期中培优：四边形中的解三角形问题复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中培优：四边形中的解三角形问题复习讲义 期中培优：四边形中的解三角形问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 将四边形（含普通不规则四边形、特殊四边形）通过对角线分割为两个（或多个）可解三角形，依托正余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换，结合四边形的边、角、对角线固有性质（特殊四边形的平行/垂直/等角/互补，普通四边形的内角和360°、对边/对角线的关联），实现边角条件的转化与传递，先解出一个三角形的未知量，再将其作为已知条件解另一个三角形，最终求解四边形的边、角、面积、对角线及相关最值/范围，本质是割形化归，以解三角形核心知识为基底，结合四边形性质搭建边角等量关系。 二、通用解题思路 1. 定四边形类型，作核心辅助线 区分特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、梯形、筝形）与普通不规则四边形，核心辅助线为作一条对角线（优先选能集中已知边角条件、将四边形拆为“一解一待解”三角形的对角线，如连接已知两边夹角的顶点）； 特殊四边形可结合性质简化分割：如梯形作高+对角线拆为直角三角形+斜三角形，菱形/筝形利用对角线垂直平分直接拆为四个直角三角形。 1. 转四边形条件，标三角形已知量 结合四边形性质将已知条件转化为分割后三角形的边角，核心转化方向： · 特殊四边形：平行得内错角相等/同位角相等、邻角互补；矩形/菱形对角线得直角/等边/等线段；梯形两底平行得角的互补/相等； · 普通四边形：利用内角和360°补全未知角，利用对角线的公共边实现两个三角形的条件关联。 标注所有转化后的已知量（边、角），明确每个三角形的已知类型。 1. 选定理解三角形，实现条件传递 分析分割后的三角形，先解已知条件充分的三角形： · 已知三边/两边及夹角→用余弦定理求角（或第三边）； · 已知两角及一边/一边及对角+另一条件→用正弦定理求边（或角），注意大边对大角排除增解； · 直角三角形（矩形/梯形高/菱形对角线构造）→直接用勾股定理+锐角三角函数简化计算； 解出该三角形的未知边/角后，将其作为另一三角形的已知条件（如公共对角线、互补角/等角），实现条件传递。 1. 解待解三角形，整合边角结果 利用传递后的条件，再次结合正余弦定理求解另一三角形的未知量，最终整合两个三角形的所有边角，得到四边形的全部边、角、对角线长度。 1. 求四边形目标量，验证结果合理性 根据题干要求，计算四边形的周长、面积（两个三角形面积和）、对角线夹角，或求解边/角/面积的最值/范围（高中拓展题型）； 验证结果符合几何逻辑：如边长为正、角的范围在(0,π)、四边形内角和360°、SSA型解的唯一性（大边对大角）。 三、核心拓展：四边形解三角形的最值/范围问题解法 高中常考四边形边角/面积的最值，在上述四步法基础上，增加变量化与函数化步骤： 1. 设一个核心变量（如某角为，或某边为，）； 2. 用正余弦定理将待求量（面积/边长）表示为关于的三角函数式（如）或关于的代数函数； 3. 结合三角函数有界性（）或基本不等式（），结合四边形的边角约束（如两边之和大于第三边、角的范围）求最值/范围。 例题分析 例1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的面积为. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合三角形的面积公式和余弦定理求解即可； （2）由正弦定理可得，由为锐角三角形，可得，从而可得范围，根据三角形的面积公式求解即可； （3）根据四边形的内角和为，可得，设，在，中，结合正弦定理可得，代入，可求得，求出两三角形的面积即可得答案. 【详解】（1）因为， 所以， 整理得， 又， 所以 （2）在中，由正弦定理知，， 所以 ， 若为锐角三角形， 则, 解得， 所以，， 所以， 所以的面积， 故的面积的取值范围为. （3）因为四边形的内角和为， 所以， 设，则， 又， 在中，由正弦定理知，， 即， 在中，由正弦定理知，， 即， 两式作商得，， 又， 则， 整理得，即， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，， 而， 所以． 例2．（25-26高一下·北京大兴·月考）为了打造城市生态休闲公园，设计师在公园里设计了四边形为绿植观赏区，四边形区域四周为健身步道，为提升通行效率，减少拥堵，在绿植观赏区中间增设了景观步道，，，，. (1)求步道的长； (2)若，求中间绿植观赏区总面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，所以. 在中，由余弦定理知， ， 因为，所以. （2）在中，由余弦定理知 ， 即，解得或（舍去）. 则中间绿植观赏区总面积为 . 例3．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在平面四边形中，，，． (1)若面积是2，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合余弦定理化简即可求解； （2）设，在中利用正弦定理可得，在中利用正弦定理可得，求出即可求解. 【详解】（1）， 所以， 由余弦定理可得， 所以； （2），则，， 在中，即，所以， 在中，，即，所以， 所以，解得， 又，，解得，所以. 例4．（2026·广东中山·一模）如图，在平面四边形中，，，． (1)若，求； (2)求平面四边形面积的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用直角三角形边角关系及正弦定理求解. （2）利用正弦定理及三角形面积公式列式，再利用和角的正弦及二倍角的正弦公式化简，借助正弦函数的性质求出范围. 【详解】（1）由，得，而，则， ，由，得，， 则，，在中，由正弦定理得， 所以. （2）由（1）知，设， 在中，由正弦定理得， 则，又， 因此四边形的面积 ，由，得， 因此，即， 所以四边形面积的取值范围是. 变式训练 变式1．（25-26高二下·贵州·月考）如图，在凸四边形ABCD（凸四边形指没有内角度数大于的四边形）中，，． (1)若四点共圆，且，求AD； (2)若，求凸四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆的几何性质，结合余弦定理进行求解即可； （2）利用三角形面积公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】（1）在中， 由余弦定理可知； 因为四点共圆，且， 所以由圆内接四边形的性质可知：， 因此在中， 由余弦定理可知， 解得：，或舍去； （2）在和中，， ， 所以， 设凸四边形ABCD面积为， 所以，所以 ， 所以当时，有最大值，即有最大值， 所以S的最大值为. 变式2．（25-26高一下·广东梅州·月考）如图，圆内接四边形中，， (1)若，求和四边形的面积. (2)若，当四边形面积最大时，求长. 【答案】(1)，四边形的面积， (2)8 【分析】（1）利用余弦定理结合已知条件求出，结合正弦定理求出四边形的外接圆半径，从而可求出，再结合勾股定理和三角形的面积公式可求出四边形的面积； （2）设,利用余弦定理和基本不等式可求得当时四边形面积取得最大值，然后结合余弦定理和正弦定理可求出长. 【详解】（1）圆内接四边形中，， 由余弦定理得. 设圆内接四边形的半径为，由正弦定理得. 因为，所以为圆内接四边形的直径， 所以. 在中，由勾股定理得， 同理，所以四边形的面积为 （2）四边形面积为：， 要使四边形的面积最大，只要最大. 设,由余弦定理得，即， 又，故，，当且仅当时取等号， 此时. 此时，所以为等边三角形，所以， 所以， 在中，，即， 所以， 所以， 所以，. 变式3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知平面四边形的两条对角线交于内部一点，且，. (1)若，且，求的周长； (2)判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； (3)若，，求四边形的面积. 【答案】(1)； (2)是，定值，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用已知条件及向量等式，结合余弦定理求边长，进而求周长   （2）利用向量线性运算：，结合已知条件等关系进行代换，推导为定值.   （3）已知对角线长度及夹角（或利用（2）的结论），四边形面积或者利用向量叉积公式. 【详解】（1）由， 当时， ， 又 从而， 即得，联立， 得， 则由余弦定理得， 即， 从而的周长. （2）是，理由如下： ， 又 由得 ， 所以， 即. （3）由, 从而，，所以， 所以四边形的面积. 变式4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知四边形中，，，，． (1)求； (2)求的长； (3)为线段上的动点，设为的面积，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）在中，直接利用余弦定理求解即可； （2）在中，利用余弦定理求出，从而得到，在中，同理求出，，再根据两角和的余弦公式即可求出，进而求出的长； （3）先建立直角坐标系，结合（2）得到直线的方程，设点坐标，从而得到和表达的表达式，进而结合一元二次方程及其判别式求解即可． 【详解】（1）在中，有，，， 则由余弦定理有， 又，所以． （2）在中，有，，，， 则由余弦定理有，则， 在中，有，，，， 则由余弦定理有，则， 则， 所以，即在中，． （3）以为原点，建立如下直角坐标系， 则结合（2）有，，，则直线的方程为， 又为线段上的动点，则不妨设，， 则， 又到的距离为，则， 令，则， 即， 左右两边平方，整理得到关于的一元二次方程， 又该一元二次方程有实数解， 则， 解得(舍去)，，即的最小值为． 故的最小值为． 实战演练 1．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在平面四边形中，已知，，． (1)求的面积； (2)若，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理先求，再由三角形的面积公式即可求解； （2）利用正弦定理先求，再由三角恒等变换得，最后利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理知， 即， 解得， ； （2）在中，由正弦定理知，解得， 又在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，由正弦定理得， 解得. 2．（25-26高一下·吉林·月考）在四边形ABCD中，，，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且． (1)若，求； (2)若，求BC的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，结合余弦定理可求得的长，在中，利用余弦定理即可求解； （2）在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理求得，进而得的值，然后在中，再次利用余弦定理，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以， 设，所以， 即，解得， 所以， 在中，由余弦定理可得：. （2）在中，由余弦定理可得， 所以，化简得， 解得， 因为是的中点，所以， 在中，由余弦定理可得 ， 所以， 因为，所以， 由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得： ， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：四边形中的解三角形问题复习讲义 期中培优：四边形中的解三角形问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 将四边形（含普通不规则四边形、特殊四边形）通过对角线分割为两个（或多个）可解三角形，依托正余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换，结合四边形的边、角、对角线固有性质（特殊四边形的平行/垂直/等角/互补，普通四边形的内角和360°、对边/对角线的关联），实现边角条件的转化与传递，先解出一个三角形的未知量，再将其作为已知条件解另一个三角形，最终求解四边形的边、角、面积、对角线及相关最值/范围，本质是割形化归，以解三角形核心知识为基底，结合四边形性质搭建边角等量关系。 二、通用解题思路 1. 定四边形类型，作核心辅助线 区分特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、梯形、筝形）与普通不规则四边形，核心辅助线为作一条对角线（优先选能集中已知边角条件、将四边形拆为“一解一待解”三角形的对角线，如连接已知两边夹角的顶点）； 特殊四边形可结合性质简化分割：如梯形作高+对角线拆为直角三角形+斜三角形，菱形/筝形利用对角线垂直平分直接拆为四个直角三角形。 1. 转四边形条件，标三角形已知量 结合四边形性质将已知条件转化为分割后三角形的边角，核心转化方向： · 特殊四边形：平行得内错角相等/同位角相等、邻角互补；矩形/菱形对角线得直角/等边/等线段；梯形两底平行得角的互补/相等； · 普通四边形：利用内角和360°补全未知角，利用对角线的公共边实现两个三角形的条件关联。 标注所有转化后的已知量（边、角），明确每个三角形的已知类型。 1. 选定理解三角形，实现条件传递 分析分割后的三角形，先解已知条件充分的三角形： · 已知三边/两边及夹角→用余弦定理求角（或第三边）； · 已知两角及一边/一边及对角+另一条件→用正弦定理求边（或角），注意大边对大角排除增解； · 直角三角形（矩形/梯形高/菱形对角线构造）→直接用勾股定理+锐角三角函数简化计算； 解出该三角形的未知边/角后，将其作为另一三角形的已知条件（如公共对角线、互补角/等角），实现条件传递。 1. 解待解三角形，整合边角结果 利用传递后的条件，再次结合正余弦定理求解另一三角形的未知量，最终整合两个三角形的所有边角，得到四边形的全部边、角、对角线长度。 1. 求四边形目标量，验证结果合理性 根据题干要求，计算四边形的周长、面积（两个三角形面积和）、对角线夹角，或求解边/角/面积的最值/范围（高中拓展题型）； 验证结果符合几何逻辑：如边长为正、角的范围在(0,π)、四边形内角和360°、SSA型解的唯一性（大边对大角）。 三、核心拓展：四边形解三角形的最值/范围问题解法 高中常考四边形边角/面积的最值，在上述四步法基础上，增加变量化与函数化步骤： 1. 设一个核心变量（如某角为，或某边为，）； 2. 用正余弦定理将待求量（面积/边长）表示为关于的三角函数式（如）或关于的代数函数； 3. 结合三角函数有界性（）或基本不等式（），结合四边形的边角约束（如两边之和大于第三边、角的范围）求最值/范围。 例题分析 例1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知的面积为. (1)求的大小； (2)若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围； (3)如图，以的边作形成凸四边形，记的面积为，若，，，且，的值. 例2．（25-26高一下·北京大兴·月考）为了打造城市生态休闲公园，设计师在公园里设计了四边形为绿植观赏区，四边形区域四周为健身步道，为提升通行效率，减少拥堵，在绿植观赏区中间增设了景观步道，，，，. (1)求步道的长； (2)若，求中间绿植观赏区总面积. 例3．（24-25高一下·广东汕头·期中）如图，在平面四边形中，，，． (1)若面积是2，求； (2)若，求． 例4．（2026·广东中山·一模）如图，在平面四边形中，，，． (1)若，求； (2)求平面四边形面积的取值范围． 变式训练 变式1．（25-26高二下·贵州·月考）如图，在凸四边形ABCD（凸四边形指没有内角度数大于的四边形）中，，． (1)若四点共圆，且，求AD； (2)若，求凸四边形ABCD面积的最大值． 变式2．（25-26高一下·广东梅州·月考）如图，圆内接四边形中，， (1)若，求和四边形的面积. (2)若，当四边形面积最大时，求长. 变式3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知平面四边形的两条对角线交于内部一点，且，. (1)若，且，求的周长； (2)判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； (3)若，，求四边形的面积. 变式4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知四边形中，，，，． (1)求； (2)求的长； (3)为线段上的动点，设为的面积，求的最小值． 实战演练 1．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在平面四边形中，已知，，． (1)求的面积； (2)若，且，求的长． 2．（25-26高一下·吉林·月考）在四边形ABCD中，，，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且． (1)若，求； (2)若，求BC的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $