期末复习专题05 解三角形的综合应用讲义【6大题型+强化训练】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题05 解三角形的综合应用 知识点1：中线定理 在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2). 知识点2：角平分线定理 在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，D在BC上， 则=.进而得到 (1)AD2=AB·AC-BD·CD. 知识点3：张角定理 在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，若∠BAD=α，∠CAD=β，则+=. 考点一 解三角形中线与角平分线的问题 考点二 三角形中的边长或周长的最值或范围 考点三 三角形面积的最值或范围 考点四 几何图形中的计算 考点五 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 考点六 证明三角形中的恒等式或不等式 考点一 解三角形中线与角平分线的问题 1．（25-26高一下·贵州毕节·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，或， 【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再整理即可证明； （2）由（1）可得，进而得到即可求解； （3）根据余弦定理可得，再利用双余弦得到，再解方程组即可． 【详解】（1）证明：由正弦定理得：， 即； （2）解：因为， 即. 则， 因为， 所以； （3）解：因为，由余弦定理知：， 即， ，， 即， ，， 故， 解得：，或，. 2．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若的面积为，内角A的平分线交边于点E，，求的长； (3)若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理，将角C用A、B表示，然后通过三角恒等变换化简等式，进而求出角A （2）利用三角形面积公式求出边c的长度，将的面积拆分为和的面积之和，结合三角形面积公式建立关于AE的方程求解 （3）先求出，再用b和c分别表示和，最后将转化为，计算求解即可 【详解】（1）由及正弦定理，得. 又因为， 所以. 因为，所以，则， 即. 由，得，解得. 又因为，所以. （2）由，，得. 又因为，所以. 因为角A的平分线交边于点E，所以. 因为， 所以， 所以. （3）在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又因为， 两边平方得， 则，即， 解得， 令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心， 得，， ， ， 所以. 3．（2026·福建漳州·三模）在中，角所对的边分别为，已知． (1)判断的形状； (2)若边上的两条中线相交于点，求． 【答案】(1)等腰三角形或直角三角形 (2) 【分析】（1）解法一：利用正弦定理化边为角，再根据二倍角的正弦公式结合正弦函数的性质即可得解； 解法二：利用余弦定理化角为边，化简即可得解； （2）解法一：以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标公式求解即可. 解法二：由题意可得为的重心，求出，再利用余弦定理解三角形即可. 解法三：分别求出的正余弦值，再根据结合两角和的余弦公式求解即可. 【详解】（1）解法一：由，得， 由正弦定理得， 即，即， 因为，所以， 所以根据的图象可得，或，或， 所以，或，或， 又，所以，或， 所以是等腰三角形或直角三角形； 解法二：由，得， 由余弦定理得， 即， 化简得， 从而，或， 所以是等腰三角形或直角三角形； （2）解法一：①若，则，则，不满足三角形三边关系，舍去； ②若，则， 以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系， 则， 所以， 所以 . 解法二：①若，则，则，不满足三角形三边关系，舍去； ②若，则， ， ， 因为边上的两条中线相交于点，所以为的重心， 所以， 所以． 解法三：①若，则，不满足三角形三边关系，舍去； ②若，则，所以， ，所以． 又，所以， 在中，， 所以 ． 4．（24-25高一下·湖南长沙·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出即可得解. （2）（i）根据角平分线性质和三角形面积的分割关系列出等式，求解BD的长度. （ii）易知为向量的夹角，利用中线向量运算得，结合角平分线定理利用向量线性运算得，然后利用平面向量的夹角公式求解余弦值即可. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即， 由余弦定理得，而，所以. （2）（i）已知的角平分线交于点D，则， 又在中，，即， 即，解得. （ii）因为为的中线， 所以， 又，则， 因为，为的角平分线， 在中，因为，得到①， 在中，因为，得到②， 又，由①②得到， 所以， 因为 ， 所以， 即的余弦值为. 5．（2026·湖北黄石·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，的角平分线交于，求. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用二倍角公式化简，由三角恒等变换结合三角形内角和即可求解. （2）通过余弦定理以及三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1），， 即， 所以，又因为，， 所以或，所以（舍）或， 因为，所以. （2）由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得： 6．（25-26高一下·云南昆明·月考）在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； (3)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用二倍角公式进行化简，然后结合余弦定理求解. （2）利用已知条件和余弦定理求得，然后根据列出关于的方程求解. （3）根据，然后两边平方，用来表示，然后根据的范围求解的范围. 【详解】（1），， ，. . 又，. （2）周长为19，，①. 中，由余弦定理，即②. 联立①②可得. 设，为的角平分线， 则，即，解得. （3）是边上靠近的一个三等分点，. 两边平方可得. 又，. 由正弦定理可得， . ，. ， 考点二 三角形中的边长或周长的最值或范围 7．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由正弦定理边化角计算可得； （2）先由余弦定理及基本不等式可得，再由三角形中边的关系可得，从而可得结果. 【详解】（1）在中，，由正弦定理得， 即，因为，且， 所以，因此. （2）由（1）知，且，由余弦定理得， 由基本不等式当且仅当时等号成立， 所以，解得（当且仅当时等号成立） 又由三角形中两边之和大于第三边，所以， 两边平方，再将代入得，即 综上所述，. 故的取值范围为. 8．（25-26高一下·四川遂宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，. (1)若是等腰三角形，，求的值； (2)若，，求的值； (3)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件得到，在中利用三角函数的定义即可求得； （2）先通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，求出，设，再在中用正弦定理求出，最后用二倍角公式计算； （3）利用三角形面积关系得到与、的关系，再结合余弦定理和基本不等式可求的最小值. 【详解】（1）因是等腰三角形，，为的平分线， 则，在中，； （2）由正弦定理，将转化为， 整理得. 因为，所以，即. 由于，所以，所以，则. 设，在中，由正弦定理得， 代入、，得. 因为是角平分线，则， 故. （3）因为是角平分线，同（2），设，则. 由面积关系，得， 化简可得，即. 在中，由余弦定理知，代入和， 得：， 将代入上式得：， 整理得：， 由基本不等式，得， 代入得：， （或）， 当且仅当时取等号，故的最小值为. 9．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且. (1)求A； (2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】(1)用正弦定理化边为角，结合三角形内角和与三角恒等变换，求出角A； (2)用向量中线公式表示，结合余弦定理与基本不等式，求出AD最大值. 【详解】【小题1】因为， 由正弦定理得：， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，所以. 【小题2】因为，，所以， 因为D是BC的中点，所以，所以 因为，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以AD的最大值为3. 10．（25-26高一下·天津武清·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，， (1)求角C； (2)若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值； (3)求锐角的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角化简整理即可； （2）根据角平分线建立等角关系，再结合正弦定理和三角形面积公式建立关于的方程并求解； （3）根据余弦定理建立关于周长和函数关系，结合函数单调性求解范围. 【详解】（1）已知，由正弦定理边化角得： ， 因为，故， 代入上式化简得：， 在中，，则， 又，因此. （2）由是的平分线，可得， 由面积关系，代入可得：， 代入， 化简得：，解得. （3）由余弦定理得：， 因为是锐角三角形，由余弦定理得： ， ， 故，则周长， 易知在上单调递增，得， 因此周长的取值范围为：. 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且的面积为2. (1)求角； (2)若为锐角三角形，且外接圆半径为2，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用余弦定理结合三角形面积公式可得，进而可求角； （2）由为锐角三角形，先求得，再利用正弦定理可得，然后化简式子，根据对勾函数的性质求范围即可． 【详解】（1）解：由余弦定理，得①， 由面积公式，得②. ②÷①，得，即. 由，得. （2）由题意，得外接圆的直径为4， 则由正弦定理，得， 所以. 因为是锐角三角形， 所以解得， 所以，则， 所以， 由对勾函数的性质，得在上单调递减， 所以的取值范围为. 12．（24-25高一下·山东泰安·期中）记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. (1)求； (2)若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)，； (3) 【分析】（1）根据向量平行得到方程，结合正弦定理和特殊角的三角函数值得到答案； （2）由平面向量基本定理可用表示向量，两边平方，由基本不等式可得，从而由三角形面积公式可得最大值； （3）由锐角三角形得到角的范围，由正弦定理，将边化角，求出取值范围 【详解】（1），即， 由正弦定理得， 因为，所以，故，即， 因为，所以； （2）， ，则， 即，解得， 由基本不等式可得， 即，解得，当且仅当时，等号成立， ， （3）由正弦定理得， 所以， 故 为锐角三角形，故， 解得，故 考点三 三角形面积的最值或范围 13．（25-26高一下·四川巴中·期中）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换证明. （2）根据锐角三角形限制确定角的取值范围，通过正弦定理将转化为关于的三角函数，推导三倍角公式化简后，用单调性定义判断函数单调性，进而求得的取值范围. （3）将三角形面积转化为关于角的三角函数，用单调性定义判断单调性，进而求得面积的取值范围. 【详解】（1）∵ ，由正弦定理（为外接圆半径）， 得，， 代入得，即. ∵ 在中，，∴ ， ∴ 代入上式得， 整理得，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，，∴ ， ∴ 若， 则或 （后者得 ，不符合三角形内角要求，舍去）， ∴ ，得证. （2）为锐角三角形， ∴ ，解得. 由正弦定理，，得. ∵ ，∴ ，，， . ∴ ，，且， ∴ . ∵ ，代入得. 令，∵ ，∴ ，则. 任取， 则. ∵ ，∴ ，又，∴ ， ∴ ，即，∴ 在上单调递增. ∴ 当时，； 当时，， ∴ . （3）三角形面积，由正弦定理，，， ∴ ，又，， ∴ . 代入， ， ∴ . 令，由得，则， ∴ ，， 则. 令，，则， 该二次函数开口向上，对称轴为，故在上单调递增， 当； 当 ∴ ，又，故， 即三角形ABC面积的取值范围为. 14．（25-26高一下·河南南阳·期中）在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点． (1)若△ABC为正三角形，求； (2)已知 ①求证：； ②若，，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）在等边三角形中，利用正弦定理在两个小三角形中建立边与角的关系，由边相等推出角相等，解方程得到布洛卡角； （2）①通过正弦定理分别表示出两段线段，利用已知比例关系，结合正弦定理和边长关系，推导出边长平方的等式； ②将已知比例代入，利用余弦定理将余弦值表示为两边乘积的函数，进而得到面积平方关于该乘积的二次函数，结合三角形存在条件确定取值范围，由二次函数最值得出面积最大值. 【详解】（1）为等边三角形． 因为，所以， 所以， 在中， 由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 因为为等边三角形，，所以， 又，所以，故． （2）①证明：因为,所以，所以, ，即； 因为,所以，所以 在中，，即． 所以，由正弦定理得：． 因为，所以，即． ②由可得．在中，由余弦定理得，. 因为，所以，所以． 由三角形的面积公式可得：， 所以． 令，则，是关于x的方程的两个根， 所以且，解得． 因为且，所以，解得 又因为，所以． ， 对称轴，所以当时，， 所以．故最大值为. 15．（25-26高一下·江苏泰州·期中）的内角的对边分别为，且. (1)已知. ①若是的角平分线，，求的长； ②若，求面积的最大值. (2)若是边的三等分点（靠近点），，求实数的取值范围. 【答案】(1)① ；② ； (2) 【分析】首先利用正弦定理将题干中的边角关系转化为边的关系式，结合余弦定理求出. （1）①结合角平分线定理、正弦定理以及已知条件求解的长度. ②根据向量关系转化为线段比例，利用向量模长公式结合基本不等式求面积的最大值. （2）根据三等分点的向量关系，结合向量模长公式，通过换元法求解实数的取值范 【详解】（1）， 由正弦定理，可得， 代入得，展开得，整理得. 由余弦定理， ， ① 已知是的角平分线，由角平分线定理得. ，且，，则， 故为等边三角形. 已知，为等边的角平分线、中线和高，故， 代入得，即. 为中点，. ② 当时，，在线段上，且，即. ，， 对等式两边同时平方，得：， 展开得：. 设，，已知，， ，由数量积定义得， 代入得：， 整理得：. 由基本不等式得：，当且仅当时等号成立， ，即， 当时，代入验证得，，等号成立. 的面积， 面积的最大值为. （2）设，，∵ 是边靠近点的三等分点，∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ，，且， ∴ ，即. 由余弦定理，∵ ， ∴ ，故. ∵ ，∴ . 令，即，代入得. 设，则. 令，则，代入得. ∵ ，由基本不等式，当且仅当即时取等号， ∴ . 当时，；当时，， ∴ ，故. ∵ ， ∴ ，即. 【点睛】方法归纳：本题综合考查解三角形、向量运算与基本不等式的结合，解题需熟练运用正弦定理、余弦定理进行边角互化，利用向量模长公式转化条件，结合基本不等式求最值，通过换元法求解取值范围. 易错归纳：1. 利用正弦定理求角时易忽略三角形内角范围导致增根； 2. 向量模长计算时易忽略数量积的符号； 3. 求取值范围时易忽略变量的正号限制条件 16．（25-26高一下·广东湛江·期中）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．求： (1)角C及边c的值； (2)的最大值； (3)三角形面积的最大值． 【答案】(1)， (2)4 (3) 【分析】(1)使用余弦定理和正弦定理求解； (2)利用基本不等式求出即可； (3)利用基本不等式求出，再利用面积公式求解即可. 【详解】（1）由， 根据余弦定理，得， 因为，则 由 ，得， 根据正弦定理，得， 则. （2）由（1）知， ， 则， 即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. （3）由（1）知，， 则， 即，得 当且仅当时等号成立， 则. 17．（25-26高一下·江苏苏州·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，. (1)求的大小； (2)设的角平分线交于点. ①求面积的取值范围 ②求线段长的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）借助数量积公式可得，再利用正弦定理将边化为角后结合两角和的正弦公式计算即可得解； （2）①借助正弦定理可边化为角，再利用面积公式结合三角形内角和关系，可用表示出面积，利用的范围即可得解；②借助等面积法计算可用表示出，再借助①中所得即可得解. 【详解】（1），则， 由正弦定理将边化为角可得， 又， 故， 即，又，则， 故，又，则； （2）①由正弦定理，可得， 则 ， 由，则，故， 则，故； ②由，则， 即，则， 即，由（2）①知， 故，则，故， 故. 18．（25-26高一下·广西崇左·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，满足，. (1)求； (2)若为线段上一点，且满足，，求的长； (3)若为锐角三角形，求面积的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正余弦边角关系求角的大小； （2）首先得到为等边三角形，设并应用余弦定理列方程求参数值，即可得； （3）由（1）及正弦定理，应用三角恒等变换得，再应用三角形面积公式得到，结合求范围. 【详解】（1）由题可得， 所以； （2）为线段上一点，且满足，， 为等边三角形，而， ，且，设， 在中， 即， 整理得，解得或（舍），即 （3）在中，由正弦定理得： ， 于是得， 因为是锐角三角形，则，且， 于是有，则，即，则， 从而得，所以面积的取值范围是. 考点四 几何图形中的计算 19．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从A地出发飞往B地，飞行了后到达E地，由于天气原因该飞机按命令改飞C地，已知，，，且，．（参考数据：）    (1)求； (2)收到命令时飞机应该沿什么航向飞行？E地离C地的距离是多少？ 【答案】(1)60° (2)收到命令时飞机应该沿南偏东的航向飞行，E地离C地． 【分析】(1)在中使用余弦定理得出及 (2)在中使用余弦定理得出及，再在中使用余弦定理得出及． 【详解】（1）连接，在中由余弦定理得 ， ， 又，， ，即， ．    （2）连接，则由及 得：， ， ， 在中，由余弦定理，得：， 则， 又，则是等腰三角形，且， 由已知有， 在中，由余弦定理得： ， 又，则． 由飞机出发时沿北偏东方向飞行得：飞机由E地改飞C地的方向角为南偏东． 答：收到命令时飞机应该沿南偏东的航向飞行，E地离C地． 20．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）如图，在四边形，，，，. (1)若，，求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理证得为等腰直角三角形，再由余弦定理求即可； （2）设，在与中利用正弦定理结合可得，展开化简即可得其正切值. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 即， 解得，所以， 则为等腰直角三角形，所以， 则． 在中，由余弦定理得 ， 所以． （2）设，则由题意可知，． 在中，由正弦定理得，即， 即， 在中，由正弦定理得，即，即， 又，所以， 所以，解得，所以． 21．（2026·重庆北碚·模拟预测）如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在 中利用余弦定理求出，进而求出 ，最后在中利用正弦定理求解 （2）设 ，利用正弦定理将表示为 的函数，进而将面积表示为 的三角函数，结合 的取值范围求值域 【详解】（1）在 中，，，由余弦定理， 因为 ，所以， 因为，所以，所以 ， 在中，由正弦定理得， 即 所以边的长为. （2）设 ，因为，所以， 在中，，所以， 由三角形内角和定理，得，解得， 在中，， 由正弦定理得， 所以面积 . 因为，所以，则， 所以，即面积的取值范围为. 22．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)证明：； (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理，在与中分别表示公共边，联立两式消去参数，化简得到； （2）将四边形面积拆分为两个三角形面积和，结合第（1）问的结论，通过平方相加消元，求出面积的最大值． 【详解】（1） 如图，连接BD， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则有， 因为，， 所以， 因为，所以； （2）如图，因为， 所以四边形ABCD的面积， 将两边平方，可得， 即①， 由（1）可知，平方可得②， 联立①②，解得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以四边形ABCD面积的最大值为 23．（25-26高一下·山东临沂·期中）定义平面凸四边形为没有内角度数大于的四边形．如图，已知平面凸四边形中，． (1)若四边形被对角线分为面积相等的两部分，且； ①求的长； ②若，求的值． (2)若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据已知条件，利用余弦定理和三角形面积公式求解；②建立坐标系，求出相关点和向量坐标，进而求出向量的数量积； （2）利用余弦定理和三角形面积公式，结合两角和的余弦公式及三角函数的性质求面积最大值． 【详解】（1）①中，已知，由余弦定理得： ，则， ， 由题意知，在中，， 由，解得， ，， 由凸四边形性质，，故，则， 由余弦定理得：， 故． ②以为坐标原点建立平面直角坐标系如图， 则，则， ，， ， ． （2）四边形的面积， 则， 在中，由余弦定理得： ， ， 在中，由余弦定理得： ， ，化简得， ，即， ， 当且仅当，即时，取等， 则，故． 24．（25-26高一下·广东惠州·期中）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛A，B，C，D，小岛B与小岛A，小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里，角A为钝角，且． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)15平方海里． 【分析】(1)求：放在中解三角形，由题意可得、的值以及的正弦值，即两边及一边的对角已知，求另一边对角的正弦值，可利用正弦定理求解； (2)求的面积，利用面积公式，已知边、长；利用圆内接四边形的性质可知角与互补，由此得到；已知两边一角可用余弦定理求出第三边长，因此面积可用公式： ，求出的面积． 【详解】（1）由题意知：在中，，，； 由正弦定理得：，即， 解得． （2）因为A、B、C、D四点共圆，所以， 又A为钝角，故为锐角； 所以，故． 在中，，； 由余弦定理得：， 即， 整理得：，解得（海里）（负值已舍去）； 所以的面积为： （平方海里）． 考点五 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 25．（24-25高一下·天津武清·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式即可得到角的值. （2）先利用数量积公式得到的解析式，进而得到边的值.利用正弦定理将边换成角，然后利用三角函数知识求解的取值范围. 【详解】（1）由已知，可以得到 再利用面积公式可以得到， 由余弦定理知，所以有 即. 因为，所以. （2）由数量积公式可知 由二倍角公式和辅助角公式可得. 所以. 由正弦定理可得， 所以,，因为,所以， 所以 ， 因为，所以. 所以， 所以的取值范围为. 26．（25-26高三上·陕西榆林·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理得到，再利用余弦定理求角. （2）利用余弦定理和三角形的面积公式，可求，进而得到三角形的周长. （3）先根据为锐角三角形，确定角的取值范围，再将化成的形式求值域. 【详解】（1）由正弦定理，， 所以. 由余弦定理，，且为三角形内角，所以. （2）由余弦定理，. 又. 所以， . 所以的周长为. （3）因为为锐角三角形，且，所以，且， 所以 . 因为，所以，所以， 所以. 27．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）已知，，，设的内角所对的边分别为，，，且． (1)若，，为角A的平分线，且交于点，求的长； (2)若的面积为，为的中点，求长的最小值； (3)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换先计算A，再根据三角形面积公式、等面积法计算即可； （2）利用三角形面积公式确定，再利用中线的向量性质，平方结合基本不等式计算最小值即可； （3）利用正弦定理化边为角，再由辅助角公式结合角的范围、正弦函数的性质计算即可. 【详解】（1），     由， 由， 因此有， 由已知得， 且为角A的平分线，所以， 因为， 则， 即，解得． （2）由已知，又的面积为， 则，解得，     又， 则 当且仅当时，等号取到，所以； 即边上中线长的最小值为． （3）由正弦定理可知：，     因此有 ， 因为，所以 因此周长的取值范围为． 28．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助向量平行的坐标运算计算并结合三角恒等变换公式化简后即可得； （2）借助正弦定理可得，再利用锐角三角形性质得到的范围即可得. 【详解】（1）由，则有， 即 ， 由为锐角三角形，故、，故， 则有，即，即； （2）由正弦定理可得 ， 由为锐角三角形，故，解得， 故，则，则. 29．（25-26高一下·河南郑州·期中）如图，在四边形中，，，．    (1)当时，求四边形的面积； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）连接，在中利用余弦定理求出，再利用勾股定理求出，结合三角形面积公式求解即可； （2）连接，作于点，利用正弦定理和二倍角公式求解． 【详解】（1）如图，连接，则当时，    在中，由余弦定理可得 ， 所以在中，由勾股定理可得，所以， 所以； （2）如图，连接，作于点，    则由，可得为的中点，设， 则， 在中，由正弦定理可得， 所以， 又因为， 所以， 由，可得， 所以 30．（24-25高三上·湖北荆州·月考）已知的内角，，的对边分别为，，，若． (1)求的值； (2)若的面积为，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，代入已知等式，利用正弦定理和余弦定理角化边，可求的值； （2）已知条件结合三角形面积公式化简求出，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式得，由，得，可求周长的取值范围． 【详解】（1）∵， 由正弦定理可得：， 由余弦定理知：，， 可得， 则有，由，解得. （2） 中由余弦定理知，又在中有， ∴，化简得， ∵，∴. 又，由正弦定理得：，， ， 因在中，，，， 所以，当时，等号成立， ∴周长的取值范围是． 考点六 证明三角形中的恒等式或不等式 31．（25-26高一下·上海普陀·期末）在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. (1)证明：△ABC为直角三角形； (2)若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； (3)当，时，设表示成的形式，求的最值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）依题意，利用三角恒等变换可得，进而可得； （2）利用等面积法结合条件计算即可； （3）由（1）知，解直角三角形可得，，利用换元法及辅助角公式可将函数变形，再次换元结合单调性可得结果. 【详解】（1）依题意得， 则， 又， 所以，从而， 又有意义，所以，即， 故为直角三角形. （2）由（1）知，，而的平分线交BC于D， 得， 因为， 即， 所以 所以． 故线段AD的长为. （3）由（1）知，在中，，则， 所以，， 故，. 令， 由得，且，则. 令，则， 则， 显然在上单调递增，则在上单调递减， 所以当时，即，即时，. 32．（25-26高一下·吉林长春·月考）已知直角中，，射线AD，AC三等分，分别交BC于点D、C，且． (1)若，求的值； (2)求证：； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，结合向量数量积运算律即可求解； （2）由正弦定理可得，，利用三角恒等变换化简即可证明： （3）由（2）可知，根据基本不等式“1”的妙用计算即可求解. 【详解】（1）因为，由题意可知， 所以 ； （2）设，在中， 由正弦定理可得，即， 在中，，即， 所以等式左边， 等式右边 因为， 所以， 即成立； （3）由（2）可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 33．（2026·安徽合肥·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)求内角的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先由题意结合诱导公式得到，再由余弦定理角化边即可求证； （2）由（1）结合余弦定理和基本不等式求出的最小值即可由余弦函数性质得解. 【详解】（1）证明：因为， 所以由题得，即， 由余弦定理可得，所以． （2）由（1）知，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，， 所以内角的最大值为． 34．（25-26高一下·广东佛山·期中）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为S，且满足，点H在线段AC上，BH平分． (1)证明：； (2)证明：； (3)在上述条件下，设点D为线段BH上的动点，连接AD并延长交BC于点E，若存在符合题意的和点D，满足，求实数m的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析； (3) 【分析】（1）由正弦定理得到方程，联立后可得结论； （2）由三角形面积公式和正弦定理得，从而； （3）先得到，并且，结合（1）和正弦定理得，代入可得，求出，从而. 【详解】（1）BH平分，故， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又，两式相除可得； （2）因为，故， 又为锐角三角形，，故，所以， 由正弦定理得， 其中 ， 故，又， 所以， 又为锐角三角形，，， 故或，故或（舍去）； （3）先证明，过程如下： ， 故， 故 ，又，所以， 由（1）可知，故，即， 由正弦定理 ， 故， 所以，所以， 均非负，故， 因为，所以， 因为， 所以，解得， 则.    35．（25-26高一下·湖北襄阳·期中）对于给定，设其外接圆半径为R，内切圆半径为r，定义的值为的“分离比”． (1)若为等腰直角三角形，求的“分离比”f； (2)证明：“分离比”； (3)试求出“分离比”f的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）根据等腰直角三角形及其内切圆、外接圆的性质，结合三角形面积公式求出，进而根据“分离比”定义求解； （2）根据正弦定理，结合三角形面积公式求出相应边角关系，进而利用“分离比”定义证明结论； （3）运用两角和与差的正余弦公式，结合二倍角公式化简为，再利用换元法，结合两角差的余弦公式及余弦函数的有界性得出，再利用换元法结合二次函数的性质求出的最大值，进而求出的最大值，从而求出“分离比”f的最小值． 【详解】（1）设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长为， 直角三角形外接圆直径即为斜边，则， 由面积公式得，解得， ． （2）由正弦定理得， 三角形面积， 又， ， ． （3）， ， ， ， ， ， ， 令，则，即， 则， ， ，故， 令，则， 则转化为，函数开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时，则，又， ，则，即为等边三角形时， 取最大值， ． 36．（25-26高一下·山东枣庄·期中）中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和与差的正弦公式即可计算求解； （2）（i）先分别在和中利用正弦定理结合和比例的性质得和，接着在和中利用余弦定理结合即可分析计算求解； （ii）先由（1）得，进而得到，，接着由题设结合（i）得，再结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得 ， 因为A，，所以，，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①，    同理在中，②， BD是的角平分线，则，则， 故得， 由比例的性质得，即， 同理得，即， 在中，由余弦定理得③， 中，由余弦定理得④， 又，故，， 由得 ， 则， 即； （ii）因为，故， 则，则，， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即，时等号成立， 故的最大值为． 1．（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角； 利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值范围. 【详解】（1）由， 因为在中有，所以上式可化为， 又因为，所以，又因为，所以； （2）由正弦定理得：， 可得， 所以的周长为， 因为锐角，可知， 可得，则周长可化为：， ， 由，且， 所以，即， 故锐角周长的取值范围为. 2．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知中，分别为内角的对边，且满足. (1)求角； (2)设点为边中点，且，求最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边和余弦定理可得，进而得到； （2）根据，结合基本不等式可求得最大值. 【详解】（1）由正弦定理得：，即， ，又，. （2）为边中点，， ， ， （当且仅当时取等号），最大值为. 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，已知内角，边．求面积的最大值． 【答案】 【详解】由正弦定理得（为外接圆半径）， 设点到的距离为，外接圆圆心为，中点为， ，又， 所以， 即面积的最大值为. 4．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图，已知中，，延长至点，连接. (1)求的长； (2)若，求的长. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理运算求解即可； （2）在中，利用余弦定理运算求解即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 且. 所以. （2）因为，则， 在中，由余弦定理得 5．（2026·四川广安·模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)点在边上，若平分，，，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换即可求解； （2）由余弦定理可以求出边c的值，再根据三角形面积关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可知（为外接圆半径）， 所以可得，代入已知中， 可得， 根据三角恒等变换即可求得，而， 则，因为，所以， 则，而，所以； （2）由余弦定理，由（1）知， 将已知条件代入化简可得，解之可得或（舍）， 由三角形面积关系可得， 即， 由（1）知，又因平分，所以可知， 将已知代入上式可得，所以.    6．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在梯形中，.求的正弦值和BD的长. 【答案】； 【分析】在中，利用正弦定理，求得，由，得到，再在中，利用正弦定理，即可求解. 【详解】在中，， 由正弦定理，可得， 因为，所以，所以， 在中，且 由正弦定理，可得. 7．（25-26高一下·福建·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求角B； (2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长； (3)求边AC上的中线BE的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用余弦定理将角化为边，化简后再用余弦定理求出，得出B即可． （2）先用余弦定理得出a，c关系式，再将三角形面积进行转化，用等面积法，运用面积公式求解即可． （3）先用中线的向量表达式，，两边平方，将中线长转化为求ac的范围，后将ac又转化为三角函数求值域问题，最终求得中线长范围． 【详解】（1）已知，由余弦定理可得， 因为，代入中，得，化简得， 则，因为，所以． （2），，由余弦定理得， 即，又因为，所以， 由面积关系可得， ， 所以，即. （3）因为E是AC的中点，所以， 则， 由正弦定理得，， 即， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，即边AC上的中线BE的取值范围为． 8．（25-26高一下·四川泸州·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，点D在边上，且， (1)若，，求； (2)若，求； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）方法一：根据向量的模的公式和向量的数量积公式计算即可；方法二：过点D作的平行线交于点H，在中，运用余弦定理计算即可；方法三：在中，运用余弦定理求出，结合勾股定理求出；方法四：利用等面积法计算即可. （2）方法一：根据与相似计算即可；方法二：在中以及在中，运用正弦定理计算即可； （3）根据向量的模公式得到，方法一：根据基本不等式的性质计算即可；方法二：令，则方程有正根，然后分情况讨论进而计算结果. 【详解】（1）法一：， 则 ． 法二：过点D作的平行线交于点H， 在中，，， 由余弦定理： 法三：在中，由余弦定理： 又，则， 则. 法四：因为，则平分角C， 由， 即. （2）法一：因为，则与相似， 则，即，所以， 则，，则． 法二：设，因为，则 在中，由正弦定理知① 在中，由正弦定理知② ，，则有 又，． （3），平方得． 即，又 令，则，. 法一： 令，则， ， ． 的取值范围为 法二：令，则方程有正根． ， ①若，方程没有正根，不符合题意； ②若，且，得：或（此时方程只有一个负根，故舍去） ③若，且，得：， ⅰ  若方程有一个根为0，此时，方程有正根，符合题意； ⅱ  若方程有两个正根，则，得或， ⅲ  若方程有1个正根，一个负根，，得， 综上：， 的取值范围为. 9．（25-26高一下·天津西青·期中）在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据向量共线的坐标关系，结合正余弦定理边角互化即可求解， （2）由余弦定理以及面积公式即可求解得解， （3）根据正弦定理得，进而根据面积公式可得，由三角恒等变换，化简可得，即可根据三角函数的性质求解. 【详解】（1）若，则, 由正弦定理可得，故， 因此, . （2）由（1）可得，又,故， 因此，故， 因此周长为 （3）由于，故， 由正弦定理可得， 故， 因为，所以， 所以， 故, 由于三角形为锐角三角形，故,解得， 因此，故，则， 因此. 10．（25-26高一下·安徽安庆·期中）如图，四边形ABCD中，是等边三角形. (1)当时，求四边形ABCD的面积； (2)若E，G分别是边AB，BD的中点，连接CE，EG，CG，设. ①试用表示； ②求CE长的最大值. 【答案】(1) (2)①； ② 【分析】（1）首先利用余弦定理求出，然后把四边形面积转化为和的面积之和，利用三角形面积公式即可求解； （2）①首先利用余弦定理求出，然后在中利用三角函数表示； ②首先根据正弦定理和余弦定理结合平面几何知识可得，然后根据余弦定理表示出，最后利用辅助角公式结合三角函数的图像性质即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理： ， 得，四边形面积， ， 是等边三角形，， 因此. （2）①在中，由余弦定理：， 因为是中点，为等边三角形，故是边上的高，， 因此： ， ②是中点，是中点，故是的中位线，，且 ， 在中，由正弦定理， ， 在中，由余弦定理得： ， 因为 ，，故， 所以的最大值为， 代入得，故. 11．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点为边上靠近点的三等分点，，． (1)若，求的面积； (2)当时，求的长； (3)要使得取最小值时，请帮设计师计算此时的长． 【答案】(1) (2)2 (3). 【分析】（1）由正弦定理求得的长，即可得的长，由三角形面积公式即可求得答案. （2）利用余弦定理即可求解； （3）设，利用余弦定理表示出，即可得的表达式，结合基本不等式确定其最小值，即可求得答案. 【详解】（1）在中，，， 故，， 由正弦定理得，即， 而， 故，故， 故三角形手巾的面积为 ； （2）设，则， 则在中，， 在中， 易知，整理可得， 解得或（舍）; 所以. （3）设，则， 则在中，， 在中，， 故， 由于， 当且仅当，即时取等号， 故， 即取到最小值时，， 即此时. 12．（25-26高一下·天津蓟州·期中）盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． (1)求点P和点M之间的距离； (2)求两主峰M，N间的距离． 【答案】(1)2km； (2). 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出第三个角，然后运用正弦定理解出所求边长； （2）先通过正弦定理求出另一条边的长度，再在包含目标线段的三角形中，使用余弦定理计算该线段的长. 【详解】（1）根据题意得，，， 所以， 在△PMG中，根据正弦定理， 得，解得PM，所以点P和点M之间的距离为. （2）在中，， ，所以 由正弦定理得，解得， 在中，， 由余弦定理得 ，解得. 综上所述，两主峰M、N之间的距离为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 解三角形的综合应用 知识点1：中线定理 在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2). 知识点2：角平分线定理 在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，D在BC上， 则=.进而得到 (1)AD2=AB·AC-BD·CD. 知识点3：张角定理 在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，若∠BAD=α，∠CAD=β，则+=. 考点一 解三角形中线与角平分线的问题 考点二 三角形中的边长或周长的最值或范围 考点三 三角形面积的最值或范围 考点四 几何图形中的计算 考点五 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 考点六 证明三角形中的恒等式或不等式 考点一 解三角形中线与角平分线的问题 1．（25-26高一下·贵州毕节·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 2．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若的面积为，内角A的平分线交边于点E，，求的长； (3)若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 3．（2026·福建漳州·三模）在中，角所对的边分别为，已知． (1)判断的形状； (2)若边上的两条中线相交于点，求． 4．（24-25高一下·湖南长沙·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)如图，的角平分线交于点D，且，， （i）求的长度； （ii）若边上的中线与相交于点F，求的余弦值． 5．（2026·湖北黄石·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，的角平分线交于，求. 6．（25-26高一下·云南昆明·月考）在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； (3)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 考点二 三角形中的边长或周长的最值或范围 7．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 8．（25-26高一下·四川遂宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，. (1)若是等腰三角形，，求的值； (2)若，，求的值； (3)当时，求的最小值. 9．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知，b，c分别为的内角，B，C所对的边，且. (1)求A； (2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 10．（25-26高一下·天津武清·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，， (1)求角C； (2)若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值； (3)求锐角的周长的取值范围． 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且的面积为2. (1)求角； (2)若为锐角三角形，且外接圆半径为2，求的取值范围. 12．（24-25高一下·山东泰安·期中）记的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，. (1)求； (2)若，，选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量，并求面积的最大值： (3)若是锐角三角形，且，求的取值范围. 考点三 三角形面积的最值或范围 13．（25-26高一下·四川巴中·期中）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 14．（25-26高一下·河南南阳·期中）在中，若点P满足，则点P称为的布洛卡点，角为的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是的布洛卡点． (1)若△ABC为正三角形，求； (2)已知 ①求证：； ②若，，求面积的最大值． 15．（25-26高一下·江苏泰州·期中）的内角的对边分别为，且. (1)已知. ①若是的角平分线，，求的长； ②若，求面积的最大值. (2)若是边的三等分点（靠近点），，求实数的取值范围. 16．（25-26高一下·广东湛江·期中）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．求： (1)角C及边c的值； (2)的最大值； (3)三角形面积的最大值． 17．（25-26高一下·江苏苏州·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，. (1)求的大小； (2)设的角平分线交于点. ①求面积的取值范围 ②求线段长的取值范围. 18．（25-26高一下·广西崇左·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，满足，. (1)求； (2)若为线段上一点，且满足，，求的长； (3)若为锐角三角形，求面积的范围. 考点四 几何图形中的计算 19．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从A地出发飞往B地，飞行了后到达E地，由于天气原因该飞机按命令改飞C地，已知，，，且，．（参考数据：）    (1)求； (2)收到命令时飞机应该沿什么航向飞行？E地离C地的距离是多少？ 20．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期中）如图，在四边形，，，，. (1)若，，求； (2)求的值. 21．（2026·重庆北碚·模拟预测）如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 22．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)证明：； (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值． 23．（25-26高一下·山东临沂·期中）定义平面凸四边形为没有内角度数大于的四边形．如图，已知平面凸四边形中，． (1)若四边形被对角线分为面积相等的两部分，且； ①求的长； ②若，求的值． (2)若，求四边形面积的最大值． 24．（25-26高一下·广东惠州·期中）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛A，B，C，D，小岛B与小岛A，小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里，角A为钝角，且． (1)求的值； (2)求的面积． 考点五 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 25．（24-25高一下·天津武清·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 26．（25-26高三上·陕西榆林·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 27．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）已知，，，设的内角所对的边分别为，，，且． (1)若，，为角A的平分线，且交于点，求的长； (2)若的面积为，为的中点，求长的最小值； (3)若，求周长的取值范围． 28．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 29．（25-26高一下·河南郑州·期中）如图，在四边形中，，，．    (1)当时，求四边形的面积； (2)当时，求的取值范围． 30．（24-25高三上·湖北荆州·月考）已知的内角，，的对边分别为，，，若． (1)求的值； (2)若的面积为，求周长的取值范围． 考点六 证明三角形中的恒等式或不等式 31．（25-26高一下·上海普陀·期末）在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. (1)证明：△ABC为直角三角形； (2)若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； (3)当，时，设表示成的形式，求的最值. 32．（25-26高一下·吉林长春·月考）已知直角中，，射线AD，AC三等分，分别交BC于点D、C，且． (1)若，求的值； (2)求证：； (3)求的最小值． 33．（2026·安徽合肥·一模）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)求内角的最大值． 34．（25-26高一下·广东佛山·期中）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为S，且满足，点H在线段AC上，BH平分． (1)证明：； (2)证明：； (3)在上述条件下，设点D为线段BH上的动点，连接AD并延长交BC于点E，若存在符合题意的和点D，满足，求实数m的取值范围． 35．（25-26高一下·湖北襄阳·期中）对于给定，设其外接圆半径为R，内切圆半径为r，定义的值为的“分离比”． (1)若为等腰直角三角形，求的“分离比”f； (2)证明：“分离比”； (3)试求出“分离比”f的最小值． 36．（25-26高一下·山东枣庄·期中）中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 1．（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 2．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知中，分别为内角的对边，且满足. (1)求角； (2)设点为边中点，且，求最大值； 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，已知内角，边．求面积的最大值． 4．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图，已知中，，延长至点，连接. (1)求的长； (2)若，求的长. 5．（2026·四川广安·模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)点在边上，若平分，，，求的长. 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在梯形中，.求的正弦值和BD的长. 7．（25-26高一下·福建·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求角B； (2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长； (3)求边AC上的中线BE的取值范围． 8．（25-26高一下·四川泸州·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，点D在边上，且， (1)若，，求； (2)若，求； (3)求的取值范围． 9．（25-26高一下·天津西青·期中）在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 10．（25-26高一下·安徽安庆·期中）如图，四边形ABCD中，是等边三角形. (1)当时，求四边形ABCD的面积； (2)若E，G分别是边AB，BD的中点，连接CE，EG，CG，设. ①试用表示； ②求CE长的最大值. 11．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期中）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点为边上靠近点的三等分点，，． (1)若，求的面积； (2)当时，求的长； (3)要使得取最小值时，请帮设计师计算此时的长． 12．（25-26高一下·天津蓟州·期中）盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． (1)求点P和点M之间的距离； (2)求两主峰M，N间的距离． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $