期末复习：解三角形的实际应用问题复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

期末复习：解三角形的实际应用问题复习讲义 期末复习：解三角形的实际应用问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 基础边角工具 1）正弦定理 适用：已知两角一边、两边及其中一边对角，求边或角。 2）余弦定理 变形求角： 适用：已知两边夹角、三边求角。 3）三角形面积公式 2. 实际应用题专用名词（必记） 1. 仰角、俯角：视线与水平线夹角；向上为仰角，向下为俯角。 1. 方位角：从正北方向顺时针转到目标视线的水平夹角。 1. 坡角、坡度：坡面与水平面夹角为坡角 ；坡度 。 1. 方向角：北偏东、南偏西等，以正北/正南为基准向东西偏。 3. 常见几何模型 1. 单直角三角形：测楼高、山高，直接直角三角形三角函数求解； 1. 双直角三角形（两点观测同一物体）：上下/前后两处测仰角，公共高建立等量关系； 1. 斜三角形模型：航海测距、堤坝、不规则地块，构建普通三角形，正余弦定理求解； 1. 坡度坡面模型：拆分为水平、竖直直角边。 二、通用解题原理（固定解题流程） 1. 建模：把实际文字场景转化为平面几何图形，标出已知长度、角度，设未知边为 ； 1. 拆分图形：有直角优先分割出直角三角形；无直角则锁定待求解的斜三角形； 1. 选定理 · 两角一边、对角型 → 正弦定理 · 两边夹角、三边求角 → 余弦定理 · 高度、坡度、仰俯角 → 直角三角形正切、正弦、余弦 1. 列方程求解 双观测点问题常用同一高度建立等式，构造含未知数的分式方程； 1. 检验取舍 边长、角度均为正数；正弦定理多解问题（两边一对角）要结合图形舍去不合理解； 1. 作答：还原实际问题，带单位写出最终实际意义结果。 三、分题型解题思路 1. 高度测量（山、塔、楼） 两点不同仰角，设底部到近观测点距离为 ，用塔高相等列等式： ，解出 再求高 。 1. 航海方位距离 根据方位角标出三角形内角，确定已知两边/两角，用正弦、余弦定理求航程、两点间距。 1. 坡度堤坝问题 由坡度算出坡角正切，求出竖直高、水平宽，再结合余弦定理求坡面长度、占地宽度。 1. 不规则地块面积 将多边形分割为多个三角形，分别用 求面积再求和。 四、高频易错点 1. 方位角、方向角画图出错，内角计算错误； 1. 坡度直接当作斜边比值，混淆 与 ； 1. 正弦定理两边一对角忽略一解、两解、无解讨论； 1. 单位不统一，计算后忘记换算、忘记写实际答语。 例题分析 例1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）为了测量河对岸一座塔的高度，测量员在河岸这边选取了两个观测点和，已知，两点的距离为米，且点，，在同一水平面上，在点处测得塔顶的仰角为，，，则塔的高度为（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】先在水平面三角形中利用正弦定理求出的长度，再在直角三角形中利用正切函数求出塔高. 【详解】由题意可知， 平面，所以为直角三角形，且， 在中，已知，， 所以， 由正弦定理 ， 得 （米）. 在中，， 所以 （米）. 例2．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【分析】先作出示意图，再利用正弦定理求出的长，在中，利用余弦定理求出的长，最后在中利用余弦定理求出即可. 【详解】根据题意作出如图所示的示意图，在中，，，，则， 由正弦定理得，所以. 在中，，由余弦定理得， 即， 整理得，解得或， 因为，所以 在中，，则， 因为，所以，则， 所以在处测得在它的南偏西方向上. 例3．（25-26高一下·福建厦门·期中·多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 【答案】BCD 【分析】作出示意图，利用正弦定理、余弦定理解三角形，结合方向角的概念逐项判断即可. 【详解】作出示意图如下图所示： 对于A选项，由题意可知，故处在灯塔的西偏北，A错； 对于B选项，在中，，，，故， 由正弦定理得，故， 即处与处之间的距离是海里，B对； 对于C选项，在中，，，， 由余弦定理可得， 故，即灯塔与处之间的距离是海里，C对； 对于D选项，因为，则，故灯塔在处的西偏南，D对. 例4．（2026·广东东莞·二模·多选）某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直.在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】四个选项可分两大类AD与BC，对A先解两个直角三角形、得，进而在中用余弦定理可得；对B选项，通过举反例判断可得， C选项与B同理判断可得，D选项与A选判断项相同. 【详解】因为（山高已知），平面，平面， 因此，所以、均为直角三角形，下面逐个分析选项： 选项A ：若测得，在直角三角形中可得： ，； 同理，，在中，长度已计算得到，夹角已测量， 由余弦定理可唯一计算出，因此A符合要求. 选项B： 举反例，若假设已测量， 所以直角三角形中有：， 设，则在直角三角形中，. 在中：①； 在中：②. 联立①②消去后，得,, 得，解得或. 当时，代入①得； 当时，代入①得，即. 因此测得，不能确定有唯一的长度，故B错误. 选项C： 与选项B同理：只需把角换成，所以不能确定有唯一的长度，故C错误； 选项D ：若已测量，可直接算出，，长度都确定， 又已测得夹角，在中由余弦定理可唯一计算出，因此D符合要求. 例5．（25-26高一下·上海青浦·月考）青浦高级中学高一数学组开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．某小组成员在旗杆附近找到某建筑物（建筑物高度低于旗杆高度），测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和．则该旗杆的高度为________． 【答案】 【分析】设旗杆的高度为，建筑物底部与旗杆底部的水平距离为，根据已知条件列方程，联立消去，即可求出旗杆的高度. 【详解】设旗杆的高度为，建筑物底部与旗杆底部的水平距离为， 如图，则，所以； ，所以， 所以，解得. 例6．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米．    【答案】 【分析】设，由仰角分别得到，根据求解. 【详解】因为平面，设雕像高度，根据仰角的直角三角形关系： 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故， 如图可知，， 即， 解得：，因为高度为正，故. 例7．（25-26高一下·辽宁大连·阶段检测）位于某小岛 的快艇要完成将一件物品送到一艘正在航行的货轮上的任务．在快艇出发时，货轮位于小岛 北偏东 且与该小岛相距10海里的 处，并正以20海里／时的速度沿正西方向匀速行驶．假设该快艇沿直线方向以 海里／时的航行速度匀速行驶，经过 小时与货轮相遇． (1)若希望相遇时快艇的航行距离最小，则快艇的航行速度应为多少？ (2)若经过1小时快艇与货轮相遇，则快艇的航行速度应为多少？ (3)假设快艇的最高航行速度只能达到海里／时，试问快艇能否在1个小时内（包括一个小时）完成送货任务？如果能够完成任务，请确定航行方向与航行速度的大小． 【答案】(1)海里/时 (2)海里/时 (3)能完成任务，航行方向为北偏西 ，航行速度为海里/时，相遇时间为1小时. 【分析】（1）利用正弦定理可求最小距离，进而确定速度； （2）由1小时可确定边，再利用余弦定理可得及速度； （3）设相遇时间为 ，，在中，由余弦定理得到，再结合，求解即可. 【详解】（1） 货轮沿正西方向行驶，快艇的最短航行距离为小岛到货轮行驶航线的垂线段长度， 由题意得 海里，，最短航行距离海里， 此时货轮行驶路程 海里，行驶时间小时， 故快艇航速海里/时； （2）经过1小时，货轮行驶路程 海里， 在 中， ，， 由余弦定理得： ， 故海里， 故快艇航速海里/时； （3）设相遇时间为 ，在中 ， 由余弦定理得： ， 整理得， 若 且，则 ， 代入得： ， 仅当 时等号成立，此时海里/时，符合最高航速限制， 设航行方向为北偏西 ，即， 则， 得， 即能完成任务，航行方向为北偏西，航行速度为海里/时，相遇时间为1小时. 变式训练 变式1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，为测量河对岸CD两点间的距离．在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，为楼底一点且平面BCD，若楼高，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面，平面，平面，，； 由在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，得，. ，在中，； 在中，. ， 在中，由余弦定理得； . 变式2．（24-25高一下·江苏无锡·期末·多选）已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度,先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得，.在点后移至点，测得仰角为，，则山高为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过设山高，将用和三角函数表示，再利用的余弦定理建立等式，进行推导即可. 【详解】设，因为，所以； 因为，所以， 在中，， 由余弦定理得：， 解得，故A错误，B正确； 因为，所以，又因为， 所以， 解得， 故C错误，D正确. 变式3．（25-26高一下·云南玉溪·阶段检测）如图，为了测量某塔的高度，检测员在地面处测得塔顶处的仰角为，从处向正东方向走210米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为__________米．    【答案】 【详解】设铁塔的高度为米. 由题意可得，，地面，则，. ，，，. ，，即，解得； ，，即铁塔的高度为米. 变式4．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图1，山顶P在水平地面的垂直投影点为B，A在B的正东方，在A处测得山顶P的仰角为．从A沿南偏西（方位角按标准定义：从正南向西偏转）的方向前行200米后到达C处，在C处测得山顶P的仰角为，已知山高PB大于100米，测量仪器的高度忽略不计．    (1)求山高； (2)如图2，山顶P到G处已修建一条索道，现计划从G处到山脚F处修建一条近似为直线段的下山步行栈道．G在山顶P下方的山体上，K在竖直线段PB上，H在水平地面的线段FB上，满足，，且F、H、B共线，P、K、B共线．在山脚F处测得山顶P的仰角为，，（），已知人在该步行栈道下山时，每行走一米所消耗的能量为焦耳，若人从G沿这条直线段下山栈道步行至F全程消耗的总能量不超过400焦耳，求角的最大值． 【答案】(1)米； (2) 【分析】（1）设米，由题意可得，，，在中，由余弦定理求解即可； （2）设，由已知条件可得，从而可得，进一步可得，由,可得，平方后得，利用换元法和三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）设米， 由题意可知, 在中，，在中，， 在中，由余弦定理可得：， 即，， 又因为，解得， 所以山高米； （2）由题意可知为等腰直角三角形，所以设， 又因为，四边形为矩形， 所以， 又因为,所以， 在中，，所以， 又因为，所以，解得， 所以，所以， 由题意可得，所以， 整理得：， 所以， 令， 因为，所以， 则有，即，解得， 即， 又因为，所以，所以， 所以的最大值为. 变式5．（25-26高一下·吉林·期中）现代传媒大厦是我市最高的标志性建筑．某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算传媒大厦的高度．如图（1）龙城大道沿线的水平路面上有两点、其中指向正西方向，首先利用百度地图测距功能测出长度为，接着在飞龙路沿线选定水平路面上可直接测距的、两点，测得，，，，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于米米之间，则认为百度地图测距是正确的． (1)通过计算说明百度地图测距是否正确？（） (2)如图（2），小组在处测得现代传媒大厦楼顶在西偏北方向上，且仰角，在处测得楼顶在正北方向上，通过计算．若百度地图测出的是准确的，请根据以上数据测算出传媒大厦的高度（精确到1米） 【答案】(1)百度地图测距是正确的 (2) 【分析】（1）设，利用正弦定理可得，然后在中，利用余弦定理求出，进而可求出，结合判断规则判断即可. （2）在中，得到，在中，，代入求解即可. 【详解】（1）设， 在中，，， 所以为等腰直角三角形，所以. 在中，，，，所以. 由正弦定理得，解得. 在中，由余弦定理得， 所以. 因为，所以， 因为，所以百度地图测距是正确的. （2）由题意知，，. 因为平面，，平面，所以，. 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以. 在中，， 在中，， 故传媒大厦的高度约为. 实战演练 1．（25-26高一下·上海·期中）如图，，，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，，，计划沿直线开通隧道，设，，的长度分别为，，. 为了测出隧道的长度，现给出下列四种方案： ①测出和；  ②测出和；  ③测出和； ④测出，，三者. 则能够测出隧道的长度的方案是（    ） A．①、④ B．②、④ C．③、④ D．④ 【答案】D 【分析】根据正余弦定理解三角形. 【详解】先要测出，则可利用正弦定理求出，再利用正弦定理求出，最后由余弦定理求出，则需测出，才能求出，即测出，，三者. 2．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末·多选）镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的测量建筑物的模型中，已知人眼距离地面高度，将镜子（平面镜）中心置于平地点处，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若仅的测量值偏大（其它测量值准确），则计算出的建筑物高度值会减小 D．记先后两次测量中，人看镜中建筑顶端的视线与水平线夹角依次为、则 【答案】ABD 【分析】利用三角形相似即可求解判断AB，由判断C，分别求出即可判断D. 【详解】作出图形如图所示， 由题意可知，， 易知， 设，则， 化简得， 所以A,B正确， 因为，不变，所以若仅的测量值偏大（其它测量值准确）， 则计算出的建筑物高度值会增大，故C错误； 因为，所以，又， 所以，故D正确. 故选：ABD 3．（25-26高一下·江苏淮安·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    【答案】 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 4．（25-26高一下·上海浦东·月考）如图，某学校兴趣小组欲测量湖泊对岸两座建筑物C、D之间的距离.他们在湖边选取了两个观测点A和B，并测得A、B两点间的距离为200米.已知A、B、C、D在同一水平面上. (1)若，，求观测点A到建筑物D的距离（即线段AD的长）. (2)假设你只携带了一个测角仪（可以测量以你为顶点的水平角），请设计一个方案，通过测量必要的角来计算建筑物C、D之间的距离（即线段CD的长度）. 要求：①写出你需要测量的角，测出的值用希腊字母等表示； ②利用你测量的角和已知边长AB，写出CD长的表达式（不需要化简）. 【答案】(1) 米 (2)测量，，，， （答案不唯一） 【详解】（1）在中，已知，，则， 由正弦定理可得， 故观测点A到建筑物D的距离为米. （2）若测量，，，， 在中，有， 由正弦定理可得. 在中，有， 由正弦定理可得. 在中，有， 由余弦定理可得， 代入上式整理可得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：解三角形的实际应用问题复习讲义 期末复习：解三角形的实际应用问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 基础边角工具 1）正弦定理 适用：已知两角一边、两边及其中一边对角，求边或角。 2）余弦定理 变形求角： 适用：已知两边夹角、三边求角。 3）三角形面积公式 2. 实际应用题专用名词（必记） 1. 仰角、俯角：视线与水平线夹角；向上为仰角，向下为俯角。 1. 方位角：从正北方向顺时针转到目标视线的水平夹角。 1. 坡角、坡度：坡面与水平面夹角为坡角 ；坡度 。 1. 方向角：北偏东、南偏西等，以正北/正南为基准向东西偏。 3. 常见几何模型 1. 单直角三角形：测楼高、山高，直接直角三角形三角函数求解； 1. 双直角三角形（两点观测同一物体）：上下/前后两处测仰角，公共高建立等量关系； 1. 斜三角形模型：航海测距、堤坝、不规则地块，构建普通三角形，正余弦定理求解； 1. 坡度坡面模型：拆分为水平、竖直直角边。 二、通用解题原理（固定解题流程） 1. 建模：把实际文字场景转化为平面几何图形，标出已知长度、角度，设未知边为 ； 1. 拆分图形：有直角优先分割出直角三角形；无直角则锁定待求解的斜三角形； 1. 选定理 · 两角一边、对角型 → 正弦定理 · 两边夹角、三边求角 → 余弦定理 · 高度、坡度、仰俯角 → 直角三角形正切、正弦、余弦 1. 列方程求解 双观测点问题常用同一高度建立等式，构造含未知数的分式方程； 1. 检验取舍 边长、角度均为正数；正弦定理多解问题（两边一对角）要结合图形舍去不合理解； 1. 作答：还原实际问题，带单位写出最终实际意义结果。 三、分题型解题思路 1. 高度测量（山、塔、楼） 两点不同仰角，设底部到近观测点距离为 ，用塔高相等列等式： ，解出 再求高 。 1. 航海方位距离 根据方位角标出三角形内角，确定已知两边/两角，用正弦、余弦定理求航程、两点间距。 1. 坡度堤坝问题 由坡度算出坡角正切，求出竖直高、水平宽，再结合余弦定理求坡面长度、占地宽度。 1. 不规则地块面积 将多边形分割为多个三角形，分别用 求面积再求和。 四、高频易错点 1. 方位角、方向角画图出错，内角计算错误； 1. 坡度直接当作斜边比值，混淆 与 ； 1. 正弦定理两边一对角忽略一解、两解、无解讨论； 1. 单位不统一，计算后忘记换算、忘记写实际答语。 例题分析 例1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）为了测量河对岸一座塔的高度，测量员在河岸这边选取了两个观测点和，已知，两点的距离为米，且点，，在同一水平面上，在点处测得塔顶的仰角为，，，则塔的高度为（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 例2．（25-26高一下·河南·阶段检测）已知，是两个暗礁群，将其视为质点，相距.为保障航行安全，欲在一条东西方向的航道（视为直线）上选取，点建两座灯塔，其中选取在距比距近的地方，且在灯塔处测得在它的南偏东方向，测得在它的南偏东方向.从灯塔沿航道向正东行驶可到灯塔，在灯塔处测得在它的南偏西方向，则在处测得在它的（    ） A．南偏西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 例3．（25-26高一下·福建厦门·期中·多选）某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 例4．（2026·广东东莞·二模·多选）某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直.在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（   ） A． B． C． D． 例5．（25-26高一下·上海青浦·月考）青浦高级中学高一数学组开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．某小组成员在旗杆附近找到某建筑物（建筑物高度低于旗杆高度），测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和．则该旗杆的高度为________． 例6．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米．    例7．（25-26高一下·辽宁大连·阶段检测）位于某小岛 的快艇要完成将一件物品送到一艘正在航行的货轮上的任务．在快艇出发时，货轮位于小岛 北偏东 且与该小岛相距10海里的 处，并正以20海里／时的速度沿正西方向匀速行驶．假设该快艇沿直线方向以 海里／时的航行速度匀速行驶，经过 小时与货轮相遇． (1)若希望相遇时快艇的航行距离最小，则快艇的航行速度应为多少？ (2)若经过1小时快艇与货轮相遇，则快艇的航行速度应为多少？ (3)假设快艇的最高航行速度只能达到海里／时，试问快艇能否在1个小时内（包括一个小时）完成送货任务？如果能够完成任务，请确定航行方向与航行速度的大小． 变式训练 变式1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，为测量河对岸CD两点间的距离．在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，为楼底一点且平面BCD，若楼高，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·江苏无锡·期末·多选）已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度,先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得，.在点后移至点，测得仰角为，，则山高为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·云南玉溪·阶段检测）如图，为了测量某塔的高度，检测员在地面处测得塔顶处的仰角为，从处向正东方向走210米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为__________米．    变式4．（25-26高一下·广东佛山·期中）如图1，山顶P在水平地面的垂直投影点为B，A在B的正东方，在A处测得山顶P的仰角为．从A沿南偏西（方位角按标准定义：从正南向西偏转）的方向前行200米后到达C处，在C处测得山顶P的仰角为，已知山高PB大于100米，测量仪器的高度忽略不计．    (1)求山高； (2)如图2，山顶P到G处已修建一条索道，现计划从G处到山脚F处修建一条近似为直线段的下山步行栈道．G在山顶P下方的山体上，K在竖直线段PB上，H在水平地面的线段FB上，满足，，且F、H、B共线，P、K、B共线．在山脚F处测得山顶P的仰角为，，（），已知人在该步行栈道下山时，每行走一米所消耗的能量为焦耳，若人从G沿这条直线段下山栈道步行至F全程消耗的总能量不超过400焦耳，求角的最大值． 变式5．（25-26高一下·吉林·期中）现代传媒大厦是我市最高的标志性建筑．某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算传媒大厦的高度．如图（1）龙城大道沿线的水平路面上有两点、其中指向正西方向，首先利用百度地图测距功能测出长度为，接着在飞龙路沿线选定水平路面上可直接测距的、两点，测得，，，，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于米米之间，则认为百度地图测距是正确的． (1)通过计算说明百度地图测距是否正确？（） (2)如图（2），小组在处测得现代传媒大厦楼顶在西偏北方向上，且仰角，在处测得楼顶在正北方向上，通过计算．若百度地图测出的是准确的，请根据以上数据测算出传媒大厦的高度（精确到1米） 实战演练 1．（25-26高一下·上海·期中）如图，，，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，，，计划沿直线开通隧道，设，，的长度分别为，，. 为了测出隧道的长度，现给出下列四种方案： ①测出和；  ②测出和；  ③测出和； ④测出，，三者. 则能够测出隧道的长度的方案是（    ） A．①、④ B．②、④ C．③、④ D．④ 2．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末·多选）镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的测量建筑物的模型中，已知人眼距离地面高度，将镜子（平面镜）中心置于平地点处，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若仅的测量值偏大（其它测量值准确），则计算出的建筑物高度值会减小 D．记先后两次测量中，人看镜中建筑顶端的视线与水平线夹角依次为、则 3．（25-26高一下·江苏淮安·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    4．（25-26高一下·上海浦东·月考）如图，某学校兴趣小组欲测量湖泊对岸两座建筑物C、D之间的距离.他们在湖边选取了两个观测点A和B，并测得A、B两点间的距离为200米.已知A、B、C、D在同一水平面上. (1)若，，求观测点A到建筑物D的距离（即线段AD的长）. (2)假设你只携带了一个测角仪（可以测量以你为顶点的水平角），请设计一个方案，通过测量必要的角来计算建筑物C、D之间的距离（即线段CD的长度）. 要求：①写出你需要测量的角，测出的值用希腊字母等表示； ②利用你测量的角和已知边长AB，写出CD长的表达式（不需要化简）. 2 学科网（北京）股份有限公司 $