知函数f()=sin0x-2sin+1其中实数0>0。 (1)若∫(x)的最小正周期为π，求f(x)在x=0处的切线方程： (2)若f(x)在区间(O,)上恰有两个零点，求ω的取值范围. 2 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分.) 如图所示，过圆柱的轴O0的平面与该圆柱相截所形成的截面是边长为2的正方形 AACC,B是该圆柱底面圆周上异于A、C两点的点. (1)设平面AAB∩平面CCB=l,求证：11/AA: (2)当三棱锥C-ABC的体积最大时，求二面角C-AB-C的大小. B 19.(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.) 某商场为了解顾客购买AI手机的意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数 据如下表. 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 (1)根据表中数据，判断是否有95%的把握认为购买A1手机与顾客的性别有关？并说明理由； (2)从这110位男性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买A1手机的概率（精确到 0.01)； (3)为促进A手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖 两种奖项，分别笑励30元、10元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为日和了，其余 6 情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖 金之和为X元，求随机变量X的数学期望， n(ad-be)2 参考公式及数据：①X-a+bc+d(a+o6+d' 其中n=a+b+c+d. ②P(x≥6.635≈0.01，P(x2≥5.024）≈0.025，P(x2≥3.841)≈0.05，P(x222.706)≈0.1. 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.) 已知双曲线C:x2-上 =1，不R分别是其左、右焦点，直线1与双曲线C的右支交于从、B 两点 (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)若M是双曲线上在第一象限的点，M而·M瓦=-1，求△MF的面 积； (3)已知直线1过点F,P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足 00=20P的点2在线段AB上，若B=20丽，求点P的坐标. 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.) 设连续函数y=f(x)定义域为1，区间D∈1，记函数y=f(x)在区间D上的最大值为 M,(D),最小值为m(D). (1)设f(x)=e-ax,D=(-l,1),若m,(D)=f(0),求实数a的值； (2)设f(x)=x-3x2,D=[,t+2],若M(D)-m,(D)=4,且-1≤ts1,求t的值： (3)已知f(O)=0,f0=1,且对任意闭区间D[0,川，M,(D)与m(D)均存在. 求证：“y=f(x)在区间[0，上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间D、D2s[0,川， 当M(D)=M(D),且m,(D)=my(D)时，均有D=D2.”