培优08 拓展专题之四：解三角形中的角平分线定理、张角定理、平行四边形定理5大题型（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

培优08 拓展专题之四：解三角形中的角平分线定理、张角定理、平行四边形定理（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用角平分线定理解决长度问题 题型02 利用角平分线定理解决面积问题 题型03 利用张角定理解决三角形的边、角问题 题型04 利用张角定理解决最值或范围问题 题型05 利用平行四边形定理解决中线问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 角平分线定理 掌握定理边角比例关系，能结合边长、角度列式，求解线段长度、比值，解决三角形线段最值与范围题型 常融合解三角形计算，多以线段分割、边长求值形式出题，中档小题高频考查 张角定理 熟记公式结构，快速构建边角等式，完成变量统一变换，运用不等式、三角性质求最值范围 多用于共顶点分角模型，侧重最值求解，选择填空压轴类题型多见 平行四边形定理 理解对角线与四边边长数量关系，灵活变形换算，适配向量、边长计算类问题 常结合向量、解三角形综合考查，多用于边长换算、模长相关计算 知识点01 角平分线定理 1．角平分线定理 在中，的平分线交于点（如图），则有. 【证明】因为，所以， 在中使用正弦定理有， 在中使用正弦定理有，又， 所以. 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 2.常见推论： （1）； （2）（库斯顿定理）； （3）. （4）（等面积法）. 知识点02 张角定理 1.张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 【证明】 因为，所以，于是等式两边同除以得． 2.张角定理与角平分线的长 特别地，如果在中，角，所对的边分别为，，的平分线交于点，根据张角定理就会有，再使用二倍角公式得到，加以化简也就得到，即，根据这个思路我们就可以处理与角平分线长相关的问题了． 【注】张角定理在选择、填空题中直接用就行，但是在解答题中使用之前需要推理一下． 知识点03 平行四边形定理 1．平行四边形定理 若四边形为平行四边形（如图），则． 2．定理的证明 【证明】 因为四边形是平行四边形，所以，， 且，在中使用余弦定理有， 在中使用余弦定理有， 所以． 题型一 利用角平分线定理解决长度问题 解｜题｜技｜巧 角平分线定理实际上构建了角平分线分对边形成的两条线段长度与该角的两条邻边长度之间的关系，题目中出现角平分线条件时，可以考虑使用这组关系列式子解决问题. 【典例1】（25-26高三上·河北邯郸·期中）如图，在中，内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)求； (2)若，，求的面积； (3)已知的角平分线交于，且，求． 【变式1-1】记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，AB边上的角平分线长度为t，则（    ） A．3 B．6 C．3或6 D． 【变式1-2】在中，角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，且满足，，，则______. 【变式1-3】（25-26高一下·山东枣庄·期中）中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 题型二 利用角平分线定理解决面积问题 解｜题｜技｜巧 常利用角平分线定理的以下两个推论速解面积问题 （3）. （4）（等面积法）. 【典例2-1】1.在中，，的平分线AD交BC于点D，的面积是面积的3倍，则=（ ） A.     B.    C.      D. 【典例2-2】（25-26高二上·湖南常德·期末）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角； (2)已知的角平分线交于点，若的面积为，求. 【变式2-1】（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知的内角所对的边分别为. (1)求角； (2)若的角平分线与交于点的面积为，求. 【变式2-2】（2025高二上·贵州·学业考试）记的内角、、所对的边分别为、、，，. (1)若，求； (2)求的最大值； (3)若内角的角平分线交边于点，且，求的面积. 题型三 利用张角定理解决三角形的边、角问题 解｜题｜技｜巧 张角定理的本质是通过三角形的面积公式构建三角方程. (1)如果是已知的，使用张角定理可以建立AD，b，c之间的关系； (2)如果AD，b，c是已知的，使用张角定理可以得到满足的三角方程. 【典例3】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC， AB，AD=3，则CD= . 【变式3-1】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点D在边上，，，，，则______. 【变式3-2】.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，点D在边上，，若，，则_______. 题型四 利用张角定理解决最值或范围问题 解｜题｜技｜巧 已知共顶点两角、线段分线段模型，先用张角定理建立边角等式,将边长、角度变量统一，结合正余弦定理、三角恒等变换化简式子.借助三角函数有界性、基本不等式，约束变量取值范围，进而求出边长、面积、比值等目标式的最值与范围. 【典例4】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，的平分线交于点D，且，则的最小值为______. 【变式4-1】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，点E在上，是的平分线，则的取值范围为_______. 【变式4-2】在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为 . 题型五 利用平行四边形定理解决中线问题 解｜题｜技｜巧 平行四边形定理常用于解决三角形中线长的相关问题．如图所示，在中，如果是的中点，我们倍长中线即可得到平行四边形，根据平行四边形定理有，于是就有，因此得到与，这样就能较为快速地处理中线长相关问题． 【典例5】在中，. 1. 求； 1. 求边上的中线长. 【变式5-1】（2026·四川绵阳·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)若是边的中点，求的值. 【变式5-2】（25-26高一下·福建宁德·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. (1)求； (2)若，的面积为，且，求、； (3)在（2）的条件下，D为的中点，求中线的长. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2026·陕西延安·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若的角平分线交AC于点D，且，求BD． 4．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin 2A+sin 2B=C. (1)求C; (2)若c=2,a=3b,点D在边AB上,且∠ACD=∠BCD,求CD的长. 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，的平分线交于点D，且，则的面积最小值为_______. 2．已知的三个内角所对的边分别是．已知 (1)求角； (2)若点在边上，，请在下列两个条件中任选一个，求边长． ①为的角平分线；②为的中线． 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为,AD为∠BAC的角平分线,且交BC于点D,AD=1. (1)若b+c=,求△ABC周长. (2)若=3,求tan B的值. 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1． .在△ABC中，，AC边的中线长，则△ABC周长的最大值为（ ） A．    B．6    C．    D．9 2.ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则角B的值为 ；若a＋c＝6，则AC边的中线的最小值为 ． 3．在中，内角所对的边分别为，已知，边上的中线长为6. (1)若，求； (2)求面积的最大值. 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优08 拓展专题之四：解三角形中的角平分线定理、张角定理、平行四边形定理（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用角平分线定理解决长度问题 题型02 利用角平分线定理解决面积问题 题型03 利用张角定理解决三角形的边、角问题 题型04 利用张角定理解决最值或范围问题 题型05 利用平行四边形定理解决中线问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 角平分线定理 掌握定理边角比例关系，能结合边长、角度列式，求解线段长度、比值，解决三角形线段最值与范围题型 常融合解三角形计算，多以线段分割、边长求值形式出题，中档小题高频考查 张角定理 熟记公式结构，快速构建边角等式，完成变量统一变换，运用不等式、三角性质求最值范围 多用于共顶点分角模型，侧重最值求解，选择填空压轴类题型多见 平行四边形定理 理解对角线与四边边长数量关系，灵活变形换算，适配向量、边长计算类问题 常结合向量、解三角形综合考查，多用于边长换算、模长相关计算 知识点01 角平分线定理 1．角平分线定理 在中，的平分线交于点（如图），则有. 【证明】因为，所以， 在中使用正弦定理有， 在中使用正弦定理有，又， 所以. 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即 2.常见推论： （1）； （2）（库斯顿定理）； （3）. （4）（等面积法）. 知识点02 张角定理 1.张角定理 在中，角，，所对的边分别为，，，若为上一点（如图），且，，则有． 【证明】 因为，所以，于是等式两边同除以得． 2.张角定理与角平分线的长 特别地，如果在中，角，所对的边分别为，，的平分线交于点，根据张角定理就会有，再使用二倍角公式得到，加以化简也就得到，即，根据这个思路我们就可以处理与角平分线长相关的问题了． 【注】张角定理在选择、填空题中直接用就行，但是在解答题中使用之前需要推理一下． 知识点03 平行四边形定理 1．平行四边形定理 若四边形为平行四边形（如图），则． 2．定理的证明 【证明】 因为四边形是平行四边形，所以，， 且，在中使用余弦定理有， 在中使用余弦定理有， 所以． 题型一 利用角平分线定理解决长度问题 解｜题｜技｜巧 角平分线定理实际上构建了角平分线分对边形成的两条线段长度与该角的两条邻边长度之间的关系，题目中出现角平分线条件时，可以考虑使用这组关系列式子解决问题. 【典例1】（25-26高三上·河北邯郸·期中）如图，在中，内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)求； (2)若，，求的面积； (3)已知的角平分线交于，且，求． 【分析】（1）应用正弦定理计算结合角的范围求角； （2）应用正弦定理结合面积公式计算求解； （3）应用正弦定理结合角平分线性质，两角差的正弦公式计算求值. 【详解】（1）由题得， 由正弦定理得， ，，又， ，． （2），，， 又，，， ，，，，． 所以的面积为． （3）设，则，因为，所以． 由角平分线定理得 在中，由正弦定理可得． 在中，由正弦定理可得．所以， 所以，． 所以 ． 【变式1-1】记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，AB边上的角平分线长度为t，则（    ） A．3 B．6 C．3或6 D． 【答案】A 【详解】如图所示，令， 则，解得：（负舍），， 在中，，； 又为角平分线，由角平分线性质可得，所以， 在中，①，在中， ②， 由①②可得：，所以, 故选：A. 【变式1-2】在中，角，，所对的边分别为，，，的平分线交于点，且满足，，，则______. 【答案】 【详解】根据角平分线定理有，于是， 又，，于是再对使用余弦定理有，进而得到，因此. 【变式1-3】（25-26高一下·山东枣庄·期中）中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和与差的正弦公式即可计算求解； （2）（i）先分别在和中利用正弦定理结合和比例的性质得和，接着在和中利用余弦定理结合即可分析计算求解； （ii）先由（1）得，进而得到，，接着由题设结合（i）得，再结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得 ， 因为A，，所以，，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①，    同理在中，②， BD是的角平分线，则， 由比例的性质得，即， 同理得，即， 在中，由余弦定理得③， 中，由余弦定理得④， 又，故，， 由得 ， 则， 即； （ii）因为，故， 则，则，， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即，时等号成立， 故的最大值为． 题型二 利用角平分线定理解决面积问题 解｜题｜技｜巧 常利用角平分线定理的以下两个推论速解面积问题 （3）. （4）（等面积法）. 【典例2-1】1.在中，，的平分线AD交BC于点D，的面积是面积的3倍，则（ ） A.     B.     C.     D. 【答案】A 【详解】因为（角平分线定理的推论）， 即c=3b，在中，作AB边上高，垂足为， 则 故选:A. 【技巧点拨】三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合爪形结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中的“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷. 【典例2-2】（25-26高二上·湖南常德·期末）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角； (2)已知的角平分线交于点，若的面积为，求. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解； （2）根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 所以， 因为，则，可得， 则，故； （2）由，解得， 因为，即， 即， 解得. 【变式2-1】（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知的内角所对的边分别为. (1)求角； (2)若的角平分线与交于点的面积为，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知及正弦定理的边角关系有，再应用三角恒等变换、三角形内角的性质求角的大小； （2）根据已知，结合三角形面积公式、余弦定理得，再由和面积公式求的长. 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， ， ， 又，所以， ，即， ，即 又，所以， 所以，则； （2）由（1）知， 则，所以，又， 由余弦定理有， ，则， 又为的角平分线，则， 则， . 【变式2-2】（2025高二上·贵州·学业考试）记的内角、、所对的边分别为、、，，. (1)若，求； (2)求的最大值； (3)若内角的角平分线交边于点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理可求得的值； （2）由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值； （3）利用结合三角形的面积公式可得出，利用余弦定理可得出关于的方程，解出的值，结合三角形的面积公式可求得答案. 【详解】（1）因为，，，由正弦定理，则. （2）由余弦定理结合基本不等式可得，即， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. （3）因为内角的角平分线交边于点，且， 由，即， 即，所以， 由余弦定理可得， 即，即， 因为，故，所以. 题型三 利用张角定理解决三角形的边、角问题 解｜题｜技｜巧 张角定理的本质是通过三角形的面积公式构建三角方程. (1)如果是已知的，使用张角定理可以建立AD，b，c之间的关系； (2)如果AD，b，c是已知的，使用张角定理可以得到满足的三角方程. 【典例3】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC， AB，AD=3，则CD= . 【答案】 【详解】如图： ∵sin∠BAC ∴cos∠BAC 由张角定理得： 即 即,即 解得, ∴ 【题后反思】因为本题条件中出现，所以联想到张角定理得到 使用张角定理得到，这是解决本题的关键. 【变式3-1】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点D在边上，，，，，则______. 【答案】2 【详解】 如图，由题意，，， 由张角定理，， 所以，解得：，故. 【变式3-2】.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，点D在边上，，若，，则_______. 【答案】 【详解】解法一：， 又，所以，因为，所以，故，结合可得， 如图，，，因为， 所以，故，从而，解得：或（舍去），从而. 解法二：，又， 所以，因为，所以，故， 结合可得， 设，由张角定理，，即， 又，所以，解得：，从而. 题型四 利用张角定理解决最值或范围问题 解｜题｜技｜巧 已知共顶点两角、线段分线段模型，先用张角定理建立边角等式,将边长、角度变量统一，结合正余弦定理、三角恒等变换化简式子.借助三角函数有界性、基本不等式，约束变量取值范围，进而求出边长、面积、比值等目标式的最值与范围. 【典例4】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，的平分线交于点D，且，则的最小值为______. 【答案】4 【详解】解法1：如图，， ， 所以，故，从而， 当且仅当时取等号，所以的最小值为4. 解法2：如图，由张角定理，， 所以，故， 从而， 当且仅当时取等号，故的最小值为4. 【变式4-1】在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，点E在上，是的平分线，则的取值范围为_______. 【答案】 【详解】解法1：如图，由角平分线性质定理，， 设，，则，由，得：， 由Stewart公式，，故，因为，所以. 解法2：如图，设，，则， 故，，故，即. 解法3：设，则， 由张角定理，， 所以，因为，所以. 【变式4-2】在中，角所对的边分别为，是的角平分线，若，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】利用张角定理得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 如图： ∵是的角平分线，， ∴， 由张角定理得：， 即， ∵，∴， ∴， ∴， 当且仅当，即时取“=”. 题型五 利用平行四边形定理解决中线问题 解｜题｜技｜巧 平行四边形定理常用于解决三角形中线长的相关问题．如图所示，在中，如果是的中点，我们倍长中线即可得到平行四边形，根据平行四边形定理有，于是就有，因此得到与，这样就能较为快速地处理中线长相关问题． 【典例5】在中，. 1. 求； 1. 求边上的中线长. 【答案】(1)8;(2). 【详解】（1）因为，，故， 所以，解得， 故，故. （2）如图所示，是中点，连接， 根据平行四边形定理可得， 则， 解得，即边上的中线为. 【技巧点拨】第（2）小题中，平行四边形定理给出了平行四边形的四边和两条对角线的关系，而三角形的中线相当于对角线的一半，必要时可构造平行四边形. 【变式5-1】（2026·四川绵阳·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)若是边的中点，求的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，利用余弦定理列方程求得. （2）利用向量法列方程，化简后求得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由，得，所以， 因为，由余弦定理， 则， ， 解得(舍去). （2）因为是边的中点， 所以， 所以， ，所以. 解法二：由平行四边形定理得， 即，解得. 【变式5-2】（25-26高一下·福建宁德·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. (1)求； (2)若，的面积为，且，求、； (3)在（2）的条件下，D为的中点，求中线的长. 【答案】(1)；(2)，.(3) 【详解】（1）因为角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足， 根据正弦定理得，因为， 所以，所以， 化简得，又，所以. 又，所以. （2）由，，得. 由余弦定理，得. 则，所以.又则，. （3）解法一：由于，所以 根据余弦定理得. 在中，，所以根据余弦定理得 所以. 解法二：由平行四边形定理得， 即，解得. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（2026·陕西延安·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解法1：利用正弦定理结合条件可知：，即， 由余弦定理即，故，， 在中由余弦定理可知：， 在中由余弦定理可知：， 整理得：，即. 故选：D 解法2：同解法1求得，，由平行四边形定理得， 即，解得. 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 3．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若的角平分线交AC于点D，且，求BD． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，因为，所以； （2）因为，所以， 因为BD平分，所以，即， 由（1）知，，解得，， 因为，所以， 整理得 . 4．在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sin 2A+sin 2B=C. (1)求C; (2)若c=2,a=3b,点D在边AB上,且∠ACD=∠BCD,求CD的长. 【答案】（1）；（2） 【详解】(1)由正弦定理,条件等式可化为 a2+b2=c2-absin C, 又a2+b2=c2+2abcos C, ∴-absin C=2abcos C, ∴tan C=-,∴C=. (2)∵c=2,a=3b, 由余弦定理,得(2)2=a2+b2-2ab=9b2+b2-6b2=13b2,∴b=2. 由张角定理,得=+, ∴=+=,∴CD==. 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，的平分线交于点D，且，则的面积最小值为_______. 【答案】 【详解】解法1：如图，， ， 所以，从而，故，当且仅当时取等号， 因为，所以的面积的最小值为. 解法2：如图，由张角定理，，所以，故， 从而，故，当且仅当时取等号，因为，所以的面积的最小值为. 2．已知的三个内角所对的边分别是．已知 (1)求角； (2)若点在边上，，请在下列两个条件中任选一个，求边长． ①为的角平分线；②为的中线． 【答案】(1) ;(2) 【详解】（1）在中，由正弦定理知， 所以， 又，所以， ， 又， ， 化简得，即， 又，所以． （2）选①，为的角平分线， 由得：， 即，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 所以. 选②，为的中线， 则，平方得， 所以，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理得， 所以. 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为,AD为∠BAC的角平分线,且交BC于点D,AD=1. (1)若b+c=,求△ABC周长. (2)若=3,求tan B的值. 【答案】(1) (2) 【详解】(1)如图,令∠BAC=2θ, 由张角定理得S△ABC=S△ABD+S△ACD, ∴=+,又AD=1, ∴bc·sin 2θ=(b+c)·sin θ, ∴2bc·cos θ=b+c,又b+c=, ∴bc·cos θ=.① 又S△ABC==S△ABD+S△ACD=, ∴(b+c)·sin θ=,又b+c=, ∴sin θ=,∴θ=,∴∠BAC=2θ=, 代入①,得bc·=,∴bc=. 在△ABC中,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bc·cos ∠BAC, 即a2=(b+c)2-2bc-2bc·cos 2θ, ∴a2=-2×-2××=, ∴a=,∴周长=a+b+c=. (2)∵=3,∴DC=3BD, 由角平分线性质可知===, 设AB=y,则AC=3y,BD=x,则DC=3x, 由(1)知,(b+c)·sin θ=, ∴(3y+y)·sin θ=,∴ysin θ=,② 又S△ABC==, ∴y·3y·sin 2θ=, ∴y2·sin 2θ=,③ 由②③得,tan θ=,∴θ=,y=, ∴c=,b=3y=4. 在△ABC中,由余弦定理得, a2=b2+c2-2bc·cos 2θ, ∴a==x+3x,∴x=. 在△ABD中,由余弦定理得, AD2=BD2+AB2-2BD·AB·cos B, ∴1=x2+y2-2x·y·cos B, ∴cos B=, ∴sin B==, ∴tan B==. 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1． .在△ABC中，，AC边的中线长，则△ABC周长的最大值为（ ） A．    B．6    C．    D．9 【答案】B 【详解】先利用平行四边形定理得到，设，，再由可求出的最大值，从而可求出△ABC周长的最大值. 根据平行四边形定理可得， 即，又因为，且， 所以，即， 设，， 由得， 则，（当且仅当，即，是取等）， ∴周长的最大值为6． 故选：B 2.ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则角B的值为 ；若a＋c＝6，则AC边的中线的最小值为 ． 【答案】, 【详解】∵，∴， 而， ∴， ∵，∴ 即， ∵，∴，∴，故； 延长中线到点，使得， 不妨设中线长为，如图所示，即， 由平面几何知识易得四边形是平行四边形，而， ∴，，， ∴在中，由余弦定理得， ∴，当且仅当时等号成立. 3．在中，内角所对的边分别为，已知，边上的中线长为6. (1)若，求； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) ;(2)24 【详解】（1）由有，故， 由正弦定理可得，故， 即，又，故. 若，则，故，则为直角三角形. 设，则，则，解得. 故. （2）由（1）可得，则. 设，则，由余弦定理可得， 即，由可得， 故. 故，当时取得最大值， 为. 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则由平行四边形定理得， 即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $