期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题复习讲义 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题复习讲义 考点目录 解三角形中的中线问题 解三角形中的角平分线问题 考点一 解三角形中的中线问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 中线长公式（阿波罗尼斯定理，高频必考） 在 中， 为 边上中线，，记 ，中线 ： 变形求中线： 2. 向量法中线结论 ，两边平方可推导出阿波罗尼斯公式。 3. 面积性质 中线将三角形分成面积相等的两部分：。 4. 常规工具搭配 已知边角条件时，可对左右两个小三角形分别使用 余弦定理： （两角互补，余弦互为相反数）。 二、解题原理 1. 题目出现中线，优先两种思路： · 边长全部已知/求边长：直接套用阿波罗尼斯中线公式； · 已知角度、一角两边：设中线为 ，在两个小三角形分别列余弦定理，利用互补角余弦关系联立方程； 1. 涉及面积：直接利用中线等分面积转化条件； 1. 向量题型：用中线向量表达式平方，结合向量数量积转化边角； 1. 求范围、最值：中线公式结合基本不等式、正弦/余弦定理综合求解。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·山东聊城·阶段检测）的内角的对边分别为，已知为钝角，，且． (1)证明：． (2)求． (3)若的中线，求． 【答案】(1)证明：由三角形内角和定理得，故. 由余弦和角公式展开得，代入得，解得. 则. 因为钝角，故，，即，因此，得证. (2)； (3) 【分析】（1）利用三角形内角和与余弦和差角公式，结合已知余弦乘积推导，结合角的范围完成证明； （2）联立内角和等式与的关系式，解方程组求得角； （3）通过向量中线公式建立边的方程，结合正弦定理得到两边比例，代入化简求解. 【详解】（1）略 （2）联立，两式相加得，解得. （3）由为边上的中线，得， 两边取模长得. 代入，，，， 得，即. 由正弦定理得，故. 由得，因此. 由得，，， 故，即. 将代入得， 整理得，解得. 例2．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）在中，已知边上的两条中线相交于点 (1)求长 (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理求解，进而结合三角形重心性质和余弦定理求解； （2）由余弦定理求解，进而结合余弦定理和三角形重心性质建立关于的关系式求解即可. 【详解】（1）已知，由余弦定理得： ， 故. 是中线，交点是的重心，重心分中线比为，，延长到点，使，连接： 因为是中点，，，， 所以，得，且. 在中由余弦定理： 故，又，所以. 由重心性质，得：. （2）如图所示，是中点，所以，在中， 已知，由余弦定理得： 故. 由重心性质得：， 又分别是中点，由中位线性质得. 在中，由余弦定理：， 代入数值计算：， ， 所以. 例3．（25-26高一下·福建福州·阶段检测）在中，，是边上的中线，记，． (1)求； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在和中运用正弦定理结合已知条件即可求解； （2）利用第（1）问的结论和结合三角恒等变换公式得到关于的方程，求出和，最后利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）设， ，， ，． ，， ； （2）由（1）得，， ， ， ，解得或（舍）， 故．，． 又， 所以． 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·北京·开学考试）在中，的面积为. (1)求角； (2)若，且边上中线长为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件与三角形面积公式得，代入余弦定理求角即可； （2）利用向量方法将中线长转化为向量模长，再用表示中线对应向量，由模方可得等式①，再利用余弦定理得三边等式②，联立求解方程组即得. 【详解】（1）因为的面积为， 所以. 因为，所以， 所以， 在中，由余弦定理即， 所以. （2）由题意知，，， 所以， 则有， 即，则① 由（1）在中，，且， 化简得②， 联立①②得，解得， 所以的周长为. 变式2．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，． (1)证明：． (2)求． (3)若的中线，求的面积． 【答案】(1)，， . ，均为的内角，且为钝角，则为锐角，得； . (2) (3) 【分析】（1）由和，得到；根据为钝角，则为锐角，确定的范围，进而得到； （2）根据，得到，代入，整理得；根据为钝角，，确定的大小； （3）根据中线长定理，得到，再结合余弦定理求出各边长度，最后利用三角形面积公式计算面积. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，则， ， ， 为钝角， ，即； 或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 综上所述，. （3）由（2）得，， ， ， ， ， 为的中线， ，得， 由正弦定理得， 得， ， ， ，解得，. ， ，， ， 的面积为. 变式3．（25-26高一下·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）利用正弦定理及三角恒等变换求出的取值范围进而得出结果； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，，故． （2）由正弦定理得 ， ， 又因为是锐角三角形，故，解得， ， 周长的取值范围为 ． （3）由余弦定理得，，即． ，两边平方得． 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则． 考点二 解三角形中的角平分线问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 角平分线定理（边长比例） 平分 交 于 ，则： 2. 角平分线长度公式 为 平分线，三边 ，半周长 ： 3. 面积拆分性质 ，相加可推角平分线长公式。 4. 角度关系 角平分线分出两个相等角：。 二、解题原理 1. 已知两边求底边被分线段长：先用 角平分线定理 得到两段边长比例，结合 解出 、； 1. 求角平分线长度： · 已知夹角 ：用 ； · 仅知三边：用带半周长的角平分线长公式； 1. 无现成公式时，对 、 分别使用正弦/余弦定理联立； 1. 面积条件题型：拆分两个小三角形面积相加，建立等式求解角平分线或角度； 1. 综合大题：先利用比例分割边长，再在小三角形中结合正、余弦定理求边、求角。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·浙江衢州·期末）在中，角的对边分别为，． (1)求角的大小； (2)若，，点在边上，且平分，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换及正弦定理求解即可； （2）利用求解即可. 【详解】（1）将展开， 得, 即, 因为，则， 又因为， 所以； （2）设， 因为，平分， 所以， 又因为， 解得， 故. 例2．（25-26高一下·辽宁朝阳·期中）设的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若角的平分线交于点的面积为面积的两倍，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知及正弦定理边角互化，再结合辅助角公式即可求解； （2）由三角形面积公式及余弦定理，结合已知即可求解． 【详解】（1）因为，且， 所以， 由正弦定理得， 因为， 所以，即， 因为，所以， 所以． （2）因为角C的平分线交AB于点D，所以， 所以，所以， 由（1）可知，，结合余弦定理可得， 从而， ，则， 又， 解得． 例3．（25-26高一下·山东聊城·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式可得； （2）利用正弦定理化简得出，根据锐角三角形求出，求三角函数的值域即可； （3）利用余弦定理和基本不等式得出，再利用等面积得出，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）， 则由和正弦定理可得，， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以. （2）由正弦定理，， 所以 . 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以， 所以的取值范围为. （3）由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立. 又， 化简可得，. 所以，当且仅当时等号成立. 故长度的最大值为. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·四川眉山·阶段检测）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求的周长的范围； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角变换公式化简题设条件可得，从而可求； （2）利用正弦定理可得，再利用三角变换公式化简后可求的取值范围，从而可得周长的取值范围； （3）由角平分线的性质可得，两次利用余弦定理可求的值. 【详解】（1）由和正弦定理， 可得， 因， 代入可得， 因，则，故， 又因，故； （2）由正弦定理有， 所以，而， 所以 因为，故，故， 故，即周长的取值范围为. （3） 如图，因平分，且， 由角平分线的性质可得，即， 在中，由余弦定理，， 即得，则， 故. 变式2．（25-26高一下·宁夏银川·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求角的值及周长的最大值； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长. 【答案】(1)，周长的最大值为6； (2) 【分析】（1）正弦定理化边，结合余弦定理求角C，最后用正弦函数的性质或基本不等式求最值 （2）利用角平分线定理定边的比例，再用余弦定理求三边，最后用向量模长公式计算CD长度 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，整理可得， 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以. （方法一）因为，由正弦定理得， 可得，，因为， 所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为4，所以周长的最大值为6； （方法二）余弦定理和基本不等式法， 由余弦定理得  得，即， ；得，即当且仅当时成立， 所以周长的最大值为6. （2）因为，由角平分线性质定理得，即， 在三角形ABC中，，由余弦定理得，； 因为，所以，得， 所以. 变式3．（25-26高一下·河南焦作·期中）在中，内角所对的边分别为,，，且． (1)求角； (2)若，是钝角三角形． （ⅰ）求的范围； （ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）直接由向量的共线并结合正弦定理可得； （2）（ⅰ）根据正弦定理进行边化角，进而得，再由三角形为钝角三角形得，再由正弦函数的性质可得范围；（ⅱ）先由等面积法可得，再由条件和（i）结果可得，再令，再根据函数的单调性可得所求值的范围. 【详解】（1）由，，且， 所以，， 化简整理得，再由正弦定理得， 因为，所以，且，所以. （2）（i）由，结合正弦定理，得. 因此 ​，且. 因为 为钝角三角形， ​，故钝角只能是或， 所以或，所以. 由正弦定理得 ， 因为，所以，， 所以 （ii）因为为的角平分线，且，如图： 由面积关系，， 所以 ，化简得. 又因为 ， 由（i）知， 所以， 令，由（i）知，所以 所以，因为函数在是单调递增函数， 所以时，，当时，. 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题复习讲义 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题复习讲义 考点目录 解三角形中的中线问题 解三角形中的角平分线问题 【知识点解析】 考点一 解三角形中的中线问题 一、核心知识点 1.中线长公式（阿波罗尼斯定理，高频必考） △ABC中，AD为BC边上中线，BD=DC号Q,记BC=Q,AC=b,AB=c,中线AD 2b2+2c2-a2=4m2 变形求中线： m号26+2c.G 2.向量法中线结论 AD=)(AB+AC),两边平方可推导出阿波罗尼斯公式。 3.面积性质 线将三角形分成面积相等的两部分：S△BD=S△AcD)SAL 4.常规工具搭配 己知边角条件时，可对左右两个小三角形分别使用余弦定理： 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题复习讲义 cOs∠ADB=-cos∠ADC(两角互补，余弦互为相反数)。 二、解题原理 1.题目出现中线，优先两种思路： ·边长全部已知/求边长：直接套用阿波罗尼斯中线公式： ·己知角度、一角两边：设中线为X,在两个小三角形分别列余弦定理，利用互补角余弦关系联立方 程； 2.涉及面积：直接利用中线等分面积转化条件： 3.向量题型：用中线向量表达式平方，结合向量数量积转化边角： 4.求范围、最值：中线公式结合基本不等式、正弦/余弦定理综合求解。 【例题分析】 例1.(2526高一下山东聊城阶段检测)△ABC的内角么8，C的对边分别为a.Ac,已知4为统角，C=至，且 cosAcosB=-1 4· (1)证明：A-B=元 2 (2)求A. (3)若△ABC的中线 CD=V5 B=2,AC=5,∠BAC=60°，BC,AC 例2.(25-26高一下山东济南·阶段检测)在△ABC中，已知 边上的两条中线 AM,BN P, 相交于点 (1)求AP长 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题复习讲义 (2)求∠MPV的余弦值. 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题复习讲义 例3.(25-26高一下·福建福州阶段检测)在△ABC中，AB=2AC,AD是BC边上的中线，记∠CAD=a, ∠BAD=B (I)求sina:sinp, (2)若AB=2AC=1,tana=sin∠BAC,求BC. 【变式训练】 变式L,(2526高三下北京开学考试)在△ABC中，△ABC的面积为mC2-?-) (1)求角C: 2)若c=2V ,且AB边上中线CD长为1，求△ABC的周长 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题复习讲义 变式2.(25-26高一下河北邢台·阶段检测)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,A为钝角， 且sin4sinB=1 1 cosAcosB=- 4’ 4 (1)证明：A-B=交 2· (2)求A. (⊙)若△ABC的中线CD-V5,求△ABC的面积 变式3.2526高一下四川成都期中)在锐角△ABC中，设角A,B,C所对的边分别为0，b,C已知0=5 且 sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C (1)求角A; (2)求△ABC周长的取值范围： (3)求边BC上的中线AD的取值范围. 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题复习讲义 考点二 解三角形中的角平分线问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1.角平分线定理（边长比例） AD平分∠BAC交BC于D,则： BD_AB_c DC AC b 2.角平分线长度公式 AD=t。为∠A平分线，三边a,b,c,半周长p=a+b+c 2 A 2bccos2 t。2b+c 2 _bcp(p-a】 ,ta-b+c 3.面积拆分性质 S△ABD+S△ACD=SAABC S。知弓c(n分，5.0b:七sn分相如可崔角平分线长公式。 2 4.角度关系 角平分线分出两个相等角：∠BAD=∠CAD=号∠BAC. 二、解题原理 1.己知两边求底边被分线段长：先用角平分线定理得到两段边长比例，结合BD+DC=a解出BD、 DC: 6 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题复习讲义 2.求角平分线长度： 。已知夹角A:用t。6+cc9 2bc cosA ·仅知三边：用带半周长的角平分线长公式： 3.无现成公式时，对△ABD、△ACD分别使用正弦/余弦定理联立： 4.面积条件题型：拆分两个小三角形面积相加，建立等式求解角平分线或角度： 5.综合大题：先利用比例分割边长，再在小三角形中结合正、余弦定理求边、求角。 【例题分析】 例1.（2-26高二下浙江衡州期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,(（2a-c)cosB=bc0sC (1)求角B的大小： (2)若a=2,c=3,点D在边AC上，且BD平分∠ABC,求BD的长. 例2.(25-26高一下辽宁朝阳期中)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 c=6,a+acosC=6v3sinA (1)求角C: (2)若角C的平分线交AB于点D,△BCD的面积为△ACD面积的两倍，求CD的长. 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题复习讲义 例3.(25-26高一下山东聊城期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是 a,b,c,b= ,且 √3c tanA+tanB bcosA (1)求角B的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，求2a-C的取值范围； (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值， 【变式训练】 变式1.(25-26高一下四川眉山阶段检测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 cosB(ccosB+bcosC)0. (1)求角B的大小： (2)若b=3,求△ABC的周长的范围； (3)设D是边AC上一点，BD为角平分线且AD=2DC,求cosA的值， 期末复习：解三角形中的中线问题、角平分线问题复习讲义 变式2.(25-26高一下宁夏银川期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=2, (b+c)(sinC-sinB)=a(sinA-sinB) (1)求角C的值及△ABC周长的最大值： (2)若角C的角平分线交AB于D,满足AD=2DB,求CD的长， 变式3.(25-26高-下河南焦作期中)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(2b,c), sin B n= cos4.cosC tan C /,且m/1n. (I)求角A: (2)若bc=4 sin BsinC,△ABC是钝角三角形. (i)求b+C的范围： (ii)若点D在BC上，且AD为∠BAC的角平分线，求AD的取值范围.