精品解析：2026年广东省深圳市龙岗区深圳中学龙岗学校中考前模拟数学试题

2025-2026第二学期九年级学情反馈—数学 说明： 1．本试卷共6页，满分100分，考试用时90分钟． 2．答题前请将姓名、考号和班级写在答题卡相应的位置，并将条形码贴在答题卡相应区域． 3．考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 4．答题卡必须保持清洁，不能折叠．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 比亚迪是深圳一家著名企业，某年比亚迪新能源汽车销量约为460万辆，同比增长8.2%，其中460万用科学记数法表示为（ ） A. 4.6×10⁶ B. 4.6×10⁷ C. 46×10⁵ D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将单位“万辆”的单位转化为“辆”，再根据科学记数法的规则确定和的值，即可得到结果． 【详解】解：∵ 460万 ， 科学记数法的表示形式为，要求，为整数， 将4600000转化为的形式时，小数点向左移动6位，得，， ∴ 460万用科学记数法表示为． 3. 为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份20元，乙种套餐每份15元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（ ） A. 17.5 B. 18 C. 18.5 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，以订购不同套餐的学生占比为权重，计算平均花费即可求解． 【详解】解：设该校订餐学生总人数为， ∵订购甲种套餐的人数为，订购乙种套餐的人数为， ∴总花费为， ∴平均花费为． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方、完全平方公式、合并同类项，同底数幂的乘法，依次进行判断即可得出结果． 【详解】解；A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】题目主要考查积的乘方、完全平方公式、合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 5. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 6. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系：①枚黄金的重量11枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量1枚白银的重量枚黄金的重量两． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为， 故选：D． 7. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，数学兴趣小组通过无人机测量得，，下列计算塔身中心线（单位：）结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题可知，是直角三角形，，，， ． 8. 小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（ ） A. 点在的图象上 B. 当时，随的增大而减小 C. 最多有三个实数根 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解． 【详解】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得，当时，y随x的增大而减小，故B正确，不合题意． 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得 若，则，故D错误，符合题意； 故选：D． 第二部分非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若代数式有意义，则的值可以是____________．（写一个满足条件的实数即可） 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数为非负数，列出不等式求解得到的取值范围，在范围内任取一个实数即可． 【详解】若二次根式有意义，则被开方数为非负数， ∴ 解得 任取一个满足条件的实数，例如． 10. 若，则代数式的值为_____________． 【答案】2026 【解析】 【详解】解：， ． 11. 如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点，，且．当时，________． 【答案】##96度 【解析】 【分析】先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 由题意得，正六边形内角和为：， ， ， ， ， ， ． 12. 如图，反比例函数的图象经过点，连接，把线段向上平移个单位得到线段，与反比例函数的图象交于点．若点是的中点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由反比例函数的图象经过点得到反比例函数的解析式，再根据由向上平移得到，与反比例函数的图象交于点，点是的中点得到点的坐标，从而即可得到的值． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， 反比例函数的解析式为，的中点坐标为． ∵由向上平移得到，与反比例函数的图象交于点，点是的中点， 点的横坐标为1，则点的坐标为． 线段向上平移了个单位、即的值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平移，熟练掌握反比例函数的图形与性质，图象平移的性质是解题的关键． 13. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，交于点G，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作分别交、的延长线于点、，则四边形和四边形是矩形，证明，得出，，再证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图，过点作分别交、的延长线于点、， 正方形的边长为4，点E在边上，， ，，，，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ，，， 四边形和四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法计算，再进行乘法计算，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配选速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 7 乙 8 8 7 （1）表格中的m＝______，______（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择______公司； （4）如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求两家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】（1）8.5， （2） 补全频数直方图如图， （3）甲 （4） 【解析】 【分析】（1）根据中位数与方差的定义即可求解； （2）计算甲快递公司在配送速度得9分的人数可补全频数直方图；用乘7分的占比，即可求解； （3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可； （4）用表格展示所有4种等可能的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：甲快递公司在配送速度得分为9的人数为：（人） 甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 故中位数为： 根据题意得： ，， ∴； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 所以甲更加稳定； 【小问4详解】 解：列表如下： A种植户 B种植户 甲 乙 甲 （甲，甲） （甲，乙） 乙 （乙，甲） （乙，乙） 由图中可知，共有4种等可能的结果，其中两家种植户选择同一快递公司的结果有2种， 所以． 17. 临近中考，学校对面文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元． 为中考加油！ 2B涂卡铅笔 4元/支 0.5mm黑色水笔 2.5元/支 （1）求这两种笔每支的进价分别是多少元？ （2）该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报．该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每支铅笔的进价为3元，每支水笔的进价为2元 （2）购进100支铅笔，260支水笔时利润最大，最大利润为230元 【解析】 【分析】（1）根据题中的已知条件列分式方程，解方程即可得到答案，分式方程的应用题，注意检验； （2）根据题意，先求出铅笔购买数量的取值范围，然后写出利润关于铅笔数量的函数关系式，根据函数的增减性可得购买数量，进而可求得最大利润． 【小问1详解】 解：设每支铅笔的进价为x元，则每支水笔的进价为元， 由题意可得： ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴每支铅笔3元，每支水笔2元． 【小问2详解】 解：设购进铅笔a支，则购进水笔支， 由题意可得，， 解得， 总利润 ， ∵， ∴W随a的增大而增大， 故当时，利润最大，最大利润（元）， 所以商店购进铅笔100支，水笔260支时，能使利润最大，最大利润为230元． 18. 解决下列问题： （1）请在图中作出的外接圆⊙（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： （2）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点是的中点，过点作的垂线交的延长线于点． ①求证：是的切线； ②若， ，求的半径 【答案】（1） （2）①证明：如下图所示，连接OC、OB ∵是对应的圆周角，是对应的圆心角 ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； ② 【解析】 【分析】（1）作、的垂直平分线交于点O，以为半径，以O为圆心作圆，即可得到的外接圆； （2）①证明即可证明，从而证得，由切线的判定定理得出结论； ② 证明，根据的正切求得，再根据勾股定理即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略， ②如下图所示，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的直径 ∴ ∴ 又∵， ∴ 又∵ ∴ ∴的半径为． 19. 综合与实践 如图1，已知斜坡长，其坡度为．为了防止水土流失，学校的科创小组在斜坡上种植草坪，并安装喷水头，喷水头喷出的水可以看成是抛物线的形状．为优化喷洒效果，科创小组对喷出的水流进行研究，以点B为坐标原点，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系． （1）如图2，在点B处安装喷水口，在距离B点水平距离6米处，水流达到最高点，最高点与水平线的距离是9米． ①求抛物线的表达式； ②直接写出点D的坐标为 ； （2）为了提升喷洒效果，科创小组将喷水头安装在的点E处，．水流的形状与题（1）中的形状一样，求从E点出发的抛物线的解析式； （3）为了喷水能覆盖整个草坪，科研小组在点E处设计了一个可以向任意方向喷水的喷头，通过调试，水流的形状的抛物线解析式为，利用电脑自动控制参数a的变化，为了能实现水流恰好覆盖草坪（不包含E点），科创小组应该怎样设置a的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①由题意可设，然后根据待定系数法进行求解即可；②过点D作，由题意可设，然后代入①中函数解析式进行求解即可； （2）过点E作，根据题意先得出，然后根据二次函数图象的平移进行求解即可； （3）分别得出抛物线过点A、B时a的值，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：①由题意可知：该抛物线的顶点坐标为，则可设该抛物线的解析式为， ∴把点代入得：，解得：， ∴该抛物线的解析式为； ②过点D作，如图所示： ∵， ∴， 设，即， 代入①中函数解析式得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 【小问2详解】 解：过点E作，如图所示： ∵，， ∴，即， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴， ∵， 则由题意可知：把①中抛物线的图象先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到过点E的抛物线图象， ∴从E点出发的抛物线的解析式为，即为； 【小问3详解】 解：同理（2）可得：， ∴， ∴当抛物线过点，则有， 解得：； 当抛物线过点，则有， 解得：； ∵为了能实现水流恰好覆盖草坪（不包含E点），且抛物线的开口大小由越大，开口也就越小， ∴a的取值范围为． 20. 【定义】平行四边形一组邻边中的一边的中点，另一边的一个三等分点与不在这组邻边上的顶点组成的三角形，如果这个三角形是以中点为直角顶点的直角三角形，就称这个三角形是平行四边形的三分中直三角形． 【示例】如图1，在中，点是 的中点，点 是的三等分点，如果．则是的三分中直三角形． 【尝试发现】 （1）如图2，是矩形 的三分中直三角形，，若，求 的长； 【问题解决】 （2）如图3，是的三分中直三角形，，求证：； 【拓展提升】 （3）如图4，在中，，，以为三分中直三角形的平行四边形的一组邻边是，，直接写出的值． 【答案】（1） （2）证明：如图，延长交 延长线于 ， 在中，，， ∴， ∴， ∵是的三分中直三角形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即点是的中点， ∴在中，． （3）或或或 【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件证明，然后利用相似三角形的性质可知，再根据三分中直三角形的定义代入已知数据计算即可； （2）观察图形结构，并结合已知条件，尝试通过构造全等和相似三角形求解．首先向延长交 延长线于 ，然后利用相似可得，继而利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出结论； （3）结合已知条件，当 为三分中直三角形时，另外一个三等分点是还是并不确定，因此需要分情况进行讨论，利用相似结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形 ， ∴，， 又∵是矩形 的三分中直三角形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当是的三分中直三角形， ，， 如图，过点作于点 ，过点 作于点 ， ∵在中，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 当是的三分中直三角形， ，， 如图，过点作交延长线于点 ，过点 作于点， 同理可得：，， 设，，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 当是的三分中直三角形，，， 如图，过点作交延长线于点 ，过点 作于点， 同理可得：，， 设，，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 当是的三分中直三角形，，， 如图，过点作交延长线于点 ，过点 作于点， 同理可得：，， 设，，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 综上，的值为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第二学期九年级学情反馈—数学 说明： 1．本试卷共6页，满分100分，考试用时90分钟． 2．答题前请将姓名、考号和班级写在答题卡相应的位置，并将条形码贴在答题卡相应区域． 3．考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 4．答题卡必须保持清洁，不能折叠．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）． A. B. C. D. 2. 比亚迪是深圳一家著名企业，某年比亚迪新能源汽车销量约为460万辆，同比增长8.2%，其中460万用科学记数法表示为（ ） A. 4.6×10⁶ B. 4.6×10⁷ C. 46×10⁵ D. 3. 为解决路途较远的学生中午在校就餐的问题，市教育局协调了配餐公司为学生供餐．某公司为学生提供甲种套餐每份20元，乙种套餐每份15元．若实验中学有的学生订购了甲种套餐，另外的学生订购了乙种套餐，每名学生仅订购一份．则该校订餐的学生午餐花费的平均数是（ ） A. 17.5 B. 18 C. 18.5 D. 19 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（ ） A. B. C. D. 7. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，数学兴趣小组通过无人机测量得，，下列计算塔身中心线（单位：）结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（ ） A. 点在的图象上 B. 当时，随的增大而减小 C. 最多有三个实数根 D. 若，则 第二部分非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若代数式有意义，则的值可以是____________．（写一个满足条件的实数即可） 10. 若，则代数式的值为_____________． 11. 如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点，，且．当时，________． 12. 如图，反比例函数的图象经过点，连接，把线段向上平移个单位得到线段，与反比例函数的图象交于点．若点是的中点，则的值为___________． 13. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，交于点G，则的长为____________． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配选速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 7 乙 8 8 7 （1）表格中的m＝______，______（填“＞”“＝”或“＜”）； （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； （3）综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择______公司； （4）如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求两家种植户选择同一快递公司的概率． 17. 临近中考，学校对面文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元． 为中考加油！ 2B涂卡铅笔 4元/支 0.5mm黑色水笔 2.5元/支 （1）求这两种笔每支的进价分别是多少元？ （2）该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报．该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？ 18. 解决下列问题： （1）请在图中作出的外接圆⊙（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： （2）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点是的中点，过点作的垂线交的延长线于点． ①求证：是的切线； ②若， ，求的半径 19. 综合与实践 如图1，已知斜坡长，其坡度为．为了防止水土流失，学校的科创小组在斜坡上种植草坪，并安装喷水头，喷水头喷出的水可以看成是抛物线的形状．为优化喷洒效果，科创小组对喷出的水流进行研究，以点B为坐标原点，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系． （1）如图2，在点B处安装喷水口，在距离B点水平距离6米处，水流达到最高点，最高点与水平线的距离是9米． ①求抛物线的表达式； ②直接写出点D的坐标为 ； （2）为了提升喷洒效果，科创小组将喷水头安装在的点E处，．水流的形状与题（1）中的形状一样，求从E点出发的抛物线的解析式； （3）为了喷水能覆盖整个草坪，科研小组在点E处设计了一个可以向任意方向喷水的喷头，通过调试，水流的形状的抛物线解析式为，利用电脑自动控制参数a的变化，为了能实现水流恰好覆盖草坪（不包含E点），科创小组应该怎样设置a的取值范围． 20. 【定义】平行四边形一组邻边中的一边的中点，另一边的一个三等分点与不在这组邻边上的顶点组成的三角形，如果这个三角形是以中点为直角顶点的直角三角形，就称这个三角形是平行四边形的三分中直三角形． 【示例】如图1，在中，点是 的中点，点 是的三等分点，如果．则是的三分中直三角形． 【尝试发现】 （1）如图2，是矩形 的三分中直三角形，，若，求 的长； 【问题解决】 （2）如图3，是的三分中直三角形，，求证：； 【拓展提升】 （3）如图4，在中，，，以为三分中直三角形的平行四边形的一组邻边是，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $