期末复习：爪型三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

期末复习：爪型三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义 期末复习：爪型三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义 考点目录 爪型三角形中的解三角形问题 四边形中的解三角形问题 考点一 爪型三角形中的解三角形问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 模型定义 从三角形一个顶点引出一条线段（中线、角平分线、任意分线）交对边，图形形似“爪子”，分成两个小三角形，公共分割线段为纽带。 1. 核心工具 （1）余弦定理（核心）：左右两个小三角形共用分割线段，分割线两侧两角互补，余弦值互为相反数。 设大 ， 交 于 ，，则 。 （2）正弦定理：两个小三角形分别列正弦比例，通过公共角、等角建立边长等量关系。 （3）面积拆分：，已知分线夹角常用面积等式列式。 1. 衍生专用结论 · 中线爪型：阿波罗尼斯中线长公式； · 角平分线爪型：角平分线定理 ； · 已知分线段夹角：优先面积和公式。 二、解题原理 1. 识别模型：一个顶点向内作线段分割对边，形成两个共分割线的小三角形。 1. 三种通用解题路径： ① 角度互补余弦法（无面积条件首选） 分别对左右小三角形用余弦定理，利用 消去分割线段，建立边长方程； ② 面积叠加法（已知分割线与底边夹角） 总面积等于两个小三角形面积相加，； ③ 正弦定理等量代换（已知边角比例） 两个小三角形分别列正弦式，借助公共角、相等角替换边长比例； 1. 特殊爪型简化： 中线直接套中线公式；角平分线先用比例分割边长，再结合正余弦计算； 1. 求最值/范围：联立等式后结合均值不等式、三角函数值域求解。 【例题分析】 例1．（24-25高三上·福建厦门·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若为边上一点，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）法①：由题意可得，在中，由余弦定理可得，再由正弦定理可得，从而得，最后利用求解即可； 法②：在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得从而得，利用求解即可； 法③：在中，由余弦定理可得，从而得，所以，再结合余弦定理求得，最后在直角中，由正弦的定义求解即可； 法④：利用面积公式可得，再由余弦定理可得，最后由正弦定理求解即可. 【详解】（1）因为，且， 则， 即， 得， 则， 因为，所以. （2）由（1）得，，因为，所以， 所以， 法①：如图在中，由余弦定理可得：   ， 即， 在中由正弦定理，即，所以， 因为，故， 在中，. 法②：同解法①， 在中由正弦定理，即， 所以， 又因为，即，所以. 法③：同上， 在直角中，，所以， 由（1）问知，所以， 即，得即， 所以，. 法④：由（1）知，则， 因为， 所以， 即，解得， 所以，即， 在中，由正弦定理，即， 解得. 例2．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B． (2)已知点D在边上，且，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，再利用化简，从而求出角； （2）在中由余弦定理建立等式，再利用得到另一等式，进而求出. 【详解】（1）因为，即 由正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 因为，则，所以， 即，故， 又，所以，故. （2）由题意设，，由（1）得， 在中由余弦定理可得，， 因为，所以， 即， 联立①②，解得（负值舍去），所以. 例3．（2026·四川广安·模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)点在边上，若平分，，，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换即可求解； （2）由余弦定理可以求出边c的值，再根据三角形面积关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可知（为外接圆半径）， 所以可得，代入已知中， 可得， 根据三角恒等变换即可求得，而， 则，因为，所以， 则，而，所以； （2）由余弦定理，由（1）知， 将已知条件代入化简可得，解之可得或（舍）， 由三角形面积关系可得， 即， 由（1）知，又因平分，所以可知， 将已知代入上式可得，所以.    【变式训练】 变式1．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图，已知中，，延长至点，连接. (1)求的长； (2)若，求的长. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理运算求解即可； （2）在中，利用余弦定理运算求解即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 且. 所以. （2）因为，则， 在中，由余弦定理得 变式2．（25-26高一下·山东枣庄·期中）如图，在中，，，且．为线段上的两个动点（在的右侧），且，记． (1)若时，求的周长； (2)若的面积是的面积的倍，求的大小； (3)当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用直角三角形及三角函数计算可得、、，即可得周长； （2）借助面积关系可得，再利用正弦定理计算可得，从而可计算出； （3）利用正弦定理可表示出，再利用面积公式计算可用表示，再利用三角函数性质可得最小值. 【详解】（1）由，得， 又，则，所以， 当时，， 在Rt中，则， 在中，，可得， 的周长为； （2），因为的面积是的面积的倍， 所以，即， 在中，， 由，得， 从而，即，而， 由，得，所以，即； （3）设，由（2）知， 在中，由，得， 所以 =， 当且仅当， 即时，的面积取最小值为. 变式3．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）在中，，，． (1)求边长； (2)设的中点为，求长以及的大小． 【答案】(1) (2)； 【分析】利用余弦定理及向量的基本运算求解即可. 【详解】（1）设，已知，，， 由余弦定理，代入已知条件， ，得 ， 整理得一元二次方程 ，解得（边长为正，舍去负根）， 因此. （2） 是中点，由向量中线公式得， 两边取模平方得， 代入， 得， 因此​. 在中，，，， 由余弦定理， 代入得， 整理得， 即. 因为，因此. 考点二 四边形中的解三角形问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心转化思想：四边形无直接边角公式，对角线分割为两个三角形，将四边形问题转化为两个三角形的解三角形综合题。 1. 两类四边形模型 （1）普通不规则四边形：连接一条对角线，拆分为两个斜三角形；对角线为公共边，是等量桥梁。 （2）特殊四边形（梯形、含直角四边形）：可作垂线拆分为直角三角形 + 普通三角形。 1. 必备公式 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式； 四边形面积 = 分割后两个三角形面积之和； 对角互补四边形（圆内接四边形）：对角和为 ，余弦互为相反数。 1. 隐藏条件 平行线带来内错角相等；直角直接使用勾股定理；圆内接四边形外角等于内对角。 二、解题原理 1. 建模拆分：连接合适对角线，把四边形拆成两个共享一条边的三角形； 1. 分步求解： ① 先利用条件解其中一个三角形，求出对角线长度； ② 将对角线边长作为已知条件，代入第二个三角形，求剩余边长、角度； 1. 面积计算：分别算出两个三角形面积再相加； 1. 特殊题型处理： · 圆内接四边形：利用对角互补，余弦符号相反列余弦定理方程； · 梯形：作高构造直角三角形，用直角三角形边长表示梯形上下底、高； · 含角度最值问题：统一边角后借助均值不等式、三角函数求范围； 1. 多问综合逻辑：第一问求对角线，第二问求边长/面积/最值，前后条件递进使用。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用数量积公式求解出的度数，然后由余弦定理即可求出. （2）利用三角形的面积公式分别求出和面积，即可求出四边形的面积. （3）利用已知条件在中先求出，再由正弦定理即可求出. 【详解】（1）因为， ． ，． 在中，， ． （2）由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． （3）在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 例2．（25-26高一下·福建厦门·期中）现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，必须将四条线段全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形. (1)求出两种符合条件的三角形的面积. (2)如图，在平面凸四边形中. ①连接当大小变化时，试用和来表示四边形面积并求的最大值. ②当时所在平面内是否存在点使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由. 【答案】(1) (2)①；②存在，最小值为 【分析】（1）分三角形三边分别为3，3，4和2，4，4两种情况，利用三角形面积公式，求得三角形面积即可； （2）①利用余弦定理及三角恒等变换，结合三角形面积公式可求得四边形的面积的最大值；②假设存在符合条件的点，把绕点逆时针旋转，结合图形及线段关系可得最小值． 【详解】（1）由三角形两边之和大于第三边，结合题意可得， 能构成的三角形的三边长为或. 当三角形的三边长为时，该三角形为等腰三角形，其底边上的高为，所以其面积为； 当三角形的三边长为时，该三角形为等腰三角形，其底边上的高为，所以其面积为. 因此两种符合条件的三角形的面积为和. （2）①四边形面积. 由图可得， 所以. 所以. 所以当，时，取得最大值，最大值为. 所以的最大值为. 此时，所以，即. 因此当时，取得最大值，最大值为. ②当时,因为，所以. 如图所示，将绕点逆时针旋转，到. 则，， 所以为正三角形，所以， 所以. 当四点共线时，最小，最小值为. 中，，， 所以， 所以. 因此所在平面内存在点使得达到最小，最小值为. 例3．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）如图，在平面四边形中，. (1)若的面积为，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积公式求得，进而得，在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理得解； （2）由，可得四点共圆，进而得，在中，由余弦定理得解. 【详解】（1），即，解得， 由 ，可知，故， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 在中，由余弦定理得， 代值化简得，解得. （2）若，则四点共圆， 又，则， 在中，由余弦定理得， 所以，解得. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·云南德宏·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求线段的长度； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用已知的角度、面积和边长，结合三角形面积公式直接求解的长度； （2）先在中用余弦定理求出的长，再利用角平分线的性质在中应用正弦定理计算 . 【详解】（1）由，得，在中，已知，， 由三角形面积公式 可得 解得：； （2）由余弦定理即 ， 解得 设，在由正弦定理，得， 在中，由正弦定理 ，得. 变式2．（25-26高一下·山东临沂·期中）定义平面凸四边形为没有内角度数大于的四边形．如图，已知平面凸四边形中，． (1)若四边形被对角线分为面积相等的两部分，且； ①求的长； ②若，求的值． (2)若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据已知条件，利用余弦定理和三角形面积公式求解；②建立坐标系，求出相关点和向量坐标，进而求出向量的数量积； （2）利用余弦定理和三角形面积公式，结合两角和的余弦公式及三角函数的性质求面积最大值． 【详解】（1）①中，已知，由余弦定理得： ，则， ， 由题意知，在中，， 由，解得， ，， 由凸四边形性质，，故，则， 由余弦定理得：， 故． ②以为坐标原点建立平面直角坐标系如图， 则，则， ，， ， ． （2）四边形的面积， 则， 在中，由余弦定理得： ， ， 在中，由余弦定理得： ， ，化简得， ，即， ， 当且仅当，即时，取等， 则，故． 变式3．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在平面四边形中，.    (1)若，求； (2)判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由； (3)若，设的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)是， (3) 【分析】（1）直接根据余弦定理即可得结果； （2）分别在和中，两次运用余弦定理即可得结果； （3）根据三角形面积公式结合（2）中的结论，将表示为关于的函数，求其函数值域即可. 【详解】（1）设，则. 由，得. 在中，. （2）在中， . 在中， ， 则， 得， 故是定值，且该定值为. （3）， ， 则. 由（2）可知， 则， 则. 设，则. 由，得. 令，则. 易知函数在内单调递减，则， 则， 则， 故的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：爪型三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义 期末复习：爪型三角形中的解三角形问题、四边形中的解三角形问题复习讲义 考点目录 爪型三角形中的解三角形问题 四边形中的解三角形问题 考点一 爪型三角形中的解三角形问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 模型定义 从三角形一个顶点引出一条线段（中线、角平分线、任意分线）交对边，图形形似“爪子”，分成两个小三角形，公共分割线段为纽带。 1. 核心工具 （1）余弦定理（核心）：左右两个小三角形共用分割线段，分割线两侧两角互补，余弦值互为相反数。 设大 ， 交 于 ，，则 。 （2）正弦定理：两个小三角形分别列正弦比例，通过公共角、等角建立边长等量关系。 （3）面积拆分：，已知分线夹角常用面积等式列式。 1. 衍生专用结论 · 中线爪型：阿波罗尼斯中线长公式； · 角平分线爪型：角平分线定理 ； · 已知分线段夹角：优先面积和公式。 二、解题原理 1. 识别模型：一个顶点向内作线段分割对边，形成两个共分割线的小三角形。 1. 三种通用解题路径： ① 角度互补余弦法（无面积条件首选） 分别对左右小三角形用余弦定理，利用 消去分割线段，建立边长方程； ② 面积叠加法（已知分割线与底边夹角） 总面积等于两个小三角形面积相加，； ③ 正弦定理等量代换（已知边角比例） 两个小三角形分别列正弦式，借助公共角、相等角替换边长比例； 1. 特殊爪型简化： 中线直接套中线公式；角平分线先用比例分割边长，再结合正余弦计算； 1. 求最值/范围：联立等式后结合均值不等式、三角函数值域求解。 【例题分析】 例1．（24-25高三上·福建厦门·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若为边上一点，，求. 例2．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求B． (2)已知点D在边上，且，，，求的长． 例3．（2026·四川广安·模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)点在边上，若平分，，，求的长. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·陕西榆林·期中）如图，已知中，，延长至点，连接. (1)求的长； (2)若，求的长. 变式2．（25-26高一下·山东枣庄·期中）如图，在中，，，且．为线段上的两个动点（在的右侧），且，记． (1)若时，求的周长； (2)若的面积是的面积的倍，求的大小； (3)当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 变式3．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）在中，，，． (1)求边长； (2)设的中点为，求长以及的大小． 考点二 四边形中的解三角形问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心转化思想：四边形无直接边角公式，对角线分割为两个三角形，将四边形问题转化为两个三角形的解三角形综合题。 1. 两类四边形模型 （1）普通不规则四边形：连接一条对角线，拆分为两个斜三角形；对角线为公共边，是等量桥梁。 （2）特殊四边形（梯形、含直角四边形）：可作垂线拆分为直角三角形 + 普通三角形。 1. 必备公式 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式； 四边形面积 = 分割后两个三角形面积之和； 对角互补四边形（圆内接四边形）：对角和为 ，余弦互为相反数。 1. 隐藏条件 平行线带来内错角相等；直角直接使用勾股定理；圆内接四边形外角等于内对角。 二、解题原理 1. 建模拆分：连接合适对角线，把四边形拆成两个共享一条边的三角形； 1. 分步求解： ① 先利用条件解其中一个三角形，求出对角线长度； ② 将对角线边长作为已知条件，代入第二个三角形，求剩余边长、角度； 1. 面积计算：分别算出两个三角形面积再相加； 1. 特殊题型处理： · 圆内接四边形：利用对角互补，余弦符号相反列余弦定理方程； · 梯形：作高构造直角三角形，用直角三角形边长表示梯形上下底、高； · 含角度最值问题：统一边角后借助均值不等式、三角函数求范围； 1. 多问综合逻辑：第一问求对角线，第二问求边长/面积/最值，前后条件递进使用。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 例2．（25-26高一下·福建厦门·期中）现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，必须将四条线段全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形. (1)求出两种符合条件的三角形的面积. (2)如图，在平面凸四边形中. ①连接当大小变化时，试用和来表示四边形面积并求的最大值. ②当时所在平面内是否存在点使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由. 例3．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）如图，在平面四边形中，. (1)若的面积为，求； (2)若，求. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·云南德宏·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求线段的长度； (2)求的值． 变式2．（25-26高一下·山东临沂·期中）定义平面凸四边形为没有内角度数大于的四边形．如图，已知平面凸四边形中，． (1)若四边形被对角线分为面积相等的两部分，且； ①求的长； ②若，求的值． (2)若，求四边形面积的最大值． 变式3．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在平面四边形中，.    (1)若，求； (2)判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由； (3)若，设的面积分别为，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $