期末复习：解三角形中的周长最值与范围问题、面积的最值与范围问题复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

期末复习：解三角形中的周长最值与范围问题、面积的最值与范围问题复习讲义 期末复习：解三角形中的周长最值与范围问题、面积的最值与范围问题复习讲义 考点目录 解三角形中的周长最值与范围问题 解三角形中的面积最值与范围问题 考点一 解三角形中的周长最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基础工具 · 正弦定理：； · 余弦定理：； · 三角形内角和：，角范围 ； · 两边之和大于第三边：。 2. 两类常用转化思路 1. 边角互化：已知角或外接圆半径 ，全部转化为角，周长 ；利用三角恒等变换结合三角函数值域求范围。 1. 边变量 + 基本不等式：已知一角及其对边，如 固定， 定值，由余弦定理得 ，结合 求 最值，进而求周长 。 3. 范围约束条件 · 角约束：任意两角和小于 ； · 边约束：三角形三边关系； · 三角函数：，。 二、解题原理 1. 已知一边及其对角（定边定角模型，高频） ① 余弦定理建立 等式，利用均值不等式求 最大值； ② 利用三角形三边关系求 下界，得到 范围，周长范围直接加定值 ； ③ 等号成立条件 ，即三角形为等腰时周长取最大值。 2. 已知外接圆半径 、一个角 ① 周长全部化为正弦：； ② 用 消元，统一为单角三角函数； ③ 根据剩余角的取值范围，结合正弦函数单调性求值域，得到周长范围。 3. 限定角范围（如锐角三角形、钝角三角形） 额外增加角的不等式约束（三个角均小于 ），缩小变量取值区间，再求周长范围。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏镇江·月考）已知向量，设函数． (1)化简并写出的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，求周长的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为 (2) (3) 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变形即可求出周期； （2）利用变换角，再由两角差正弦公式即可求值； （3）利用正弦定理化边为角，借助函数的单调性即可求值域. 【详解】（1） 函数的最小正周期为． （2），且，则， 故， 则 ； （3），又为锐角三角形， 所以，则， 由正弦定理， 可得三角形的周长， 解得，因为都在上递增， 所以在上单调递减， 所以的取值范围为． 例2．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）的内角的对边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若的面积为，求； (3)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用正弦定理通过解已知方程即可求出角A的值； （2）利用三角形的面积公式求出，结合余弦定理即可求解； （3）利用余弦定理求出，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）已知，根据正弦定理可得，， 由于在中，，所以，， 因此，化简得， 由于，，所以，由于，解得. （2）由（1）可知，，又因为的面积为，即， 化简得，， 又因为，根据余弦定理，可得， 化简得， 所以，即，结合，解得. （3）由（1）可知，，又因为， 根据余弦定理，可得， 化简得，即，， 根据基本不等式，有，所以，解得，即， 当且仅当，即时取等号， 所以周长的最大值为. 例3．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）在中，角，，的对边分别为 ， ，且. (1)求； (2)若的面积为且为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】通过正弦定理边角互换将边长化成角度正弦值，再利用三角形内角和将角B换成A与C的关系化简即可； 通过面积公式可以将边计算出来，再利用正弦定理将周长用角度表示出来，通过角度的关系可以找出周长的范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以，因为，所以， 所以，. （2）因为，所以， 由正弦定理有， ， ， 所以，因为，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，所以，所以， 因为在上为单调递减，所以， 所以，则， 所以周长的取值范围为. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)若，，求的周长； (2)若的面积为，为边的中点，求长的最小值； (3)若，求锐角周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先化简并由求出，应用正弦定理求得，再应用余弦定理列方程求，结合确定其值，即可得； （2）由面积公式得，利用中线向量公式，结合均值不等式求得的最小值； （3）由正弦定理得外接圆半径，将周长表示为的三角函数，结合锐角三角形条件，可求得周长范围. 【详解】（1）， 由 ， 由，因此， 其中，则，故， 由，可得， 由，则，可得， 所以或，又，则，即， 综上，，故三角形的周长为； （2）由已知，又的面积为，则，解得， 又，则 当且仅当时，等号取到，所以； 即边上中线长的最小值为． （3）由正弦定理可知：， 因此有 ， 由于，故，则， 可得，因此. 变式2．（25-26高一下·山东日照·阶段检测）已知，，函数. (1)求函数的解析式及周期T； (2)角A、B、C分别为a、b、c三边所对的角，若，，求周长的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换化简，利用公式求周期； （2）由，求得，根据余弦定理结合基本不等式计算求解即可. 【详解】（1）. 周期； （2）由可得，即， 又 ，则，则，所以. 由余弦定理知：， ∴， ∴，当且仅当时“=”成立， 此时为等边三角形，又，所以的周长的最大值为. 变式3．（24-25高一下·福建厦门·阶段检测）在△ABC中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的平分线交于点，，的面积为，求的长度； (3)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由正弦定理边化角，再根据三角诱导公式以及两角和的正弦公式即可求解； （2）根据面积公式结合面积关系即可求解； （3）根据余弦定理和基本不等式即可求解. 【详解】（1）根据正弦定理，边化角得： ， 又，故， 代入上式整理得： ， 因为，，所以， 又，得. （2）由三角形面积公式： ，得， 是角平分线，故，由面积关系， 设， 则 ， 代入得：，解得. （3）由余弦定理： ， 即，得， 由基本不等式，代入得： 当且仅当时等号成立， 所以的周长， 故的周长最大值为. 考点二 解三角形中的面积最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 面积核心公式 。 2. 配套公式 · 定边定角：已知 、，余弦定理 ； · 均值不等式：； · 正弦代换：，。 3. 重要结论 定边定角条件下，（等腰三角形）时， 取得最大值，面积 最大。 二、解题原理 1. 定边定角题型（最常考） ① 由余弦定理变形表示 ：； ② 解不等式求出 的最大值； ③ 代入 得到面积最大值； ④ 根据三边/角度限制求出 下界，得到面积取值范围。 2. 已知外接圆半径 全部转化为角的三角函数，，消元为单三角函数，结合角范围求面积值域。 3. 给定周长求面积最值 设周长定值，结合余弦定理与均值不等式，当三角形为等边三角形时面积最大。 4. 带角度限制（锐角/钝角三角形） 利用余弦符号限制边长范围：锐角 ，钝角 ，缩小 的取值区间，再求面积范围。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·山东日照·阶段检测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求解； （2）由锐角三角形得，由正弦定理求得（用表示），然后由三角形面积公式表示出面积，利用两角差的正弦公式、同角关系式变形后，结合正切函数性质、不等式的性质得结论. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 整理得，所以， 而是三角形内角，所以； （2）由（1）得， 为锐角三角形，则，所以， 由正弦定理得， 由面积公式得 ， 而，则，可得， 所以，故. 例2．（25-26高二下·河南·阶段检测）在 中，内角，，的对边分别为 ， ，，满足． (1)求角的大小； (2)若 ，求 面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理及降幂公式化简已知方程，再利用辅助角公式求出角； （2）由余弦定理得到方程，根据重要不等式得出面积的最值. 【详解】（1）， 即， 因为，所以， 即， 则，即， 因为，， 所以，. （2）由余弦定理得，即， 因为，所以， ， 当且仅当时等号成立. 例3．（25-26高一下·辽宁大连·阶段检测）已知的内角的对边分别为，且． (1)求． (2)若，且 边上的中线长为，求的面积． (3)若角的平分线长为，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）在中使用余弦定理计算，再由面积公式即可求解； （3）由，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，又， 代入可得： ， 又，故 （2） 记边上的中线为，则， 在中，由余弦定理得， 化简可得：，解得或（舍）， 所以. （3） 设角平分线交于，， 由得： ， 化简得 ，由基本不等式得， 解得： ，当且仅当 时等号成立， 故面积最小值. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解； （2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案； （3）根据面积公式、正弦定理转化为三角函数，再由三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 其中，故．∴，即， 因为，所以. （2）因为，所以， 由余弦定理可得 即，所以， 所以的周长为. （3）因为是锐角三角形，， 所以，解得， 由正弦定理，，则， 所以， ， 由得，所以， 所以， 即面积的取值范围为. 变式2．（25-26高一下·四川巴中·期中）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换证明. （2）根据锐角三角形限制确定角的取值范围，通过正弦定理将转化为关于的三角函数，推导三倍角公式化简后，用单调性定义判断函数单调性，进而求得的取值范围. （3）将三角形面积转化为关于角的三角函数，用单调性定义判断单调性，进而求得面积的取值范围. 【详解】（1）∵ ，由正弦定理（为外接圆半径）， 得，， 代入得，即. ∵ 在中，，∴ ， ∴ 代入上式得， 整理得，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，，∴ ， ∴ 若， 则或 （后者得 ，不符合三角形内角要求，舍去）， ∴ ，得证. （2）为锐角三角形， ∴ ，解得. 由正弦定理，，得. ∵ ，∴ ，，， . ∴ ，，且， ∴ . ∵ ，代入得. 令，∵ ，∴ ，则. 任取， 则. ∵ ，∴ ，又，∴ ， ∴ ，即，∴ 在上单调递增. ∴ 当时，； 当时，， ∴ . （3）三角形面积，由正弦定理，，， ∴ ，又，， ∴ . 代入， ， ∴ . 令，由得，则， ∴ ，， 则. 令，，则， 该二次函数开口向上，对称轴为，故在上单调递增， 当； 当 ∴ ，又，故， 即三角形ABC面积的取值范围为. 变式3．（25-26高一下·宁夏·期中）在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． (3)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理，即可求解； （2）利用余弦定理和三角形的面积公式，即可求解，从而求出周长； （3）利用余弦定理得到，再结合不等式，得到，最后利用面积公式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得到, 即； 即， 整理得到， 又因为，所以，得， 又因为，所以. （2）由，即，得到 ， 由余弦定理， 得到，即， 所以的周长为. （3）由余弦定理，得； 又因为，所以， 得到，当且仅当时取等， 因为，所以， 故面积的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：解三角形中的周长最值与范围问题、面积的最值与范围问题复习讲义 期末复习：解三角形中的周长最值与范围问题、面积的最值与范围问题复习讲义 考点目录 解三角形中的周长最值与范围问题 解三角形中的面积最值与范围问题 考点一 解三角形中的周长最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 基础工具 · 正弦定理：； · 余弦定理：； · 三角形内角和：，角范围 ； · 两边之和大于第三边：。 2. 两类常用转化思路 1. 边角互化：已知角或外接圆半径 ，全部转化为角，周长 ；利用三角恒等变换结合三角函数值域求范围。 1. 边变量 + 基本不等式：已知一角及其对边，如 固定， 定值，由余弦定理得 ，结合 求 最值，进而求周长 。 3. 范围约束条件 · 角约束：任意两角和小于 ； · 边约束：三角形三边关系； · 三角函数：，。 二、解题原理 1. 已知一边及其对角（定边定角模型，高频） ① 余弦定理建立 等式，利用均值不等式求 最大值； ② 利用三角形三边关系求 下界，得到 范围，周长范围直接加定值 ； ③ 等号成立条件 ，即三角形为等腰时周长取最大值。 2. 已知外接圆半径 、一个角 ① 周长全部化为正弦：； ② 用 消元，统一为单角三角函数； ③ 根据剩余角的取值范围，结合正弦函数单调性求值域，得到周长范围。 3. 限定角范围（如锐角三角形、钝角三角形） 额外增加角的不等式约束（三个角均小于 ），缩小变量取值区间，再求周长范围。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏镇江·月考）已知向量，设函数． (1)化简并写出的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，求周长的取值范围． 例2．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）的内角的对边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若的面积为，求； (3)若，求周长的最大值. 例3．（25-26高一下·山东青岛·阶段检测）在中，角，，的对边分别为 ， ，且. (1)求； (2)若的面积为且为锐角三角形，求周长的取值范围. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)若，，求的周长； (2)若的面积为，为边的中点，求长的最小值； (3)若，求锐角周长的取值范围. 变式2．（25-26高一下·山东日照·阶段检测）已知，，函数. (1)求函数的解析式及周期T； (2)角A、B、C分别为a、b、c三边所对的角，若，，求周长的最大值. 变式3．（24-25高一下·福建厦门·阶段检测）在△ABC中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的平分线交于点，，的面积为，求的长度； (3)若，求周长的最大值. 考点二 解三角形中的面积最值与范围问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 面积核心公式 。 2. 配套公式 · 定边定角：已知 、，余弦定理 ； · 均值不等式：； · 正弦代换：，。 3. 重要结论 定边定角条件下，（等腰三角形）时， 取得最大值，面积 最大。 二、解题原理 1. 定边定角题型（最常考） ① 由余弦定理变形表示 ：； ② 解不等式求出 的最大值； ③ 代入 得到面积最大值； ④ 根据三边/角度限制求出 下界，得到面积取值范围。 2. 已知外接圆半径 全部转化为角的三角函数，，消元为单三角函数，结合角范围求面积值域。 3. 给定周长求面积最值 设周长定值，结合余弦定理与均值不等式，当三角形为等边三角形时面积最大。 4. 带角度限制（锐角/钝角三角形） 利用余弦符号限制边长范围：锐角 ，钝角 ，缩小 的取值区间，再求面积范围。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·山东日照·阶段检测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 例2．（25-26高二下·河南·阶段检测）在 中，内角，，的对边分别为 ， ，，满足． (1)求角的大小； (2)若 ，求 面积的最大值． 例3．（25-26高一下·辽宁大连·阶段检测）已知的内角的对边分别为，且． (1)求． (2)若，且 边上的中线长为，求的面积． (3)若角的平分线长为，求的面积的最小值． 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 变式2．（25-26高一下·四川巴中·期中）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 变式3．（25-26高一下·宁夏·期中）在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． (3)若，求面积的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $